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Série de Fourier. As séries trigonométricas infinitas formadas por seno e/ou co-seno são chamadas séries de Fourier. Seja a série na forma. - PowerPoint PPT Presentation
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Série de FourierAs séries trigonométricas infinitas formadas por seno e/ou co-seno são chamadas séries de Fourier.
Seja a série na forma ).sen()cos((2 1
0
L
xmb
L
xma
amm m
No conjunto de pontos onde ela converge, ela define uma função f, cujos valores em cada ponto x é a soma da série para aquele valor de x. Dizemos então que esta série é a série de Fourier de f.
Periodicidade das funções seno e co-seno.
Uma função é dita periódica com período T > 0 se o domínio de f contém (x+T) sempre que contiver x e se f(x+T) = f (x) para todo x.
Nota-se claramente que, se T (período fundamental) é um período de f, então 2T também o é como qualquer múltiplo inteiro de T. Em particular, as funções
sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ..., são periódicas com período fundamental T = (2L / m).
Ortogonalidade das funções sen e co-seno
Duas funções u e v são ditas ortogonais em x se seu produto interno é nulo, isto é, se
0)()( dxxvxu
As funções sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...
formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo
-L x L. Senão vejamos
nmsedxL
xn
L
xm
nmseL
L
L
0cos.cos
nmse
nmseL
L
Ldx
L
xn
L
xm 0)sen(.)sen(
.,,0)sen(.)cos( nmtodoparadxL
xn
L
xmL
L
Supondo que uma série da forma
).2
sen()2
cos(2
)(1
0 xmb
xma
axf mm m
converge. E considerando as propriedades de ortogonalidade vistas, temos que os coeficientes an e bn são dados por
...2,1,0,)cos()(1
ndxL
xnxf
La
L
Ln
...2,1,)sen()(1
ndxL
xnxf
Lb
L
Ln
Exemplo: Seja
),3
sen()3
cos(2
)(1
0 xnb
xna
axf nm n
e suponha que f (x+6) = f (x). Encontre os coeficientes da série de Fourier de f.
Como f tem período 6, segue que L = 3. Então a série de Fourier de f tem a forma
31,0
11,1
13,0
)(
x
x
x
xf
onde os coeficientes an e bn são dados por
3
2
3
1)(
3
1 1
1
3
30 dxdxxfa
,2,1),3
sen(3
2)
3cos(
3
1 1
1 n
ndx
xnan
Similarmente,
,2,1,0)3
sen(3
1 1
1 ndx
xnbn
Logo a série de Fourier de f é
),3
sen()2
)(3
cos((3
1)(
1
xn
n
xnxf
n
)]3
sen()3
[cos(2
3
1)(
xxxf
Funções pares e ímpares:
Analiticamente, f é uma função par se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f (x) = f (-x) para cada x do domínio de f.
Analogamente, f é uma função ímpar se seu domínio contém –x sempre que contiver x e se f (-x) = - f (x) para cada x no domínio de f.
Exemplos:
Funções pares : 1, x2, cos(nx), |x| e x2n.
Funções ímpares: x, x3, sem(nx) e x2n+1.
A maioria das funções não é par nem ímpar. Por exemplo ex.
A função identicamente nula é ímpar e par ao mesmo tempo.
Propriedades elementares:
a) A soma (diferença) e o produto (quociente) de duas funções pares é par.
b) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar; o produto (quociente) de duas funções ímpares é par.
c) A soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é par nem ímpar; o produto (quociente) é ímpar.
d) Se f é uma função par, entãodxxfdxxf
LL
L 0
)(2)(
0)( dxxfL
L
e) Se f é uma função ímpar, então
Como consequência das propriedades d e e, os coeficientes de Fourier de f são dados por (caso em co-seno, par)
...2,1,0,)cos()(2
0 ndx
L
xnxf
La
L
n
bn = 0, n = 1, 2, . . .
Logo ).cos(2
)(1
0
L
xna
axf
n n
e no caso em senos, ímpar, temos:
an = 0, n = 0, 1, 2, . . .
...2,1,)sen()(2
0 ndx
L
xnxf
Lb
L
n
E a série é dada por
).sen()(1 L
xnbxf
n n
Equação do calor
A equação do calor tem a forma
2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0
Onde 2 é uma constante conhecida como difusividade térmica. O parâmetro 2 depende, apenas, do material do qual é feita a peça e é definida por 2 = k / s, onde k é a condutibilidade térmica, é a densidade e s é o calor específico do material utilizado. As unidades de 2
(comprimento)2 / tempo.
Alguns valores de difusividade térmica.
Material 2 (cm2 / s)
Prata 1,71
Cobre 1,14
Alumínio 0,86
Água 0,00144
O problema fundamental de condução de calor é encontrar u(x, t) que satisfaz a equação diferencial
2uxx = ut, 0 < x < t, t > 0, a condição inicial
u(x,0) = f(x), 0 x L quando t = 0 e as condições de contorno u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t > 0.
A equação de onda
A equação da onda é dada por 2uxx = utt, 0 < x < L, t > 0.
O coeficiente constate 2 é dado por 2 = T / onde T é a tensão na corda e é a massa por unidade de comprimento do material da corda. Assim, a unidade de é comprimento / tempo.
Supondo-se que as extremidades permanecem fixas, logo as condições de contorno são u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t 0.
Como a equação é de segunda ordem em t, é razoável ter 2 condições iniciais.
u(x, 0) = f(x), 0 x L e a velocidade inicial
ut(x, 0) = g(x), 0 x L, onde f e g são funções dadas.
Para a consistência da equação, faz necessário supor que
f(0) = f(L) = 0 e g(0) = g(L) = 0.
Equação de Laplace
Em duas dimensões, a equação de Laplace, que tem inúmeras aplicações, é uxx + uyy = 0, e tem três dimensões.
uxx + uyy + uzz = 0.
Por exemplo, em um problema de calor a duas dimensões espaciais, a temperatura u(x, y, t) tem que satisfazer a equação 2 (uxx+ yxx) = ut, onde 2 é a difusividade térmica. O problema de encontrar uma solução da equação de Laplace com valores dados na fronteira é conhecido como um problema de Dirichilet.