บทที ่5 ล าดับและอนุกรม (Sequence & Series)

เร่ืองของล าดับและอนุกรมเป็นเร่ืองที่เกี่ยวข้องกับชุดเลขจ านวน รวมถึงการหาผลบวกของชุดจ านวนเหล่านั้น

5.1 ล าดับ ล าดับ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตจ านวนเต็มบวก หรือสับเซตของจ านวนเต็มบวก และมี

เรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง สัญลักษณ์ใช้แทนล าดับคือ {an} โดยที่ an หมายถึงเทอมที่ n หรือพจน์ที่ n ของล าดับ ดังตัวอย่างเช่น

n

1 =

...,n

1,...,

4

1,

3

1,

2

1,1

{n2} = {1, 4, 9, 16, …, n2, …}

{(–1)n} = {– 1, 1, – 1, 1, …, (– 1) n, …}

1n2

4n3 =

,...

1n2

4n3...,,

7

16,

5

13,

3

10,7

5.1.1 ล าดับลู่เข้าและล าดับลู่ออก (Convergent and Divergent Sequence)

จากล าดับที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น อาจแบ่งล าดับออกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ ด้วยกันตามลักษณะของการลู่เข้าหรือลู่ออกของล าดับ ซึ่งพิจารณาได้จาก

nnalim

นั่นคือ

ถ้า nn

alim

= k, k R จะกล่าวว่าล าดับ {an} เป็นล าดับลู่เข้าโดยลู่เข้าสู่ค่า k แต่

ถ้า nn

alim

= หาค่าไม่ได้ จะกล่าวว่า {an} เป็นล าดับลู่ออก

ตัวอย่าง 5.1 ล าดับ {an} ต่อไปนี้เป็นล าดับลู่เข้าหรือลู่ออก

1.

n

1 2. {n2}

3. {(–1)n} 4.

1n2

4n3

57

วิธีท า 1. ล าดับ

n

1

พิจารณา nn

alim

= n

1lim

n = 0

ดังนั้น

n

1 เป็นล าดับลู่เข้า และลู่เข้าหาค่า 0

2. ล าดับ {n2} พิจารณา

nnalim

= 2

nnlim

= (หาค่าไม่ได้)

ดังนั้น {n2} เป็นล าดับลู่ออก

3. ล าดับ {(–1)n} พิจารณา

nnalim

= n

n)1(lim

= หาค่าไม่ได้

ดังนั้น {(–1)n} เป็นล าดับลู่ออก

4. ล าดับ

1n2

4n3

พิจารณา nn

alim

= 1n2

4n3lim

n

=

2

3

ดังนั้น

1n2

4n3 เป็นล าดับลู่เข้า และลู่เข้าหาค่า 2

3

5.1.2 ล าดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)

นิยาม 5.1 ล าดับ {an} = {a1, a2, a3, …} จะเป็นล าดับเลขคณิต ถ้า an+1 – an = d, d R ทุกค่า n ที่เป็นจ านวนนับ ค่า d ของล าดับเลขคณิต เรียกว่าเป็นผลต่างร่วม (Common Difference) ทั้งนี้พจน์ที่ n ของ

ล าดับจะหาได้จาก an = a1 + (n – 1)d ตัวอย่างเช่น {3n – 1} = {2, 5, 8, 11, …, 3n – 1, …} เป็นล าดับเลขคณิตที่มีค่า d = 3

{2n + 1} = {3, 5, 7, 9, …, 2n + 1, …} เป็นล าดับเลขคณิตที่มีค่า d = 2

5.1.3 ล าดับเรขาคณิต (Geometric Sequence)

นิยาม 5.2 ล าดับ {an} = {a1, a2, a3,…} จะเป็นล าดับเรขาคณิต ถ้า n

1n

a

a = r, an 0 และ r R ทุกค่า n

ที่เป็นจ านวนนับ ค่า r ของล าดับเรขาคณิต เรียกว่าอัตราส่วนร่วม (Common Ratio) โดยที่พจน์ที่ n

ของล าดับ จะหาได้จาก an = a1rn - 1

58

ตัวอย่างเช่น {2(3n - 1)} = {2, 6, 18, 54, …, 2(3n - 1),…} เป็นล าดับเรขาคณิตที่มีค่า r = 3

n3

1 =

...,3

1...,,

81

1,

27

1,

9

1,

3

1

n เป็นล าดับเรขาคณิตที่มีค่า r =

3

1

5.2 อนุกรม

อนุกรมเป็นการน าเอาสมาชิกของล าดับ {an} มาบวกกัน สญัลักษณ์ที่ใช้แทนอนุกรมคือ n

na

ดังตัวอย่าง

1n n

1 = 1 + 2

1 + 3

1 + 4

1 + … + n1 + …

1n1n2

1 = 1 + 2

1 + 4

1 + 8

1 + … + n2

1 + …

1n

1n)1( = 1 – 1 + 1 – 1 + … + (–1)n + 1 + …

1n )1n(n

1 = 21

1

+

32

1

+

43

1

+ … +

)1n(n

1

+ …

5.2.1 อนุกรมลู่เข้า และอนุกรมลู่ออก (Convergent and Divergent Series)

ส าหรับอนุกรม

1nn

a ถ้าให้

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3 …

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

จะเรียกว่า {Sn} เป็นล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรม

1nn

a

ถ้า nn

Slim

= k กล่าวได้ว่า {Sn} เป็นล าดับลู่เข้า และนั่นหมายถึง

1nn

a เป็นอนุกรมลู่เข้า

และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ k

ถ้า nn

Slim

= หาค่าไม่ได้ กล่าวได้ว่า {Sn} เป็นล าดับลู่ออกหรือ

1nn

a เป็นอนุกรมลู่ออก

59

ตัวอย่าง 5.2 ก าหนด

1n )2n)(1n(

1 = 32

1

+

43

1

+

54

1

+… จงพิจารณาว่า อนุกรมดังกล่าวเป็น

อนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก

วิธีท า ให้ Sn = 32

1

+

43

1

+

54

1

+ … + )2n)(1n(

1

พิจารณา )2n)(1n(1

= 1n1

– 2n1

ดังนั้น Sn =

3

1

2

1 +

4

1

3

1 +

5

1

4

1 + … +

)2n(

1

)1n(

1

= 2

1 – 2n

1

nnSlim

=

2n

1

2

1lim

n =

2

1

ดังนั้น

1n )2n)(1n(

1 เป็นอนุกรมลู่เข้าที่มีผลบวกเท่ากับ 2

1

ตัวอย่าง 5.3 จงพิจารณาอนุกรม

1n 1n

nln เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก

วิธีท า ให้ Sn = 21ln + 3

2ln + 43ln + … + 1n

nln

= (ln 1 – ln 2) + (ln 2 – ln 3) + (ln 3 – ln 4) + … + (ln n – ln (n + 1)) = ln 1 – ln (n + 1) = – ln (n + 1)

nnSlim

= )1nln(lim

n

= – (หาค่าไม่ได้)

ดังนั้น

1n 1n

nln เป็นอนุกรมลู่ออก

5.2.2 อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)

พิจารณาล าดับเรขาคณิต {an} = {a, ar, ar2, ar3, …, arn - 1, …}

ซึ่งจะได้อนุกรมเรขาคณิต

1nna =

1n

1nar

= a + ar + ar2 + ar3 + …

พิจารณา Sn = a + ar + ar2 +ar3 + …+ ar n - 1

rSn = ar + ar2 +ar3 + …+ ar n-1 + ar n

Sn – rSn = a – ar n - 1

60

Sn(1 – r) = a(1 – r n - 1)

Sn = r1

)r1(alim

1n

n

, r 1

nn

Slim

= r1

)r1(alim

1n

n

=

r1

a

เมื่อ | r | < 1

= หาค่าไม่ได้ เมื่อ | r | > 1

ดังนั้น

1n

1nar จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ | r | < 1 โดยมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ r1

a

และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ | r | 1

ตัวอย่าง 5.4 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก

1.

1n

n

3

2 2.

1n

n

2

13

3.

1n

n

3

42

วิธีท า 1.

1n

n

3

2 = 32 +

2

3

2

+ 3

3

2

+ …

เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a = 3

2 และ r = 3

2

ดังนั้น

1n

n

3

2 เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ 3

21

3

2

= 2

2.

1n

n

2

13 =

2

13 +

2

2

13

+

3

2

13

+ …

เปน็อนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a =

2

13 และ r =

2

1

ดังนั้น

1n

n

2

13 เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ

2

11

2

13

= -1

3. n

1n 3

42

=

3

42 +

2

3

42

+ 3

3

42

+ …

เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a =

3

42 และ r =

3

4

ดังนั้น n

1n 3

42

เป็นอนุกรมลู่ออก

61

5.2.3 การทดสอบความเป็นอนุกรมลู่ออกโดยการใช้พจน์ท่ี n

ก าหนดอนุกรม

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้าโดยมีผลบวกเท่ากับ S ถ้า Sn เป็นผลบวก n เทอมของ

อนุกรมดังกล่าว จะได้ว่า an = Sn – Sn – 1 จะได้ว่า

nnalim

= )SS(lim

1nnn

= nn

Slim

– 1nn

Slim

= S – S = 0

ทฤษฎีบท 5.1 ถ้า

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว

nnalim

= 0

อย่างไรก็ตามการน าทฤษฎีบทดังกล่าวไปใช้นั้น ไม่สามารถน าไปใช้ได้โดยตรง แต่ถ้าพิจารณาถึงข้อความที่สมมูลกับทฤษฎีบทดังกล่าวคือ

ถ้า nn

alim

หาค่าไม่ได้ หรือหาค่าได้แต่ไม่เท่ากับ 0 แล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่ออก

ซึ่งสามารถน าไปใช้ในการทดสอบความเป็นอนุกรมลู่ออกได้ทันที ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 5.5 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือลู่ออก

1.

1n n2

4n3 2

1n

2

4n

n

3.

1n

n)1(

วิธีท า 1. พิจารณา

1n n2

4n3

จะเห็นได้ว่า n2

4n3lim

n

=

2

3 0

ดังนั้น

1n n2

4n3 เป็นอนุกรมลู่ออก

2. พิจารณา

1n

2

4n

n

จะเห็นได้ว่า 4n

nlim

2

n = (หาค่าไม่ได้)

ดังนั้น

1n

2

4n

n เป็นอนุกรมลู่ออก

62

3. พิจารณา

1n

n)1(

เน่ืองจาก n

n)1(lim

= หาค่าไม่ได้

ดังนั้น

1n

n)1( เป็นอนุกรมลู่ออก

5.3 การทดสอบอนุกรมว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือลู่ออก

ส าหรับอนุกรม

1nna โดยที่ an 0 และ Sn เป็นผลบวก n เทอมของอนุกรมดังกล่าว ดังนั้น

{Sn} จะเป็นล าดับที่มีค่าไม่ลดลง (Non-Decreasing) ทั้งนี้เพราะ Sn = Sn-1 + an และ an 0 ดังนั้น S1

S2 S3 … Sn Sn + 1 … ดังนั้นถ้า {Sn} ถูกก าหนดขอบเขตจากทางด้านบน ก็จะได้ว่า {Sn} เป็น

ล าดับลู่เข้าและนั่นหมายถึงว่า

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า ด้วยเหตุนี้จึงได้มีการน าเอาแนวความคิดนี้มา

พัฒนาเป็นวิธีการที่จะใช้ในการทดสอบการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรม ซึ่งวิธีทดสอบที่ส าคัญๆ เช่น

1. การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล (Integral Test) 2. การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบ (Comparison Test) 3. การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบลิมิต (Limit Comparison Test) 4. การทดสอบโดยใช้อัตราส่วน (Ratio Test) 5. การทดสอบโดยใช้ราก (Root Test)

5.3.1 การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล

ทฤษฎีบท 5.2 ก าหนด {an} เป็นล าดับที่ a n 0 ถ้า a n = f (n) โดยที่ f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเน่ือง มีค่าเป็นบวก และเป็นฟังก์ชันที่มีค่าลดลง ส าหรับ n N (N เป็นจ านวนเต็มบวก) จะได้ว่า

ถ้า

N

dx)x(f หาค่าได้ จะได้ว่า

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า และ

ถ้า

N

dx)x(f หาค่าไม่ได้ จะได้ว่า

1nna เป็นอนุกรมลู่ออก

ตัวอย่าง 5.6 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก

1.

1n2n

1

2.

1n n

1

63

วิธีท า 1.

1n2n

1

ก าหนดให้ f (x) = 2x1

จะเห็นได้ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ือง มีค่าเป็นบวก และมีค่าลดลงเมื่อ x 1

พิจารณา

1

dx)x(f =

12

dxx

1 =

1x

1

=

x

1lim

x + 1 = 1

ดังนั้น

1n2n

1 เป็นอนุกรมลู่เข้า

2.

1n n

1

ให้ f (x) = x

1

f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง มีค่าเป็นบวกและมีค่าลดลง เมื่อ x 1

พิจารณา

1

dxx

1 =

1

2

1

dxx

=

1

2

1

x2

= x2limx

– 2

= หาค่าไม่ได้

ดังนั้น

1n n

1 เป็นอนุกรมลู่ออก

นิยาม 5.3 อนุกรมพี (P-Series) คืออนุกรมที่อยู่ในรูปของ

1npn

1 , p เป็นจ านวนจริง

ทฤษฎีบท 5.3 ส าหรับอนุกรมพี ใดๆ

ถ้า p > 1

1npn

1 เป็นอนุกรมลู่เข้า

ถ้า p 1

1npn

1 เป็นอนุกรมลู่ออก

อนุกรมพี สามารถพิสูจน์ได้โดย การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล

64

ตัวอย่างเช่น

1n nn

1 เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 2

3 ดังนั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า

1n n

1 เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 1 ดังนั้นเป็นอนุกรมลู่ออก

5.3.2 การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบ

ทฤษฎีบท 5.4 ก าหนด

1nna เป็นอนุกรมโดยที่ an 0 จะได้ว่า

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้าถ้ามีอนุกรมลู่

เข้า

1nnb โดย an bn ทุกค่า n > N เมื่อ N เป็นจ านวนเต็ม และ

1nna เป็นอนุกรมลู่ออก ถ้ามีอนุกรม

ลู่ออก

1nnb โดยที่ bn 0 โดยที่ an bn ทุกค่า n > N เมื่อ N เป็นจ านวนเต็ม

ตัวอย่าง 5.7 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก

1.

1n !n

1 2.

1n )1n(n;

1

วิธีท า 1.

1n !n

1 = !1

1 + !2

1 + !3

1 + !4

1 + !5

1 + …

= 1 + 2

1 + 6

1 + 24

1 + 120

1 + …

พิจารณา

1n !n

1 = 1 + 4

1 + 9

1 + 16

1 + 36

1 + …

จะเห็นได้ว่า !n1 < 2n

1 ทุกค่า n, n > 3

เน่ืองจาก

1n2n

1 เป็นอนุกรมลู่เข้า (เป็นอนุกรมพี ที่ p = 2)

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.4 จะได้ว่า

1n !n

1 เป็นอนุกรมลู่เข้า

2.

1n )1nln(

1 = 2ln1 + 3ln

1 + 4ln1 + 5ln

1 + …

พิจารณา

1n n

1 = 1 + 2

1 + 3

1 + 4

1 + …

จะเห็นได้ว่า nln1 > n

1 ทุกค่า n, n > 1

เน่ืองจาก

1n n

1 เป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี ที่ p = 1)

ดังนัน้จากทฤษฎีบท 5.4 จะได้ว่า

1n )1nln(

1 เป็นอนุกรมลู่ออก

65

5.3.3 การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบลิมิต

ทฤษฎีบท 5.5 ก าหนด

1nna , an > 0 ทุกค่า n > N ถ้ามีอนุกรม

1nnb , b n > 0 ทุกค่า n > N และ

1. n

n

n b

alim

= c, c > 0 จะได้ว่า

ถ้า

1nnb เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า

ถ้า

1nnb เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่ออก

2. n

n

n b

alim

= 0 จะได้ว่า

ถ้า

1nnb เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า

3. n

n

n b

alim

หาค่าไม่ได้ จะได้ว่า

ถ้า

1nnb เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่ออก

ตัวอย่าง 5.8 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก

1.

1n2 3n2

1

2.

1n2 4n5

n3

วิธีท า 1.

1n2 3n2

1

จาก

1n2n

1 เป็นอนุกรมลู่เข้า (อนุกรมพี ที่ p = 2)

พิจารณา 2

2

n

n

13n2

1

lim

=

3n2

nlim

2

2

n =

2

1

เน่ืองจาก

1n2n

1 เป็นอนุกรมลู่เข้า

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.5 จะได้ว่า

1n2 3n2

1 เป็นอนุกรมลู่เข้า

66

2.

1n2 4n5

n3

จาก

1n n

1 เป็นอนุกรมลู่ออก (อนุกรมพี ที่ p = 1)

พิจารณา n

14n5

n3

lim2

n

=

4n5

n3lim

2

2

n =

5

3

เน่ืองจาก

1n n

1 เป็นอนุกรมลู่ออก

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.5 จะได้ว่า

1n2 4n5

n3 เป็นอนุกรมลู่ออก

5.3.4 การทดสอบโดยใช้แบบอัตราส่วน

ทฤษฎีบท 5.6 ก าหนด

1nna เป็นอนุกรมที่ a n 0 และ

n

1n

n a

alim

= r

ถ้า r < 1 แล้ว

1nna จะเป็นอนุกรมลู่เข้า

ถ้า r > 1 หรือ r หาค่าไม่ได้ แล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่ออก

ถ้า r = 1 แล้วยังสรุปไม่ได้

ตัวอย่าง 5.9 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก

1.

1nn

2

2

n 2.

1n

n

!n

3

3.

1n !n!n

)!n2(

วิธีท า 1.

1nn

2

2

n

พิจารณา n

1n

n a

alim

=

n

2

1n

2

n

2

n

2

)1n(

lim

= 2

2

n n2

)1n(lim

=

2

1

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า

1nn

2

2

n เป็นอนุกรมลู่เข้า

67

2.

1n

n

!n

3

พิจารณา n

1n

n a

alim

=

!n

3

)!1n(

3

limn

1n

n

= 1n

3lim

n = 0

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า

1n

n

!n

3 เป็นอนุกรมลู่เข้า

3.

1n !n!n

)!n2(

พิจารณา n

1n

n a

alim

=

!n!n

)!n2(

)!1n()!1n(

)!2n2(

limn

= )1n)(1n(

)1n2)(2n2(lim

n

= 4

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า

1n !n!n

)!n2( เป็นอนุกรมลู่ออก

5.3.5 การทดสอบโดยใช้รากท่ี n

ทฤษฎีบท 5.7 ก าหนด

1nna เป็นอนุกรมโดยที่ a n 0 และ n

nnalim

= r

ถ้า r < 1 แล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า

ถ้า r > 1 หรือ r = หาค่าไม่ได้ แล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่ออก

ถ้า r = 1 แล้วยังสรุปไม่ได้

ตัวอย่าง 5.10 จงพิจารณาว่า อนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก

1.

1nn

n

)n(ln

4

2.

1nn

n

n

)!n(

68

วิธีท า 1.

1nn

n

)n(ln

4

พิจารณา nnn

alim

= n

n

n

n )n(ln

4lim

=

nln

4lim

n = 0

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.7 จะได้ว่า

1nn

n

)n(ln

4 เป็นอนุกรมลู่เข้า

2.

1nn

n

n

)!n(

พิจารณา nnn

alim

= n

n

n

n n

)!n(lim

= n

!nlim

n

= หาค่าไม่ได้

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.7 จะได้ว่า

1nn

n

n

)!n( เป็นอนุกรมลู่ออก

5.4 อนุกรมสลับ (Alternating Series)

นิยาม 5.4 อนุกรมสลับ คืออนุกรมที่แต่ละเทอมในอนุกรม มีเคร่ืองหมายบวกและลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น

1n

n

n

1)1( = –1 +

2

1 – 3

1 + 4

1 – 5

1 + … + (–1)nn1 + …

1nn

1n

2

1n2)1( =

2

1 –4

3 + 8

5 – 16

7 + 32

9 + … (–1)n + 1n

21n2 + …

ทฤษฎีบท 5.8 ก าหนดอนุกรมสลับ

1n

nn a)1( ถ้า an 0 และ an an + 1 ส าหรับทุกค่า n N โดยที่

N เป็นจ านวนบวก และ nn

alim

= 0 แล้ว

1n

nn a)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า

ตัวอย่าง 5.11 จงพิจารณาว่า อนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก

1.

1n

n

n

1)1( 2.

1n

1n

n3

1n2)1(

วิธีท า 1.

1n

n

n

1)1( เป็นอนุกรมสลับที่มี an = n

1

จะเห็นได้ว่า n1 0 ทุกค่า n

69

และ n1 1n

1

ทุกค่า n 1

และ n

1lim

n = 0

ดังนั้น

1n

n

n

1)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า

2.

1n

1n

n3

1n2)1( เป็นอนุกรมสลับที่มี an = n3

1n2

จะเห็นได้ว่า n31n2 0 ทุกค่า n

จาก

1n

1n

n3

1n2)1( = 1 –

6

5 +9

7 – 12

9 +15

11 + … + … (–1)n + 1n3

1n2 + …

เห็นได้ว่า an an + 1 ทุกค่า n 1

แต่ n3

1n2lim

n

=

3

2

ดังนั้น

1n

1n

n3

1n2)1( เป็นอนุกรมลู่ออก

5.4.1 การลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ หรืออย่างมีเงื่อนไข (Absolute or Conditional Convergence)

นิยาม 5.5 อนุกรม

1nna จะถูกเรียกว่าเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ ถ้าอนุกรม

1nn |a| เป็น

อนุกรมลู่เข้า

นิยาม 5.6 อนุกรม

1nna จะถูกเรียกว่าเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข ถ้าอนุกรม

1nna เป็น

อนุกรมลู่เข้า แต่อนุกรม

1nn |a| เป็นอนุกรมลู่ออก

ตัวอย่าง 5.12 จงพิจารณาว่าอนกุรมต่อไปนี้เป็นอนกุรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ หรืออย่างมีเงื่อนไข หรือเป็นอนุกรมลู่ออก

1.

1n

n

n

1)1( 2.

1n

n1n

3

2)1(

3.

1n

n3)1(

70

วิธีท า 1.

1n

n

n

1)1( เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an = n

1

เน่ืองจาก n1 > 0 และ n

1 1n1

ทุกค่า n ที่ n เป็นจ านวนเต็มบวก

และ n

1lim

n = 0 ดังนั้น

1n

n

n

1)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า

พิจารณา

1n

n |n

1)1(| =

1n n

1 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี ที่ P = 1)

ดังนั้น

1n

n

n

1)1( เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข

2.

1n

n1n

3

2)1( เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an =

n

3

2

เน่ืองจาก n

3

2

> 0 และ n

3

2

1n

3

2

ทุกค่า n ที่ n เป็นจ านวนเต็มบวก

และ n

n 3

2lim

= 0 ดังนั้น

1n

n1n

3

2)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า

พิจารณา

1n

n1n |

3

2)1(| =

1n

n

3

2 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า เพราะ

เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r = 3

2

ดังนั้น

1n

n1n

3

2)1( เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์

3.

1n

n3)1( เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an = 3

จะเห็นได้ว่า an = 3 > 0 และ an an + 1 ทุกค่า n เป็นจ านวนนับ

แต่ 033limn

ดังนั้น

1n

n3)1( เป็นอนุกรมลู่ออก

ทฤษฎีบท 5.9 ถ้า

1nn |a| เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้ว

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า

ตัวอย่างเช่น

1n

3n

n

1)1(

เมื่อพิจารณา |n

1)1(|

1n3

n

=

1n3n

1 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า (เพราะเป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 3)

ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.9 จะได้ว่า

1n

3n

n

1)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า

71

5.5 อนุกรมก าลัง (Power Series)

นิยาม 5.7 อนุกรมก าลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 0 เป็นอนุกรมที่เขียนได้ในรูปของ

0n

nnxc = c0 + c1x + c2x

2 + … + cnxn + …

นิยาม 5.8 อนุกรมก าลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = a เป็นอนุกรมที่เขียนได้ในรูปของ

0n

nn )ax(c = c0 + c1(x – a) + c2(x – a)2 + … + cn(x – a)n + …

ตัวอย่างเช่น

0n

n

!n

x เป็นอนุกรมก าลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 0 โดยที่ Cn = !n1

0n2

n

)1n(

)3x( เป็นอนุกรมก าลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 3 โดยที่ Cn = 2)1n(

1

5.5.1 รัศมีการลู่เข้าและช่วงการลู่เข้า (Radius and Interval of Convergence)

ส าหรับอนุกรมก าลัง

0n

nn )ax(c จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า ถ้า x = a อนุกรมดังกล่าวจะเป็น

อนุกรมลู่เข้า อย่างไรก็ตามเราอาจสนใจค่าจ านวนจริง x ที่มีค่าอ่ืนๆอีก ที่ท าให้อนุกรมก าลังดังกล่าวเป็นอนุกรมลู่เข้า

นิยาม 5.9 ส าหรับอนุกรมก าลัง

0n

nn )ax(c ถ้า R เป็นจ านวนเต็มบวกที่ท าให้

0n

nn )ax(c เป็น

อนกุรมลู่เข้าเมื่อ |x – a| < R และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ |x – a| > R แล้วจะเรียก R ว่าเป็นรัศมีการลู่เข้า

หมายเหต ุ 1. ส าหรับอนุกรมก าลัง

0n

nn )ax(c ที่มีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับ R นั้น อนุกรมดังกล่าวอาจจะ

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ที่จุด x = a – R และจุด x = a + R 2. ส าหรับอนุกรมก าลังที่ลู่เข้าทุกค่าจ านวนจริง x นั้น สามารถกล่าวได้ว่ารัศมีการลู่เข้ามีค่า

ไม่จ ากัดหรือ R = 3. ส าหรับอนุกรมก าลังที่ลู่เข้าที่ทุกค่าจ านวนจริง x = a เพียงค่าเดียวนั้น สามารถกล่าวได้ว่า

รัศมีการลู่เข้ามีค่าเท่ากับศูนย์หรือ R = 0

นิยาม 5.10 ส าหรับอนุกรมก าลัง

0n

nn )ax(c เซตของจ านวนจริง x ที่ท าให้อนุกรมดังกล่าวเป็น

อนุกรมลู่เข้า เรียกว่าเป็นช่วงการลู่เข้า

72

นั่นคือส าหรับอนุกรมก าลังที่มีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับ R จะได้ว่าช่วงการลู่เข้าอาจเป็นช่วง 1. (a – R, a + R) หรือ 2. [a – R, a + R) หรือ 3. (a – R, a + R] หรือ 4. [a – R, a + R] อย่างใดอย่างหนึ่ง ทั้งนี้ขึ้นกับว่า อนุกรมลู่เข้าที่จุด x = a – R, หรือ a + R หรือไม่

ตัวอย่าง 5.13 จงหารัศมีการลู่เข้าและช่วงการลู่เข้าของอนุกรมก าลังต่อไปนี้

1.

1n3

nn

n

)3x()1( 2.

0n

n

!n

x

3.

0n

nn )2x(!n)1( 4.

0nn

nn

4

)1x()1(

วิธีท า 1.

1n3

nn

n

)3x()1(

พิจารณา n

1n

n a

alim

=

3

nn

3

1n1n

n

n

)3x()1(

1n

)3x()1(

lim

= 3

n 1n

n)3x(lim

= | x – 3 |

จากทฤษฎีการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วนจะได้

0n3

nn

n

)3x()1( เป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้า |

x – 3 | < 1 นั่นคือ รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ 1 จาก | x – 3 | < 1 จะได้ว่า –1 < x – 3 < 1 หรือ 2 < x < 4

พิจารณาอนุกรมก าลังที่ x = 2 จะได ้

0n3

nn

n

)3x()1( =

0n3

nn

n

)32()1(

=

0n3

n2

n

)1(

=

0n3 n

1 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 3

1 )

73

พิจารณาอนุกรมก าลังที่ x = 4 จะได ้

1n3

nn

n

)3x()1( =

0n3

nn

n

)34()1(

=

0n3

n

n

)1(

1n3

n

n

)1( เป็นอนุกรมสลับที่มี an = 3 n1

เน่ืองจาก 3 n1 > 0 และ 3 n

1 3 1n

1

ทุกค่า n ที่เป็นจ านวนนับ

และ 3n n

1lim

= 0 ดังนั้น

1n3

n

n

)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า

ดังนั้นช่วงของการลู่เข้าของอนุกรม

1n3

nn

n

)3x()1( คือ (2, 4]

2.

0n

n

!n

x

พิจารณา n

1n

n a

alim

=

!n

x

)!1n(

x

limn

1n

n

= 0 ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง

ดังนั้นจากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วน จะไดว่้า

0n

n

!n

x เป็นอนุกรมลู่

เข้า ส าหรับทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง นั่นคือ รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ และช่วงของการลู่เข้า คือ (– , )

3.

0n

nn )2x(!n)1(

พิจารณา n

1n

n a

alim

=

nn

1n1n

n )2x(!n)1(

))2x()!1n()1(lim

= 2x)1n(limn

=

2xเม่ือ

2xเม่ือ0

ดังนั้นจากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วน จะได้ว่า

0n

nn )2x(!n)1( เป็น

อนุกรมลู่เข้าเมื่อ x = 0 ดังนั้น รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ 0 และช่วงของการลู่เข้า = {0}

74

4.

0nn

nn

4

)1x()1(

พิจารณา nn

n|a|lim

= n

n

nn

n|

4

)1x()1(|lim

= 4

1xlim

n

= 4

|1x|

จากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้รากที่ n จะได้ว่า

0nn

nn

4

)1x()1( จะเป็น

อนุกรมลู่เข้า ถ้า 4|1x| < 1 นั่นคือ | x – 1| < 4

ดังนั้น รัศมีการลู่เข้า = 4

จาก | x – 1| < 4 จะได้ว่า – 4 < x – 1 < 4 หรือ – 3 < x < 5 พิจารณาที่ x = – 3

0nn

nn

4

)1x()1( =

0nn

nn

4

)13()1(

=

0nn

nn

4

)4()1(

=

0n

n2)1(

=

0n

1

0n

1 เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะ nn

alim

= 011limn

พิจารณาที่ x = 5

0nn

nn

4

)1x()1( =

0nn

nn

4

)15()1(

=

0n

n

nn

4

4)1(

=

0n

n)1(

0n

n)1( เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะ n

n)1(lim

= หาค่าไม่ได้

ดังนั้น

0nn

nn

4

)1x()1( มีรัศมีการลู่เข้า = 4 และช่วงการลู่เข้า = (– 3, 5)

75

5.5.2 อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series) และอนุกรมแมคลอริน (Maclaurin Series) นิยาม 5.11 ก าหนด f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ ส าหรับทุกช่วงที่รวมจุด a จะ

กล่าวว่า

0n

n)n(

)ax(!n

)a(f = f (a) + f (a) (x – a) + 2''

)ax(!2

)a(f + … + n

)n(

)ax(!n

)a(f + …

เป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f ที่จุด a และ f (x) =

0n

n)n(

)ax(!n

)a(f

นิยาม 5.12 อนุกรมแมคลอริน ของฟังก์ชัน f คืออนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f ที่จุด 0 นั่นคืออนุกรมแมคลอรินของ f คือ

0n

n)n(

x!n

)0(f = f (0) + f /(0) x + !2

)0(f ''

+ … + n)n(

x!n

)0(f + …

และ f (x) =

0n

n)n(

x!n

)0(f

ตัวอย่าง 5.14 จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ของ f (x) = x1 ที่จุด 3

วิธีท า f (x) = x1 , f (3) =

3

1

f (x) = – 2x1

, f (3) = –23

1

f (x) = 3x2 , f (3) =

33

2

f (x) = – 4x6 , f (3) = –

43

6

…

f n(x) = 1n

n

x

!n)1(

, f n (3) =

1nn

3

!n)1(

เพราะฉะนั้นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน x1 ที่จุด 3 คือ

0n

n)n(

)3x(!n

)a(f =

0n

n1n

n

)3x(3!n

!n)1(

=

0n1n

nn

3

)3x()1(

นั่นคือ x1 =

3

1 – 23

)3x( + 3

2

3

)3x( – ... + 1n

nn

3

)3x()1(

76

ตัวอย่าง 5.15 จงหาอนุกรมแมคลอริน ของฟังก์ชันต่อไปนี้

1. f (x) = sin x

2. f (x) = ex

วิธีท า 1. f (x) = sin x, f (0) = 0 f (x) = cos x, f(0) = 1 f (x) = – sin x, f (0) = 0 f (x) = –cos x, f (0) = –1

…

และจะได้ว่า f (2n)(x) = (–1) nsin x, f (2n)(0) = 0

f (2n + 1)(x) = (–1) ncos x, f (2n + 1)(0) = (–1) n

ดังนั้นอนุกรมแมคลอรินของ sin x คือ

0n

n)n(

x!n

)0(f = x – !3x3

+ !5x5

– … +)!1n2(

x)1( 1n2n

+ …

หรือ sin x = x – !3x3

+ !5x5

– … –)!1n2(

x)1( 1n2n

– …

2. f (x) = e x

f (x) = e x, f (0) = 1

f (x) = e x, f (0) = 1

f (x) = e x, f (0) = 1 …

f (n)(x) = e x, f (n)(0) = 1

ดังนั้นอนุกรมแมคลอรินของ e x คือ

0n

n)n(

x!n

)0(f =

0n

nx!n

1

= 1 + x + !2

x2+

!3

x3

+… + !n

xn + …

นั่นคือ e x = 1 + x + !2

x2+

!3

x3

+ … + !n

xn + …

77

แบบฝึกหัด 1. จงพิจารณาว่า ล าดับ {an} ต่อไปนี้เป็นล าดับลู่เข้าหรือลู่ออก

1.1

n

n)1( 1.2 {4}

1.3

n3

3n4 1.4

n7

5n2 2

1.5

7n4

n

3

2

1.6

n

3

3

n

1.7

n5

n4 1.8

nnn2

2. จงหาผลบวก n เทอมของอนุกรมต่อไปนี้ แล้วพิจารณาว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก

2.1 ln3

2 + ln4

3 + ln5

4 + … + ln2n

)1n(

+ …

2.2 53

1

+

75

1

+

97

1

+ … +

)3n2)(1n2(

1

+ …

3. จงพิจารณาว่าอนุกรม

1nna ต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก

3.1

1n n5

2n3 3.2

1n2 4n5

3n4

3.3

1n

2

1n4

7n5 3.4

1n

2

1n4

1n4n

3.5

1nn2

n3 3.6

1n )!1n(

n4

3.7

1n nln

n 3.8

1nn2

nln

4. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ว่าถูกหรือผิด ถ้าถูกให้พิสูจน์หรือให้เหตุผลประกอบ ถ้าผิดให้ยกตัวอย่างขัดแย้ง

4.1 ถ้าล าดับ {an} เป็นล าดับลู่เข้า แล้วอนุกรม

1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า

4.2 ถ้าล าดับ {an} เป็นล าดับลู่ออก แล้วอนุกรม

1nna เป็นอนุกรมลู่ออก

78

5. จงพิจารณาอนุกรมสลับต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ หรืออย่างมีเงื่อนไข หรือลู่ออก

5.1

1n

7n)1( 5.2

1n 1n

41n)1(

5.3

1n2

2n

n4

7n3)1( 5.4

1n

1n

)!1n(

1)1(

6. จงหารัศมีการลู่เข้า และช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมก าลังต่อไปนี้

6.1

1nn4

nx 6.2

1n n

n)3x(

6.3

1n2n

n)1x(n)1( 6.4

1n !n

n)1x(1n)1(

7. จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน cosx ที่จุด x =

8. จงหาอนุกรมแมคลอรินของฟังก์ชัน cosx