SEPARATA DE APOYO A LA EXPOSICIN: TCNICAS DE ESTIMACIN Y
SIMULACIN
SEPARATA DEL CURSO DE GEOESTADSTICA APLICADA
M AESTRA EN CIENCIAS DE LA TIERRA
FGGM-UNSAAREQUIPA 2011Profesor: Alfredo Marn SurezDocteur
Ingnieur en Sciences et Techniques Minires - Option
Gostatistique
[email protected]://www.geoestadistica.herobo.com1.
INTRODUCCIN
La Geoestadstica aporta una herramienta denominada Variograma,
el cual tiene aplicaciones en las ciencias geolgicas y mltiples
aplicaciones en otras disciplinas. La Geoestadstica fue
desarrollada y presentada por George Matheron en la dcada de los 60
del siglo XX. En efecto la Geoestadstica considera que las
variables regionalizadas estn modeladas en un espacio de variables
aleatorias reales L2 sobre un espacio de probabilidades
Representacin de la variable regionalizada en el espacio.En la
que se define la funcin Variograma:
o
Y una extensin del Variograma denominado Variograma Cruzado que
relaciona dos variables:
En esta pequea divulgacin el objetivo es presentar el Variograma
y su extensin Variograma Cruzado mediante algoritmos aritmticos
simples, a travs de ejemplos, haciendo ver su aporte como
herramienta de trabajo en la geologa de minas, de petrleo, etc.
Aporte que consiste en dar cuenta del aspecto estructural del
fenmeno estudiado, aspecto estructural no contemplado por la
estadstica descriptiva.
2. APLICACIN EN LA DIFERENCIACIN DE DOS FENMENOS2.1 En una lnea
de muestreo de la zona A, tenemos los siguientes valores de la
variable regionalizada de plomo en ppm.
Realizamos un anlisis estadstico bsico.
a) Media aritmtica:
b) La varianza:
c) El coeficiente de variacin:
d) Histograma
2.2 En otra lnea de muestreo en la zona B, tenemos los mismos
valores de la variable regionalizada de plomo en ppm, pero
dispuesto de la siguiente forma; es decir, un fenmeno
estructuralmente muy diferente, a pesar de tener los mismos valores
de leyes.
Obtenemos la media aritmtica, la varianza, el coeficiente de
variacin y el histograma, y vemos que da los mismos resultados que
los obtenidos en la Zona A.
Es decir que con esta estadstica descriptiva no logramos
diferenciar dos fenmenos totalmente diferentes.2.3 Ahora procedemos
a construir los Variogramas de la Zona A y B
Graficando el variograma para la zona A.
Graficando el variograma para la zona B.
Como se puede observar el semi-Variograma, que ms comnmente se
le denomina variograma, da cuenta de las zonas estructuralmente
diferentes.
3. MODELOS DE VARIOGRAMAS MS COMUNESa) Efecto de Pepita Puro
b) Modelo Esfrico o de Mathern
c) Modelo de Formery o Exponencial
d) Modelo con efecto HOLE
e) Modelo Gaussiano
Es de notar que estos modelos y sus combinaciones no son
necesariamente los nicos.4. APLICACIN DEL VARIOGRAMA CRUZADO EN EL
ESTUDIO DE CORRELACIONES4.1 Para visualizar esta funcin,
consideremos un ejemplo de una zona de terreno explorado del cual
hemos obtenidos valores geoqumicos del Oro y Plata y deseamos
estudiar la relacin entre los dos valores. Para este efecto
aplicaremos el variograma cruzado.
Siendo la formula:
Aplicando:
Cuya grfica es la siguiente:
Observamos que cuando hay una correlacin positiva alta entre las
variables, el variograma cruzado tiende a tomar valores positivos
altos.
4.2 Ahora veamos que pasa en otra zona, donde los valores
geoqumicos de la Plata toman otros valores:
Aplicando la frmula:
Con su grfica:
Observamos que cuando hay una correlacin negativa alta entre las
variables el variograma cruzado tiende a tomar valores negativos
altos.
Al realizar el anlisis estadstico descriptivo de las lneas de
muestreo de la Zona A y la Zona B, correspondientes a la variable
regionalizada plomo; obtenemos el mismo resultado estadstico; es
decir, que este anlisis estadstico descriptivo no nos ayuda a dar
cuenta del aspecto estructural de estos fenmenos totalmente
diferentes. En tanto, al aplicar la funcin Variograma vemos que s
da cuenta del aspecto estructural de estos fenmenos totalmente
diferentes. Por lo que constituye una herramienta de gran utilidad
en el tratamiento de variables regionalizadas.Observamos que cuando
hay una correlacin positiva alta entre las variables
regionalizadas, el variograma cruzado tiende a tomar valores
positivos altos; mientras que, cuando hay una correlacin negativa
alta entre las variables, el variograma cruzado tiende a tomar
valores negativos altos. Por lo que el variograma cruzado se suma a
las herramientas que permiten estudiar la correlacin entre
variables.5. TCNICA DEL KRIGING DE MATHERONConsiderando las
variables Z(xi) que estn cerca de un soporte geomtrico a estimar y
dentro de su aureola de influencia. Aureola definida por medio de
los alcances estimados a partir de un estudio de variogramas.
Visualizaremos el procedimiento a partir de la siguiente
disposicin de las muestras con respecto a un soporte geomtrico
V.
Disposicin de muestras con respecto a un soporte geomtrico
V.
Y deseamos estimar la variable Z(x) del soporte geomtrico V a
partir de las muestras Z(xi). Entonces necesitamos encontrar los
pesos para estimar la variable Zv(x0), a partir de:
En el ejemplo que presentaremos a continuacin consideremos que
estamos en condiciones de aplicar un Krigeage ordinario bajo la
hiptesis estacionaria de orden 2, por lo que usaremos el siguiente
sistema de ecuaciones.
Este sistema resulta de minimizar la varianza de estimacin
sujeta a la condicin de universalidad , que hace que nuestro
estimador sea insesgado.
El error cometido en este procedimiento de estimacin viene dado
por la varianza de Kriging de Matheron siguiente:
Ejemplo:
A partir de los valores de la potencia de un manto de Hematita
en los puntos A y B, se desea estimar la potencia en el punto C.
Considerando que la potencia del manto tiene el siguiente modelo de
variograma.
Es decir un modelo de Matheron o tambin denominado esfrico. A
continuacin se muestra la ubicacin de las potencias y su orden de
magnitud.
Variable regionalizada Potencia en los puntos A y B de un manto
de Hematita
Entonces tendremos a partir del sistema de ecuaciones anterior,
el siguiente sistema particular:
Reemplazando:
I. II. III. Restando (I) (II) :
Ahora tenemos el siguiente sistema:
I'. II'. Sumando (I) + (II) :
Reemplazando en (II) :
En la primera ecuacin inicial:
Despejamos:
Parmetro auxiliar que ser usado posteriormente en la frmula de
la varianza de Kriging de Matheron.
Siendo la potencia estimada del manto igual a:
Reemplazamos:
Ahora veamos cul es el error que se comete en esta estimacin,
para lo cual particularizamos la frmula de la varianza de Kriging
de Matheron dada anteriormente.
Reemplazando:
Este valor es el error cometido en el proceso de estimacin
realizado.
REFERENCIAS
- Matheron G. (1962, 1963) - Trait de Gostatistique
Applique.
Ed. Technip, Paris VOL. 1; VOL. 2.
- Guibal D. (1972) - Simulation de Schmas Intrinsques. N-291
E.N.S.M.P.
- Journel A. (1977) - Gostatistique Miniere, tomo 1 y 2.
E.N.S.M.P
- Marchal A., Deraisme J., Journel A., Matheron G. (1978) -
Cours de Gostatistique non Linaire. C-74 E.N.S.M.P.
- Marn Surez A. (1978) - Mthodologie de L'estimation et
Simulation Multivariable des Grands Gisements Tridimensionnels.
Thse prsente I'cole Nationale Suprieure des Mines de Paris
Para obtener el grado de:
Docteur Ingnieur en Sciences et Techniques Minires - Option
Gostatistique
- Marn Surez A. (1986) - Modelo Geoestadstico de Filones de
Almadn. Ed. Minas de Almadn S.A., Almadn (Espaa).
- Remy N., Boucher A., Wu J., Journel A. (2009) - Applied
Geostatistics with GSLIB and SGEMS. Ed. Cambridge University Press.
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