Serie de Fourier Convergencia puntual

Serie de FourierConvergencia puntual

Nicolas Saintier

(Univ. Buenos Aires - Argentina)

16 de abril de 2020

N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 1 / 19

Convergencia puntual: no es trivial !

En general el problema de saber si la serie de Fourier de una funcion

converge puntualmente hacia ella no es un problema trivial como lo

muestra el siguiente resultado negativo de Du Bois-Raymond (≈ 1870)

(que admitimos)

Teorema

Existe una funcion continua en R y periodica tal que sus sumas parciales de

Fourier en 0 divergen:

lımN→+∞

|SN(0)| = +∞

Prueba: una prueba posible usa el teo de Banach-Steinhaus, otra es constructiva (ver

por ejemplo Korner `Fourier Series' �18. Ambas usan el nucleo de Dirichlet que vamos a

a ver mas adelante.

Luego para asegurar que Sn(u)→ u puntualmente, deberemos pedir algo

mas que la continuidad.


Convergencia puntual: Teorema de Fejer

Un primer resultado es el Teorema de Fejer acerca de la convergencia de

σNu =1

N(S0u + S1u + ...+ SN−1u)

Por que habria una relacion entre la convergencia de σNu y la de SNu ?

Si (xn)n ⊂ N converge a l entonces 1

N (x1 + ..+ xN)N→+∞−→ l (ejercicio)

Teorema

Sea u : R→ R T -periodica.

1) si u ∈ C (R) entonces σnu → u uniformemente en [0,T ].2) si u ∈ Lp(0,T ), p ≥ 1, entonces σNu → u en Lp(0,T ).

La prueba de este resultado consiste en reescribir σNu como la convolucion

de u con una funcion, el nucleo de Fejer. El teorema sera una consecuencia

sencilla de las buenas propiedades del nucleo.

A partir de ahora tomamos siempre T = 2π.N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 3 / 19

El nucleos de Dirichlet

La convolucion de las funciones 2π-periodica f , g es la funcion 2π-periodica

f ∗ g(t) =1

2π

∫ π

−πf (s)g(t − s) ds

Se pueden esribir las sumas de Fourier parciales de una funcion

2π-periodica u como (apunte p16 con l = π)

SNu = DN ∗ u

donde DN es el nucleo de Dirichlet

DN(x) =sin((N + 1

2)x)

sin( x2

)=

N∑n=−N

e inx .

Veri�ca

1

2π

∫ π

−πDN(t)dt = 1 y

∫ π

−π|DN(t)|dt

N�1

≈ Cste. ln(N). (1)

Prueba: apunte p16 con l = π)


Gra�co de DN , N = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 20


El nucleo de Fejer

Como Snu = u ∗ Dn, tenemos

σNu =1

N(D0 + ..+ DN−1) = u ∗ KN

donde KN es el nucleo de Fejer:

KN =1

N(D0 + D1 + ...+ DN−1) (2)

Gra�co de KN para N = 3, 6, 20.


Proposición

1) KN(x) = 1

N

(sin Nx

2sin x

2

)2=∑N

n=−N

(1− |n|N

)en donde en(t) := e int ,

2) σNu =∑N

n=−N

(1− |n|N

)cn(u)en donde cn(u) =

∫ π−π u(t)e−int dt

2π ,

3) 1

2π

∫ π−π KN(t)dt = 1

4) dado δ ∈ (0, π),∫δ≤|x |≤π KN(x)dx

N→+∞−→ 0

Prueba: 3) sale de (2) y (1). Para 4), como sin x2≥ sin δ

2, x ∈ [δ, π], tenemos∫

δ≤|x|≤πKN(x)dx =

2

N

∫ π

δ

( sin Nx2

sin x2

)2dx ≤ 2

N

∫ π

δ

( 1

sin δ2

)2dx = Cste/N → 0

Para 1),

N−1∑n=0

e i(n+1/2)x = e ix2

e iNx − 1

e ix − 1= e i

Nx2

e iNx/2 − e−iNx/2

e ix/2 − e−ix/2= e i

Nx2

sin Nx2

sin x2

Luego

sinx

2

N−1∑n=0

Dn = Im( N−1∑

n=0

e i(n+1/2)x)=

(sin Nx

2

)2sin x

2


Prueba del teo de Fejer (1)

σNu(x)− u(x) =

∫ π

−πu(x − y)KN(y)

dy

2π− u(x)

∫ π

−πKN(y)

dy

2π︸︷︷︸=1

=

∫ π

−π

(u(x − y)− u(x)

)KN(y)

dy

2π(3)

Si u ∈ C (R) es periodica entonces u es acotada y unif. cont.. Luego dado

ε > 0 existe δ > 0 tal que

|u(x − y)− u(x)| < ε para todo x ∈ R e |y | < δ

Entonces

|σNu(x)− u(x)| ≤∫δ≤|y |≤π

|u(x − y)− u(x)|KN(y)dy

2π︸︷︷︸2‖u‖∞

∫δ≤|y|≤π KN(y)

dy2π

+

∫|y |<δ

....︸︷︷︸≤ε

∫ π−π KN(y)

dy2π

=ε


Prueba del teo de Fejer (2)

Luego

‖σNu − u‖∞ ≤ 2‖u‖∞∫δ≤|y |≤π

KN(y)dy

2π+ ε

por lo que lım supN→+∞ ‖σNu − u‖∞ ≤ ε para todo ε > 0. Listo !

Ahora si u ∈ Lp(−π, π) usando Holder en (3),

|σNu(x)− u(x)|p ≤∫ π

−π

∣∣∣u(x − y)− u(x)∣∣∣pKN(y)

dy

2π.

Integrando en x ,

‖σNu − u‖pp ≤∫ π

−π

{∫ π

−π

∣∣∣ u(x − y)︸︷︷︸τyu(x)

−u(x)∣∣∣p dx2π

}KN(y)

dy

2π

=

∫ π

−π‖τyu − u‖ppKN(y)

dy

2π

Como ‖τyu − u‖ppy→0−→ 0 concluimos con el mismo razonamiento que antes.


Teorema (Consecuencias del Teo de Fejer)

1) Sea u ∈ C (R) periodica tal que∑

n |an(u)|+ |bn(u)| <∞. Entonces

SNu → u unif en R.

2) Dos funciones u, v ∈ L1(0,T ) son iguales ctp ssi tienen los mismos coef

de Fourier. En particular u = 0 ssi su coef de Fourier son 0.

3){

1√2, cos(nωt), sin(nωt) n ∈ N

}es una base de L2(0, 2π).

Prueba:1) Como

∑n |an(u)|+ |bn(u)| <∞, SNu converge unif a una funcion v ∈ C(R). An

particular SNu(x)→ v(x) ∀ x ∈ R. Luego σNu(x)→ v(x) (ejercicio). Por otro ladoσNu → u unif. Entonces u = v ySNu converge unif a u. Listo.2) Si u, v tienen los mismos coef de Fourier i.e.

cn(u) =

∫ π

−πu(t)e−int dt

2π=

∫ π

−πv(t)e−int dt

2π= cn(v) ∀ n,

entonces σnu = σnv por Prop. 1. Por otro lado σNu → u y σNv → v in L1. Listo.

3) Sea u ∈ L2(0, 2π) ortgonal a{

1√2, cos(nωt), sin(nωt) n ∈ N

}. Entonces los coef

de Fourier de u son 0 o sea u = 0 por 2).


El Teorema de Dirichlet - apunte Teo 3.3.6 p17

Teorema

Sea u ∈ L1(−L, L) y x0 ∈ (−L, L). Si∫ L

−L

∣∣∣u(x0 + t)− u(x0)

t

∣∣∣ dt <∞ Condicion de Dini (4)

entonces SNu(x0)→ u(x0).

La condicion de Dini vale si por ejemplo

(i) u es derivable en x0, o(ii) u es Holder continua alrededor de x0 (i.e. existen C > 0 y γ ∈ (0, 1) tq

|u(x)− u(y)| ≤ C |x − y |γ para x , y en un entorno de x0)


Prueba

Como∫ π−π DN(y) dy

2π = 1, tenemos

(u ∗ DN)(x0)− u(x0) =

∫ π

−π[u(x0 − y)− u(x0)]DN(y)

dy

2π

=

∫ π

−πh(y) sin((N +

1

2)y)

dy

2π

con

h(y) :=u(x0 − y)− u(x0)

sin y2

Como sin y2∼ y

2cuando y ∼ 0, La condicion de Dini es equivalente a pedir

que h ∈ L1(−π, π). Podemos entonces aplicar el lema de

Riemann-Lebesgue y listo !


Una pequena modi�cacion de la prueba no da un resultado de convergencia

cuando u es discontinua en x0:

Teorema

Sea u ∈ L1(−L, L) 2L-periodica y x0 ∈ [−L, L]. Supongamos que existen

u(x±0

) = lımh→0, h>0 u(x0 ± h) los limite a izquierda y derecha de u en x0.Si ∫ L

0

∣∣∣u(x0 + t)− u(x+0

)

t

∣∣∣+∣∣∣u(x0 − t)− u(x−

0)

t

∣∣∣ dt <∞ (5)

(vale si u es derivable a izquerda y derecha en x0), entonces

SNu(x0)→ 1

2(u(x+

0) + u(x−

0)).


Prueba con L = π.

Es casi la misma prueba que antes. Como DN es par,∫ π

0

DN(y)dy

2π=

1

2

∫ π

−πDN(y)

dy

2π=

1

2.

y

(u ∗ DN)(x0) =

∫ π

−πu(x0 − y)DN(y)

dy

2π=

∫ π

0

...+

∫0

−π

=

∫ π

0

u(x0 − y)DN(y)dy

2π+

∫ π

0

u(x0 + y)DN(y)dy

2π

Luego

(u ∗ DN)(x0)− 1

2(u(x+

0) + u(x−

0))

=

∫ π

0

[u(x0 − y)− u(x−0

)]DN(y)dy

2π+

∫ π

0

[u(x0 + y)− u(x+0

)]DN(y)dy

2π

Terminamos la prueba como antes con el Lema de Riemann-Lebesgue.N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 14 / 19

Convergencia uniforme

Vimos como consecuencia del Teo de Fejer que si u ∈ C (R) periodica es

tal que ∑n

|an(u)|+ |bn(u)| <∞ (6)

entonces SNu → u unif en R.Ya sabemos por el lema de Riemann-Lebesgue que |an(u)|, |bn(u)| n→+∞−→ 0.

Necesitamos condiciones sobre u que aseguren que an(u), bn(u) vaya a 0

rapidamente. Ocurre que

mas regular u, mas rapidamante tienden a 0 sus coef de Fourier;

y reciprocamente.

De hecho usando que si u ∈ C (R) es C 1 a trozos entonces

cn(u′) = inωcn(u)⇐⇒ an(u′) = nωbn(u), bn(u′) = −nωan(u)

integrar por partes en la def de los coef de u′.


se puede probar (ejercicio) que

Proposición

1) si u ∈ C k(R) entonces nkan(u)n→+∞−→ 0 y nkbn(u)

n→+∞−→ 0.

2) Reciprocamente si nk |an(u)|, nk |bn(u)| ≤ C con k ≥ 2 entonces

u ∈ C k−2(R).

Luego

Proposición

Si u ∈ C (R) es C 1 a trozos con u′ ∈ L2(0,T ) entonces vale (6) por lo que

SNu → u unif en R.

Prueba: |an(u)| = 1nω|bn(u′)| ≤ 1

21

n2ω2+ 1

2|bn(u′)|2 con

∑n≥1

1n2<∞ y∑

n≥1 |bn(u′)|2 ≤ ‖u′‖22. Luego

∑n≥1 |bn(u)| <∞. Se ve de la misma manera que∑

n≥1 |an(u)| <∞. Deducimos (6).


Se puede relajar la parte �u es C 1 a trozo� suponiendo que u es

absolutamente continua.

Recuerde que una funcion f es abs.cont. en [a, b] ssi es derivable ctp con

f ′ ∈ L1(a, b) y vale el teo fundamental del analsis

f (x) = f (0) +

∫ x

af ′(t)dt ctp x ∈ [a, b].

Con la misma prueba obtenemos (apunte Teo 3.4.6)

Proposición

Si u ∈ C (R) es abs.cont. en [0,T ] con u′ ∈ L2(0,T ) entonces∑n

|an(u)|+ |bn(u)| <∞

por lo que SNu → u unif en R.


ejemplo

Volvamos al ejemplo de la funcion 2π-periodica de�nida por u(t) = t en

[−π, π). Vimos que su serie de Fourier es

Su(x) = 2∑n≥1

(−1)n+11

nsin(nx)

Como u es derivable en (−π, π), obtenemos que

SNu(x)→ u(x) ∀ x ∈ R\πZ.

Por otro lado en π, u y u′ tienen limites a izquierda y derecha con1

2(u(π+) + u(π−) = 1

2(−π + π) = 0. Ademas como sin(nπ) = 0 vemos que

SNu(π) = 0 para todo n. Entonces vale bien que

SNu(x)→ 1

2(u(π+) + u(π−) ∀ x ∈ πZ

como a�rma el Teo anterior.N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 18 / 19

Unas referencias bibliogra�cas

Ademas del apunte de Julian Fernandez Bonder, recomiendo para las series

y transformada de Fourier el excelente apunte `Lecciones sobre las series y

transformadas de Fourier' de Javier Duoandikoetxea.

Otro libro bueno pero en ingles y mas duro: T.W. Korner, `Fourier Analysis'


https://www.ugr.es/~acanada/docencia/matematicas/analisisdefourier/Duoandikoetxeafourier.pdf

https://www.ugr.es/~acanada/docencia/matematicas/analisisdefourier/Duoandikoetxeafourier.pdf

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