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SERIE INTRODUCTORIA. REPASO DE ALGEBRA .
1.- REDUCCION DE TÉRMINOS SEMEJANTES.
Recuerde que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras con los
mismos exponentes. Ejemplos:
*7m; 5m *8x2; x
2 *6ab
2; 2b
2a
Sólo se pueden reducir aquellos términos que son semejantes y se efectúa sumando o restando
los coeficientes numéricos y manteniendo la misma parte literal.
a) 3x2y– (x2y - 2xy2) + 3x2y Sol. 5x2y + 2xy2
b) 3x + 2y – (x – (x - y) Sol. 3x + 3y
c) – [-(a – 2b) – (a + 2b) – (-a - 3b)] Sol. a – 3b
d) 3x + 2y – {2x – [3x – (2y - 3x) -2x] -y} Sol. 5x + y
e) � �� � � �2� � ��� � ��� � � � �� � �� � �
�� ����� �
�� Sol.
� � � 2� � �
�
f) – {5a –b – [3b- (c – b + 2a) -4a] + c} Sol. -11a + 5b – 2c
g) 3xy – { -(2xy + 4x) + [3y- (-xy + x+ 2xy)]} Sol. 6xy+5x-3y
h) – {a - 2ab + b –[3a + 5ab + 6b –(a - b) + 5]} Sol. a + 7ab - 6b + 5
2.- MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Tips.
� Recuerde la regla de los signos de la multiplicación y las leyes de los exponentes.
� Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica el monomio por cada término
del polinomio.
� Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, cada término de un polinomio se multiplica
por todos y cada uno de los términos del otro polinomio y se reducen términos semejantes.
a) (-4abc) (-3a2b2) (2ab5c7) Sol. 24a4b8c8
b) (2xy2) (4x2y) Sol. 8x3y3
c) (-4/5x2y3z4) (3/8x2y3) Sol. 3/10 x4y6z4
d) (x2yz)(-5x3y2)(-2y3z2) Sol. -5x5y3z -2x2y4z3
e) (m2 + n2- mn) (2m - 3n) Sol. 2m3 – 5m2n + 5mn2- 3n3
f) (3x-1)3 Sol. 27x3 – 27x2 +9x – 1 g) (x2 +2x -2)2 Sol. x4 + 4x3- 8x + 4
h) –(x + y) -2(-3x-3y) + y(x-3) - (-3y) + x(y-1) Sol. 4x + 5y + 2xy
i) {-(a + b) - [2a(3a - 2b)] - (a2 - a) + b} – a(a+b) Sol. -8a2 + 3ab
Juan Inclán Rico 2
3.- PRODUCTOS NOTABLES
Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que pueden ser desarrollados
directamente sin necesidad de efectuar toda la operación.
a) Cuadrado de un binomio
(a + b)2 = a
2 + 2ab + b
2 (a - b)
2 = a
2 - 2ab + b
2
b) Diferencia de Cuadrados (a + b) (a – b) = a2 – b
2
Suma de Cubos (a + b)(a2 – ab + b
2) = a
3 + b
3
Diferencia de Cubos (a - b )( a2+ ab + b
2 ) = a
3 - b
3
c) Cubo de un binomio
(a + b)3 = a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3 (a - b)
3 = a
3 - 3a
2b + 3ab
2 - b
3
d) Producto de binomios con término común
(x + a) (x + b) = x2 + x(a+b) + ab
a) (a – 5) (a + 11) Sol. No se proporciona. f) (b2 + 1/4) (b2 – ½)
b) (7x - 2/3)(7x + 2/3) g) (2b2 + 3c4)2
c) (2x2 – 1)3 h) (5y – π)2
d) ��
� � ��
� � i) (am – bn)3
e) (√2 + y) (√2 – y) j) (√3a2 + √2b2) (√3a2 - √2b2)
4.- DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Tips.
� Se utilizan las reglas de la división de signos y algunas leyes de los exponentes.
� Al dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el
monomio, uno a la vez.
� Para dividir dos polinomios; ambos se colocan en orden decreciente (de mayor a menor
exponente) con respecto a una variable; si falta algún término en los polinomios se
sustituyen por cero
� Se aplica un algoritmo similar al utilizado en la división de números naturales.
a) �� � �� �� �� �� Sol.
�� � ��� ��
b) !� "# $%&� !� "� $� Sol.
"� $��
Juan Inclán Rico 3
c) �����' ����������
�������� Sol. � ������ �
������ �
������
d) ��� ������ � �#���#' � �(�(
�� ���� Sol. 8xy + 12 x3y5w4 - 9x2w3
e) �!�"�� !�"�' !�"�
�!�" Sol. "�� � �!"
�
� + 2a2b4
f) (x2 + 7x + 10) / (x + 2) Sol. x + 5
g) (8x3 – y3) / (2x – y) Sol. 4x2 + 2xy + y2
h) (3x4 +4x3 – 32x2 - 5x – 20) / (3x3 - 8x2 – 5) Sol. x + 4
i) (-5a4b - 7a3b2 – 4a2b3 – 7ab4 – 5b5) / (a2 + 2ab +b2) Sol. -5a2b + 3ab2 -5b3
5.- DIVISION SINTETICA Es una forma abreviada de efectuar la división entre dos polinomios, la condición es que el
divisor debe de ser un binomio de la forma x - a donde a es un número positivo o negativo.
Para efectuar este tipo de divisiones se debe considerar lo siguiente:
� Ambos polinomios (dividendo y divisor) deben estar ordenados en forma decreciente (de
mayor a menor exponente) con respecto a una variable y si falta un término en los
polinomios éste se sustituye por cero.
� Se extraen los coeficientes numéricos de cada término de los polinomios.
� Para comenzar a dividir se baja el primer número, se multiplica por el divisor y se suma
con el siguiente número y asi sucesivamente como se ilustra en el ejemplo:
(2x3 – 9x2 +7x + 6) / (x – 3)
dividendo
2 -9 7 6 Sol. 2x2 -3x -2
divisor 6 -9 -6
3| 2 -3 -2 0 residuo
Cociente
Resolver por división sintética.
a) (2x3 +5x2 +10x -8) / (x+3) sol. 2x2 –x +13 - �)�'�
b) (x3 – 125) / (x – 5) sol. x2 +5x +25
c) (2y3 +8y2 -17y +10) / (y + 6) sol. 2y2 -4y +7 - ���'
d) (x5 +5x4 +3x3 +2x2 +8x +8) / (x + 3) sol. x4 +2x3 -3x2 +11x -25 + ��'�
e) (3y2 – 12) / (y - 2) sol. 3y + 6
6.- LEYES DE LOS EXPONENTES Recuerde las leyes de los exponentes
Ley Ejemplo
x1 = x 61 = 6
x0 = 1, x
x-1 = 1/x
xmxn = xm+n
xm/xn = xm-n
(xm)n = xmn
(xy)n = xn
(x/y)n = xn/yn
x-n = 1/xn
Realice las operaciones y exprese el resultado en exponentes
a) x7 / x3 = _____________ f) (2x/3)
b) x-3 x2 x4 = ____________ g) (x
c) (x-3)-2 = ______________ h) (
d) (3x4)-2 = _____________ i) (
e) 3(x4)-2 = _____________
k)
m)
ñ) Sol.
p) y3b + 2 ( y2b + 4)2 Sol. y7b + 10
7.- LEYES DE LOS RADICALES significa = a y
Definiciòn de Raìz N−èsima:
Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz n
PROPIEDADES DE LAS RAICES NESIMAS:
1.
2.
3.
4. si n es impar
5. si n es par
Juan Inclán Rico
, x 70 = 1
4-1 = 1/4
m+n x2x3 = x2+3 = x
x4/x2 = x4-2 = x
mn (x2)3 = x2×3 = x
nyn (xy)3 = x3y
(x/y)2 = x2 / y
x-3 = 1/x3
Realice las operaciones y exprese el resultado en exponentes positivos.
____ f) (2x/3)-2 = _____________
___ g) (x2/y)-3 = _____________
____ h) (-2xy-2)3= _____________
__ i) ( ) = _______________
_ j) (-3x-2y3z-4)-2= ___________
l)
n)
o)
7b + 10 q)
LEYES DE LOS RADICALES y se lee como “raíz cuadrada positiva de
Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz n-èsima principal de a se define como
y si n es par, se tiene que
PROPIEDADES DE LAS RAICES NESIMAS:
es impar
es par
Juan Inclán Rico 4
= x5
= x2
= x6
y3
/ y2
3
= _____________
= _____________
_____________
) = _______________
= ___________
raíz cuadrada positiva de a” ······
èsima principal de a se define como
Definición de los exponentes racionales
Para cualquier exponente racional
son enteros y , se define
O equivalentemente,
Y si n es par, se requiere que
De acuerdo a esta definición, las leyes de los exponentes también son válidas p
exponentes racionales
Simplificar los siguientes radicales
_________________
2) __________________
3) __________________
4) _________________
5) Reducir radicales semejantes.
Juan Inclán Rico
Definición de los exponentes racionales
Para cualquier exponente racional expresado en su forma más simplificada, donde
, se define
Y si n es par, se requiere que
De acuerdo a esta definición, las leyes de los exponentes también son válidas p
Simplificar los siguientes radicales:
¿ 6) ____________________
__________________ 7) _____________________
__________________ 8) ______________________
_________________ 9) ____________________
10) ____________________Reducir radicales semejantes.
Juan Inclán Rico 5
expresado en su forma más simplificada, donde m y n
De acuerdo a esta definición, las leyes de los exponentes también son válidas para los
____________________
_____________________
______________________
____________________
____________________
Juan Inclán Rico
Juan Inclán Rico 6
Factorización de trinomios de la forma ax
Factorize las expresiones siguientes:
Juan Inclán Rico
Factorización de trinomios de la forma ax2 +bx + c = 0
siguientes:
Juan Inclán Rico 7
Completar un Trinomio Cuadrado Perfecto. En muchas ocasiones es necesario este procedimiento. El método a seguir depende del
término que falte. Practiqué completando los siguientes trinomios.
a) 9x2 + ___ + 16b4
b) x6 – 6b2x3 + ____ e) 4a
c) ___ + 2x3y3 + x6
9.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita basta con despejar el término
independiente. Practique con las siguientes ecuaciones. Recuerde las técnicas repasadas
anteriormente.
Juan Inclán Rico
Completar un Trinomio Cuadrado Perfecto. En muchas ocasiones es necesario este procedimiento. El método a seguir depende del
término que falte. Practiqué completando los siguientes trinomios. 4 d) ____ + 20b6c3 + 4c6
+ ____ e) 4a2 + 4a + ____
f) x6 + _____ + 4y4
IÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita basta con despejar el término
independiente. Practique con las siguientes ecuaciones. Recuerde las técnicas repasadas
Juan Inclán Rico 8
En muchas ocasiones es necesario este procedimiento. El método a seguir depende del
IÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita basta con despejar el término
independiente. Practique con las siguientes ecuaciones. Recuerde las técnicas repasadas
10.- RESOLUCION DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.
Juan Inclán Rico
RESOLUCION DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.
Juan Inclán Rico 9
RESOLUCION DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.
10.- RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOEcuaciones de segundo grado incompletas.
*De la forma ax2 + bx = 0
� Una de sus raíces siempre es cero.
� Para resolverla se factoriza, utilizando a
cada factor a cero y se despeja la
* De la forma ax2 + c = 0
� Sus soluciones son el mismo número pero de signo contrario (uno positivo y uno
negativo)
� Para resolverla se despeja a la x utilizando el doble signo de la raíz.
Ecuaciones de segundo grado completas.
Ax2 + bx + c= 0 Estas se pueden resolver de tres maneras:
� Factorización
� Completando el trinomio cuadrado perfecto
� Fórmula general
Por factorización. Se factoriza la ecuación, cada factor se iguala a cero y se despeja la x.
Practiqué con los siguientes ejercicios.
Juan Inclán Rico
RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ciones de segundo grado incompletas.
Una de sus raíces siempre es cero.
Para resolverla se factoriza, utilizando a x como factor común x(ax +b) = 0
cada factor a cero y se despeja la x.
Sus soluciones son el mismo número pero de signo contrario (uno positivo y uno
resolverla se despeja a la x utilizando el doble signo de la raíz.
Ecuaciones de segundo grado completas.
+ bx + c= 0 Estas se pueden resolver de tres maneras:
Completando el trinomio cuadrado perfecto
Se factoriza la ecuación, cada factor se iguala a cero y se despeja la x.
Practiqué con los siguientes ejercicios.
Juan Inclán Rico 10
x(ax +b) = 0. Se iguala
Sus soluciones son el mismo número pero de signo contrario (uno positivo y uno
resolverla se despeja a la x utilizando el doble signo de la raíz.
Se factoriza la ecuación, cada factor se iguala a cero y se despeja la x.
Por el método de completar cuadrados: un trinomio cuadrado perfecto s
Por fórmula general.
Donde a: Coeficiente del término cuadrático
b: Coeficiente del término lineal
c: Término independiente
La expresión dentro del radical se conoce
sobre la naturaleza de las soluciones o raíces de la ecuación.
� Si b2 – 4ac > 0 la ec. de segundo grado tiene dos soluciones reales
� Si b2 – 4ac = 0 la ec. de segundo grado tiene una solución real y una imagi
� Si b2 – 4ac < 0 la ec. de segundo grado tiene dos soluciones imaginarias.
Juan Inclán Rico
Por el método de completar cuadrados: Se suma o resta el término faltante para completar
un trinomio cuadrado perfecto sin alterar la ecuación original.
Donde a: Coeficiente del término cuadrático
b: Coeficiente del término lineal
c: Término independiente
La expresión dentro del radical se conoce como el discrimante b2 – 4ac y nos da información
sobre la naturaleza de las soluciones o raíces de la ecuación.
4ac > 0 la ec. de segundo grado tiene dos soluciones reales
4ac = 0 la ec. de segundo grado tiene una solución real y una imagi
4ac < 0 la ec. de segundo grado tiene dos soluciones imaginarias.
Juan Inclán Rico 11
Se suma o resta el término faltante para completar
4ac y nos da información
4ac > 0 la ec. de segundo grado tiene dos soluciones reales
4ac = 0 la ec. de segundo grado tiene una solución real y una imaginaria
4ac < 0 la ec. de segundo grado tiene dos soluciones imaginarias.
