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MI ISTER I Q DE CU LTURA DE LA N ltCION
y EQUCACION DIRECCION NACI ONA L DE IN VESTIGACION EX PE RIM ENTACION y P E R F EC CIONAMIENTO EDUCATIVO
PROYECTO MULTINACIONAL PARA EL MEJORAMIENTO ~~- _~_~_W
DE LA ENSENtildeANZA DE LAS CIENCAS OEA f
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I Serie Matemaacutetica c iexcl~_J
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Nuevas tendencias en las aplicaciones de la Matemaacutetica
(S~p11Jta (ji- La (1iexcl)lICaClorlt~$ el) la enSCiexcl~13n]
y c~i aprpndzaje dIacute 1H jiexclj(llBnaacutetlC1 0 r ~ lA hCUF~
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qUDyl 8 al 11 de yoslO 1 19741
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A ( bull BU ENOS AIRES
Febre(o 1977
Ministro Prof RiCllTdo P BnIenz
Secretario de Estado de Educacioacuten eontrtJlUacutemi1l1Jlte (RE) EnriqUJ1 L Om-llJIZa
Subsecretario de Estado de Educ3lli6n Prof Benitio e A ViIJa110eal
DIRECaONNACIONAL DE INVESl1GACION EXPERlMENTACION y PERFECCIONAMIENTO EDUC411VO (D L E P E)
tIimtor Dr Bnmo L Ctupinetl
Directon del Proyecto Multinacional pan el Mejoramiento de la Enaml de las Ciencias
hIsp Mtbel Stok1e
ORGANIZACION DE LOS ESTADOS AMEIUCANOS
PROGRAMA REGIONAL DE DESARROLLO EDUC411VO
DireclOt del Departamento de Asuntos Educativos Dr Hugo Albornoz
Divisi6n Dewrollo del Cutriacuteeulum Dr Ovidio De UacuteOacuterl
EsiexclIacuteecialista del Depattamento de Asunto Educativos en la Repuacuteblica Atpntina
DroInls C de 14_ich
NUEVAS TENDENCIAS EN LAS APLICAClOOES DE LA MATEMATICA
1 LIsrA DE TOPlCOS
Una de las caracteriacutesticas de la matemaacutetica del uacuteltil1lo cuarto de siglo
ha sido el gran aumento en extensi6n de su campo de acci6h~ MJchas disshy
ciplinas COOlO la economiacutea la psicologiacutea y la mayoriacutea de laS ciencias nashy
turales que antes usaban poco la matemaacutetica o por lo menos su uso estaba
restringido a algunos de sus capiacutetulos especiales actualmente la usan COlllO
herramienta comuacuten Esto ocurre en todos los niveles de la matemaacutetica En el
caso de la matemaacutetica de la escuela secundaria sin apenas modificar su conshy
tenido caben rruevas aplicaciones que permiten darle mayor actualidad y IOOSshy
trar en aspectos muy variados la eficacia de sus meacutetodos
Por otra parte los avances en la sistematizaci6n yen la metodologiacutea
han hecho posible que t emas antes considerados COOlO exclusivos de la mateshy
maacutetica de nivel terciario puedan actualmente darse a nivel secundario lo
cual permite incrementar notabl emente por disponer de maacutes medios el campo
de las aplicaciones
Sin pretender que sea completa se puede sentildealar la siguiente lista de
temas propicio para las aplicaciones de la matemaacutetica al nivel secundariacutea
En cada tema es posible encontrar abundantes ejemplos tanto para motivar
la ensentildeanza de ciertos t6picos COlllO para ejercitar los conocimientos adshy
quiridos
- Matemaacutetica comercial Nociones de matemaacutetica financiera y actuarial
- Caacutelculo numeacuterico Nociones de caacutelculo graacutefico y IOOnograacutefiacuteco
- Aplicaciones georneacutetriacutecas y trigomeacutetricas
- Aplicaciones de los elementos de la teoriacutea de funciones reales
- Algebra lineal Nociones de caacutelculo matricial
- Programacioacuten lineal Matrices de produccioacuten Programaci6n dinaacutemica
- Teoriacutea de los juegos
- Investigaci6n operativa
- Teoriacutea de Grafos y aplicaciones a problemas de transporte o fluJo
y a geneacutetica
-1shy
- Criptografiacutea - Teoriacutea de la informacioacuten - Sinulaci6n - Matrices de deci si6n
Es evidente que algunos de estos temas son muy generales y se refieren a extensas teoriacuteas Se ha querido indicar uacutenicamente~ que ios fundamentos esenciales y algunos ejemplos muy simples caben al nivel de la ensentildeanza secundaria sin pretensiones de desarrollar ni tan solo superficialmente la teoriacutea general
Los cuatro primeros temas seiacuteialados en la lista precedente son los maacutes conocidos y tradicionales No hace falta dar ejemplos de ellos por ser bien conocidos de los docentes y encontrarse en abundancia en la mayoriacutea de los textos escolares Unicamente puede ser uacutetil indicar brevemente algunos demiddot los puntos que comprenden para mejor middotdar idea de su contenido
Matemaacutetica comercial Porcentajes Intereacutes Descuento (no middotolvidar la tashysa de inflacioacuten) Repartos proporcionales Mezclas Rentas Empreacutestitos
Seguros Tablas de mortalidad
Caacutelculo rrumeacutericO Sentido de la aproximaci6n Errores absolutoy relatiacuteshyv~ Caacutelculo middotcon nuacutemeros aproximados Resolucioacuten graacutefica de ecuacione~ e inecuaciones Determinaci6n de leyes empiacutericas Resoluci6n numeacuterica de ecuashyciones uso de calculadoras de mesa o de bolsillo Uso de tablas
Aplicaciones geomeacutetricas y trigomeacutetricas Construcciones graacuteficas Dibushyjo decorativo buacutesqueda de simetriacuteas Grupos de transformaciones que dejan invariante un triaacutengulo cuadrado cubo o tetraedro Transformaciones lishyneales y matrices correspondientes Trigonometriacutea praacutectica caacutelculo de disshytancias y aacutengulos sobre el terreno Problemas de persecucioacuten y encuentro Estaacutetica del s61ido
Aplicaciones de los elementos de la teoriacutea de funciones reales Represenshytaci6n graacutefica y estudio analiacutetico de funciones Crecimiento Maacuteximos y miacute-middot nimos Curvatura Cinemaacutetica del punto Caiacuteda de los cuerpos proyectiles Movimientos ann6nicos Caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes
En cuanto a los restantes toacutepicos de la lista anterior que son maacutes noshyvedosos se formulan a continuaci6n unos cuantos ejemplos Siempre a nivel secundario con la finalidad de ilustrarlos pudiendo cada profesor elaborar
-2shy
situaciones anaacutelogas a l as mostradas auxiliaacutendose en todo caso de la Bibl i oshygrafiacutea mencionada al final
Es muy importante destacar que tanto l os temas expuestos cOmo loacutes ejemshyplos mencionados a continuacioacuten no deben tomarse de ningunalnanera como teshymaacutes baacutesicos de l os programas e inclui rlos sistemaacuteticamente en ellos sino tan solo como ejanplos entr e otros JJJChos que se podriacutean incluir en el momenshyto que el profesor lo estime opor tuno para interesara la claseoa deter shyminado grupo de alumnos
Una de las dificul tades de la escuela secundaria es la heterogeneidad de los alumnos en cuanto a vocacioacuten capacidad e intereacutes Por esto para cada
alumno o ~po de aacutelumnos conviene elegir las aplicaciones que mejor se adapshyten a su manera de ser
2 EJEMPLOS DE APLICACIONES
1 Radicacioacuten cuadrada La iteracioacuten de ciertas operaciones conduce IIllChas veces a resultados inshy
teresantes en los cuales cabe discutir problemas de convergencia Por otra parte cOn el uso de las actuales computadoras de bolsillo los caacutelculos son faacuteciles e instructivos y muchas veces praacutecticos para llegar a la solucioacuten numeacuterica de ciertos problemas
Vamos a cons iderar el ejanplo del caacutelculo de la raiacutez cuadrada siguiendo a TJ Fl etcher L Algeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEDIC 1972
Partiendo del par (11) calcular los valores sucesivos de (xy) reempla- zando en cada etapa (xy) por (x+2y x+y) Construir entonces la siguiente tabla
x y
x2 y2 x2y2 xy
1 3 7
17 41 99
1
2 S
12 29 70
1 9
49 289
1681 9801
1 4shy
25 144 841
4900
1 225 196 20069 19988 2(X)J2 ~
1 15 14 14167 14138 14143
-3shy
Se observa cano cosa experimental que x2y2 tiende a 2 y middotmiddotpor 1anW que xy tiende a la raiacutez cuadrada de 2 Se desea justificar es~e hecho
Llamando (xn Yn) a los valores de xy despueacutes de n Pasos se t i ene
Xn =xn-l + 2 Yn- l Yn =xn-l + Yn-l de donde
Xn = (Xn-lYn-l) + 2 Yn (xn-lYn-l) + 1
Suponiendo que la sucesioacuten XnYn es convergente y que el liacutemite es L debe ser
L = L + 2 de donde L2 = 2
L + 1
Si se quiere expresar la sucesioacuten (xnYn) en forma de matriz se tiene
(Xn Yn) =(xn-l Yn-l) GJ y de aquiacute empezando para n = 123 bullbull Y llamando A a la watriz del segundo miembro de la igualdad ant erior resulta
Otra manera de obtener la raiacutez cuadrada de un nuacutemero agt O por iteracioacuten es la siguiente Sean Xl x2 las aproximaciones sucesivas Si para Xn el
errores en se tiene
Suponiendo que en es pequentildeo de esta igualdad sed~e que aproximadashymente es en = (a-x~) ~ y por consiguiente podemos tomar como la aproxishymacioacuten siguient e a Xn
Esta es la sucesioacuten recurrente que a parti r de Xl = l permite calcular la cuadrada de a Por ej emplo para a= 2 se obtiene
-4shy
Xl 1 Xz =16 x3 = 1417 x4 = 14142 bullbull bullbull
yparaa =3
xl = 2 = 74 175 1732 bull 1 xz x3 x4
Hay que discutir la convergencia Para ello recordando que la media
aritmeacutetica es siempre igual o mayor que la geomeacutetrica resulta
Xn+1 ~ + ~) iJJ Va (para n 1) bull
Ademaacutes la sucesioacuten x es decreciente pUesto que para n 2 es n shy
=~ - a ~O 2x
n
Las dos desigualdades anteriores aseguran la convergencia
No es difiacutecil y se puede proponer a los alumnos que los busqJen enconshy
trar otros meacutetMos iterativos para calcular la raiacutez cuadrada Basta tomar
una funcioacuten f (x a) tal que la ecuacioacuten x f (xa) tenga por soluci6n la
raiacutez cuadrada de a y entonces tomar ~+l f (~a) Por ejemplo se puede
tomar f =px + qx con pq dos nuacutemeros reales cualesquiera que cumplan la
condicioacuten q (l-p) a
z Aplicaciones de la quiacutemica
Los e16nentos del aacutelgebra lineal permiten ser ejemplificados con claacutesi shy
cos problemas qJe aparecen continuamente en quiacutemica He aquiacute dos ejemplos
Problema de mezclas Una faacutebrica de pintur as dispone para la fiexcliexclbrtcaci6n
de las mismas de dos soluciones de solvente que contienen substancias seshy
lladoras y fijadoras en las siguientes cantidades (expresadas en gramos
por litro)
Sellador Fijador
Solvente 51
Solvente 52
El laboratorio de la faacutebrica descubre un nuevo tipo de pintura que requieshy
re el mismo solventeacute pero tal que contenga a3 gramos de sellador b3 gramos
de fijador por litro de solvente No sier~o separables los selladores y fijashy
-5shy
dores se d(seiexcl ~d ~r si rlezcla)do COlonienenente SI y 5Z puede conseguirshy
se el solvente con las antidades de ~ellltJlor y fij ador establec~daacutes para la
nueViquestiexcl pintura
Atendie1do ~~riacutectaffiente a la cc~sicioacuten en sellador y fijador puede
asociar~e cada $-gtlucieacuten del solvente a un vector de RZ En particular sean Sl(al blL S2(aZbz) El solvente con la nueva compOsicioacuten seraacute un nuevo
vector c~~in3Ci6n lineal de SI y 52 que por la naturaleza del problema deshy
be tener l os coeficicnt~s positivos o sea debe ser
p(alcl) q (aZbZ) (alb3) pltgtO
lo que conduce uuml sistPla
pa1 q a2 113 P bJ e GZ 3
Y la faacutebricr p1dri iexclbriiexclar la nueva plntura usando una mezcla de los dos
solvent es disponibles si y soacuteJo de uumlstena anteri or tiene sol uciones p q
Gr1ficrurente dibujandoen el plano las
rltas definitivas por l os vectores SI S2
e peblsma tiene soluci6n si el vector 53
(z3b3) rae dentro del aacutengulo formado por SI
52 ( Silamp dentro del aacuterea rayada en la figura
Equilibrio de ecuaciones qUIacuteniC35 SCol upa reaccioacuten quiacutemica expresada por la
relacioacuten
Equi l ibrar la relacioacuten ) obtener la ecuacioacuten respectiva significa deter shyminar el nuacutemero de llOHollas p q r s de l as distintas substancias interacshy
tuantes para que tenga sentido ccuacional la expresioacuten
() p Ca bull q Hl P O~ r (3 P2 03 + s HZ
Resulta el sigtltna
p bull 3 r 3 q bull ~ s 4 q 8 r
cuya sllucioacute e p 3 q 2 ~ 1 s = 3 de donde
3 Ca + 2 H3 P 04 Ca3 Pz Oc + 3 HZ
Si se quieTe dar el Ehl~ la or~lt usual del aacutelgebra l ineal diriacuteamos
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
Ministro Prof RiCllTdo P BnIenz
Secretario de Estado de Educacioacuten eontrtJlUacutemi1l1Jlte (RE) EnriqUJ1 L Om-llJIZa
Subsecretario de Estado de Educ3lli6n Prof Benitio e A ViIJa110eal
DIRECaONNACIONAL DE INVESl1GACION EXPERlMENTACION y PERFECCIONAMIENTO EDUC411VO (D L E P E)
tIimtor Dr Bnmo L Ctupinetl
Directon del Proyecto Multinacional pan el Mejoramiento de la Enaml de las Ciencias
hIsp Mtbel Stok1e
ORGANIZACION DE LOS ESTADOS AMEIUCANOS
PROGRAMA REGIONAL DE DESARROLLO EDUC411VO
DireclOt del Departamento de Asuntos Educativos Dr Hugo Albornoz
Divisi6n Dewrollo del Cutriacuteeulum Dr Ovidio De UacuteOacuterl
EsiexclIacuteecialista del Depattamento de Asunto Educativos en la Repuacuteblica Atpntina
DroInls C de 14_ich
NUEVAS TENDENCIAS EN LAS APLICAClOOES DE LA MATEMATICA
1 LIsrA DE TOPlCOS
Una de las caracteriacutesticas de la matemaacutetica del uacuteltil1lo cuarto de siglo
ha sido el gran aumento en extensi6n de su campo de acci6h~ MJchas disshy
ciplinas COOlO la economiacutea la psicologiacutea y la mayoriacutea de laS ciencias nashy
turales que antes usaban poco la matemaacutetica o por lo menos su uso estaba
restringido a algunos de sus capiacutetulos especiales actualmente la usan COlllO
herramienta comuacuten Esto ocurre en todos los niveles de la matemaacutetica En el
caso de la matemaacutetica de la escuela secundaria sin apenas modificar su conshy
tenido caben rruevas aplicaciones que permiten darle mayor actualidad y IOOSshy
trar en aspectos muy variados la eficacia de sus meacutetodos
Por otra parte los avances en la sistematizaci6n yen la metodologiacutea
han hecho posible que t emas antes considerados COOlO exclusivos de la mateshy
maacutetica de nivel terciario puedan actualmente darse a nivel secundario lo
cual permite incrementar notabl emente por disponer de maacutes medios el campo
de las aplicaciones
Sin pretender que sea completa se puede sentildealar la siguiente lista de
temas propicio para las aplicaciones de la matemaacutetica al nivel secundariacutea
En cada tema es posible encontrar abundantes ejemplos tanto para motivar
la ensentildeanza de ciertos t6picos COlllO para ejercitar los conocimientos adshy
quiridos
- Matemaacutetica comercial Nociones de matemaacutetica financiera y actuarial
- Caacutelculo numeacuterico Nociones de caacutelculo graacutefico y IOOnograacutefiacuteco
- Aplicaciones georneacutetriacutecas y trigomeacutetricas
- Aplicaciones de los elementos de la teoriacutea de funciones reales
- Algebra lineal Nociones de caacutelculo matricial
- Programacioacuten lineal Matrices de produccioacuten Programaci6n dinaacutemica
- Teoriacutea de los juegos
- Investigaci6n operativa
- Teoriacutea de Grafos y aplicaciones a problemas de transporte o fluJo
y a geneacutetica
-1shy
- Criptografiacutea - Teoriacutea de la informacioacuten - Sinulaci6n - Matrices de deci si6n
Es evidente que algunos de estos temas son muy generales y se refieren a extensas teoriacuteas Se ha querido indicar uacutenicamente~ que ios fundamentos esenciales y algunos ejemplos muy simples caben al nivel de la ensentildeanza secundaria sin pretensiones de desarrollar ni tan solo superficialmente la teoriacutea general
Los cuatro primeros temas seiacuteialados en la lista precedente son los maacutes conocidos y tradicionales No hace falta dar ejemplos de ellos por ser bien conocidos de los docentes y encontrarse en abundancia en la mayoriacutea de los textos escolares Unicamente puede ser uacutetil indicar brevemente algunos demiddot los puntos que comprenden para mejor middotdar idea de su contenido
Matemaacutetica comercial Porcentajes Intereacutes Descuento (no middotolvidar la tashysa de inflacioacuten) Repartos proporcionales Mezclas Rentas Empreacutestitos
Seguros Tablas de mortalidad
Caacutelculo rrumeacutericO Sentido de la aproximaci6n Errores absolutoy relatiacuteshyv~ Caacutelculo middotcon nuacutemeros aproximados Resolucioacuten graacutefica de ecuacione~ e inecuaciones Determinaci6n de leyes empiacutericas Resoluci6n numeacuterica de ecuashyciones uso de calculadoras de mesa o de bolsillo Uso de tablas
Aplicaciones geomeacutetricas y trigomeacutetricas Construcciones graacuteficas Dibushyjo decorativo buacutesqueda de simetriacuteas Grupos de transformaciones que dejan invariante un triaacutengulo cuadrado cubo o tetraedro Transformaciones lishyneales y matrices correspondientes Trigonometriacutea praacutectica caacutelculo de disshytancias y aacutengulos sobre el terreno Problemas de persecucioacuten y encuentro Estaacutetica del s61ido
Aplicaciones de los elementos de la teoriacutea de funciones reales Represenshytaci6n graacutefica y estudio analiacutetico de funciones Crecimiento Maacuteximos y miacute-middot nimos Curvatura Cinemaacutetica del punto Caiacuteda de los cuerpos proyectiles Movimientos ann6nicos Caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes
En cuanto a los restantes toacutepicos de la lista anterior que son maacutes noshyvedosos se formulan a continuaci6n unos cuantos ejemplos Siempre a nivel secundario con la finalidad de ilustrarlos pudiendo cada profesor elaborar
-2shy
situaciones anaacutelogas a l as mostradas auxiliaacutendose en todo caso de la Bibl i oshygrafiacutea mencionada al final
Es muy importante destacar que tanto l os temas expuestos cOmo loacutes ejemshyplos mencionados a continuacioacuten no deben tomarse de ningunalnanera como teshymaacutes baacutesicos de l os programas e inclui rlos sistemaacuteticamente en ellos sino tan solo como ejanplos entr e otros JJJChos que se podriacutean incluir en el momenshyto que el profesor lo estime opor tuno para interesara la claseoa deter shyminado grupo de alumnos
Una de las dificul tades de la escuela secundaria es la heterogeneidad de los alumnos en cuanto a vocacioacuten capacidad e intereacutes Por esto para cada
alumno o ~po de aacutelumnos conviene elegir las aplicaciones que mejor se adapshyten a su manera de ser
2 EJEMPLOS DE APLICACIONES
1 Radicacioacuten cuadrada La iteracioacuten de ciertas operaciones conduce IIllChas veces a resultados inshy
teresantes en los cuales cabe discutir problemas de convergencia Por otra parte cOn el uso de las actuales computadoras de bolsillo los caacutelculos son faacuteciles e instructivos y muchas veces praacutecticos para llegar a la solucioacuten numeacuterica de ciertos problemas
Vamos a cons iderar el ejanplo del caacutelculo de la raiacutez cuadrada siguiendo a TJ Fl etcher L Algeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEDIC 1972
Partiendo del par (11) calcular los valores sucesivos de (xy) reempla- zando en cada etapa (xy) por (x+2y x+y) Construir entonces la siguiente tabla
x y
x2 y2 x2y2 xy
1 3 7
17 41 99
1
2 S
12 29 70
1 9
49 289
1681 9801
1 4shy
25 144 841
4900
1 225 196 20069 19988 2(X)J2 ~
1 15 14 14167 14138 14143
-3shy
Se observa cano cosa experimental que x2y2 tiende a 2 y middotmiddotpor 1anW que xy tiende a la raiacutez cuadrada de 2 Se desea justificar es~e hecho
Llamando (xn Yn) a los valores de xy despueacutes de n Pasos se t i ene
Xn =xn-l + 2 Yn- l Yn =xn-l + Yn-l de donde
Xn = (Xn-lYn-l) + 2 Yn (xn-lYn-l) + 1
Suponiendo que la sucesioacuten XnYn es convergente y que el liacutemite es L debe ser
L = L + 2 de donde L2 = 2
L + 1
Si se quiere expresar la sucesioacuten (xnYn) en forma de matriz se tiene
(Xn Yn) =(xn-l Yn-l) GJ y de aquiacute empezando para n = 123 bullbull Y llamando A a la watriz del segundo miembro de la igualdad ant erior resulta
Otra manera de obtener la raiacutez cuadrada de un nuacutemero agt O por iteracioacuten es la siguiente Sean Xl x2 las aproximaciones sucesivas Si para Xn el
errores en se tiene
Suponiendo que en es pequentildeo de esta igualdad sed~e que aproximadashymente es en = (a-x~) ~ y por consiguiente podemos tomar como la aproxishymacioacuten siguient e a Xn
Esta es la sucesioacuten recurrente que a parti r de Xl = l permite calcular la cuadrada de a Por ej emplo para a= 2 se obtiene
-4shy
Xl 1 Xz =16 x3 = 1417 x4 = 14142 bullbull bullbull
yparaa =3
xl = 2 = 74 175 1732 bull 1 xz x3 x4
Hay que discutir la convergencia Para ello recordando que la media
aritmeacutetica es siempre igual o mayor que la geomeacutetrica resulta
Xn+1 ~ + ~) iJJ Va (para n 1) bull
Ademaacutes la sucesioacuten x es decreciente pUesto que para n 2 es n shy
=~ - a ~O 2x
n
Las dos desigualdades anteriores aseguran la convergencia
No es difiacutecil y se puede proponer a los alumnos que los busqJen enconshy
trar otros meacutetMos iterativos para calcular la raiacutez cuadrada Basta tomar
una funcioacuten f (x a) tal que la ecuacioacuten x f (xa) tenga por soluci6n la
raiacutez cuadrada de a y entonces tomar ~+l f (~a) Por ejemplo se puede
tomar f =px + qx con pq dos nuacutemeros reales cualesquiera que cumplan la
condicioacuten q (l-p) a
z Aplicaciones de la quiacutemica
Los e16nentos del aacutelgebra lineal permiten ser ejemplificados con claacutesi shy
cos problemas qJe aparecen continuamente en quiacutemica He aquiacute dos ejemplos
Problema de mezclas Una faacutebrica de pintur as dispone para la fiexcliexclbrtcaci6n
de las mismas de dos soluciones de solvente que contienen substancias seshy
lladoras y fijadoras en las siguientes cantidades (expresadas en gramos
por litro)
Sellador Fijador
Solvente 51
Solvente 52
El laboratorio de la faacutebrica descubre un nuevo tipo de pintura que requieshy
re el mismo solventeacute pero tal que contenga a3 gramos de sellador b3 gramos
de fijador por litro de solvente No sier~o separables los selladores y fijashy
-5shy
dores se d(seiexcl ~d ~r si rlezcla)do COlonienenente SI y 5Z puede conseguirshy
se el solvente con las antidades de ~ellltJlor y fij ador establec~daacutes para la
nueViquestiexcl pintura
Atendie1do ~~riacutectaffiente a la cc~sicioacuten en sellador y fijador puede
asociar~e cada $-gtlucieacuten del solvente a un vector de RZ En particular sean Sl(al blL S2(aZbz) El solvente con la nueva compOsicioacuten seraacute un nuevo
vector c~~in3Ci6n lineal de SI y 52 que por la naturaleza del problema deshy
be tener l os coeficicnt~s positivos o sea debe ser
p(alcl) q (aZbZ) (alb3) pltgtO
lo que conduce uuml sistPla
pa1 q a2 113 P bJ e GZ 3
Y la faacutebricr p1dri iexclbriiexclar la nueva plntura usando una mezcla de los dos
solvent es disponibles si y soacuteJo de uumlstena anteri or tiene sol uciones p q
Gr1ficrurente dibujandoen el plano las
rltas definitivas por l os vectores SI S2
e peblsma tiene soluci6n si el vector 53
(z3b3) rae dentro del aacutengulo formado por SI
52 ( Silamp dentro del aacuterea rayada en la figura
Equilibrio de ecuaciones qUIacuteniC35 SCol upa reaccioacuten quiacutemica expresada por la
relacioacuten
Equi l ibrar la relacioacuten ) obtener la ecuacioacuten respectiva significa deter shyminar el nuacutemero de llOHollas p q r s de l as distintas substancias interacshy
tuantes para que tenga sentido ccuacional la expresioacuten
() p Ca bull q Hl P O~ r (3 P2 03 + s HZ
Resulta el sigtltna
p bull 3 r 3 q bull ~ s 4 q 8 r
cuya sllucioacute e p 3 q 2 ~ 1 s = 3 de donde
3 Ca + 2 H3 P 04 Ca3 Pz Oc + 3 HZ
Si se quieTe dar el Ehl~ la or~lt usual del aacutelgebra l ineal diriacuteamos
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
NUEVAS TENDENCIAS EN LAS APLICAClOOES DE LA MATEMATICA
1 LIsrA DE TOPlCOS
Una de las caracteriacutesticas de la matemaacutetica del uacuteltil1lo cuarto de siglo
ha sido el gran aumento en extensi6n de su campo de acci6h~ MJchas disshy
ciplinas COOlO la economiacutea la psicologiacutea y la mayoriacutea de laS ciencias nashy
turales que antes usaban poco la matemaacutetica o por lo menos su uso estaba
restringido a algunos de sus capiacutetulos especiales actualmente la usan COlllO
herramienta comuacuten Esto ocurre en todos los niveles de la matemaacutetica En el
caso de la matemaacutetica de la escuela secundaria sin apenas modificar su conshy
tenido caben rruevas aplicaciones que permiten darle mayor actualidad y IOOSshy
trar en aspectos muy variados la eficacia de sus meacutetodos
Por otra parte los avances en la sistematizaci6n yen la metodologiacutea
han hecho posible que t emas antes considerados COOlO exclusivos de la mateshy
maacutetica de nivel terciario puedan actualmente darse a nivel secundario lo
cual permite incrementar notabl emente por disponer de maacutes medios el campo
de las aplicaciones
Sin pretender que sea completa se puede sentildealar la siguiente lista de
temas propicio para las aplicaciones de la matemaacutetica al nivel secundariacutea
En cada tema es posible encontrar abundantes ejemplos tanto para motivar
la ensentildeanza de ciertos t6picos COlllO para ejercitar los conocimientos adshy
quiridos
- Matemaacutetica comercial Nociones de matemaacutetica financiera y actuarial
- Caacutelculo numeacuterico Nociones de caacutelculo graacutefico y IOOnograacutefiacuteco
- Aplicaciones georneacutetriacutecas y trigomeacutetricas
- Aplicaciones de los elementos de la teoriacutea de funciones reales
- Algebra lineal Nociones de caacutelculo matricial
- Programacioacuten lineal Matrices de produccioacuten Programaci6n dinaacutemica
- Teoriacutea de los juegos
- Investigaci6n operativa
- Teoriacutea de Grafos y aplicaciones a problemas de transporte o fluJo
y a geneacutetica
-1shy
- Criptografiacutea - Teoriacutea de la informacioacuten - Sinulaci6n - Matrices de deci si6n
Es evidente que algunos de estos temas son muy generales y se refieren a extensas teoriacuteas Se ha querido indicar uacutenicamente~ que ios fundamentos esenciales y algunos ejemplos muy simples caben al nivel de la ensentildeanza secundaria sin pretensiones de desarrollar ni tan solo superficialmente la teoriacutea general
Los cuatro primeros temas seiacuteialados en la lista precedente son los maacutes conocidos y tradicionales No hace falta dar ejemplos de ellos por ser bien conocidos de los docentes y encontrarse en abundancia en la mayoriacutea de los textos escolares Unicamente puede ser uacutetil indicar brevemente algunos demiddot los puntos que comprenden para mejor middotdar idea de su contenido
Matemaacutetica comercial Porcentajes Intereacutes Descuento (no middotolvidar la tashysa de inflacioacuten) Repartos proporcionales Mezclas Rentas Empreacutestitos
Seguros Tablas de mortalidad
Caacutelculo rrumeacutericO Sentido de la aproximaci6n Errores absolutoy relatiacuteshyv~ Caacutelculo middotcon nuacutemeros aproximados Resolucioacuten graacutefica de ecuacione~ e inecuaciones Determinaci6n de leyes empiacutericas Resoluci6n numeacuterica de ecuashyciones uso de calculadoras de mesa o de bolsillo Uso de tablas
Aplicaciones geomeacutetricas y trigomeacutetricas Construcciones graacuteficas Dibushyjo decorativo buacutesqueda de simetriacuteas Grupos de transformaciones que dejan invariante un triaacutengulo cuadrado cubo o tetraedro Transformaciones lishyneales y matrices correspondientes Trigonometriacutea praacutectica caacutelculo de disshytancias y aacutengulos sobre el terreno Problemas de persecucioacuten y encuentro Estaacutetica del s61ido
Aplicaciones de los elementos de la teoriacutea de funciones reales Represenshytaci6n graacutefica y estudio analiacutetico de funciones Crecimiento Maacuteximos y miacute-middot nimos Curvatura Cinemaacutetica del punto Caiacuteda de los cuerpos proyectiles Movimientos ann6nicos Caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes
En cuanto a los restantes toacutepicos de la lista anterior que son maacutes noshyvedosos se formulan a continuaci6n unos cuantos ejemplos Siempre a nivel secundario con la finalidad de ilustrarlos pudiendo cada profesor elaborar
-2shy
situaciones anaacutelogas a l as mostradas auxiliaacutendose en todo caso de la Bibl i oshygrafiacutea mencionada al final
Es muy importante destacar que tanto l os temas expuestos cOmo loacutes ejemshyplos mencionados a continuacioacuten no deben tomarse de ningunalnanera como teshymaacutes baacutesicos de l os programas e inclui rlos sistemaacuteticamente en ellos sino tan solo como ejanplos entr e otros JJJChos que se podriacutean incluir en el momenshyto que el profesor lo estime opor tuno para interesara la claseoa deter shyminado grupo de alumnos
Una de las dificul tades de la escuela secundaria es la heterogeneidad de los alumnos en cuanto a vocacioacuten capacidad e intereacutes Por esto para cada
alumno o ~po de aacutelumnos conviene elegir las aplicaciones que mejor se adapshyten a su manera de ser
2 EJEMPLOS DE APLICACIONES
1 Radicacioacuten cuadrada La iteracioacuten de ciertas operaciones conduce IIllChas veces a resultados inshy
teresantes en los cuales cabe discutir problemas de convergencia Por otra parte cOn el uso de las actuales computadoras de bolsillo los caacutelculos son faacuteciles e instructivos y muchas veces praacutecticos para llegar a la solucioacuten numeacuterica de ciertos problemas
Vamos a cons iderar el ejanplo del caacutelculo de la raiacutez cuadrada siguiendo a TJ Fl etcher L Algeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEDIC 1972
Partiendo del par (11) calcular los valores sucesivos de (xy) reempla- zando en cada etapa (xy) por (x+2y x+y) Construir entonces la siguiente tabla
x y
x2 y2 x2y2 xy
1 3 7
17 41 99
1
2 S
12 29 70
1 9
49 289
1681 9801
1 4shy
25 144 841
4900
1 225 196 20069 19988 2(X)J2 ~
1 15 14 14167 14138 14143
-3shy
Se observa cano cosa experimental que x2y2 tiende a 2 y middotmiddotpor 1anW que xy tiende a la raiacutez cuadrada de 2 Se desea justificar es~e hecho
Llamando (xn Yn) a los valores de xy despueacutes de n Pasos se t i ene
Xn =xn-l + 2 Yn- l Yn =xn-l + Yn-l de donde
Xn = (Xn-lYn-l) + 2 Yn (xn-lYn-l) + 1
Suponiendo que la sucesioacuten XnYn es convergente y que el liacutemite es L debe ser
L = L + 2 de donde L2 = 2
L + 1
Si se quiere expresar la sucesioacuten (xnYn) en forma de matriz se tiene
(Xn Yn) =(xn-l Yn-l) GJ y de aquiacute empezando para n = 123 bullbull Y llamando A a la watriz del segundo miembro de la igualdad ant erior resulta
Otra manera de obtener la raiacutez cuadrada de un nuacutemero agt O por iteracioacuten es la siguiente Sean Xl x2 las aproximaciones sucesivas Si para Xn el
errores en se tiene
Suponiendo que en es pequentildeo de esta igualdad sed~e que aproximadashymente es en = (a-x~) ~ y por consiguiente podemos tomar como la aproxishymacioacuten siguient e a Xn
Esta es la sucesioacuten recurrente que a parti r de Xl = l permite calcular la cuadrada de a Por ej emplo para a= 2 se obtiene
-4shy
Xl 1 Xz =16 x3 = 1417 x4 = 14142 bullbull bullbull
yparaa =3
xl = 2 = 74 175 1732 bull 1 xz x3 x4
Hay que discutir la convergencia Para ello recordando que la media
aritmeacutetica es siempre igual o mayor que la geomeacutetrica resulta
Xn+1 ~ + ~) iJJ Va (para n 1) bull
Ademaacutes la sucesioacuten x es decreciente pUesto que para n 2 es n shy
=~ - a ~O 2x
n
Las dos desigualdades anteriores aseguran la convergencia
No es difiacutecil y se puede proponer a los alumnos que los busqJen enconshy
trar otros meacutetMos iterativos para calcular la raiacutez cuadrada Basta tomar
una funcioacuten f (x a) tal que la ecuacioacuten x f (xa) tenga por soluci6n la
raiacutez cuadrada de a y entonces tomar ~+l f (~a) Por ejemplo se puede
tomar f =px + qx con pq dos nuacutemeros reales cualesquiera que cumplan la
condicioacuten q (l-p) a
z Aplicaciones de la quiacutemica
Los e16nentos del aacutelgebra lineal permiten ser ejemplificados con claacutesi shy
cos problemas qJe aparecen continuamente en quiacutemica He aquiacute dos ejemplos
Problema de mezclas Una faacutebrica de pintur as dispone para la fiexcliexclbrtcaci6n
de las mismas de dos soluciones de solvente que contienen substancias seshy
lladoras y fijadoras en las siguientes cantidades (expresadas en gramos
por litro)
Sellador Fijador
Solvente 51
Solvente 52
El laboratorio de la faacutebrica descubre un nuevo tipo de pintura que requieshy
re el mismo solventeacute pero tal que contenga a3 gramos de sellador b3 gramos
de fijador por litro de solvente No sier~o separables los selladores y fijashy
-5shy
dores se d(seiexcl ~d ~r si rlezcla)do COlonienenente SI y 5Z puede conseguirshy
se el solvente con las antidades de ~ellltJlor y fij ador establec~daacutes para la
nueViquestiexcl pintura
Atendie1do ~~riacutectaffiente a la cc~sicioacuten en sellador y fijador puede
asociar~e cada $-gtlucieacuten del solvente a un vector de RZ En particular sean Sl(al blL S2(aZbz) El solvente con la nueva compOsicioacuten seraacute un nuevo
vector c~~in3Ci6n lineal de SI y 52 que por la naturaleza del problema deshy
be tener l os coeficicnt~s positivos o sea debe ser
p(alcl) q (aZbZ) (alb3) pltgtO
lo que conduce uuml sistPla
pa1 q a2 113 P bJ e GZ 3
Y la faacutebricr p1dri iexclbriiexclar la nueva plntura usando una mezcla de los dos
solvent es disponibles si y soacuteJo de uumlstena anteri or tiene sol uciones p q
Gr1ficrurente dibujandoen el plano las
rltas definitivas por l os vectores SI S2
e peblsma tiene soluci6n si el vector 53
(z3b3) rae dentro del aacutengulo formado por SI
52 ( Silamp dentro del aacuterea rayada en la figura
Equilibrio de ecuaciones qUIacuteniC35 SCol upa reaccioacuten quiacutemica expresada por la
relacioacuten
Equi l ibrar la relacioacuten ) obtener la ecuacioacuten respectiva significa deter shyminar el nuacutemero de llOHollas p q r s de l as distintas substancias interacshy
tuantes para que tenga sentido ccuacional la expresioacuten
() p Ca bull q Hl P O~ r (3 P2 03 + s HZ
Resulta el sigtltna
p bull 3 r 3 q bull ~ s 4 q 8 r
cuya sllucioacute e p 3 q 2 ~ 1 s = 3 de donde
3 Ca + 2 H3 P 04 Ca3 Pz Oc + 3 HZ
Si se quieTe dar el Ehl~ la or~lt usual del aacutelgebra l ineal diriacuteamos
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
- Criptografiacutea - Teoriacutea de la informacioacuten - Sinulaci6n - Matrices de deci si6n
Es evidente que algunos de estos temas son muy generales y se refieren a extensas teoriacuteas Se ha querido indicar uacutenicamente~ que ios fundamentos esenciales y algunos ejemplos muy simples caben al nivel de la ensentildeanza secundaria sin pretensiones de desarrollar ni tan solo superficialmente la teoriacutea general
Los cuatro primeros temas seiacuteialados en la lista precedente son los maacutes conocidos y tradicionales No hace falta dar ejemplos de ellos por ser bien conocidos de los docentes y encontrarse en abundancia en la mayoriacutea de los textos escolares Unicamente puede ser uacutetil indicar brevemente algunos demiddot los puntos que comprenden para mejor middotdar idea de su contenido
Matemaacutetica comercial Porcentajes Intereacutes Descuento (no middotolvidar la tashysa de inflacioacuten) Repartos proporcionales Mezclas Rentas Empreacutestitos
Seguros Tablas de mortalidad
Caacutelculo rrumeacutericO Sentido de la aproximaci6n Errores absolutoy relatiacuteshyv~ Caacutelculo middotcon nuacutemeros aproximados Resolucioacuten graacutefica de ecuacione~ e inecuaciones Determinaci6n de leyes empiacutericas Resoluci6n numeacuterica de ecuashyciones uso de calculadoras de mesa o de bolsillo Uso de tablas
Aplicaciones geomeacutetricas y trigomeacutetricas Construcciones graacuteficas Dibushyjo decorativo buacutesqueda de simetriacuteas Grupos de transformaciones que dejan invariante un triaacutengulo cuadrado cubo o tetraedro Transformaciones lishyneales y matrices correspondientes Trigonometriacutea praacutectica caacutelculo de disshytancias y aacutengulos sobre el terreno Problemas de persecucioacuten y encuentro Estaacutetica del s61ido
Aplicaciones de los elementos de la teoriacutea de funciones reales Represenshytaci6n graacutefica y estudio analiacutetico de funciones Crecimiento Maacuteximos y miacute-middot nimos Curvatura Cinemaacutetica del punto Caiacuteda de los cuerpos proyectiles Movimientos ann6nicos Caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes
En cuanto a los restantes toacutepicos de la lista anterior que son maacutes noshyvedosos se formulan a continuaci6n unos cuantos ejemplos Siempre a nivel secundario con la finalidad de ilustrarlos pudiendo cada profesor elaborar
-2shy
situaciones anaacutelogas a l as mostradas auxiliaacutendose en todo caso de la Bibl i oshygrafiacutea mencionada al final
Es muy importante destacar que tanto l os temas expuestos cOmo loacutes ejemshyplos mencionados a continuacioacuten no deben tomarse de ningunalnanera como teshymaacutes baacutesicos de l os programas e inclui rlos sistemaacuteticamente en ellos sino tan solo como ejanplos entr e otros JJJChos que se podriacutean incluir en el momenshyto que el profesor lo estime opor tuno para interesara la claseoa deter shyminado grupo de alumnos
Una de las dificul tades de la escuela secundaria es la heterogeneidad de los alumnos en cuanto a vocacioacuten capacidad e intereacutes Por esto para cada
alumno o ~po de aacutelumnos conviene elegir las aplicaciones que mejor se adapshyten a su manera de ser
2 EJEMPLOS DE APLICACIONES
1 Radicacioacuten cuadrada La iteracioacuten de ciertas operaciones conduce IIllChas veces a resultados inshy
teresantes en los cuales cabe discutir problemas de convergencia Por otra parte cOn el uso de las actuales computadoras de bolsillo los caacutelculos son faacuteciles e instructivos y muchas veces praacutecticos para llegar a la solucioacuten numeacuterica de ciertos problemas
Vamos a cons iderar el ejanplo del caacutelculo de la raiacutez cuadrada siguiendo a TJ Fl etcher L Algeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEDIC 1972
Partiendo del par (11) calcular los valores sucesivos de (xy) reempla- zando en cada etapa (xy) por (x+2y x+y) Construir entonces la siguiente tabla
x y
x2 y2 x2y2 xy
1 3 7
17 41 99
1
2 S
12 29 70
1 9
49 289
1681 9801
1 4shy
25 144 841
4900
1 225 196 20069 19988 2(X)J2 ~
1 15 14 14167 14138 14143
-3shy
Se observa cano cosa experimental que x2y2 tiende a 2 y middotmiddotpor 1anW que xy tiende a la raiacutez cuadrada de 2 Se desea justificar es~e hecho
Llamando (xn Yn) a los valores de xy despueacutes de n Pasos se t i ene
Xn =xn-l + 2 Yn- l Yn =xn-l + Yn-l de donde
Xn = (Xn-lYn-l) + 2 Yn (xn-lYn-l) + 1
Suponiendo que la sucesioacuten XnYn es convergente y que el liacutemite es L debe ser
L = L + 2 de donde L2 = 2
L + 1
Si se quiere expresar la sucesioacuten (xnYn) en forma de matriz se tiene
(Xn Yn) =(xn-l Yn-l) GJ y de aquiacute empezando para n = 123 bullbull Y llamando A a la watriz del segundo miembro de la igualdad ant erior resulta
Otra manera de obtener la raiacutez cuadrada de un nuacutemero agt O por iteracioacuten es la siguiente Sean Xl x2 las aproximaciones sucesivas Si para Xn el
errores en se tiene
Suponiendo que en es pequentildeo de esta igualdad sed~e que aproximadashymente es en = (a-x~) ~ y por consiguiente podemos tomar como la aproxishymacioacuten siguient e a Xn
Esta es la sucesioacuten recurrente que a parti r de Xl = l permite calcular la cuadrada de a Por ej emplo para a= 2 se obtiene
-4shy
Xl 1 Xz =16 x3 = 1417 x4 = 14142 bullbull bullbull
yparaa =3
xl = 2 = 74 175 1732 bull 1 xz x3 x4
Hay que discutir la convergencia Para ello recordando que la media
aritmeacutetica es siempre igual o mayor que la geomeacutetrica resulta
Xn+1 ~ + ~) iJJ Va (para n 1) bull
Ademaacutes la sucesioacuten x es decreciente pUesto que para n 2 es n shy
=~ - a ~O 2x
n
Las dos desigualdades anteriores aseguran la convergencia
No es difiacutecil y se puede proponer a los alumnos que los busqJen enconshy
trar otros meacutetMos iterativos para calcular la raiacutez cuadrada Basta tomar
una funcioacuten f (x a) tal que la ecuacioacuten x f (xa) tenga por soluci6n la
raiacutez cuadrada de a y entonces tomar ~+l f (~a) Por ejemplo se puede
tomar f =px + qx con pq dos nuacutemeros reales cualesquiera que cumplan la
condicioacuten q (l-p) a
z Aplicaciones de la quiacutemica
Los e16nentos del aacutelgebra lineal permiten ser ejemplificados con claacutesi shy
cos problemas qJe aparecen continuamente en quiacutemica He aquiacute dos ejemplos
Problema de mezclas Una faacutebrica de pintur as dispone para la fiexcliexclbrtcaci6n
de las mismas de dos soluciones de solvente que contienen substancias seshy
lladoras y fijadoras en las siguientes cantidades (expresadas en gramos
por litro)
Sellador Fijador
Solvente 51
Solvente 52
El laboratorio de la faacutebrica descubre un nuevo tipo de pintura que requieshy
re el mismo solventeacute pero tal que contenga a3 gramos de sellador b3 gramos
de fijador por litro de solvente No sier~o separables los selladores y fijashy
-5shy
dores se d(seiexcl ~d ~r si rlezcla)do COlonienenente SI y 5Z puede conseguirshy
se el solvente con las antidades de ~ellltJlor y fij ador establec~daacutes para la
nueViquestiexcl pintura
Atendie1do ~~riacutectaffiente a la cc~sicioacuten en sellador y fijador puede
asociar~e cada $-gtlucieacuten del solvente a un vector de RZ En particular sean Sl(al blL S2(aZbz) El solvente con la nueva compOsicioacuten seraacute un nuevo
vector c~~in3Ci6n lineal de SI y 52 que por la naturaleza del problema deshy
be tener l os coeficicnt~s positivos o sea debe ser
p(alcl) q (aZbZ) (alb3) pltgtO
lo que conduce uuml sistPla
pa1 q a2 113 P bJ e GZ 3
Y la faacutebricr p1dri iexclbriiexclar la nueva plntura usando una mezcla de los dos
solvent es disponibles si y soacuteJo de uumlstena anteri or tiene sol uciones p q
Gr1ficrurente dibujandoen el plano las
rltas definitivas por l os vectores SI S2
e peblsma tiene soluci6n si el vector 53
(z3b3) rae dentro del aacutengulo formado por SI
52 ( Silamp dentro del aacuterea rayada en la figura
Equilibrio de ecuaciones qUIacuteniC35 SCol upa reaccioacuten quiacutemica expresada por la
relacioacuten
Equi l ibrar la relacioacuten ) obtener la ecuacioacuten respectiva significa deter shyminar el nuacutemero de llOHollas p q r s de l as distintas substancias interacshy
tuantes para que tenga sentido ccuacional la expresioacuten
() p Ca bull q Hl P O~ r (3 P2 03 + s HZ
Resulta el sigtltna
p bull 3 r 3 q bull ~ s 4 q 8 r
cuya sllucioacute e p 3 q 2 ~ 1 s = 3 de donde
3 Ca + 2 H3 P 04 Ca3 Pz Oc + 3 HZ
Si se quieTe dar el Ehl~ la or~lt usual del aacutelgebra l ineal diriacuteamos
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
situaciones anaacutelogas a l as mostradas auxiliaacutendose en todo caso de la Bibl i oshygrafiacutea mencionada al final
Es muy importante destacar que tanto l os temas expuestos cOmo loacutes ejemshyplos mencionados a continuacioacuten no deben tomarse de ningunalnanera como teshymaacutes baacutesicos de l os programas e inclui rlos sistemaacuteticamente en ellos sino tan solo como ejanplos entr e otros JJJChos que se podriacutean incluir en el momenshyto que el profesor lo estime opor tuno para interesara la claseoa deter shyminado grupo de alumnos
Una de las dificul tades de la escuela secundaria es la heterogeneidad de los alumnos en cuanto a vocacioacuten capacidad e intereacutes Por esto para cada
alumno o ~po de aacutelumnos conviene elegir las aplicaciones que mejor se adapshyten a su manera de ser
2 EJEMPLOS DE APLICACIONES
1 Radicacioacuten cuadrada La iteracioacuten de ciertas operaciones conduce IIllChas veces a resultados inshy
teresantes en los cuales cabe discutir problemas de convergencia Por otra parte cOn el uso de las actuales computadoras de bolsillo los caacutelculos son faacuteciles e instructivos y muchas veces praacutecticos para llegar a la solucioacuten numeacuterica de ciertos problemas
Vamos a cons iderar el ejanplo del caacutelculo de la raiacutez cuadrada siguiendo a TJ Fl etcher L Algeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEDIC 1972
Partiendo del par (11) calcular los valores sucesivos de (xy) reempla- zando en cada etapa (xy) por (x+2y x+y) Construir entonces la siguiente tabla
x y
x2 y2 x2y2 xy
1 3 7
17 41 99
1
2 S
12 29 70
1 9
49 289
1681 9801
1 4shy
25 144 841
4900
1 225 196 20069 19988 2(X)J2 ~
1 15 14 14167 14138 14143
-3shy
Se observa cano cosa experimental que x2y2 tiende a 2 y middotmiddotpor 1anW que xy tiende a la raiacutez cuadrada de 2 Se desea justificar es~e hecho
Llamando (xn Yn) a los valores de xy despueacutes de n Pasos se t i ene
Xn =xn-l + 2 Yn- l Yn =xn-l + Yn-l de donde
Xn = (Xn-lYn-l) + 2 Yn (xn-lYn-l) + 1
Suponiendo que la sucesioacuten XnYn es convergente y que el liacutemite es L debe ser
L = L + 2 de donde L2 = 2
L + 1
Si se quiere expresar la sucesioacuten (xnYn) en forma de matriz se tiene
(Xn Yn) =(xn-l Yn-l) GJ y de aquiacute empezando para n = 123 bullbull Y llamando A a la watriz del segundo miembro de la igualdad ant erior resulta
Otra manera de obtener la raiacutez cuadrada de un nuacutemero agt O por iteracioacuten es la siguiente Sean Xl x2 las aproximaciones sucesivas Si para Xn el
errores en se tiene
Suponiendo que en es pequentildeo de esta igualdad sed~e que aproximadashymente es en = (a-x~) ~ y por consiguiente podemos tomar como la aproxishymacioacuten siguient e a Xn
Esta es la sucesioacuten recurrente que a parti r de Xl = l permite calcular la cuadrada de a Por ej emplo para a= 2 se obtiene
-4shy
Xl 1 Xz =16 x3 = 1417 x4 = 14142 bullbull bullbull
yparaa =3
xl = 2 = 74 175 1732 bull 1 xz x3 x4
Hay que discutir la convergencia Para ello recordando que la media
aritmeacutetica es siempre igual o mayor que la geomeacutetrica resulta
Xn+1 ~ + ~) iJJ Va (para n 1) bull
Ademaacutes la sucesioacuten x es decreciente pUesto que para n 2 es n shy
=~ - a ~O 2x
n
Las dos desigualdades anteriores aseguran la convergencia
No es difiacutecil y se puede proponer a los alumnos que los busqJen enconshy
trar otros meacutetMos iterativos para calcular la raiacutez cuadrada Basta tomar
una funcioacuten f (x a) tal que la ecuacioacuten x f (xa) tenga por soluci6n la
raiacutez cuadrada de a y entonces tomar ~+l f (~a) Por ejemplo se puede
tomar f =px + qx con pq dos nuacutemeros reales cualesquiera que cumplan la
condicioacuten q (l-p) a
z Aplicaciones de la quiacutemica
Los e16nentos del aacutelgebra lineal permiten ser ejemplificados con claacutesi shy
cos problemas qJe aparecen continuamente en quiacutemica He aquiacute dos ejemplos
Problema de mezclas Una faacutebrica de pintur as dispone para la fiexcliexclbrtcaci6n
de las mismas de dos soluciones de solvente que contienen substancias seshy
lladoras y fijadoras en las siguientes cantidades (expresadas en gramos
por litro)
Sellador Fijador
Solvente 51
Solvente 52
El laboratorio de la faacutebrica descubre un nuevo tipo de pintura que requieshy
re el mismo solventeacute pero tal que contenga a3 gramos de sellador b3 gramos
de fijador por litro de solvente No sier~o separables los selladores y fijashy
-5shy
dores se d(seiexcl ~d ~r si rlezcla)do COlonienenente SI y 5Z puede conseguirshy
se el solvente con las antidades de ~ellltJlor y fij ador establec~daacutes para la
nueViquestiexcl pintura
Atendie1do ~~riacutectaffiente a la cc~sicioacuten en sellador y fijador puede
asociar~e cada $-gtlucieacuten del solvente a un vector de RZ En particular sean Sl(al blL S2(aZbz) El solvente con la nueva compOsicioacuten seraacute un nuevo
vector c~~in3Ci6n lineal de SI y 52 que por la naturaleza del problema deshy
be tener l os coeficicnt~s positivos o sea debe ser
p(alcl) q (aZbZ) (alb3) pltgtO
lo que conduce uuml sistPla
pa1 q a2 113 P bJ e GZ 3
Y la faacutebricr p1dri iexclbriiexclar la nueva plntura usando una mezcla de los dos
solvent es disponibles si y soacuteJo de uumlstena anteri or tiene sol uciones p q
Gr1ficrurente dibujandoen el plano las
rltas definitivas por l os vectores SI S2
e peblsma tiene soluci6n si el vector 53
(z3b3) rae dentro del aacutengulo formado por SI
52 ( Silamp dentro del aacuterea rayada en la figura
Equilibrio de ecuaciones qUIacuteniC35 SCol upa reaccioacuten quiacutemica expresada por la
relacioacuten
Equi l ibrar la relacioacuten ) obtener la ecuacioacuten respectiva significa deter shyminar el nuacutemero de llOHollas p q r s de l as distintas substancias interacshy
tuantes para que tenga sentido ccuacional la expresioacuten
() p Ca bull q Hl P O~ r (3 P2 03 + s HZ
Resulta el sigtltna
p bull 3 r 3 q bull ~ s 4 q 8 r
cuya sllucioacute e p 3 q 2 ~ 1 s = 3 de donde
3 Ca + 2 H3 P 04 Ca3 Pz Oc + 3 HZ
Si se quieTe dar el Ehl~ la or~lt usual del aacutelgebra l ineal diriacuteamos
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
Se observa cano cosa experimental que x2y2 tiende a 2 y middotmiddotpor 1anW que xy tiende a la raiacutez cuadrada de 2 Se desea justificar es~e hecho
Llamando (xn Yn) a los valores de xy despueacutes de n Pasos se t i ene
Xn =xn-l + 2 Yn- l Yn =xn-l + Yn-l de donde
Xn = (Xn-lYn-l) + 2 Yn (xn-lYn-l) + 1
Suponiendo que la sucesioacuten XnYn es convergente y que el liacutemite es L debe ser
L = L + 2 de donde L2 = 2
L + 1
Si se quiere expresar la sucesioacuten (xnYn) en forma de matriz se tiene
(Xn Yn) =(xn-l Yn-l) GJ y de aquiacute empezando para n = 123 bullbull Y llamando A a la watriz del segundo miembro de la igualdad ant erior resulta
Otra manera de obtener la raiacutez cuadrada de un nuacutemero agt O por iteracioacuten es la siguiente Sean Xl x2 las aproximaciones sucesivas Si para Xn el
errores en se tiene
Suponiendo que en es pequentildeo de esta igualdad sed~e que aproximadashymente es en = (a-x~) ~ y por consiguiente podemos tomar como la aproxishymacioacuten siguient e a Xn
Esta es la sucesioacuten recurrente que a parti r de Xl = l permite calcular la cuadrada de a Por ej emplo para a= 2 se obtiene
-4shy
Xl 1 Xz =16 x3 = 1417 x4 = 14142 bullbull bullbull
yparaa =3
xl = 2 = 74 175 1732 bull 1 xz x3 x4
Hay que discutir la convergencia Para ello recordando que la media
aritmeacutetica es siempre igual o mayor que la geomeacutetrica resulta
Xn+1 ~ + ~) iJJ Va (para n 1) bull
Ademaacutes la sucesioacuten x es decreciente pUesto que para n 2 es n shy
=~ - a ~O 2x
n
Las dos desigualdades anteriores aseguran la convergencia
No es difiacutecil y se puede proponer a los alumnos que los busqJen enconshy
trar otros meacutetMos iterativos para calcular la raiacutez cuadrada Basta tomar
una funcioacuten f (x a) tal que la ecuacioacuten x f (xa) tenga por soluci6n la
raiacutez cuadrada de a y entonces tomar ~+l f (~a) Por ejemplo se puede
tomar f =px + qx con pq dos nuacutemeros reales cualesquiera que cumplan la
condicioacuten q (l-p) a
z Aplicaciones de la quiacutemica
Los e16nentos del aacutelgebra lineal permiten ser ejemplificados con claacutesi shy
cos problemas qJe aparecen continuamente en quiacutemica He aquiacute dos ejemplos
Problema de mezclas Una faacutebrica de pintur as dispone para la fiexcliexclbrtcaci6n
de las mismas de dos soluciones de solvente que contienen substancias seshy
lladoras y fijadoras en las siguientes cantidades (expresadas en gramos
por litro)
Sellador Fijador
Solvente 51
Solvente 52
El laboratorio de la faacutebrica descubre un nuevo tipo de pintura que requieshy
re el mismo solventeacute pero tal que contenga a3 gramos de sellador b3 gramos
de fijador por litro de solvente No sier~o separables los selladores y fijashy
-5shy
dores se d(seiexcl ~d ~r si rlezcla)do COlonienenente SI y 5Z puede conseguirshy
se el solvente con las antidades de ~ellltJlor y fij ador establec~daacutes para la
nueViquestiexcl pintura
Atendie1do ~~riacutectaffiente a la cc~sicioacuten en sellador y fijador puede
asociar~e cada $-gtlucieacuten del solvente a un vector de RZ En particular sean Sl(al blL S2(aZbz) El solvente con la nueva compOsicioacuten seraacute un nuevo
vector c~~in3Ci6n lineal de SI y 52 que por la naturaleza del problema deshy
be tener l os coeficicnt~s positivos o sea debe ser
p(alcl) q (aZbZ) (alb3) pltgtO
lo que conduce uuml sistPla
pa1 q a2 113 P bJ e GZ 3
Y la faacutebricr p1dri iexclbriiexclar la nueva plntura usando una mezcla de los dos
solvent es disponibles si y soacuteJo de uumlstena anteri or tiene sol uciones p q
Gr1ficrurente dibujandoen el plano las
rltas definitivas por l os vectores SI S2
e peblsma tiene soluci6n si el vector 53
(z3b3) rae dentro del aacutengulo formado por SI
52 ( Silamp dentro del aacuterea rayada en la figura
Equilibrio de ecuaciones qUIacuteniC35 SCol upa reaccioacuten quiacutemica expresada por la
relacioacuten
Equi l ibrar la relacioacuten ) obtener la ecuacioacuten respectiva significa deter shyminar el nuacutemero de llOHollas p q r s de l as distintas substancias interacshy
tuantes para que tenga sentido ccuacional la expresioacuten
() p Ca bull q Hl P O~ r (3 P2 03 + s HZ
Resulta el sigtltna
p bull 3 r 3 q bull ~ s 4 q 8 r
cuya sllucioacute e p 3 q 2 ~ 1 s = 3 de donde
3 Ca + 2 H3 P 04 Ca3 Pz Oc + 3 HZ
Si se quieTe dar el Ehl~ la or~lt usual del aacutelgebra l ineal diriacuteamos
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
Xl 1 Xz =16 x3 = 1417 x4 = 14142 bullbull bullbull
yparaa =3
xl = 2 = 74 175 1732 bull 1 xz x3 x4
Hay que discutir la convergencia Para ello recordando que la media
aritmeacutetica es siempre igual o mayor que la geomeacutetrica resulta
Xn+1 ~ + ~) iJJ Va (para n 1) bull
Ademaacutes la sucesioacuten x es decreciente pUesto que para n 2 es n shy
=~ - a ~O 2x
n
Las dos desigualdades anteriores aseguran la convergencia
No es difiacutecil y se puede proponer a los alumnos que los busqJen enconshy
trar otros meacutetMos iterativos para calcular la raiacutez cuadrada Basta tomar
una funcioacuten f (x a) tal que la ecuacioacuten x f (xa) tenga por soluci6n la
raiacutez cuadrada de a y entonces tomar ~+l f (~a) Por ejemplo se puede
tomar f =px + qx con pq dos nuacutemeros reales cualesquiera que cumplan la
condicioacuten q (l-p) a
z Aplicaciones de la quiacutemica
Los e16nentos del aacutelgebra lineal permiten ser ejemplificados con claacutesi shy
cos problemas qJe aparecen continuamente en quiacutemica He aquiacute dos ejemplos
Problema de mezclas Una faacutebrica de pintur as dispone para la fiexcliexclbrtcaci6n
de las mismas de dos soluciones de solvente que contienen substancias seshy
lladoras y fijadoras en las siguientes cantidades (expresadas en gramos
por litro)
Sellador Fijador
Solvente 51
Solvente 52
El laboratorio de la faacutebrica descubre un nuevo tipo de pintura que requieshy
re el mismo solventeacute pero tal que contenga a3 gramos de sellador b3 gramos
de fijador por litro de solvente No sier~o separables los selladores y fijashy
-5shy
dores se d(seiexcl ~d ~r si rlezcla)do COlonienenente SI y 5Z puede conseguirshy
se el solvente con las antidades de ~ellltJlor y fij ador establec~daacutes para la
nueViquestiexcl pintura
Atendie1do ~~riacutectaffiente a la cc~sicioacuten en sellador y fijador puede
asociar~e cada $-gtlucieacuten del solvente a un vector de RZ En particular sean Sl(al blL S2(aZbz) El solvente con la nueva compOsicioacuten seraacute un nuevo
vector c~~in3Ci6n lineal de SI y 52 que por la naturaleza del problema deshy
be tener l os coeficicnt~s positivos o sea debe ser
p(alcl) q (aZbZ) (alb3) pltgtO
lo que conduce uuml sistPla
pa1 q a2 113 P bJ e GZ 3
Y la faacutebricr p1dri iexclbriiexclar la nueva plntura usando una mezcla de los dos
solvent es disponibles si y soacuteJo de uumlstena anteri or tiene sol uciones p q
Gr1ficrurente dibujandoen el plano las
rltas definitivas por l os vectores SI S2
e peblsma tiene soluci6n si el vector 53
(z3b3) rae dentro del aacutengulo formado por SI
52 ( Silamp dentro del aacuterea rayada en la figura
Equilibrio de ecuaciones qUIacuteniC35 SCol upa reaccioacuten quiacutemica expresada por la
relacioacuten
Equi l ibrar la relacioacuten ) obtener la ecuacioacuten respectiva significa deter shyminar el nuacutemero de llOHollas p q r s de l as distintas substancias interacshy
tuantes para que tenga sentido ccuacional la expresioacuten
() p Ca bull q Hl P O~ r (3 P2 03 + s HZ
Resulta el sigtltna
p bull 3 r 3 q bull ~ s 4 q 8 r
cuya sllucioacute e p 3 q 2 ~ 1 s = 3 de donde
3 Ca + 2 H3 P 04 Ca3 Pz Oc + 3 HZ
Si se quieTe dar el Ehl~ la or~lt usual del aacutelgebra l ineal diriacuteamos
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
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--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
dores se d(seiexcl ~d ~r si rlezcla)do COlonienenente SI y 5Z puede conseguirshy
se el solvente con las antidades de ~ellltJlor y fij ador establec~daacutes para la
nueViquestiexcl pintura
Atendie1do ~~riacutectaffiente a la cc~sicioacuten en sellador y fijador puede
asociar~e cada $-gtlucieacuten del solvente a un vector de RZ En particular sean Sl(al blL S2(aZbz) El solvente con la nueva compOsicioacuten seraacute un nuevo
vector c~~in3Ci6n lineal de SI y 52 que por la naturaleza del problema deshy
be tener l os coeficicnt~s positivos o sea debe ser
p(alcl) q (aZbZ) (alb3) pltgtO
lo que conduce uuml sistPla
pa1 q a2 113 P bJ e GZ 3
Y la faacutebricr p1dri iexclbriiexclar la nueva plntura usando una mezcla de los dos
solvent es disponibles si y soacuteJo de uumlstena anteri or tiene sol uciones p q
Gr1ficrurente dibujandoen el plano las
rltas definitivas por l os vectores SI S2
e peblsma tiene soluci6n si el vector 53
(z3b3) rae dentro del aacutengulo formado por SI
52 ( Silamp dentro del aacuterea rayada en la figura
Equilibrio de ecuaciones qUIacuteniC35 SCol upa reaccioacuten quiacutemica expresada por la
relacioacuten
Equi l ibrar la relacioacuten ) obtener la ecuacioacuten respectiva significa deter shyminar el nuacutemero de llOHollas p q r s de l as distintas substancias interacshy
tuantes para que tenga sentido ccuacional la expresioacuten
() p Ca bull q Hl P O~ r (3 P2 03 + s HZ
Resulta el sigtltna
p bull 3 r 3 q bull ~ s 4 q 8 r
cuya sllucioacute e p 3 q 2 ~ 1 s = 3 de donde
3 Ca + 2 H3 P 04 Ca3 Pz Oc + 3 HZ
Si se quieTe dar el Ehl~ la or~lt usual del aacutelgebra l ineal diriacuteamos
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
que cada elanento quiacutemico es una coordenada y cada canpuesto quiacutemico es un middot vector Asiacute en el caso anterior si los elementos Ca H P degson-las coordeshynadas de los respectivos compuestos la ecuacioacuten () se escribe
p(lOOO) + q(O314) = r(3028) + s(0200)
y la solucioacuten es la indicada
3 Problemas de coacutedigos El enviacuteo de mensajes en clave es un juego que interesa a los allOl1llos
y se presta a practicar ciertas teacutecnicas matemaacuteticas y a desarrollar la inshy
ventiva para aumentar cada vez la seguridad del mensaje es decir la dishyficultad para descifrarlo
El convenio de asignar a cada letra del alfabeto un nuacutemero aunque esta biyeccioacuten no corresponda al orden alfabeacutetico natural resulta triVial y relashytivamente faacutecil de descifrar El producto de matrices auacuten en el caso maacutes simple de matrices 2middotx 2 permite variantes de intereacutes que aumentan el secreshyto del mensaje Sea la biyecci6n
ABCDEFGRIJKLLLM 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N fl O P Q R s T u V VI X y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Si se trata de transmitir la orden BAJE debiera transmitirse 2-1-10-5
cuya interpretacioacuten es elemental Para complicar el coacutedigo escribamos estos nuacutemeros en forma de matriz
u=(Z 1)10 5
Si el mensaje tuviera maacutes de 4 letras lo dividiriacuteamos en grupos de 4 (antildeadiendo si fuera necesario ceros al final) y formariacuteamos varias matrices del tipo anterior
Si elige entonces una matriz clave que tenga inversa por ejemplo
emiddote ) -7shy
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
La matriz inversa el se llama descifrador A parti~ de la matriz u
mediante la clave se forma la matriz
2 3)( 2 1) ( 34 17) C u e ( 1 2 10 middot 5middot = 22 11 =MC
y el mensaje cifrado a trallsmitir es 34-17-22-11 Recibido este mensajmiddote
para descifrar10 se multiplica 1-1e por el resultando la mat riz u y por tanshyto 2-1-10-5 que detennina la orden BAJE middot
cabe realizarmultitud de variantes desde usar mat rices de mayor d~enshy
si6n lo que genera cada vez mayores dificultades en el descJhrimiento de la
clave hasta modificar la expresi6n de Me de alguna manera pOr ejemplo reshy
duciendo sus elementos moacutedulo 28 y luego enviar el mensaje por la letras coshy
rrespondientes En el ejemplo anteriormiddot los elementos de Me moacutedulo 28 son
6-17-22-11 y el mensaje a t ransmitir seria FOTK
Como eje~lo se propone descifrar el mensaje ODKXSFKC enviado seguacuten la
clave anterior
4 Grafos
Por ser relativamente recientes las aplicaciones de la teoriacutea de grafos
en la escuela secundaria seraacute uacutetil mencionar algunas definiciones y caracshy
teriacutesticas generales
Tanto en los problemas cientiacuteficos como en ciertas situaciones de la vida
diaria es a veces conveniente unir plIltos (representativos de diversos eleshy
mentos) mediante lineas con el objeto de hacer visualizable el problema o
la situaci6n y por ende de maacutes faacutecil comprens i6n
Por ejemplo las f611llllas de middotla quimica orgaacutenica C(iH14 C(iH12 CtiacuteH6 pueden visualizarse ~el modo siguiente
lH
H - H - H - H - H - H H-C C- HI 1 I 1 middot1 1
H - C - e - e - e - e - e - H I R1 1 I 1 1 r H-C C-HH - H - H - H - H - H
H
-8shy
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
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- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
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--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
En el campo de la fiacutesica en teoriacutea de circui tos se r ecurre a meacutetodos similares cuando se dibuja algo del tipo
En matemaacuteticas si se quieren visualizar los difere~tes tipos de relacio-shynes se recurre a representar la rel acioacuten aRb por
~
Asi sobre un conjunto de 3 elementos caben las posibilidades -siguientes
C
a
En (a) tendriacuteamos una relacioacuten reflexiva en (b) una relacioacuten s~eacutetrica en (e) una relacioacuten transitiva en (d) l~a relacioacuten simeacutetrica y transitiva y en (e) una relacioacuten de equivalencia
Ciertos problew~s de transporte pueden tambieacuten ser visualizados mediante este meacutetodo Por ejemiPl o el problema de las 3 faacutebricas a las cuales hay que proveer de agua corriente eleacutectrica y gas se ilustra mediante la figura
r
-9shy
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
En este ejemplo partiCular si se agrega la condici6n adicional middot de que
las l 1neasde conduccioacuten no deben intersecarse middot entonces se demijestr~ que
el problema (en el plano) no t iene soluci6n
En todos los ejemplos anteriores se tiene UIl conjunto de puntos unidos
entre si teta10 parcialmente mediante arcos es 10 que se llama un grafo
la teoda middotde grafos va maacutes allaacute de ser un simple instnunento parauna mejor
comprensi6n de situaciones y ha l legado a constituir una teoriacutea matemaacutetica
con definiciones teoremas etc Esta teoriacutea puede de~ollarse sobre una
base intuitiva como conviene hacerlo en la escuela secundaria o bien por
medios maacutes sofisticados que aquiacute no nos van a interesar
Hist6ricamente se suele considerar que la teoriacutea de grafosmiddot nacioacute con el
problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Eu1er (1707 -1783) Conshy
siste en ver si se podraacuten r ecorrer los 7 puentes dispuestos como indica la
figura mediante un solo recorrido sin pasar dos veces por el mismo puente
El problema equivale esquemaacuteticamente a ver si es posible recorrer de un
solo trazo sin repetir los arcos el grafo indi cado en la segunda f igura
-10-
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
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2
3
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11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
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BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
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~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
Se plantea as el problema de saber dado un grafo si seraacute pos~b1e reshy
correrlo mediante un solo t razo El resultado es que para que ungrafo pueshy
da recorrerse de un solo trazo es necesario y suficiente que sea conexo y
que ademaacutes se cumpla una de las dos condiciones a) en todos los veacutertices
concurren un nimero par de lados (en este caso se puede empezar el recorrido
por cualquier veacutertice y tenninar en el mismo) b) existen exactamente dos
veacutertices a los qult concurren un nuacutemero impar de lados (en este caso se debe
empezar por uno de estos v~rtices y terminar en el otro)
En el caso de los puentes de Konigsberg como no se cumple ninguna de estas
condiciones el recorrido no es posible En cambio afiadiendo un octavo puenshy
te adicional cano el il1dicado de puntos en la figura 1 el recorrido ya es
posible ruesto que entonces existen dos veacutertices de grado impar (grado de
W1 veacutertice es el nimero de arcos o lados o aristas que concurren en el
mismo) Si se impone la condicioacuten adicional de que se debe entrar y salir por
el mismo ruente entonces todos los veacutertices tienen que
Fig 1 Fig2
ser de grado par lo cual obligada a construir no s6lo uno sino dos nueshy
vos puentes cano los indicados en la figura 2
Ejercicio investigar si es posible recorrer cada uno de los grafos que
se dan a contirruaci6n mediante un solo trazo sin pasar dos veces por el
mismo lado
-11shy
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
N6tese que lo fundamental no es la fonna del grafo sino el niiacutemero
de veacutertices (o nwj os) que contiene y el grado de los mismos
Aplicaciones de los grafos a la geneacutetica En la reproducc i6n sexual cashy
da individuo tiene dos padres uno masculino y otro femenino Asiacute -pues si
un veacutertice debe representar un hijo en eacutel deben incidir dos aristas o sea
cada hijo debe ser un iTeacutertice de gTado 2 (podriacutea ser de grado 1 si se admishy
te la posibilidad de que algiin padre no sea conocido y no se desee represen- shy
_tarlo en el grafo) Conviene r epresentar los grafos dirigidos- con una fleshy
cha que indique la direcci6n padre-hijo o madre-hijo Asiacute el grafo
expresa que Hl HZ H3 son hermanos hijos todos ellos del padre M y de la mashy
dre F
Supongamos ahora que t enemos un grafo en el cual en cada punto inciden dos
arcos Preguntamos iquestseraacute posible dividir -los veacutertices en conjuntos (masculishy
llO y femenino) de tal lOOdo que en cada punto incida un ar CO que proviene de
un punt o masculino a otro que proviene de un punto -femeninO
Para responder al problema consideramos el grafo siguiente shy
-12 shy
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
Xn
middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
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--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
bull bull bull
~ bull
Ls t c r tCo no iexcl l1l ( st r~1 ltiexclde liexcliexcl Uisioacuten pr nI1dcsta no es ~lC11 iexcl )r C posibl e ya
s i ~llpnnClOs ltlu( 1 es rJ seu11110 Cntnnccs X ser aacute a for t l or i femenIno ya t 1 ( anos l ene l 110 iexcl ] (llO 7 y X t LCJlCn u lf1b ieacuten e l hijo J _ s i endo X
) )
itll~llin() del)( ser ( ~l scu lj l lO pC10 cnt clilc 0 S ~ ) fin PUCIJC t ener Jo~ p~hl rcs rns shy
clli ncs
L~tC proLlcu puCcc (- J~ljrc s r ji h ijc~ n j t
X3 0 middot middotmiddotmiddotmiddot middot
bull
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middotmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddotmiddot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot middot middotmiddot 0
Se obtielle entonces lo (~lC s e 1] 1 1 un c ami no c irc u l a r iquestJl t c nwlo l y se puc shy
IJrcs ]
prohar (1 siguifntc iexcl tco r C11l 1 de la COTj jc Joacute n s cxuJl SlJ un g r~[o dir i g i do
el Clal (1 gr~hlc) bullle Chb veacuter tic e C ~ i lwl o P l nor que 2 ~ -i C pos i l)lc Ji
lcs puntos de J ~ rl L- ~ en dos grur os ( SC)~ () s) J entonces c aJ 1 sccucnc la de
2 que lor l1( un cani no cj rcu ]~ r a] tcnklJo dCiexcllC t ener Jn
111 r de ~iexcl c middotl l middot r os
iljV (l dC t ener en ~
ucnll ciertts r cstrlcc io1cs cvidtIl tCS tiquest11 t o ] i ()l oacute6 ic J~ COl iacutelO ~oci iexcllcs ( tul rJ es)
o j r Gr c j cllp lo puesto qlH l(l puctc n iJlCin s e r tene r riexcliacute~ Jc J os p~10 rc s ninshy
-13shy
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
iexclUacuteIl veacutertice puede recihir maacutes de Jos arcos Otra restriccioacuten es que ninguacuten
ser viviente (dentro dela reproduccioacuten sexual) puede ser su propio antepasashydo lo cual se traduce en teoriacutea Je grafos en que no puede haber gr afos ciacute shy
clicos (con conjHntos de arcos que formen Ul1 circuito cerrado) Ademaacutes de esshy
tas restricciones bioloacutegicas hay que agregar las sociales Por ejemplo los
iexclrafos siguientes ouedan soci almente excluidos (por lo menos dentro del marco occidental cristiano) puesto que no puede haber hijos de hennanos ni de padres e hijos
M F M F
0gtlt1 O O
~J H H
bull
bull H1
11 manera de ejercicios se sllgiere los sigu ientes
a) lIacer el grafo correspondiente
a las r elaciones familiares de cada
alumno primos tiacuteos abuelos soshy
brinos bisabllelos cte
b) Dado un grafo como el que se inshy
dica al lado asiampnar sexos a l os puntos de manera que el grafo tenga
sentido a)desde el punto de vista pushy
r amente bioloacutegico b) desde el punto
de vista bioloacutegico y social
-14shy
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
Grafos y un prohlema de transporte Se quiere resolver el problema
de transporte con miacutenimo cos to Wl cierto iluacutellero de unidades de mercashy
Jeriacutea lcsde 10s oriacutegenes (por ejemplo faacute11ricas o ulHilcenes) A iexcl e hasta los estinos (lugar le venta o distribucioacuten) 1 Q por rutas iexclP
Q llr BQ CP CQ sohre las cuales se conocen los precios de transporshy
te por unidad Je rlerGleleriacutea Se conocen tambieacuten las cantielades de merca shy
deriacutea disponible en los oriacutegenes y las demandas Je los destinos El proshy
blema se Jej a visualizar en el grafo aJjW1to en el cual estaacuten indiacutecaelos
los costos de transporte (grafo valorado) el nuacutemero ele unidades disponishy
bles en los oriacutegenes y las doshy
mandas de los destinos Asiacute por
ejemplo el precio del trmsporshy
te de A a r es S la cantidad A
10 disponible en el origen C es 75
P la demanda en Q es 8 etc 12
Solucioacuten Se comienza con una B 2 43 solucioacuten inicial baacutesica corresshy
e 6 7
A O 10
2
B
Q 8
P 5
3---i-~ gt1 Q
7
e 7
pondiente a un aacuterbol cualquiera
en el cual se anotiln en los arshy
cos (caminos) el nuacutemero de unishy
dades transportadas (por ejemplo
en el aacuterbol de la figura adjunta
estas uniJades son 10 2 1 7)
Y se indican en los veacutertices ciershy
tos precios asociados artificiashy
les el primero de los cuales se
fija arbitrariamente (por ejemplo
O) y los demaacutes se deducen por ser
() Precio en el destino = precio
en el origen + precio de transpor
te
Seguacuten esto los precios asociados seraacuten en r (O + 5) en Il (S - 2= 3)
en Q (3 + 4 = 7) yen C (7 - 6 = 1) Para este plan de transporte el cosshy
to total es 10 5 + 22 + 14 + 67 = 100
-15shy
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
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- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
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- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
Para mejorar este costo construimos un ciclo agregando por ejempl o
el arco AQ de moltlo que
() precio ltlel transporte precio en el ltlest ino - precio en el ori shygen
Asiacute en el presente caso tenemos 3 7 - O Sis susti tuLIlOs por AQ
un arco ltlel ciclo APBQA por ejemplo BQ con el mismo cri t er io anter ior queltla el grafo adjunto pues debiendo
ir 8 unidades a Q por AQ iraacuten 1 con A
lo cual de A a P i raacuten 9 y de B a PO -~29__-pp_ iraacuten 3 El cos to para este nuevo proshy
D _-~~r 5 yecto es 95 + 13 + 32 + 76 = 963 3
es decir ya se ha ltlisminuiacutedo el cos shy e -- to bull----------~shy
bull3 7 Introduciendo el nuevo arco CP y sushy
primiendo CQ se obtiene el nuevo aacuter shybol indicado para el cual el cual el
costo es 25 + 83 + 3 2 + 74 = 68
Este costo ya no se puede disminuir e pues el criterio anterior deja de ser
aplicable pues si se agrega BQ es
4 S - 3 Y se le agrega CQ es 6 5-1 Y ltlej a de cumplirse la conltlicioacuten ()
La solucion es por tWlto la indicada en el uacuteltimo grafo todas las ushy
niclaucs B y C deben ir a P y l as de A Jeben ir 2 uniclades a P y las 8 rcsshy
tantes a Q
Camino miacutenimo sobre un grafo El problema es hallar el camino maacutes cor shy
to desde veacutertice A a otro veacuter tice Z de un grafo ltlado conocidas las longi shytudes de las ar i stas (o caminos) que unen los veacutertices del grafo Sonsiltleshy
ramos el ejemplo siguiente C(80)
Ao _ _2~__p
B 33 ___
5
A (O)
-E~~_iquestQ_l-_-3L---7Z (171)
L
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
Para la solucioacuten se Jluelle seguir el meacutetodo siguiente (basallo en las
ideas de la JJ amada Programacioacuten Dinaacutemica) Obseacutervese lt]ue en la figura
ant eri or 105 niacuteuneros entre las ari stas indican las longi tudes LIacutee ellas
y son da t os del pTohl ema en cal1bio l os nuacutemeros en cada veacutertice entre
pareacutentesis no son datos sino que se cllculan eomo vamos a indicar El
grafo no es t6 evidenteiexclente dibu j ajo 1 escala
Se trata de lomar una sucesioacuten f inita riexclonoacutetona crec i ent e de ltoiljun shy
t os de veacutertices El e 10 e [3 e e Ek
tales lt]ue el primero contenga soshy2 l amente el veacutertice inicial A es decir El = (A) Y el uacuteltilao contenga a
Z Para cada mierlbro de cada lk se obtilme la distancia miacutenima a A que
es el nUacuteJ~ero indicado entre pareacutentesi s Para e llose procede por recurrenshy
ciacutea a partir de El con el criterio de que Ek+1 se obtiene a partir de lOk
agregando un veacutertice de modo que se obtenga el camino maacutes corto para sashy
lir de Ek partiendo de A (es t e caacutelculo se sirplifica porque todas l as disshy
tancias miacutenimas desde A has ta los pWltOS Ek ya es taacuten calculadas previamenshy
te) Cuando se llega al conjunto Ti que incluye a Z el proceso tennina n
oc---------------------J B
B 0=--------------------- - e
oe F bull F
Es conveniente registrar la
cor]losicioacuten dE los conjuntos Ek
y la uacuteltima arista del camino
TIUn lTIO para salir Je Lk y [arshy
mar Ek+1 (flechas llenas) tal
como se hace en el di agrama adshy
junto
Por ejCJ1plo ele E4 = (A bCF)
se obtiene ES = (AIJ C F G) agreshy
gando el veacutertice G al cual se
llega desde E4 por l a arista BG
(flecha llena B G en el lliagrashy
iexclna) Despueacutes de alcanzar EH ljue
contiene Z se obtienen l os veacutershy
tices de l camino r1iacutenIacuteJlo (en orden
inverso) por el sibuiente proceshy
so
( i) lie Z se pasa al origen E
de la flecha llena
-17shy
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
c~ 1 Se busca E en l a ri l a le l iiJsTJJI1l que con t i CJle Z (flechas tic
pUlltoS) y se rep ite la operac ioacuten lls t J llegar a
Ik este JoJo se ob~ i ~nc 12 i Fe ) ) el can ino niacuteni)10 busca~o e s
A i~ e F 1 E Z
P~lra es te tipo tic prolJle-~a se pu~-~c cr G iacute~ j)untz i b Linear Programminb
anJ pplictions Pri nceton l iexcl~ i-crsj t y Pr css 1161 TanlJ i eacuten el artiacuteculo Jc
J y C Cou101 en e l voltnen Lt btleacutelati ciexclue et ses Applica tions CEDlC
Pmiddotrrisiexcl l f ~-~
Se su~icrc a l lec tor COlO iacutelyohlc-1a le intereacutes construir Jn 3 1~oTitrto
para el c~i iiacuteno ~aacutex ino (nnturaln~Cjltc sii) e lelos) desde hast) Z
Gr1[OS y coloracioacuten le llp~lS Ln (apl es un grafo q~e JiviJc a l plano
en rl~10neS (paiacuteses ) l irdtlt1JJs J~cr lristas ([ronteras) La cXlcrienc i a pa shy
rece prol~lr q1C IXJr ~l col orea r cua1qJ ic r napa) de ranera que no r csuumll t en
uc i0 Jal color Jos piexcliacute~ c s (iexclde t cri~n lcntcra cOllljll ( ue leacuteS c 1n punto )
l3 $ t2~ 4 c()lm~cs ~or ejcLlo) el (111 aJj~llO pllCuC ser colcrG8do tcn l os
2
3
2
i1 ct-ro PO se conoce L~ d(iexcl)(1s t rtc i oacuten ele es tc wchc (~uC constishy
tuyc el 1 1 ~iexcl~[Jo r r oLle1J le l os 4 col or es1
l~middott cierto5=- tiiexcl10S do n3r~tS el l)ro~ ~ lC-~ll es iexcliexclas C1c j l Por ejcnpl o Vlshy
l e el teorCl3 JSi el los veacutert i ces de In ~ )lpCt COIICJrrC1 sic1pr c un nIacutelhCrO
11r ar GC =tr i s tas J el J~ipD pJcJc ser colorc1lIacute o con s oacutel o 2 colores bull siacute ocushy
rre el el caso Je la 2111 fiJra oacutetesc (pe los oarues jel Lo pa en es te
caso no se ccnsil~crJn aristts del tSfiO y por ta~1to el l ellos l os veurortishy
-1 8shy
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
ces pueden tener 1m nuacutemero impar de ari stas La demostracioacuten del t eoreshyma es inmediata dando tm color cual quiera a tm pais se toma tmO de sus
veacutertices y se colorean alternativamente l os paiacuteses ya coloreados no se puede llegar a contradicc ioacuten pues en cada veacutertice concurren tm nuacutemero
par de paiacuteses (se consideran s iempre mapas dibujados en el plano)
La construccioacuten y coloreo de mapas es una actividad ir~tructiva Lo dicho para mapas del plano vale para mapas de la esfera o sea colorear
cualquier divisioacuten de la esfera en paiacute ses bastan siempre 4 colores Cse supone) En cambio para la superficie del toro (anillo) no bastan 4 coshylores pero se puede demost rar que bastan sli~te colores Se pueltle proposhy
ner como act ividad extraescolar obtener sobre el toro distintos mapas que lo cubran totalmente y para colorear los cuales hagan falta 2 3 4
S 6 7 col ores
5 Problemas de dietas
jn caso s imple Supongamos que se dispone de dos substancias alimentishy
cias SI y S2 la primera de las cuales provee por kilogramo 10 tmidades
de vitamina VI y 6 tmidades de vitamina V2 y l a segunda 5 tmidades de VI y 8 unidades de V2 Se desea calcular las cantidades de SI y de S2 que
deben consumirse en tma dieta equilibrada que provea 40 unidades de VI y
44 unidades de VZbull
Se puede considerar el espacio vectorial engendrado por los vector esshy
base VIClO) V2CO 1) Los vectores de este espacio son todas las combishy
naciones de victaminas V l V 2 Por ej emplo las substancias SI S2 son los vectores
Llamando Xl x2 a las cantidades de SI S2 necesarias para proveer 40
tmidades de VI y 44 de V2 se tendraacute
Es decir resolver el problema equivale a expresar el ve~tor 40 VI +
44 Vz en la base CS1 S2) Sustituyendo en la uacuteltima expresioacuten los valores
de SI yS2 anteriores se tiene
-19shy
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
lo que conduce al sistema
10 xl + S Xz = 40
c~ya sol ucioacuten es xl =2 = 4 Xz
Un ejemplo de programacioacuten lineal probl ewa de l a dieta oacuteptima
El llamado problema de la dieta oacuteptima no es t an simple como el del caso anterior Es un caso t iacutepico de programacioacuten lineal que en el caso maacutes simpl e puede formularse de la manera siguiente
Dos tipos de alimentos 1 y II contienen vitaminas de l as clases A B e en cant idades conocidas por unidad de cada alimento (indicadas en l as
BA
43
3111
19 9
e
3
7
dos primeras filas de la t abla adjunta)
Los precios unitarios de 1 y 11 son tamshybieacuten conoci dos (uacutel tima columna de l a t a shybla) asiacute como los requer imientos miacutenimos
25 de vi taminas necesarios para una dieta sana
50 (uacuteltL~ fila de la tabla) El problen~ conshysiste en satisfacer los r~erimientos inshydicados con un costo miacutenimo es decir enshycont rar las cantidades de al imentos 1 y
11 necesarios para satisfacer los requeshyrimientos vitamiacutenicos con un costo miacutenimo
Cualquier plan de alimentacioacuten aceptable debe cor responder a valores no negativos x y de al imento ingerido de los t i pos 1 y 11 r espectivrunenshyt e que satisf aga las condiciones siguientes
(1) xO y O 3 x+y9 4 x 3 ygt19 x +3 y~7
Si el plano debe ser oacuteptimo (miacutenimo costo) debe cumplirse ademaacutes
(2) F (xy) = 25 x + SO Y =middotmlnimo
- 20shy
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
miacutenimo es F (41) = ISO
El problewa consiste en hallar xy de manera que se cumplan todas
las condiciones anteriores Es un problema tiacutepico ue programacioacuten li shy
neal En este caso de incoacutegnitas puede seguirse el meacutetodo graacutefico que
vamos a exponer que tiene la ventaja uesde el punto de vista didaacutecti shy
co que obliga a repasar cuestiones elementales de la geometriacutea en coorshy
denadas del plano o motiva el estuuio de las mismas
Las condiciones (1) por ser interseccioacuten de semiplanos determinan
un poliacutegono convexo (puede se ilimitado como en el presente caso) y la
condicioacuten (2) obliga que el punto incoacutegnita (xy) corresponda a uno de
los veacutertices Haciendo el graacutefico resulta que los veacutertices del aacuterea poshy
ligonal que responde a las condiciones (1) son (08) (15) (41) (70)
para los cuales es
F (08) = 400 F (15) = 275 F (41) = 150 F (7 0) ~ 175
Por tanto la solucioacuten buscada corresponde a x = 4 Y = 1 Y el costo
En el caso de un problema como el anshy
terior de dimensioacuten 2 (o sea de dos inshy
coacutegnitas) es posible hallar el resultado
graacuteficamente En efecto la funcioacuten li shy
neal F toma valores constantes sobre cashy
da recta de ecuacioacuten 25 x + 50 Y = k (en
la figura se ha uibujado ue puntos la
recta para k = 100) con valores de k
crecientes cuando la recta se traslada pashy
ralelamente alejaacutendose del origen Moshyvienuo la recta ue tal modo el primer
veacutertice encontrado es el (41) que da la
solucioacuten
Dualidad Conviene resolver varios problemas de este tipo para ejercishy
tar la geometriacutea lineal en coordenadas y aprovechar para dar algunas proshy
piedades de los conjuntos convexos como son los poliacutegonos que aquiacute apareshy
cen Es interesante observar tambieacuten que todo problema de eacuteste tipo tiene
su dual el cual en el ejemplo anterior corresponde al sistema
-21shy
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
(1) u~O vO wO 3 u + 4 v + w~Z5 u + 3 v + 3 w~SO
con la condicioacuten
F (uvw) = 9 u + 19 v + 7 w = maacuteximo
Dentro de las limitaciones del esquema este problema dual represhy
senta el intereacutes del vendedor de vitaminas que desea fijar los precios
u v w de A B e de modo que maximice su ingreso total
Este problema dual se puede resolver siguiendo la misma teacutecnica utishylizada para hallar la solucioacuten del problema original
En notacioacuten matricial los problemas de programacioacuten lineal son sisshy
temas de ecuaciones de la fonna
A x b c x = miacutenimo x deg y entonces el problema dual es
t t bt u O A u c u = maacuteximo
donde el exponente t indica matriz traspuesta
Nota El problema de la dieta cuando el nuacutemero de alimentos o el de Vitaminas u otros constituyentes es muy grande conduce a caacutelculos muy
pesados o casi imposible de hacer a mano Son ejemplos ideales para el
uso de computadoras o calculadoras Existen programas ya preparados para
las computadoras Se trata de un problema de mucha importancia praacutectica
para el caso de alimentacioacuten de ganado En vez de vitaminas aparecen disshy
tintos alimentos posibles (forrajes de distintas clases granos proteiacuteshy
nas etc) y el problema es siempre el mismo de obtener una alimentacioacuten
eficiente con el miacutenimo costo En el caso de personas el problema se comshy
plica pues la combinacioacuten puede dar lugar a comi~as no agradables al pashy
ladar
6 Aplicaciones del concepto de distancia
Distancia del taxista Desde la primera ensentildeanza el concepto de disshy
tancia entre aos puntos A B va unido al de longitud del segmento AB Sin embargo conviene ampliar este concepto viendo distintas definiciones de
distancia y haciendo resaltar la parte esencial comuacuten a todas ellas (axioshy
mas de la distancia)
-22shy
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
En una ciudad cuadriculada no se puede ir directamente de A a B sino que es preciso recorrer paralelas a dos ejes coordenados separados entre
siacute por una distancia constante (long-itud de las cuadras que supondr emos igual a la unidad) La verdadera distancia es entonces
(1) ~(AB) = 1 xB - xA 1 ~ lYB - yAl
donde xA YA son las cordenadas del punt o A y anaacutelogamente l as de B Esshyta distancia que puede realizarse por distintos caminos se l lama l a dis shytancia del taxista
y Problema l iquestCuaacutefttos caminos difeshy
I B
A
rentes hay para ir de A a B todos de la misma l ongitud ~(A B)
En el caso de la f igur a son 10 inshy
dicarlos Si IXB - xAI m IYB - yAI = n el nuacutemero es igual al de combinashyciones de m + n obj etos tomados m a m
x
Prescindiendo del caso de una ciudad cuadriculada y consi derando el plashyno refer idQ a las coordenadas ortogonales xy se puede tomar (1) cOIOOdeshyfinici6n de la distancia ent re l os puntos A y B middotLa distancia ordinaria longitud del segmento AB estaacute dada por
(2) dE(AB) = I (xB - xA) 2 + (YB - YA) 2 1 12
y se llama la distancia euclidiana
Problema 2 Probar que dE (A B) ~ eLiexcl(A B) valiendo el signo igual uacutenicashy
mente si xA = xB o bien YA = YB
Basta elevar (1) y (2) al cuadrado Y comparar
Problema 3 Con la distancia (1) dibujar en el plano l os puntos X tal es que ~ (AX) = r s iendo r una constante y A un punto fijo El r esultado es la circunferencia de centro A Y radio r seguacuten la meacutet rica (1) Y reshysul ta ser el cuadrado de centro A cuyas diagonales son paralelas a los ejes Lon puntos X tales que eLiexcl (AX)Oir cubren el CIacuterculo de centro A y rashy
dio r en la meacutet rica (1)
-23shy
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
El plano con obstaacutecul os El caso de una ciuelad cuadriculada es un cashy
so particular del plano en el cual estaacuten distribuidos ciertos obstaacuteculos
que no se pueden atravesar y hay que rodear para i r ele un punto a otro
En dicho caso los obstaacuteculos son las manzanas ele casas ~1aacutes generalmente
si se supone que en el plano de l os punshy
tos A B hay ciertos obstaacuteculos por ejemshy
plo la porte rayada de la figura adjunta
B la distancia entre A y B puede definirse
como el extremo inferior ele las longitudes
de t odas las liacuteneas del plano que unen A y
B sin at ravesar el obstaacuteculo
Esta definicioacuten general de distancia que comprende la (1) y la (2)
tiene l as siguientes propiedades
(1) d(A B)~ O y soacutelo = O si A = B
(H) d(AB) = deBA)
(iii) d(AB)~el(AC) + d (CB) cualesquiera que sean los tres puntos
A l C
Esta uacutelt ima propiedael se llama la propiedad trianiexclluumlar de l a d is tanshy2cia Siempre que se tenga una biyecc ioacuten R2 x R iexcl R de los pares ele puntos
del plano en los reales que satisfaga las conJiciones (i) ( ii) (i ii) se
dice que se tiene definida una dis tancia en R2
Problema 4 Probar que l a elefinicioacuten anterior de distancia en el plano
con obstaacuteculos cumple las propiedades (i) (ii) (iii)
Las dos primer as son evidentes y la tercera es una consecuenc ia de ser
la distancia el extremo inferior y por tanto no puede haber otro camishy
no de longi tud menor
La uacutenica difer encia con la dis tancia
usual sin obstaacuteculos es que ahora
puede valer l a igualdad sin estar A B
B C sobre un lnismo camino miacutenimo como
en el caso de l a figura con el ob5taacute shy
A
culo rayado
- 24 shy
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
--
Problema 5 Ent re uos punt os l II hay que col ocar Wl muro PQ de
long i tud PQ dada de manera que l a distancia llA (o sea BP + PA) sea
maacutexima
A ~ I I
- - 1-- __) r=iexcl=--~ I __ =======- I
A B
o Q
----- B
Prohicliiexcl ( ean dos puebl os A13 Y una r J ta 1 Se quiere cons t ruir
un camino que una A con B tocando Ja ru ta Se pide el punto X de la
misma t uuml que AX + XB sea le long itud miacute nima
EI punto X es la interseccioacuten ue r con la recta tiA que une lJ con
el punto A simeacutetr ico Je A respec shy
to de re Pare cualquier otro cashy
mino BX ~ + XA es
BX + A = IX bull XA BA =lJX+XA
A Obseacutervese que el pLUlto X que da
l a solucioacuten es tal que la recta r B
es l a bisectri z del aacutengulo AJA iexcl
Si en vez de la recta r se tiene
una circunsferenc i a de centro O que
no contenga en su interior a ningushy
- 25shy
Por simetriacutea el punto meJ i o
de PQ debe estar sobre 113 y como
llP+A = BP+PA (A = simeacutetri co de
A respecto Je la paralela a AB
a J i stancia (l2)PQ figura aJshy
junta) resulta que la maacutex ima
distancia se obtiene cuando el
muro estaacute pegado a A o pegado a D
SuponienJe que el muro J ebe
ser perpendicular a All y que su
punto meJio Jebe estar sobre AB
la distancia miacutenirra se obtiene
en la posicioacuten PQ bull perpenJ i cushy
lar en el punto medio Je A13
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
no de los puntos A ll el camino A miacutenimo X Xll que une A con lJ toshy
canelo eacutel la circuns ferencia seraacute
el correspondiente al punto X tal
que la tangente a la misma sea bishy
scctri z del aacutengulo exterior fonnashyB
do por XA y la prolongacioacuten de BXshy
En efecto por el problema anter ior
s i X se desplaza sobre la tangente
de fV( + Xll aLUnenta y con mayor ra shy
z6n aumentaraacute si X se desplaza soshy
bre la circunsferencia que estaacute a
distinto lado que A B de la t anshy
gente t
Si se quiere dar enunciado atractivo al problelll2 se puede decir que el
ciacuterculo es una laguna y se quiere construir un camino miacutenimo que vaya desshy
de su borde a los pueblos A y B
Problema 7 Sean tres pueblos A B C Se desea construir una escuela en
un punto X para que Lcudan a ella los ninos de los tres pueblos iquestCoacutemo eleshygir X
Se puede preguntar la opini6n de los altnnnos respecto a posibles criteshy
rios para esta eleccioacuten Ile aquiacute algunos posibles
al Elegir X equidistante de los tres pueblos Entonces la solucioacuten es
muy simple X es el centro de la circunsferencia que pasa por los tres puntos
A ll C
b) Se puede suponer que hay que construir los caminos XA XB XC y que
por tanto conviene elegir el punto X de manera que la suma XA + XB + XC
sea miacutenima
En este caso fijando por ej~lplo AX o sea permitiendo que X var iacutee soshy
bre la circwlsferenc ia de centro A y radio NI la SlnTIa XC + middotxn seraacute miacutenima
cuando la recta AX sea bisec triz del aacutengulo BXC (seguacuten el problema anterior)
-26shy
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
Como lo mismo debe ocurrir al fijar IlX o ex resulta que XA XIl xc deben
ser tales que cada recta bisequel el aacutengulo fomado por las otras des O
sea los aacutengulos Aill BXC y CXA deben valer 1200 Con esto la construccioacuten
del pWlto X es faacutecil pues basta construir sobre Jos Je los lados del triaacutenshy
gulo ABC los arcos capaces de 1200 y la interseccioacuten es el punto buscado
Esto supone que el triaacutengulo AllC tiene sus aacutengulos menores de 1200 En cashybull
so contrario X coincide con el veacutertice correspondiente al aacutengulo obtuso
c) Se puede pedir tambieacuten que las longitudes XA Xlgt XC lkpendan del nuacuteshy
mero de alumnos de cada pueblo de manera iexclue el camino total recorrido por
todos los alumnos sea miacutenimo En este caso si nA nB nC son los nuacutemeros
de alumnos de cada pueblo el punto X Jeberaacute ser tal que la suma niexclXA +
nlll + nCXC sea miacutenima
La solucioacuten en es t e caso no es t ar- faacutecil Se puede demostrar que los aacutenshy
iexclUlos AXB BXC CXA deben ser iguales a los aacutengulos exteriores del triaacutengu shy
lo auxiliar cuyos lados sean proporcionales a los nuacutenleros nA ng 1liexcl Aclmishy
tido esto la construccioacuten se hace como antes mediante los arcos capaces
de es tos aacutengulos cons truiacutedos sobre los lados A11 pc CA
Este problema se remonta a Jacobo Steiner (1796-1836) maacutes detalles y
generalizaciones se pueden ver en H Steinhaus ~lathematics Snapshots 0ltshy
fora University Press 1969 Y tambieacuten en R Courant y 11 Robbins iquestQueacute es
la ~latemaacutetiacuteca traduccioacuten castellana en Ed Aguilar ~ladrid 1955
Un problema difiacutecil que puede plantearse y resolverse en algunos casos
particulares simples es el de hallar la miacutenima red de carreteras que unen
varias ciudades
Por ejemplo en el caso de la figushy
ra dadas las 5 ciudades Al AZ AS Al AS la r ed de longitud miacutenima es la
indicada la cual presenta intersec shy
ciones triples A2 ----
-27shy
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
7 Dendritas
Un problema interesante a distancias anaacutelogo al uacutelt imo considerado peshy
ro maacutes simple e interesante didaacutecticamente por sus vinculaciones con la geoshy
grafiacutea y otras ciencias es el siguiente
Problema l Se tiene un cierto nuacutemero de ciudades en un n~pa y se trata
de unirlas entre siacute pcr caminos de longitud miacutenima La diferencia con el proshy
blema anterior es que ahora se quiere
que todos los veacutertices del grafo resulshy
tante sean ciudades don conjunto dado
- I iquest Se procede de siguiente n~nera Prishy1 --- t mero se une cada ciudad con la maacutes pr6shy
x~ Se tiene asiacute-un conjunto de arcos L7~ y cada subconjunto conexo del mismo se l
I
J l
llama una dendrita de primer orden En 1
el caso de la figura adjunta (1) cuyos L----lt puntos estaacuten situados cerno las capitales
de las provincias argentinas las dendrishy
tas de primer orden estaacuten formadas por los ~ I segmentos dibujados gruesos __ 1
I I Como segundo paso cada dendrita de I
primer orden se une con la ciudad maacutes
liexcl-)
proacutexima de otra dendrita Son los segmenshy I ~ tos dibujados de puntos en la Iigura Cashy
I
-iquest l
(1) da parte conexa del grafo resultante se 1 I llama una dendrita de segmento orden En I I el caso de la figura resulta una sola den
drita de segundo orden pues el grafo reshy~~- sultante ya es conexo Podriacutea haber resul shy tado no conexo en cuyo caso se repetiriacuteat la operacioacuten uniendo cada dendrita de seshy
gundo orden con la ciudad maacutes pr6x~ no
perteneciente a ella Tal es el caso de la
figura II en la cual las dendritas de pri shy
mer orden forn~n el grafo de arcos gruesos
las de segundo orden el grafo de arcos
-28shy
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
gruesos y rayados y la de tercer orden es --1--------shy el grafo total En cualquier caso el proshy
ceso se puede proseguir hasta llegar a una dendrita que sea un grafo conexo (siemshy
pre de tipo aacuterbol) que es la dendrita fishy
nal
Las dendritas de llis tintos oacuterdenes dan un criterio para agrupar las ciudashy
des en grupos que en cier~o modo tienen en cuenta su distanc ia mutua Dar
unos cuantos puntos al azar en el plano es un ejercio uacutetil por el razonamienshy
to que s ignifica dibujar l as dendritas de dist intos oacuterdenes que detenninan
iexcllasta aquiacute hemos considerado distancias geograacuteficas pero el concepto de
distancia es maacutes general A veces ent re los elementos de un conjunto que ya
no necesitan ser ciudades o puntos de un mapa se puede definir cierta dis shytancia (O sea una funcioacuten entre cada par de ellos que cumpla las condiciones
(i) (ii) (ii i ) antes menc ionadas) y con ella definir dendritas de w~nera a shynaacuteloga a la anterior
Consideremos por ej emplo el caso de varios bosques con distintas especies
veget ales y Ul~ distancia entr e ellos que mida en cierto modo la diferencias
entre l as especies de un bosque y otro Por ejemplo middotlarczewski y Steiohaus
han defin ido la s igu iente (ver Nuevas Tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacute shy
tica 1II pag 105 Oficina de Ciencias de l a UNESCO para Ameacuterica Latina Monshytevideo 1973) sean dos bosques A B que contengan respectivamente a y b esshy
pecies de aacuterboles de las cuales wab especies comunes a ambos bosques Una dis shy
tanci a conveniente que naturalmente no tiene naJa que ver con la distancia geograacutefica entre l os dos bosques puede ser la siguiente
a + b - 2 w(AE) = abdS a + b W- ab
Esta distancia cumple evidentemente las propi edades dS(AB)i O dS(AA) = O
y aJemaacutes cls (A B)1 s iendo dS(AE) = 1 si y soacutelo si w = O o sea si l os ab dos bosques no t i enen especies comunes La condicioacuten dS(AE) = O s ignifica que
l os dos bosques tienen las mi smas especies La desigualdad dS(AIl)lt--dS(AC) +
dS(C B) es cier t a pero no faacutecil de demostrar
De esta manera definida la di stancia por l a foacutennula anter ior u etra cualshy
quiera se pueden representar los distintos bosques por puntos del plano y
-29 shy
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
-shy
A
-32shy
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
construir luego las sucesivas dendritas anaacutelogamente al caso anterior pero
con las distancias dadas por el criterio actual De esta manera se pueden
agnlpar los bosques por su mayor o menor coincidencia entre las especies de
aacuterboles que contienen
Lo mismo se puede aplicar a cuest i ones de ecologiacutea lingJiacutestica arqueoloshy
giacutea etc (ver Ilodson-Kendall-Tantu gt1athC1atics in the Archeological Scienshy
ces Edinburgo University Prcss Edi nburgh 1971)
En linguumliacutestica el probl ema se presenta al considerar las relaciones de pashy
rentesco entre di stintos Jia l ect os o idiomas Entre ellos pueJe definirse una
distancia que tenga en cuent por ej emplo el porcentaj e le palabras iguashy
l es del vocabulario baacutesico ele cada idio1la o bien l as Jiferencias entre sus re shy
glas gramaticales En geneacutetica el problema aparece al comparar poblaciones
por ciertas car ac teriacutesticas entre sus grupos sanguiacuteneos Sielllpre que l as difeshy
rencias o analogiacuteas se puedan defiJlir por c iertas caracteriacutesticas con las cuamiddot
les pueJa definirse una distancia se tendraacute la pos i bilidad de construir denshy
dritas que pongan de manifies to las agrupaciones en subconjuntos del conj unto
total
Ejemplo Sean 11 B e D E F G s i ete dialectos de uuml nismo idioma habl ashy
do por distintas poblaciones Supongamos que comparando los porcentajes de pashy
labras baacutesicas comunes u otras caracteriacutest i cas se ha logrado lefinir entre
ellos las distancias expresadas en la matr iz adjunta (matriz simeacutetrica)
i B e D E F G
A o 7 9 15 10 6
B 7 o 5 10 6 2 8
e 9 s o 9 ~ S 10
D 15 10 o O 11 10 16
E 10 6 1 11 o 4 9
F 6 2 5 10 4 O S
G 3 8 10 16 9 5 o
Se pide construi r l as dendr itas correspondi ent es
-30shy
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
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A
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BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
El r esultado es de la forma
Obseacutervese que la posicioacuten de los
puntos en el grafo es arbitraria Lo
importante es que los 7 dialectos se
clasifican en 3 subconjuntos CA G)
CF D) y CE C D) que son las denshydritas de pruner orden Otros ejemplos
se pueden ver en el libro citado cle
Steinhaus
Distancias no simeacutetricas En general a toda definicioacuten de distancia se
le exige la condicioacuten simeacutetrica dCA E) = d(EA) Sin ~Iiliaygo hay casos simshy
ples en que esto no ocurre Conviene incitar a los alumnos a dar ejemplos de
dis tancias simeacutetricas y no simeacutetricas
Por ejemplo la clistancia clel taxista para una ciudad con calles de direcshy
cioacuten uacutenica no es simeacutetrica
Problema a) En una ciudad cuadriculada fijar una direccioacuten uacutenica en cashy
da calle y hallar la distancia del taxista para ir de A a E y para ir de B
a A iquesten queacute casos son iguales
b) Si las direcciones uacutenicas de las calles son alternativamente de un senshy
tido yde otro tanto para las paralelas al eje de ordenadas como para las
paralelas al eje de abscisas probaT que la diferencia maacutexima es de 4 cuadras
Dar ejemplos en que la diferencia sea 0 2 oacute 4 y probar que esta diferencia
no puede ser un nuacutemero impar de cuadras
-31shy
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i B
I
I ~ B - l J
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I I1
I B
I
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II ~
I
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A
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BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
He aquiacute unos ej emplos
i B
I
I ~ B - l J
I
L I -
~ A I
I I1
I B
I
A iexcl
II ~
I
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BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
BIllLIOGRAFIA
BERGE C Teoriacutea de las redes y sus aplicaciones CEeSA 1967 (traducido del franceacutes)
8ERGE e GiIOUILA-I IOlJRlA A Programas juegos y sistemas de transportes CEeSA 1965 (traducido del franceacutes)
- DArZIG cn Linear Programming and Applications Pri nceton University Press 1961 (exposicioacuten exhaustiva y muy detallada muy infonnativo)
- FLETCIlER 1J LAlgeacutebre Lineacuteaire par ses Applications CEOlC 1972
- GALION E La Matheacutematique et ses Applications CEDIC 1972
- GARVIN IV Iv Introduction to Linear Programming HcGraw-llill Nueva York 1960 (Nivel intermedio muy recomendalle desde el punto de vista didaacutectico)
- GASS 1 PrognlJTlacioacuten Lineal Meacutetodos y Aplicaciones CEeSA 1969 (4a edishycioacuten traducc ioacuten castellana) (Nivel secundario o superior Trae abundante bibliografiacutea sobre las aplicaciones de la programacioacuten li shyneal a problemas concretos)
- HARARY F Craph Theory Addison-lIesley Reading Massachusetta 1969
- KAUFIVNN A FAURE R LE GARFF A Los juegos de empresa Cuaderno nO 157 de Eudeba 1966 (traducido del franceacutes)
- KAUFlvlAJN A DESBAZEILLE C Meacutethode du chemin crit ique Dunod Pariacutes1964
- KIOIElIIY JG HIRKIL 11 SlltELL JL TI IOHSON CL Estructuras matemaacutetishycas finitas Eudeba Buenos Aires 1970 (traduccioacuten del ingleacutes Lishybro lnuy recomendable por su contenido variado con numerosos ejemplos y ejercicios Muy didaacutectico)
mlEJN JC SNELLJL Mathematical i-lodels in the Social Sciences Mit Press
--KONIG DTheorie der endlichen und unendlichen Craphen Lcipzig 1936 (reshyproducido por Chelsea en 1950)
~latemaacuteticas en el mtmdo moderno Selecciones de Scientific American con introducciones de 01 Kline Ed Blullle ~1adrid Espana
- ~IATTIiexclENS G Matrices 1 y ~-latrices 2 Editorial Vicens Vives Barcelona [spana (traduccioacuten del ingleacutes Contiene aplicaciones sencillas del aacutelgebra lineal a s ituaciones matemaacuteticas y de otras disciplinas coshymo l a fiacutesica y la criptografiacutea contiene muchos ejercicios con la solucioacuten)
- ~1cKINSEY J Introduction to the Theory of Garues ~1cGra-llill Nueva York 1952 (versioacuten espantildeola Introduccioacuten a la teoriacutea matemaacutetica de los juegos Aguilar 11adrid Exposicioacuten detallada y muy didaacutectica de la teoriacutea de juegos de estrategia con muchas aplicaciones)
-33shy
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el peonal de Graficacioacuten V Disentildeo contrashytado por la Organizacioacuten de los Estados Amerishycanos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten V Perfeccionamiento Educativo
(OIEPE)
Febrero 1977
