Series de Funciones

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Series de funciones e integral

de Lebesgue

Luis Bernal Gonzalez

Departamento de Analisis Matematico

Lugar y A~no: Sevilla, 2012

Disponible en: http://personal.us.es/lbernal/

Indice general

Prologo 5

1. Series de numeros reales e integral de Riemann 9

1.1. Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Series de terminos positivos y series alternadas . . . . . . . . . 12

1.4. Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Concepto y propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . 15

1.6. Condiciones de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7. Integracion y antiderivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8. Cambio de variables e integracion por partes . . . . . . . . . . 18

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Integrales impropias 23

2.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Integrales mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Criterios de convergencia. Convergencia absoluta . . . . . . . . 27

2.5. Criterios de convergencia para funciones positivas . . . . . . . 29

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Sucesiones de funciones 35

3.1. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . . . . . . 35

1

2 Luis Bernal Gonzalez

3.2. Algebra de sucesiones uniformemente convergentes . . . . . . . 38

3.3. Convergencia uniforme, continuidad y derivabilidad . . . . . . 41

3.4. Convergencia uniforme e integracion . . . . . . . . . . . . . . 44

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Series de funciones 47

4.1. Deniciones: sumas puntual y uniforme . . . . . . . . . . . . . 47

4.2. Relacion con la continuidad, derivacion e integracion . . . . . 48

4.3. Criterios de convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 49

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5. Series de potencias 55

5.1. Radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias . . 55

5.2. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de series de potencias 59

5.3. Funciones analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6. Medida de Lebesgue 69

6.1. El problema de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2. Espacios medibles, espacios de medida y medida exterior . . . 70

6.3. Construccion de la medida de Lebesgue en R . . . . . . . . . . 74

6.4. Conjuntos medibles Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7. Integral de Lebesgue 87

7.1. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3. Integral de Lebesgue de funciones no negativas . . . . . . . . . 94

7.4. Propiedades de la integral de funciones no negativas . . . . . . 96

7.5. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

INDICE GENERAL 3

7.6. Integral de Lebesgue de funciones medibles . . . . . . . . . . . 100

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8. Teoremas de convergencia 107

8.1. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.2. Relacion entre las integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . 112

8.3. El espacio L1(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.4. Subespacios densos de L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9. Integrales parametricas 123

9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.2. Continuidad de integrales parametricas . . . . . . . . . . . . . 124

9.3. Derivabilidad de integrales parametricas . . . . . . . . . . . . 125

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10. Series de Fourier 129

10.1. Serie de Fourier y coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . 129

10.2. Desigualdades e igualdades con coecientes de Fourier . . . . . 132

10.3. Convergencia puntual de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . 134

10.4. Convergencia uniforme de la serie de Fourier . . . . . . . . . . 138

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Bibliografa 143

Lista de smbolos y abreviaturas 145

Indice alfabetico 146

Prologo

Estas notas han sido concebidas para servir de base al estudiante que

pretenda introducirse en los rudimentos de la teora de sucesiones y series de

funciones y en la teora de integracion de Lebesgue. Ambas teoras proporcio-

nan instrumentos de amplio uso en analisis matematico, en sus dos vertientes

teorica y aplicada.

El texto esta dirigido, inicialmente, a los alumnos de la asignatura homoni-

ma Series de funciones e integral de Lebesgue, que actualmente se imparte

como asignatura obligatoria en el segundo curso del Grado en Matematicas

de la Universidad de Sevilla. No obstante, confo en que su utilidad vaya mas

alla y pueda ser usado como consulta tambien fuera del ambito especco

de la asignatura citada. Espero, asimismo, que estas notas sean tambien de

provecho para el profesor que imparta los contenidos de las mismas.

Como prerrequisito para una lectura provechosa de esta obra, se presu-

pone al lector una fuerte familiaridad con nociones y resultados basicos del

calculo innitesimal. Me reero en especial a conocimientos sobre sucesiones

y series de numeros reales, convergencia, funciones reales de variable real,

topologa de la recta real, continuidad, derivabilidad e integral en el sentido

de Riemann. Aunque no es indispensable, sera asimismo bienvenida cierta

base de topologa general, algebra lineal y geometra analtica. No obstante,

y con objeto de hacer estas notas lo mas autocontenidas posible, se han in-

5


corporado, como recordatorio para el lector, algunos conceptos y resultados

adicionales.

El texto se ha dividido en diez captulos o temas. En el Captulo 1 se

recapitulan, sin demostracion, los conceptos y resultados basicos sobre series

numericas e integral de Riemann, conocidos por el estudiante de un curso

elemental de calculo. Seran muy utiles para impartir la teora y resolver pro-

blemas correspondientes a los temas posteriores. Aprovecho para decir que,

en los restantes captulos, a veces se enunciaran sin demostracion resulta-

dos adicionales que son interesantes para una ulterior profundizacion en la

materia de que trata el texto.

Como extension del concepto de integral de Riemann, se estudia la nocion

de integral impropia, en la que ya ni el intervalo de denicion de la funcion

ni la funcion misma a integrar tienen por que ser acotados. Presentamos este

tipo de integral en el Captulo 2.

Una sucesion real no es mas que una aplicacion del conjunto de los nume-

ros naturales en la recta real. Pero a veces surgen sucesiones que dependen

de una variable, que determina la posibilidad de un lmite que a su vez es

una funcion. Estas son las sucesiones de funciones, que se estudiaran en el

Captulo 3. Cuando se consideran las sumas parciales de estas sucesiones,

obtenemos series de funciones, consideradas en el Captulo 4. En ambos ca-

sos se estableceran condiciones para la propagacion de las propiedades de los

terminos a la funcion lmite o suma.

En el Captulo 5 se desarrolla el que quiza sea el ejemplo mas importante

de serie funcional, a saber, las series de potencias, las cuales dan lugar al

concepto de funcion analtica. Las propiedades operacionales de este tipo

de series, la estructura del conjunto de puntos de convergencia y diversos

criterios de analiticidad se estudiaran en este captulo.

PROLOGO 7

La medida de Lebesgue sobre la recta real, como extension natural del

concepto de longitud de un intervalo, se presenta en el Captulo 6. Con ella

se prepara la base para establecer el concepto de integral de Lebesgue, que

se estudiara en el Captulo 7. La integral de Lebesgue generaliza de manera

ecaz la nocion de integral de Riemann, evitando muchas de las carencias de

esta.

El Captulo 8 da a luz resultados de intercambio de las operaciones de

integracion Lebesgue y de lmite/sumacion, por lo que es ampliamente util y

conecta las dos partes del ttulo de esta obra. Como aplicacion, en el Captulo

9 se investiga la propagacion, a una funcion denida por una integral depen-

diente de un parametro, de las propiedades de la funcion que actua como

integrando.

Finalmente, el estudio de algunos problemas fsicos, asociados a la reso-

lucion de ciertas ecuaciones diferenciales, dio lugar a las series de Fourier,

importante clase de series funcionales cuyos rudimentos se exponen en el

Captulo 10.

La obra contiene ejemplos que ilustran los conceptos y resultados que van

surgiendo. Ademas, al nal de cada captulo se propone una variada lista de

ejercicios, en los que la teora dada o bien se aplica o bien se completa. En

algunos de ellos se adjuntan indicaciones o sugerencias utiles. Recomendamos

al estudiante que intente la resolucion de dichos ejercicios, pues ello constituye

un buen indicador del grado de asimilacion de la materia. Al nal del texto se

ofrece una bibliografa para que el lector interesado efectue consultas y ample

conocimientos. Para una mayor comodidad de lectura, incluyo una lista de

abreviaturas y smbolos. El ndice alfabetico esta organizado de modo que se

indica la pagina o paginas donde aparece por primera vez la denicion de un

concepto o la formulacion de un resultado.


Para concluir, es de justicia expresar mi agradecimiento a los profesores

Ma Angeles Japon Pineda y Rafael Villa Caro por proporcionarme material

abundante y valioso, fruto de su experiencia docente. He utilizado frecuente-

mente, con provecho, dicho material en la elaboracion de esta obra.

El autor

Captulo 1

Series de numeros reales e

integral de Riemann

Efectuamos en este captulo una recapitulacion de algunos conceptos y

teoremas que el lector probablemente conoce de un curso elemental de calculo

innitesimal. En concreto, se reeren a las series de numeros reales y a la

integral en el sentido de Riemann. Por tanto, no se daran las demostraciones.

Nuestro objetivo es que los resultados que se recopilan se puedan usar con

comodidad en el resto de esta obra, tanto en la parte teorica como en la

practica.

1.1. Series numericas

Como es usual, denotaremos por N el conjunto f1; 2; : : : g de los enterospositivos o numeros naturales, y por R el cuerpo de los numeros reales.

Consideremos una sucesion de numeros reales, es decir, una aplicacion ' :

n 2 N 7! an 2 R, representada como es habitual por a1; a2; :::, fang1n=1 obien simplemente fang o (an). Se llama serie asociada o generada por fanga la sucesion fSng de sumas parciales de aquella, es decir, Sn =

Pnk=1 ak =

9


a1 + + an para todo n 2 N. Se representa porP1

n=1 an, o simplementePan, y a veces tambien por a1+a2+ +an+ . Por denicion, el caracter

de una serie es el mismo que el la sucesion que la genera.

Denicion 1.1.1. Se dice que la serieP1

n=1 an es convergente cuando fSngconverge, esto es, cuando existe un numero S 2 R, necesariamente unico,tal que Sn !

n!1S. Este hecho se representa por

P1n=1 an = S, y se dice en

tal caso que S es la suma de la serie. En el caso de que la serieP1

n=1 an

no converja, se suele distinguir entre serie divergente y serie oscilante segun

que, respectivamente, Sn !1 o fSng no tienda a ningun numero real ni ainnito.

La as llamada serie geometrica 1 + a + a2 + proporciona el ejemplomas sencillo. Teniendo en cuenta que las sumas parciales valen Sn = 1 +

a + + an1 = 1an1a =

11a a

n

1a si a 6= 1 y Sn = n si a = 1, resultaque dicha serie es convergente (con suma 1

1a) si a 2 (1; 1), divergente sia 2 (1;1) [ [1;+1), y oscilante si a = 1.

Es evidente que hecho de a~nadir o suprimir un numero nito de terminos

de una serie no altera el caracter de la misma. Otra propiedad elemental es la

asociatividad, que arma que si una serieP1

n=1 an es convergente o divergente

y consideramos la serie reagrupadaP1

n=1 bn, donde b1 = a1 + + an1 ,b2 = an1+1+ +an2 ; ... con n1 < n2 < , entonces

P1n=1 bn tiene el mismo

caracter y la misma suma que la serie originalP1

n=1 an. Pero la propiedad

disociativa no es valida en general. Por ejemplo, la serie 0 + 0 + 0 + estrivialmente convergente, y cada termino puede escribirse como 0 = 1 1.Tras esta disociacion, resulta la nueva serie 1 1 + 1 1 + , la cual noconverge.

Finalmente, tenemos la siguiente propiedad distributiva o de linealidad

para series convergentes.

SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 11

Teorema 1.1.2. SiP

an = S yP

bn = S0 entonces, para cada par ; 2

R, la serieP

an + bn converge yP

an + bn = S + S0.

Anotamos que a veces la sucesion fang que genera la serieP

an no em-

pieza su numeracion con el subndice 1, sino con otro subndice N 2 N0 :=N [ f0g. En tal caso la serie se expresa como P1n=N an y su suma, caso deser convergente, es por denicion el lmn!1(aN + aN+1 + + an).

1.2. Criterios de convergencia

Vamos a recordar condiciones, necesarias y/o sucientes, de convergen-

cia de series numericas. Comencemos con la condicion necesaria mas popular.

Teorema 1.2.1. Si la serieP

an converge, entonces lmn!1 an = 0.

Por ejemplo, las seriesP

(1)npn y P log n no convergen. Sin embargo,la condicion dada el el teorema anterior no es suciente para la convergencia.

Por ejemplo, la serie armonicaP

1=n cumple que 1=n! 0, pero no es con-vergente. A continuacion, establecemos el criterio de Cauchy de convergencia

de series numericas.

Teorema 1.2.2. La serie de numeros realesP

an es convergente si y solo

si para cada " > 0 existe n0 = n0(") 2 N tal quePm

k=n+1 ak < " para

todos los m;n 2 N con m > n n0.

Por denicion, una serie de terminos positivos (STP) es una serieP

cn

tal que cn 0 para todo n 2 N. De manera natural, una serie numericaP

an

lleva asociada una STP, a saber,P janj. Se dice que la serie P an es abso-

lutamente convergente cuandoP janj es convergente. Tenemos la siguiente

condicion suciente.

Teorema 1.2.3. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Ademas,

siP

an = S yP janj = S entonces jSj S.


Por ejemplo, la serieP

(1)n3+n2+n=2n converge; en efecto, la serieXj(1)n3+n2+n=2nj =

X(1=2)n

es convergente, ya que j1=2j < 1. Por tanto, si disponemos de criterios de con-vergencia de STPs, obtendremos instrumentos para estudiar la convergencia

ordinaria de series. Recordaremos algunos de esos criterios en la seccion si-

guiente.

1.3. Series de terminos positivos y series al-

ternadas

Trataremos aqu sobre estos dos tipos especiales de series. Se conoce la

siguiente facil caracterizacion de la convergencia de las STPs en funcion de

las sumas parciales.

Teorema 1.3.1. Una STP es convergente si y solo si su sucesion de sumas

parciales esta acotada. En consecuencia, toda STP es convergente o diver-

gente, es decir, no puede ser oscilante.

Recordemos que una permutacion de N no es mas que una biyeccion

' : N ! N. Si P an es una serie y ' es una permutacion de N, a la nuevaserie

Pa'(n) se la llama serie reordenada respecto de la anterior.

Teorema 1.3.2. Las STPs poseen la propiedad conmutativa, es decir, series

reordenadas tienen el mismo caracter, y la misma suma en el caso en que

sean convergentes.

En general, una serie numericaP

an se dice que es incondicionalmente

convergente cuando toda reordenacion suya converge, y a la misma suma.

Una serieP

an se dice que es condicionalmente convergente cuando con-

verge pero alguna reordenacion suya no converge o converge a otra suma.


Como generalizacion del teorema anterior, se tiene el teorema de Riemann{

Dirichlet, que arma que una serieP

an es incondicionalmente convergente

si y solo si es absolutamente convergente.

El siguiente resultado proporciona criterios de convergencia de STPs.

Teorema 1.3.3. SeanP

an yP

bn dos STPs. Se verica:

(a) [Criterio de comparacion] Si existe n0 2 N tal que an bn para todon n0 y

Pbn es convergente, entonces

Pan es convergente. Si existe

n0 2 N tal que an bn para todo n n0 yP

bn es divergente, entoncesPan es divergente.

(b) [Criterio de comparacion por paso al lmite] Si lmn!1

anbn

= L 2 [0;+1)(2 (0;+1], resp.) y P bn es convergente (divergente, resp.), entoncesP

an es convergente (divergente, resp.).

(c) [Criterio de la raz o de Cauchy] Si existe lmn!1 a1=nn =: L 2 [0;+1]

y L < 1 (y L > 1, resp.), entonces la serieP

an es convergente (diver-

gente, resp.).

(d) [Criterio del cociente o de D'Alembert] Si existe lmn!1

an+1an

=: L 2[0;+1] y L < 1 (y L > 1, resp.), la serie P an es convergente (di-vergente, resp.).

(e) [Criterio de Raabe{Duhamel] Si existe lmn!1

n anan+1

1 =: L 2 [0;+1]y L < 1 (y L > 1, resp.), entonces la serie

Pan es divergente (con-

vergente, resp.).

(f) [Criterio de condensacion de Cauchy] Supongamos que fang es decre-ciente. Entonces

Pan es convergente si y solo si

P2n a2n es conver-

gente.


(g) La serie armonica generalizadaP

1na

(a 2 R) es convergente si y solosi a > 1.

Se llama serie alternada a una serie cuyos terminos tienen signo alterno, es

decir, una serie de la formaP

(1)ncn o bienP

(1)n+1cn con cn 0 paratodo n. El teorema siguiente, conocido como Criterio de Leibniz, proporciona

una condicion suciente de convergencia de series alternadas.

Teorema 1.3.4. Consideremos una serie alternada como la anterior. Si la

sucesion fcng es decreciente y cn ! 0, entonces la serie alternada es conver-gente. Ademas, en tal caso, el error cometido en la aproximacion no excede

el valor absoluto del primer termino despreciado; es decir, si Sn es la suma

parcial n-esima de la serie alternada y S es la suma, entonces jSnSj cn+1.Por ejemplo, la as llamada serie anarmonica 1 1

2+ 1

3 1

4+ es

convergente. Este ejemplo tambien muestra que el recproco del Teorema

1.2.3 es falso.

1.4. Otros criterios de convergencia

A veces tenemos una serie que no es absolutamente convergente pero

tampoco alternada, con lo cual no podemos usar los criterios de convergencia

anteriores. En el siguiente teorema se dan dos condiciones sucientes, que se

basan en una descomposicion factorial adecuada del termino general.

Teorema 1.4.1. SeanP

an yP

bn dos series de numeros reales y deno-

temos An =Pn

k=1 ak. Se verica:

(a) [Criterio de Dirichlet] Si la sucesion fAng es acotada y la sucesion fbnges decreciente y con lmite 0, entonces

Panbn es convergente.

(b) [Criterio de Abel] SiP

an converge y la sucesion fbng es monotonaconvergente, entonces

Panbn es convergente.


1.5. Concepto y propiedades de la integral de

Riemann

El concepto de integral es la abstraccion y formalizacion de la idea de

area. Aqu recordaremos la integral de Riemann, mientras que en el Captulo

7 introduciremos la integral, mas general, de Lebesgue.

Consideremos un intervalo cerrado y acotado [a; b] R. Se llama particionde [a; b] a cualquier conjunto nito de puntos de [a; b], uno de los cuales es a y

otro es b. Luego cada particion P de [a; b] consta de puntos xi (i = 0; 1; :::; n)

con a = x0 < x1 < x2 < < xn = b. Sea f una funcion acotada. Se dene lasuma superior de Riemann de f respecto de la particion P como el numero

U(f; P ) =Pn

i=1Mi(xi xi1), donde Mi := supff(t) : xi1 t xig.Analogamente, la suma inferior de Riemann de f respecto de la particion

P se dene como el numero como el numero L(f; P ) =Pn

i=1mi(xi xi1),donde mi := nfff(t) : xi1 t xig. Se tiene que L(f; P ) U(f; P ) paracualesquiera particiones P; P de [a; b].

Denicion 1.5.1. Sea f : [a; b] ! R acotada. A los numeros reales R baf :=

supfL(f; P ) : P particion de [a; b]g y R baf := nffU(f; P ) : P particion de

[a; b]g se les llama, respectivamente, integral inferior de Darboux e integralsuperior de Darboux de f en [a; b].

Se verica que (b a) nfff(t) : a t bg R baf R b

af (b a)

supff(t) : a t bg.

Denicion 1.5.2. Sea f : [a; b] ! R acotada. Se dice que f es integrableRiemann en [a; b] cuando

R baf =

R baf , en cuyo caso se denota este valor

comun porR baf o

R baf(x) dx, el cual se denominara la integral de Riemann

de f en [a; b]. El conjunto de las funciones integrables Riemann en [a; b]

sera denotado por R[a; b].


Como ejemplo trivial, toda funcion constante f(x) c en [a; b] esta enR[a; b], y ademas R b

af = c(ba). En el siguiente teorema resumimos algunas

propiedades de la integral de Riemann.

Teorema 1.5.3. (a) [Linealidad respecto al integrando] R[a; b] es un es-pacio vectorial sobre R. De hecho, si f; g 2 R[a; b] y ; 2 R, entoncesf + g 2 R [a; b] y R b

a(f + g) =

R baf +

R bag.

(b) [Linealidad respecto al intervalo] Si a < c < b y f 2 R[a; c] \ R[c; b]entonces f 2 R[a; b] y R b

af =

R caf +

R bcf .

(c) [Monotona] Si f 2 R[a; b] y f 0 en [a; b] entonces R baf 0. Si

f; g 2 R[a; b] y f g en [a; b] entonces R baf R b

ag.

1.6. Condiciones de integrabilidad

Establecemos aqu dos condiciones de integrabilidad en el sentido de

Riemann, una necesaria y suciente, y otra suciente.

Teorema 1.6.1. [Condicion de Riemann] Sea f : [a; b] ! R acotada. Setiene que f 2 R[a; b] si y solo si, para cada " > 0, existe una particion P de[a; b] tal que U(f; P ) L(f; P ) < ".

Como consecuencia, si una funcion es integrable Riemann en un intervalo,

lo es en cualquier subintervalo de este.

Teorema 1.6.2. Toda funcion continua en [a; b] es integrable Riemann en

dicho intervalo.

En smbolos, el teorema nos dice que C([a; b]) R[a; b]. La anterior no esuna condicion necesaria; por ejemplo, la funcion f : [0; 1]! R denida como1 en x = 0 y 0 en (0; 1] es integrable Riemann, con

R 10f = 0. Veremos en el


Captulo 8 que una funcion acotada en [a; b] es integrable Riemann si y solo

si \no tiene demasiadas discontinuidades", en un sentido que se especicara.

Recordemos que, si f 2 R[a; b], el valor medio integral de f sobre [a; b]se dene como el numero = 1

baR baf(x) dx. Si f 0 en [a; b], representa

la altura de un rectangulo de base el segmento [a; b] y areaR baf . Entonces

m M , donde m y M son respectivamente el nmo y el supremo def en [a; b]. El Teorema del valor medio integral asegura que si f 2 C([a; b])entonces existe algun punto x0 2 [a; b] tal que f(x0) = .

Ya sabemos que cualquier combinacion lineal nita de funciones integra-

bles Riemann es tambien integrable Riemann. El siguiente resultado completa

esta armacion y nos viene a decir que la integral de Riemann es respetuo-

sa con las operaciones elementales. Puede probarse usando la condicion de

Riemann. Recordemos que f+ y f denotan respectivamente la parte positi-

va y la parte negativa de una funcion f , es decir, f+(x) := maxff(x); 0g yf(x) := maxff(x); 0g = nfff(x); 0g. Luego f+ y f son no negativasy se tiene f = f+ f y jf j = f+ + f.

Teorema 1.6.3. Supongamos que f; g 2 R[a; b]. Entonces las funciones f+,f, jf j, f 2 y f g estan tambien en R[a; b].

1.7. Integracion y antiderivacion

Vamos a recordar la relacion que hay entre estas dos operaciones. Re-

sulta que, en un sentido que se especicara mas adelante, ambas coinciden

esencialmente.

Supongamos que I R es un intervalo y f : I ! R es una funcion. Sedice que la funcion F : I ! R es una primitiva de f cuando F 0(x) = f(x)para todo x 2 I. Si el extremo izquierdo a (resp., el extremo derecho b)de I esta en I, entendemos que F 0(a) = F 0+(a) (resp., F

0(b) = F 0(b)). Es


facil ver que dos primitivas de una misma funcion en un mismo intervalo se

diferencian en una constante.

Denicion 1.7.1. Sea f 2 R[a; b]. A la funcion F : x 2 [a; b] 7! R xaf(t) dt

se le llama integral indenida de f en [a; b].

Podemos decir que la operacion de integracion \mejora" las propiedades

de la funcion.

Teorema 1.7.2. Si f 2 R[a; b] entonces su funcion integral indenida escontinua en [a; b].

Los dos resultados que agrupamos en el siguiente teorema son basicos

y expresan la fuerte relacion existente entre integrar y la operacion inversa

de derivar. Si k 2 N, denotaremos por Ck([a; b]) el espacio de las funciones[a; b]! R diferenciables con continuidad hasta orden k inclusive.

Teorema 1.7.3. (a) [Primer teorema fundamental del Calculo]

Sea f 2 R[a; b] y F su funcion integral indenida. Si f es continua enel punto x0 2 [a; b] entonces F es derivable en x0 y F 0(x0) = f(x0). Enparticular, si f 2 C([a; b]) entonces F 2 C1([a; b]).

(b) [Segundo teorema fundamental del Calculo o Regla de Barrow]

Sea f 2 R[a; b]. Si g : [a; b] ! R es una funcion continua que es unaprimitiva de f en (a; b) entonces

R baf = g(b) g(a).

1.8. Cambio de variables e integracion por

partes

Terminamos con este par de resultados, que son importantes desde los

puntos de vista teorico y practico. Si c > d se entendera queR dcf = R c

df ,

siempre que el segundo miembro tenga sentido.


Teorema 1.8.1. [Formula del cambio de variables] Si g 2 C1([a; b]) y f escontinua en g([a; b]), entonces

R g(b)g(a)

f =R ba(f g) g0.

Teorema 1.8.2. [Formula de integracion por partes] Sean f; g : [a; b] ! Rderivables con f 0; g0 2 R [a; b]. Entonces R b

afg0 = f(b)g(b)f(a)g(a)R b

af 0g.

Ejercicios

1.- Demostrar que la sucesion fang converge si y solo si la serieP(an+1 an)

converge. Probar que, en tal caso, si L es el lmite de fang y S es la sumade la serie anterior, entonces S = L a1.

2.- Demostrar el criterio de Pringsheim: SeaP

an una STP. Si existe a > 1 tal

que lmn!1 na an = L 2 [0;+1), entoncesP

an es convergente. Si existe

a 1 tal que lmn!1 na an = L 2 (0;+1], entoncesP

an es divergente.

Indicacion: usar el Teorema 1.3.3.

Como aplicacion, decidir el caracter de la serie

1Xn=2

1

n1n+

2 (e1=n 1)1=2.

3.- Demostrar el criterio logartmico: SeaP

an una STP. Si existe el lmite

lmn!1

ln (1=an)

lnn=: y > 1 (y < 1, resp.), la serie

Pan es convergente

(divergente, resp.). Indicacion: usar el Teorema 1.3.3.

Como aplicacion, decidir el caracter de la serie

1Xn=2

1

(lnn)lnn.

4.- Decidir si son convergentes o no cada una de las siguientes series:

(a)P1

n=1sen (n)n2

, donde 2 R es jo.

(b) 1 13 + 15 17 + .

(c) 1 12 + 23 13 + 24 14 + 25 15 + .

(d)P1

n=1(1)n lognn .

(e)P1

n=21

3pn21 .

(f)P1

n=11

3pn2+1 .


(g)P1

n=1n2

n! .

(h)P1

n=1lognn .

(i)P1

n=21

logn .

(j)P1

n=21

(logn)3.

(k)P1

n=21

(logn)n .

(l)P1

n=2(1)n 1(logn)n .

(m)P1

n=1n2

n3+1.

(n)P1

n=1 sen (1=n).

(o)P1

n=1(1 cos (1=n)).

(p)P1

n=21

n logn .

(q)P1

n=21

n(logn)2.

(r)P1

n=21

n2 logn.

(s)P1

n=1n!nn .

(t)P1

n=12nn!nn .

(u)P1

n=13nn!nn .

5.- (a) Probar que siP

a2n yP

b2n convergen, entoncesP

anbn converge.

(b) Probar que siP

a2n converge, entoncesP

an=n converge.

6.- Supongase que fang es una sucesion decreciente con an 0 para todo n 2 N.Demostrar que si

Pan converge, entonces lmn!1 n an = 0.

Indicacion: utilizar el criterio de Cauchy.

7.- Dar un ejemplo de una sucesion fang tal que an ! 0, la sucesion de sussumas parciales sea acotada y la serie

Pan no converja.

8.- Sean f; g : [a; b] ! R continuas con f g en [a; b]. Probar que R ba f = R ba gsi y solo si f = g en [a; b].


9.- Demostrar que toda funcion monotona en un intervalo cerrado y acotado es

integrable Riemann en dicho intervalo.

10.- (a) Si f 2 C([a; b]), demostrar que R ba f = lmn!1 b annX

k=1

fa+

k(b a)n

.

(b) Calcular el lmn!1

cos(=n) + cos(2=n) + + cos(n=n)n

.

11.- Probar, usando la denicion de integral de Riemann, queR 10 x dx = 1=2.

12.- Consideremos la funcion f : [0; 1]! R dada por

f(x) =

8


16.- Sea f 2 R [a; b]. Probar que, dado " > 0, existe una funcion g 2 C([a; b]) talque g f en [a; b] y Z b

af

Z bag < ":

17.- Consideremos la funcion f : [0; 2]! R dada por

f(x) =

8 1 ;donde por [t] se ha denotado la parte entera del numero real t. >Es f

integrable Riemann en [0; 2]? En caso armativo, calculeseR 20 f(x) dx.

18.- Determinar el area comprendida entre las gracas de las funciones f(x) =

senx y g(x) = cosx en el intervalo [0; 2].

19.- Supongamos que f 2 C[a; b] y que R ba f(x)g(x) dx = 0 para toda funciong 2 C[a; b] que verica g(a) = 0 = g(b). Demostrar que f 0 en [a; b].

Captulo 2

Integrales impropias

En el captulo anterior se ha recordado el concepto de integral de Rie-

mann, denido para una funcion acotada en un intervalo cerrado y acotado

[a; b]. En el presente captulo se va a generalizar dicho concepto para funcio-

nes que, o bien no estan acotadas, o bien estan denidas en un intervalo no

acotado. Ello conduce a las nociones de integral impropia de primera especie

(si el intervalo es no acotado), de integral impropia de segunda especie (si la

funcion es no acotada en un intervalo acotado) y de integrales mixtas (si la

funcion es no acotada cerca de un punto nito y esta denida en un intervalo

no acotado). En todos los casos se procede del mismo modo: se integra en un

subintervalo acotado en el que la funcion este acotada y luego se halla el lmi-

te de dicha integral cuando el subintervalo tiende al intervalo de integracion

dado.

2.1. Integrales impropias de primera especie

En ciertos aspectos, las integrales impropias son analogas a las series.

En estas se consideraba la suma parcial de orden n y se haca tender n!1.En las integrales impropias se hace tender uno de los lmites de integracion

23


hacia +1 o 1. Recordemos que R[a; b] denota el conjunto de las funcio-nes integrables Riemann en [a; b].

Denicion 2.1.1. Sea f : [a;+1)! R tal que f 2 R[a; b] para todo b > a.Consideremos la funcion I : b 2 (a;+1) 7! I(b) = R b

af(x) dx 2 R, que se

llama integral impropia de primera especie de f en [a;+1), y se representapor

R +1a

f ,R1af ,R +1a

f(x) dx oR1af(x) dx. Se dice que la integral

R1af es

convergente cuando existe el lmite I0 = lmb!+1 I(b) y es nito. En tal caso

tambien se dira que f es integrable Riemann impropiamente en [a;+1). Alnumero I0 se le llama valor de la integral impropia de f en [a;+1), y estehecho se escribira como

R1af = I0, es decir,Z 1

a

f(x) dx = lmb!+1

Z ba

f(x) dx:

En cualquier otro caso, diremos que la integral impropiaR1af es divergente.

Notas 2.1.2. 1. Un hecho importante para la practica es que si f tiene una

primitiva F en [a;+1) entonces, gracias a la regla de Barrow,Z 1a

f(x) dx = lmb!+1

(F (b) F (a)) = [ lmb!+1

F (b)] F (a):

2. Si f : (1; b] ! R es una funcion tal que f 2 R[a; b] para todo a < b,se dene analogamente

R b1 f(x) dx = lma!1

R baf(x) dx, siempre que el

lmite exista.

Ejemplos 2.1.3. 1. Sea a > 0 jo y 2 R. Si usamos la regla de Barrow,es facil ver que la integral

R1a

1=x dx diverge si 1 y converge si > 1,en cuyo caso

R1a

1=x dx = 11 .

2. La integral impropiaR10

sen (2x) dx diverge, puesZ 10

sen (2x) dx = lmb!+1

Z b0

sen (2x) dx = lmb!+1

1

2[1 cos(2b)];

y este lmite no existe.

INTEGRALES IMPROPIAS 25

En el caso de funciones denidas en todo R el concepto de integral propia

se dene como sigue.

Denicion 2.1.4. Sea f : R ! R tal que f 2 R[a; b] para todo intervalocerrado [a; b] R. Decimos que la integral impropia R +11 f(x) dx convergesi existe un a 2 R tal que R a1 f(x) dx e R +1a f(x) dx convergen. En estecaso, el valor de la integral impropia viene dado porZ +1

1f(x) dx =

Z a1

f(x) dx+

Z +1a

f(x) dx:

En otro caso se dice que la integral impropia diverge.

Por ejemplo, la integralR +11

11+x2

dx converge y su valor I viene dado

por I =R 01

11+x2

dx+R +10

11+x2

dx = lma!1[arctan 0 arctan a]+ lmb!+1[arctan b arctan 0] = =2 + =2 = .

Notas 2.1.5. 1. Es facil ver a partir de la denicion que cualquier valor de

a es valido si hay convergencia y que en tal caso el valor de la integral no

depende de a.

2. Se llama valor principal de Cauchy de la integralR +11 f al lmite

lmT!+1R TTf . Se suele denotar por V PC

R +11 f . Es evidente que si

R +11 f

converge, su valor es V PCR +11 f . Pero puede que exista y sea nito el valor

principal sin que la integral impropia converja. Por ejemplo, V PCR +11 x dx =

0 pero la integralR +11 x dx diverge.

2.2. Integrales impropias de segunda especie

En este tipo de integrales el intervalo de denicion es acotado. Damos el

concepto cuando f esta denida en un intervalo del tipo [a; b). Analogamente

se procedera si f estuviese denida en un intervalo del tipo (a; b].


Denicion 2.2.1. Sea f : [a; b)! R tal que f 2 R[a; c] para todo c 2 (a; b).Consideremos la funcion I : c 2 (a; b) 7! I(c) = R c

af(x) dx, que se llama

integral impropia de segunda especie de f en [a; b), y se representa porR ba

f ,R ba

f(x) dx, o simplementeR baf(x) dx o

R baf . Se dice que la integral impropiaR b

af es convergente cuando existe el lmite I0 = lmc!b I(c) y es nito. En

tal caso tambien se dira que f es integrable Riemann impropiamente en [a; b).

Al numero I0 se le llama valor de la integral impropia de f en [a; b), y este

hecho se escribira comoR baf = I0, es decir,Z b

a

f(x) dx = lmc!b

Z ca

f(x) dx:

En cualquier otro caso, diremos que la integral impropiaR baf es divergente.

Notemos que en la denicion anterior no se exige que f este acotada. De

hecho, es facil ver usando una particion de [a; b] en dos intervalos adecuados,

que siempre que f este acotada en [a; b], entonces f 2 R[a; b] si y solo si suintegral impropia de Riemann en [a; b) converge, y en este caso el valor de la

integral de Riemann coincide con el de la integral impropia.

Ejemplo 2.2.2. Sea 2 R. Usando la regla de Barrow se obtiene que laintegral impropia

R 10

1xdx converge si y solo si < 1, en cuyo caso la integral

vale 11 . De igual forma, las integrales

R ba

1(xa) e

R ba

1(bx) dx convergen

si y solo si < 1.

Como en el caso de las integrales del tipoR11 f , que podramos llamar

bilateras de primera especie, se puede denir de manera obvia el concepto de

convergencia de una integral bilatera de segunda especieR ba+

f (o simplementeR baf) donde f es una funcion denida en (a; b).


2.3. Integrales mixtas

El concepto de integral impropia mixta surge cuando la funcion esta de-

nida en un intervalo no acotado y no esta acotada cerca del extremo nito

del intervalo, es decir, cuando se combinan una impropiedad de primera es-

pecie y una de segunda especie.

Denicion 2.3.1. Sea f : (a;+1)! R con f 2 R[b; c] para todo intervalocerrado [b; c] (a;+1). Se dice que la integral R +1

af(x) dx, denominada

integral mixta, es convergente si existe b > a tal que las dos integrales impro-

piasR baf(x) dx y

R +1b

f(x) dx convergen, en cuyo caso el valor de la integral

mixta se dene porZ +1a

f(x) dx =

Z ba

f(x) dx+

Z +1b

f(x) dx:

Es facil ver que la eleccion de b en la denicion anterior es irrelevante

para la convergencia de la integral.

Se deja al lector interesado la formulacion de las deniciones adecuadas

de convergencia de integrales mixtas en otros casos similares al dado en esta

seccion.

2.4. Criterios de convergencia. Convergencia

absoluta

Para estudiar la convergencia, solo consideraremos integrales impro-

pias de primera especie. Para integrales de segunda especie, los criterios son

analogos. Vamos a establecer una condicion necesaria y suciente, debida

a Cauchy, y otra suciente, basada en el concepto de convergencia absolu-

ta. Como antes, es tambien facil denir este concepto para otros tipos de

integrales impropias.


Notemos que el siguiente resultado guarda cierta similitud con el criterio

de Cauchy de convergencia de series (Teorema 1.2.2).

Teorema 2.4.1. [Condicion de Cauchy] Supongamos que la funcion f :

[a;+1)! R es tal que f 2 R[a; b] para todo b > a. Son equivalentes:

(a) La integralR +1a

f(x) dx converge.

(b) Para cada " > 0 existe C = C" > a tal que R c

bf(x) dx

< " paratodo c > b > C.

Demostracion. Para cada b > a denotemos I(b) =R baf . Supongamos que (a)

es cierto. Entonces existe I0 = lmb!+1 I(b) 2 R. Fijado " > 0, existe C > atal que jI(b) I0j < "=2 para todo b > C. Fijemos b y c con c > b > C.Entonces jI(b) I0j < "=2 y jI(c) I0j < "=2. Gracias a la desigualdadtriangular,

R cbf(x) dx

= jI(c) I(b)j jI(c) I0j + jI(b) I0j < ". Estoprueba (b).

En cuanto al recproco, partimos ahora de que la condicion (b) se sa-

tisface. Por el Teorema fundamental del lmite, basta demostrar que existe

L 2 R tal que lmn!1 I(bn) = L para toda sucesion fbng [a;+1) conbn ! +1. Fijemos una tal sucesion fbng y un " > 0, y jemos asimismoel numero C = C" > a dado por (b). Existe n0 2 N tal que bn > C paratodo n n0. Se deduce que jI(bm) I(bn)j =

R bmbn

f(x) dx < " siempre que

m;n n0. En otras palabras, la sucesion fI(bn)g es de Cauchy, luego existeL 2 R tal que lmn!1 I(bn) = L. Solo queda probar que el lmite L es elmismo para todas las sucesiones fbng como la anterior. Esto es facil, pues siexistiesen dos sucesiones fbng y fbng en [a;+1) con bn; bn ! +1 de modoque I(bn) ! L e I(bn) ! L, debe ser L = L, ya que la sucesion conjuntaI(b1); I(b

1); I(b2); I(b

2); I(b3); I(b

3); : : : debe converger tambien.


Denicion 2.4.2. Supongamos que la funcion f : [a;+1) ! R es tal quef 2 R[a; b] para todo b > a. Se dice que la integral impropia R +1

af(x) dx es

absolutamente convergente cuandoR +1a

jf(x)j dx converge.

De la desigualdad R c

bf R c

bjf j y del Teorema 2.4.1 se deduce lo si-

guiente.

Teorema 2.4.3. Toda integral impropia absolutamente convergente es con-

vergente.

A la vista del teorema anterior, es conveniente disponer de resultados que

garanticen la convergencia de integrales impropias de funciones no negativas.

De ello nos ocuparemos en la siguiente seccion.

Por completitud, denimos la siguiente nocion. Decimos que la integral

impropiaR +1a

f(x) dx es condicionalmente convergente cuandoR +1a

f(x) dx

converge peroR +1a

jf(x)j dx diverge. Un ejemplo se da en los Ejercicios 2(c)y 3.

2.5. Criterios de convergencia para funciones

positivas

Como se anuncio en la seccion precedente, vamos a establecer varios

resultados que proporcionan condiciones sucientes de convergencia de inte-

grales impropias de funciones no negativas. Igual que antes, lo haremos solo

para el caso de integrales de primera especie, siendo inmediata su extension a

integrales de segunda especie. Los criterios dados evocan los correspondientes

de convergencia de series.

En los dos primeros teoremas y en el corolario, se supone que f; g :

[a;+1)! R son funciones tales que f; g 2 R[a; b] para todo b > a.


Teorema 2.5.1. [Criterio de comparacion] Supongamos que existe x0 atal que 0 f(x) g(x) para todo x x0. Se verica:

(a) SiR1ag converge entonces

R1af converge.

(b) SiR1af diverge entonces

R1ag diverge.

Demostracion. Puesto que (b) es el contrarrecproco de (a), basta probar

(a). Para ello, a su vez, es suciente ver queR1x0f converge (pues

R1af

convergera en tal caso con valorR1x0f +

R x0af). Por ultimo, la convergencia

deR1x0f se deduce de la hipotesis y de la condicion de Cauchy (Teorema

2.4.1), puesR cbf R c

bg siempre que c > b x0.

Corolario 2.5.2. [Criterio mayorante] Supongamos que existe x0 a talque jf(x)j g(x) para todo x x0. Si

R1ag es convergente entonces

R1af

es convergente.

Demostracion. Aplicar el teorema anterior y el Teorema 2.4.3.

Teorema 2.5.3. [Criterio de comparacion por paso al lmite]

Supongamos que f(x) 0 y g(x) > 0 para todo x a.

(a) Si existe lmx!+1f(x)g(x)

= 2 (0;+1), entonces las integrales R1af eR1

ag son simultaneamente convergentes o divergentes.

(b) Si existe lmx!+1f(x)g(x)

= 0 y la integralR1ag es convergente, entoncesR1

af es convergente.

(c) Si existe lmx!+1f(x)g(x)

= +1 y la integral R1ag es divergente, enton-

cesR1af es divergente.

Demostracion. La pruebas de (b) y (c) siguen las mismas ideas que las de

(a), as que solo demostraremos (a). A su vez, para obtener (a) es sucien-

te obtener la convergencia deR1af a partir de la de

R1ag [ya que existe


lmx!+1g(x)f(x)

= 12 (0;+1)]. Por hipotesis, debe existir x0 > a con la

propiedad de que f(x)=g(x) 1 + para todo x x0. Por tanto f(x) (1 + )g(x) para todo x x0. Ahora bien, es obvio que

R1a(1 + )g(x) dx

converge. Basta aplicar ahora el Teorema 2.5.1.

Aprovechando el concepto de integral impropia, concluimos este captulo

con el siguiente criterio integral de convergencia de series numericas.

Teorema 2.5.4. Sea f : [1;+1)! [0;+1) una funcion decreciente tal quef(n) = an para todo n 2 N. Entonces la serie

Pan converge si y solo si la

integral impropiaR11f(x) dx converge.

Demostracion. Notemos que f , al ser monotona, es automaticamente inte-

grable Riemann en cada [1; b] con b > 1. Ademas, de la hipotesis se des-

prende que an 0 para todo n, luego tenemos una serie de terminos posi-tivos. Por tanto

Pan es convergente si y solo si la sucesion de sumas par-

ciales fSn := a1 + + angn1 esta acotada superiormente. DenominemosI(b) =

R b1f si b 1. Como f 0 en [1;+1), la funcion I(b) es creciente. Se

deduce queR b1f converge si y solo si la funcion I(b) esta acotada superior-

mente.

Supongamos en primer lugar que la serie converge. Entonces existe M 2(0;+1) tal que Sn M para todo n 2 N. Fijemos un b 1 y llamemosn = [b], la parte entera de b. Usando que f es decreciente, deducimos que

I(b) =R 21f +

R 32f + + R n

n1 f +R bnf f(1) 1+ f(2) 2+ + f(n 1)

1 + f(n) (n b) a1 + + an = Sn M . Ya que M no depende de b, lafuncion I(b) esta acotada superiormente, luego

R11f converge.

Recprocamente, supongamos queR11f converge. Entonces existe M 2

(0;+1) tal que I(b) M para todo b 1. Si n 2 N resulta, utilizandode nuevo que f es decreciente, que Sn = f(1) + f(2) + + f(n) f(1) +R 21f + + R n

n1 f = f(1) +R n1f = f(1) + I(n) M, donde la cota


M := f(1) +M es independiente de n. Esto muestra la acotacion de (Sn),

y por tanto la convergencia deP

an.

Ejercicios

1.- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias y calcularlas

cuando converjan:

(a)R +10 e

x dx

(b)R +10 x

nex dx (n 2 N)

(c)R 10 log x dx

(d)R 20 log jx 1j dx

(e)R +11

log xx dx

(f)R +11 e

jxj dx

(g)R 10

x1x2 dx

(h)R +10

x(1+x2)2

dx

(i)R 10

x(1x2)1=2 dx.

2.- Estudiar si convergen o no las siguientes integrales impropias:

(a)R +10

sen2xx2

dx

(b)R +10 e

xsen(1=x) dx

(c)R +10

senxx dx ( > 0) [Indicacion: usar integracion por partes]

(d)R +11 sen

2(1=x) dx

(e)R +10 e

x2x2 dx

(f)R10

expxdx

(g)R +10

5exx + x+ 2

e3xex=2 dx

(h)R +10

sen2xx dx


(i)R +10 x

j log xj dx (; 2 R).

3.- Probar la convergencia condicional de la integral del apartado (c) del ejercicio

anterior si 0 < 1. Indicacion: jar N 2 N con N 2 y considerar elconjunto fx 2 [1; N ] : jsenxj 1=2g.

4.- Sea > 1. Demostrar que el area S() de la supercie de revolucion generada

por la curva y = x al girar alrededor de la semirrecta [1;+1) es nita.Calcular S(2).

5.- Supongamos que f : [0; 1]! R es continua, que f(0) = 0 y que f es derivableen el origen. Probar que la integral

Z 10f(x)x3=2 dx es convergente.

6.- Sea f : [0;+1) ! R continua, no negativa y tal que la integral R +10 f esconvergente.

(a) Probar que si existe lmx!1 f(x), entonces lmx!1 f(x) = 0.

(b) >Se cumple necesariamente que lmx!1 f(x) = 0? >Puede ser f no

acotada?

7.- >Puede una funcion integrable Riemann impropiamente en [0;+1) cumplirjf(x)j 1 para todo x 0? >Puede cumplir lo anterior si f es, ademas,continua?

8.- Demostrar que, para cada > 0, la integral () :=R +10 x

1ex dx

converge. Por tanto dene una funcion : (0;+1) ! R, denominada fun-cion gamma de Euler{Gauss. Probar que (1) = 1, que posee la as deno-

minada \propiedad reproductiva" ( + 1) = () (8 > 0), y que esla generalizacion del factorial, en el sentido de que (n+1) = n! para todo

n 2 N0.

9.- Si p; q > 0, pruebese que la integral impropiaR 10 t

p1(1 t)q1 dt converge.A la funcion

: (p; q) 2 (0;+1) (0;+1) 7!Z 10tp1(1 t)q1 dt 2 R


se la llama funcion beta. Vericar la siguiente igualdad, valida para todos

los p; q > 0:

(p; q) =(p)(q)

(p+ q):

En particular, (p; q) = (q; p).

10.- (a) Considerando la serieP1

n=1(e=n)n, demostrar que la integral impropiaR1

0 ey=yy dy converge.

(b) Aplicando el criterio integral (Teorema 2.5.4) junto con un cambio de

variable adecuado y la parte (a), demostrar que la serie1Xn=2

1

(log n)logn

converge.

(c) Aplicando el criterio integral, probar que la serie

1Xn=2

1

(log n)log(logn)

diverge. Indicacion: Utilizar el mismo cambio de variable que en la

parte (b), y demostrar directamente que la integral resultante diverge.

11.- Estudiar la convergencia, segun los valores de p 2 R, de las integrales im-propias

Z 10

(arctanx)p

x(1 + x)2dx e

Z 10

(arctanx)p log x

exx(1 + x2)dx.

Captulo 3

Sucesiones de funciones

En muchas ocasiones, las funciones que se manejan en problemas de la

vida real se construyen utilizando funciones elementales: polinomios, funcio-

nes exponenciales, funciones trigonometricas, inversas de todas ellas y combi-

naciones algebraicas y composicionales de las mismas. Para ellas, se estudian

las propiedades mas basicas, como son la continuidad y derivabilidad, as co-

mo las tecnicas de derivacion e integracion, entre otras. Sin embargo, otros

problemas teoricos o practicos requieren denir las funciones como lmite de

otras. Esto hace necesario el estudio de como traspasar dichas propiedades a

traves del lmite. En este captulo, nos ocupamos de estudiar que propiedades

hereda la funcion lmite, y como ha de denirse este para que el comporta-

miento sea el mejor posible.

3.1. Convergencia puntual y convergencia uni-

forme

En primer lugar, vamos a jar que entenderemos por una sucesion de

funciones.

35


Denicion 3.1.1. Sea A R y F(A) := ffunciones A f!Rg. Una sucesionde funciones en A es una aplicacion ' : N ! F(A). Si '(n) = fn, deno-taremos la sucesion de funciones por ffng11 , ffngn1, ffng o simplemente(fn).

Presentamos un primer concepto de lmite que no es mas que el de una

convergencia punto a punto.

Denicion 3.1.2. Sea (fn) una sucesion de funciones en A R. Considere-mos el conjunto B := fx 2 A : 9 lmn!1 fn(x) 2 Rg. La funcion f : B ! Rdenida por f(x) = lmn!1 fn(x) se denomina funcion lmite puntual de la

sucesion (fn) y se dice que (fn) converge puntualmente a f en B.

Tambien se dice que (fn) converge simplemente a f en B o que f es el

lmite simple de (fn) en B. Al conjunto B se le suele denominar campo de

convergencia o dominio de convergencia de la sucesion (fn).

Por ejemplo, la sucesion de funciones fn(x) :=x

1 + nx(n 1) denidas

sobre [0; 1] converge puntualmente a la funcion f 0 en [0; 1]. Y la sucesionde funciones gn(x) := x

n (n 1) tiene por lmite puntual en [0; 1] a la funcion

g(x) =

8

SUCESIONES DE FUNCIONES 37

Observemos que el k de la denicion anterior depende de ", pero no de

x. La interpretacion geometrica es la siguiente: la gracas en B de todas las

funciones fn se situan, a partir de la k-esima, en una banda de anchura 2"

centrada en la graca de f .

Es evidente que si (fn) converge a f uniformemente en un conjunto enton-

ces f es el lmite puntual de (fn) en dicho conjunto. Mostraremos mas abajo,

con un ejemplo, que la implicacion recproca no es cierta. Por supuesto, la

funcion lmite puntual (y por tanto la funcion lmite uniforme) es unica, si

existe.

Notemos tambien el hecho {que, por cierto, ofrece un criterio muy practico

para descubrir convergencia uniforme{ de que fn ! f uniformemente en Asi y solo Mn ! 0, donde Mn := supx2A jfn(x) f(x)j.

Ejemplos 3.1.4. 1. La sucesion funcional fn(x) :=x

1 + nx(n 1; x 2 [0; 1])

vista anteriormente converge uniformemente a la funcion 0 en [0; 1]. En efecto,

j x1+nx

0j = x1+nx

1npara todo n y todo x 0. Fijado " > 0, de ser 1=n! 0

se deduce la existencia de k 2 N tal que 1=n < " para todo n k, luegoj x1+nx

0j < " para todo x 2 [0; 1] y para los mismos valores de n.2. Sin embargo, la sucesion gn(x) := x

n (n 1; x 2 [0; 1]) no convergeuniformemente en [0; 1]. En efecto, si convergiera, lo hara a su funcion lmite

puntual g vista anteriormente. Pero es claro que Mn := supx2[0;1] jgn(x) g(x)j supx2[0;1) xn = 1 para todo n 2 N, luego Mn 6! 0.

En el siguiente teorema, conocido como condicion de Cauchy, se da una

condicion equivalente a la convergencia uniforme de sucesiones funcionales.

Esta propiedad, que no tiene demasiada aplicacion practica, es muy util des-

de el punto de vista teorico, pues ayuda a descubrir convergencia uniforme

sin necesidad de conocer el posible lmite, ya que este no aparece en su for-

mulacion.


Teorema 3.1.5. Sea (fn) una sucesion de funciones en A R. Son equiva-lentes:

(a) (fn) tiende uniformemente a alguna funcion denida en A.

(b) 8" > 0 9k = k(") 2 N tal que jfm(x)fn(x)j < " 8m;n k y 8x 2 A.

Demostracion. Supongamos que fn ! f uniformemente en A y que " > 0.Entonces existe k 2 N tal que jfn(x) f(x)j < "=2 para todo n k y todox 2 A. Si ahora m;n k y x 2 A, de la desigualdad triangular se inere quejfm(x) fn(x)j jfm(x) f(x)j + jfn(x) f(x)j < ". Esto prueba que (a)implica (b).

Para la implicacion recproca, supongase que (b) es cierto. Si jamos

x 2 A, de la condicion de Cauchy para sucesiones numericas obtenemos queexiste un numero real x tal que lmn!1 fn(x) = x. Denamos la funcion

f : A ! R como f(x) = x. Resta probar que fn ! f uniformemente enA. Para ello, jemos " > 0. Por hipotesis, podemos encontrar un k 2 N talque jfn(x) fm(x)j < "=2 para todos los n;m k y todo x 2 A. Si jamosn k y hacemos m!1, resulta jfn(x) f(x)j "=2 < " para todo x 2 A,y esto es (a), como queramos.

3.2. Algebra de sucesiones uniformemente con-

vergentes

En esta seccion estudiaremos el comportamiento del lmite uniforme

respecto de las operaciones algebraicas mas usuales. Para la suma, el resul-

tado es inmediato sin hipotesis adicionales. Para el producto y el cociente,

sera necesario el siguiente resultado tecnico (Proposicion 3.2.1), que es in-

teresante por s mismo. La acotacion que expresa es necesaria para mantener

la convergencia uniforme en el producto.


Una sucesion de funciones (fn) denidas en un conjunto A R se dice quees uniformemente acotada en A cuando existe una constante M 2 (0;+1)tal que jfn(x)j M para todo x 2 A y todo n 2 N.

Proposicion 3.2.1. Una sucesion uniformemente convergente de funciones

acotadas en A R, es uniformemente acotada en A. En tal caso, la funcionlmite es asimismo acotada en A.

Demostracion. Supongamos que fn ! f uniformemente en A y que, paracada n 2 N, existe una constante n 2 (0;+1) tal que jfn(x)j n paratodo x 2 A. Dado " = 1, existe segun el Teorema 3.1.5 un k 2 N tal quejfn(x) fk(x)j < 1 para todo n k y todo x 2 A, luego, por la desigualdadtriangular, jfn(x)j < 1 + jfk(x)j 1 + k para los mismos valores de n yx. En consecuencia, jfn(x)j M para todo x 2 A y todo n 2 N, dondeM := maxf1; : : : ; k1; 1 + kg. As que (fn) es uniformemente acotada.Finalmente, como f es el lmite uniforme de (fn), dado " = 1, existe m 2 Ntal que jfm(x) f(x)j < 1 para todo x 2 A. De la desigualdad triangular sededuce que jf(x)j < 1 + jfm(x)j 1 + m para todo x 2 A. Por tanto f esacotada en A.

Por ejemplo, sea A = (0; 1), f(x) 1=x y fn(x) =8


(b) Si cada funcion fn y cada funcion gn es acotada en A entonces la su-

cesion producto (fn gn) tiende a f g uniformemente en A.

(c) Supongamos que cada funcion fn es acotada, que gn(x) 6= 0 para todon 2 N y todo x 2 A, y que existe 2 (0;+1) tal que jg(x)j paratodo x 2 A. Entonces la sucesion cociente (fn=gn) tiende uniforme-mente a f=g en A.

Demostracion. El apartado (a) es inmediato a partir de las deniciones y de

la propiedad triangular. Supongamos pues que estamos en las hipotesis de

(b). Entonces fn ! f y gn ! g uniformemente en A y, por la proposicionanterior, existe M 2 (0;+1) tal que jfn(x)j M , jgn(x)j M , jf(x)j My jg(x)j M para todo x 2 A y todo n 2 N. Observemos ahora que

jfn(x)gn(x) f(x)g(x)j = jfn(x)(gn(x) g(x)) + g(x)(fn(x) f(x))j jfn(x)(gn(x) g(x))j+ jg(x)(fn(x) f(x))jM jfn(x) f(x)j+M jgn(x) g(x)j:

Dado " > 0, podemos encontrar k 2 N tal que jfn(x) f(x)j < "=(2M) yjgn(x)g(x)j < "=(2M) para todo n k y todo x 2 A. As que jfn(x)gn(x)f(x)g(x)j < " para los mismos valores de n y x. Esto prueba (b).

Demostremos (c), que es el caso del cociente. Observemos que se deriva

del caso del producto sin mas que probar que cada funcion 1=gn esta acotada

a partir de cierto numero natural y que 1=gn ! 1=g uniformemente en A.Para lo primero, como gn ! g uniformemente en A, existe m 2 N quesatisface jgn(x) g(x)j < =2 para todo x 2 A y todo n m. Se deduce quejgn(x)j jg(x)j jgn(x) g(x)j > =2 = =2, luego j1=gn(x)j < 2=para los mismos valores de n y x. En cuanto a la convergencia uniforme de

(1=gn), notemos que 1gn(x)

1g(x)

= jgn(x) g(x)jjgn(x)jjg(x)j 22 jgn(x) g(x)j


para todo n m y todo x 2 A, de donde se deduce facilmente lo que sequiere.

Por ejemplo, si A = (0; 1), fn(x) 1=n, gn(x) 1=x, f(x) 0 y g(x) 1=x, entonces fn ! f y gn ! g uniformemente en A, pero (fngn) no tiende afg uniformemente en A. En efecto, fg 0 y supx2A jfn(x)gn(x)f(x)g(x)j =sup0


Por ejemplo, ya sabemos que la sucesion fn(x) = xn tiende puntualmente

en [0; 1] a la funcion que vale 0 en [0; 1) y 1 en el punto 1. Ya que esta funcion

no es continua en [0; 1] pero cada fn s lo es, se deduce que la convergencia

no es uniforme.

Para la propiedad de derivacion, es necesario reforzar las hipotesis. Sera ne-

cesario exigir que la sucesion de derivadas sea uniformemente convergente.

Esto, junto con la convergencia de la sucesion en un solo punto, implica la

convergencia uniforme de la sucesion. Esto es, la hipotesis de convergencia

para las derivadas implica la de la propia sucesion. Las derivadas en los ex-

tremos a y b se entiende que son las laterales f 0+(a) y f0(b).

Teorema 3.3.2. Sea fn : [a; b] ! R (n 1) una sucesion de funcionesderivables tales que:

(a) (f 0n) converge uniformemente en [a; b] a cierta funcion g y

(b) existe x0 2 [a; b] de modo que la sucesion numerica (fn(x0)) converge.

Entonces existe una funcion f : [a; b]! R tal que fn ! f uniformemente en[a; b], f es derivable en [a; b] y f 0(x) = g(x) para todo x 2 [a; b].

Demostracion. Supongamos que c 2 [a; b] y denamos una nueva sucesion(gn) como sigue:

gn(x) =

8


donde h(x) := fm(x) fn(x). Aplicando a h el teorema del valor medio,obtenemos

gm(x) gn(x) = f 0m(x1) f 0n(x1); [1]donde x1 esta comprendido entre x y c. Por hipotesis, (f

0n) converge uniforme-

mente. Gracias a [1] y a la condicion de Cauchy (Teorema 3.1.5), obtenemos

que (gn) converge uniformemente en [a; b].

Probemos que (fn) converge uniformemente en [a; b]. Formemos la su-

cesion particular (gm) que resulta haciendo c = x0. Por denicion de gn,

tenemos

fm(x) fn(x) = fm(x0) fn(x0) + (x x0)(gm(x) gn(x))

para todo x 2 [a; b]. Esta igualdad, con el auxilio de la condicion de Cauchy,establece la convergencia uniforme de (fn) en [a; b] a cierta funcion f .

Para demostrar (b), volvamos a la sucesion (gn) denida a principio para

un punto arbitrario c 2 [a; b]. Sea G(x) := lmn!1 gn(x). Como f 0n existe,tenemos que lmx!c gn(x) = gn(c) para cada n. En otras palabras, cada gn

es continua en c. Ya que gn ! G uniformemente en [a; b], la funcion G estambien continua en c. Esto signica que

9 lmx!c

G(x) = G(c): [2]

Pero para x 6= c tenemos

G(x) = lmn!1

gn(x) = lmn!1

fn(x) fn(c)x c =

f(x) f(c)x c :

Luego [2] establece que la derivada f 0(c) existe y coincide con G(c). Ahora

bien, G(c) = lmn!1 gn(c) = lmn!1 f 0n(c) = g(c) y, por tanto, f0(c) = g(c).

Puesto que c es arbitrario, el teorema queda demostrado.

Ejemplo 3.3.3. La sucesion funcional fn : [1; 1] ! R (n 1) dada porfn(x) = 0 si x 0 y fn(x) = x1+ 1n si x > 0 esta formada por funciones deri-vables y converge uniformemente en [1; 1] a la funcion f dada por f(x) = 0


si x 0 y f(x) = x si x > 0, pero la funcion f no es derivable en el 0. Losdetalles se dejan como ejercicio.

3.4. Convergencia uniforme e integracion

La integrabilidad se propaga a traves del lmite uniforme, como muestra

el siguiente resultado.

Teorema 3.4.1. Si fn ! f uniformemente en [a; b] y cada fn 2 R[a; b],entonces f 2 R[a; b] y

lmn!1

Z ba

fn(x) dx =

Z ba

f(x) dx:

Demostracion. Llamemos gn := f fn para cada n 2 N. Entonces gn ! 0uniformemente en [a; b]. Dado " > 0, existe m 2 N tal que

jgn(x)j < "4(b a) para todo x 2 [a; b] y todo n m: [3]

Ademas, por la convergencia uniforme y por estar cada fn acotada en [a; b],

f tambien esta acotada en [a; b] (Teorema 3.2.1). Como fm es integrable-

Riemann, por el Teorema 1.6.1 podemos encontrar una particion P de [a; b]

tal que U(fm; P ) L(fm; P ) < "=2. Por otra parte, es facil ver a partir delas deniciones y de [3] que U(gm; P ) < "=4 y L(gm; P ) > "=4. Asimismo,se tienen las desigualdades elementales U(F +G;P ) U(F; P ) +U(G;P ) yL(F +G;P ) L(F; P ) + L(G;P ). Ya que f = fm + gm, se deduce que

U(f; P )L(f; P ) U(fm; P )L(fm; P )+U(gm; P )L(gm; P ) < "2+"

4+"

4= ":

De acuerdo con el Teorema 1.6.1, f 2 R[a; b].En cuanto al lmite del enunciado, observemos que gracias a [3] y a la

conocida desigualdad R b

aF R b

ajF j, se obtieneZ b

a

fn Z ba

f

Z ba

jgnj "4(b a) (b a) < "


para todo n m. Esto prueba la igualdad deseada.

Ejemplos 3.4.2. 1. En el Teorema 3.4.1, la convergencia uniforme es su-

ciente, pero no es necesaria. Para ilustrarlo, consideremos la sucesion fn(x) =

nx(1x)n (n 2 N; x 2 [0; 1]). Entonces (fn) no es uniformemente convergen-te en [0; 1] pero se verica la igualdad del teorema anterior. La comprobacion

se deja como ejercicio.

2. Demos un ejemplo para el que no es cierto el enunciado del teorema ante-

rior cuando las integrales de Riemann se sustituyen por integrales impropias.

Sea gn(x) =n

n2+x2(n 2 N; x 2 [0;+1)). Se tiene que gn ! 0 uniformemen-

te en [0;+1). Pero lmn!1R10gn(x) dx = lmn!+1 lmT!1[arctan(T=n)

arctan 0] = lmn!1 =2 = =2 6= 0 =R10

0 dx.

Ejercicios

1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de

funciones:

(a) fn(x) =x

nx+ 1en [0; 1].

(b) fn(x) = npx en [0; 1].

(c) fn(x) = (1 x)n en [0; 1].

(d) fn(x) = nffn; 1=xg en (0;+1).

(e) fn(x) =1 + x log x

nx+ xen (0;+1).

(f) fn(x) =1 xn1 + xn

en (0;+1).

(g) fn(x) = maxfx n; 0g en R.

(h) fn(x) =log(x+ n)

nexen [0;+1).

2.- Comprobar que la sucesion (fn) converge en todo R pero que lmn!1 f 0n(x) 6=(lmn!1 fn(x))0 en los siguientes casos:


(a) fn(x) =1pnsen (nx).

(b) fn(x) =x

1 + nx2.

3.- Comprobar, con las sucesiones de funciones siguientes, que el hecho de que

(fn) converja puntualmente a f en [a; b] no es condicion necesaria para que

lmn!1R ba fn =

R ba f :

(a) fn(x) =1

1 + n2x2en [0; 1].

(b) fn(x) =1 + nx2

1 + nxen [0; 1].

4.- Cosideremos la sucesion de funciones fn : R! R denida fn(x) = x2n

1 + x2n.

(a) Estudiar su convergencia puntual.

(b) Dados a y b con 0 < b < 1 < a, estudiar su convergencia uniforme

en cada uno de los subconjuntos [1;+1), (1;+1), [a;+1), [b; b],[a;+1) [ [b; b].

5.- Probar que toda funcion continua en [0; 1] es lmite uniforme de una sucesion

de poligonales (funciones continuas lineales a trozos). >Ocurre lo mismo con

la funcion f(x) = 1=x en (0; 1)?

6.- Demostrar el teorema de convergencia uniforme de Dini: Sean A R unsubconjunto compacto y fn : A ! R (n 2 N) una sucesion de funcio-nes continuas convergente puntualmente en A a cierta funcion continua f .

Si fn(x) fn+1(x) para todo x 2 A y todo n 2 N, entonces fn ! funiformemente en A.

7.- Supongamos que fn ! f uniformemente en un conjunto A R, y que g :R! R es una funcion uniformemente continua. Pruebese que g fn ! g funiformemente en A.

Captulo 4

Series de funciones

En el presente captulo estudiaremos las series de funciones. El concepto

de serie de funciones se basa en la sucesion de sumas parciales asociada a una

sucesion de funciones dadas. En la primera seccion deniremos los conceptos

de convergencia puntual y uniforme de una serie de funciones. A continua-

cion, y basandonos en los resultados del captulo anterior, analizaremos la

continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la funcion lmite. Finalizare-

mos el captulo con el criterio de Weierstrass, que resultara un instrumento

de gran aplicacion practica a la hora de poder asegurar que una serie de

funciones converge uniformemente.

4.1. Deniciones: sumas puntual y uniforme

Reunimos en la siguiente denicion los conceptos de serie de funciones,

convergencia puntual y convergencia uniforme.

Denicion 4.1.1. Sea (fn) una sucesion de funciones denidas en un con-

junto A R.

(a) Llamaremos serie de funciones de termino general fn a la sucesion de

47


funciones formada por las sumas parciales sn(x) := f1(x)+ + fn(x).Se denota por

P1n=1 fn,

Pn fn o

Pfn.

(b) Se dice que la serieP

fn converge puntualmente o converge simple-

mente a una funcion f : A! R cuando la sucesion de sumas parcialesasociada (sn) converge a f puntualmente en A. En tal caso, diremos

que f es la suma puntual deP

fn y se denotaraP

fn = f .

(c) Se dice que la serieP

fn converge uniformemente o a una funcion

f : A! R cuando la sucesion de sumas parciales asociada (sn) convergea f uniformemente en A. En tal caso, diremos que f es la suma uniforme

deP

fn y se denotaraP

fn = f uniformemente en A.

Es obvio que la convergencia uniforme de una serie funcional a una funcion

implica su convergencia puntual a la misma funcion. El recproco es falso en

general.

Ejemplo 4.1.2. Consideremos la serie funcionalP

n fn en A = R, donde

fn(x) =nx2

n3+x2. Para todo x 2 R tenemos jfn(x)j x2=n2. De la convergencia

deP

1=n2, del criterio de comparacion y del criterio de convergencia absoluta

(ver Captulo 1) resulta queP

n fn converge puntualmente en R. Sin embargo,

no converge uniformemente en R (ver seccion 4.3).

4.2. Relacion con la continuidad, derivacion

e integracion

La demostracion de los siguientes resultados se basa en los teoremas

analogos probados en el tema anterior, sustituyendo la sucesion de funciones

por la sucesion de sumas parciales asociada a la una serie de funciones. Por

tal motivo, las pruebas seran omitidas.

SERIES DE FUNCIONES 49

Teorema 4.2.1. [Convergencia uniforme de series y continuidad]

Supongamos queP

n fn = f uniformemente en A R, y que x0 2 A. Si cadafuncion fn es continua en x0, entonces f es continua en x0. En particular,

si cada fn es continua en A, entonces f es continua en A.

Teorema 4.2.2. [Convergencia uniforme de series e integracion]

SiP

n fn = f uniformemente en un intervalo [a; b] R y cada fn 2 R[a; b],entonces f 2 R[a; b] yX

n

Z ba

fn(x) dx =

Z ba

f(x) dx:

Teorema 4.2.3. [Convergencia uniforme de series y derivacion]

Sea fn : [a; b]! R (n 1) una sucesion de funciones derivables tales que:

(a)P

n f0n converge uniformemente en [a; b] a cierta funcion g y

(b) existe x0 2 [a; b] de modo que la serie numericaP

n fn(x0) converge.

Entonces existe una funcion f : [a; b]! R tal quePn fn = f uniformementeen [a; b], f es derivable en [a; b] y f 0(x) = g(x) para todo x 2 [a; b].

Los teoremas anteriores expresan que, bajo las hipotesis adecuadas, se

puede intercambiar la operacion de suma innita con la de, respectivamente,

tomar lmite cuando x! x0, integrar en [a; b] y tomar derivadas.

4.3. Criterios de convergencia uniforme

En esta seccion estudiaremos condiciones necesarias y sucientes que

nos permitan asegurar la convergencia uniforme de una serie de funciones sin

tener conocimiento del valor de la funcion lmite.

Teorema 4.3.1. [Condicion de Cauchy de convergencia uniforme de series

de funciones] Sea (fn) una sucesion de funciones en A R. Son equivalentes:


(a)P

n fn tiende uniformemente en A a alguna funcion denida en A.

(b) Para cada " > 0 existe k = k(") 2 N tal que Pmj=n+1 fj(x) < "para todos los m;n 2 N con m > n k y todo x 2 A.

Demostracion. Simplemente aplicar la condicion de Cauchy de convergencia

uniforme de sucesiones funcionales (Teorema 3.1.5) a la sucesion de sumas

parciales de (fn).

Una sencilla, pero util, condicion necesaria de convergencia uniforme de

series resulta como consecuencia del resultado anterior, sin mas que hacer

m = n+ 1 en la propiedad (b). La exponemos a continuacion.

Corolario 4.3.2. SiP

fn converge uniformemente en A R entoncesfn ! 0 uniformemente en A.

Como ilustracion, la serie del Ejemplo 4.1.2 no converge uniformemente

en R, ya que supx2R jfn(x) 0j jfn(n)j = n3n3+n2 !n!1 1 6= 0, luego fn 6! 0uniformemente en R.

La condicion de Cauchy es la clave para la demostracion del siguiente

resultado, con el que cerramos el tema, conocido como criterio mayorante de

Weierstrass para la convergencia uniforme, o criterio M de Weierstrass, que

tiene gran aplicacion practica.

Teorema 4.3.3. SeaP

n fn una serie de funciones denida en un conjunto

A R. Supongamos que existe una sucesion (an) (0;+1) tal que la serienumerica

Pn an es convergente y jfn(x)j an para todo n 2 N y todo

x 2 A. Entonces Pn fn converge uniformemente en A.Demostracion. Fijemos " > 0. Por la condicion de Cauchy de convergencia de

series numericas, podemos encontrar k 2 N tal que Pmj=n+1 aj < " para todoslos m;n 2 N con m > n k. Por la desigualdad triangular y la hipotesis

SERIES DE FUNCIONES 51

de mayoracion, tenemos quePm

j=n+1 fj(x) Pmj=n+1 aj < ". Basta aplicar

ahora el Teorema 4.3.1.

Ejemplo 4.3.4. Hemos visto que la serie de funcionesP1

n=1nx2

n3+x2, si bien

converge puntualmente en R, no lo hace uniformemente. Sin embargo, es

uniformemente convergente en cada intervalo [0; a] con a > 0. En efecto, si

llamamos fn(x) al termino general de nuestra serie y an := a2=n2, resulta que

jfn(x)j an para todo n 2 N y todo x 2 [0; a]. Ya queP

1=n2 converge,

podemos aplicar el criterio M de Weierstrass.

Ejercicios

1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes series de fun-

cionesP

fn:

(a) fn(x) =1 3 (2n 3)

2nn!(1 x)n en [0; 1] y [1; 1].

(b) fn(x) =1

(1 + x)nen [a;+1), donde a > 0.

(c) fn(x) =nx2

n3 + x3en [0; a], donde a > 0.

(d) fn(x) = 3n2xn

2en R, en (1=3; 1=3) y en [0; 1=4].

2.- Sea la sucesion (fn) denida en [0; ] como fn(x) =senx

(1 + senx)n.

(a) Estudiar la convergencia puntual de la serieP1

n=0 fn(x) y sumarla

cuando sea convergente.

(b) Probar que si 0 < a < =2 la convergencia es uniforme en [a; a].(c) >Es uniforme la convergencia en [0; ] >Y en (0; =2)?

3.- Sea A R, y supongamos que (fn) es una sucesion de funciones tal quefn ! 0 uniformemente en A. Supongamos que fn(x) fn+1(x) para todox 2 A y todo n 2 N. Estudiar si la serie P1n=1(1)n+1fn(x) convergeuniformemente en A.


4.- Justifquese que la serie de funciones

1Xn=1

x2

(1 + x2)nconverge puntualmente

en todo R, que converge uniformemente en cada intervalo acotado y que, en

cada intervalo no acotado, no hay convergencia uniforme.

5.- Consideremos la sucesion de funciones (fn) denidas en [0; ] como fn(x) =

senx (cosx)n para cada n 2 N0.

(a) Demostrar que fn ! 0 uniformemente en [0; ].

(b) Comprobar que la serieP1

n=0 fn(x) es puntualmente convergente y

calcular su suma.

(c) Estudiar la convergencia uniforme de la serie en [a; =2], donde 0 a < =2, y en [=2; ].

6.- Sea la sucesion de funciones fn(x) = (1 x2)x3n.

(a) Probar que fn ! 0 uniformemente en [1; 1].

(b) Estudiar la convergencia puntual de la serieP1

n=1 fn(x) en R. Calcular

su suma en el caso de convergencia.

(c) Estudiar la convergencia uniforme en [0; a], [0; 1] y [1; 0], siendo 0 Es uniforme la

convergencia?

(b) Calcular, si convergen, la suma de las seriesP1

n=0

R 11=2 fn y

P1n=0

R 10 fn.

10.- (a) Se llama serie de Dirichlet a una serie de funciones de la formaP1

n=1annx ,

donde fang11 R n f0g. Recordar que := e log. Demostrar que,si existe L := lmn!1

log janjlogn 2 R, entonces la serie de Dirichlet dene

una funcion continua en el intervalo (1 + L;+1).

(b) Probar que la serie funcionalP1

n=1annx dene una funcion continua

(x) en (1;+1), la cual se denomina funcion zeta de Riemann. De-mostrar que, para cada x > 1, se tiene que

1

(x)= lm

n!1

nYk=1

(1 pnk );

donde (pn) es la sucesion creciente de los numeros naturales primos, es

decir, p1 = 2; p2 = 3; p3 = 5; p4 = 7; p5 = 11; : : : .

11.- Demostrar el siguiente resultado. Consideremos la serie funcionalP

fngn,

donde fn; gn : A R! R. Sea (Fn) la sucesion de sumas parciales de (fn).Se tiene:

(a) Criterio de Dirichlet de convergencia uniforme de series: Si (Fn) esta uni-

formemente acotada en A, gn+1(x) gn(x) para cada x 2 A y cadan 2 N, y gn ! 0 uniformemente en A, entonces

Pfngn converge

uniformemente en A.


(b) Criterio de Abel de convergencia uniforme de series: SiP

fn converge

uniformemente en A hacia una funcion acotada, las gn son uniforme-

mente convergentes en A a una funcion acotada y, o bien gn(x) gn+1(x) (x 2 A; n 2 N) o bien gn(x) gn+1(x) (x 2 A; n 2 N),entonces

Pfngn converge uniformemente en A.

Indicacion: Usar la siguiente formula de sumacion de Abel, la cual se de-

muestra por induccion. Sean a1; : : : ; an; b1; : : : ; bn 2 R y denotemos An =Pnk=1 ak. Entonces

nXk=1

akbk = Anbn+1 nX

k=1

Ak(bk+1 bk).

Captulo 5

Series de potencias

En este captulo estudiaremos las series de potencias, que son un caso

particular muy importante de series de funciones. Comenzaremos compro-

bando que la convergencia puntual y la convergencia uniforme de una serie

de potencias dependen exclusivamente del radio de convergencia, el cual se

obtiene a traves del calculo de un cierto lmite. En la segunda seccion estudia-

remos la continuidad, integrabilidad y derivabilidad de la funcion lmite de

una serie de potencias denida en el intervalo de convergencia. Analizaremos

el comportamiento en la frontera del intervalo de convergencia mediante el

criterio de Abel y nalizaremos el tema deniendo las funciones analticas.

Veremos condiciones sucientes que garanticen que una funcion innitamen-

te derivable es analtica y obtendremos la expresion en serie de potencias de

diversas funciones conocidas.

5.1. Radio e intervalo de convergencia de una

serie de potencias

Las series de potencias constituyen el ejemplo mas sencillo y quiza mas

55


importante dentro de las series funcionales. Tras la denicion, vamos a ver

que su dominio de convergencia es un intervalo de la recta real. Este intervalo

se puede determinar a partir de los coecientes de la serie.

Denicion 5.1.1. Una serie de potencias (SP) es una serie de funciones del

tipoP1

n=0 an(xa)n = a0+a1(xa)+a2(xa)2+ , donde an 2 R paratodo n = 0; 1; 2; : : : . El punto a se dice que es el centro de la SP, mientras

que los numeros an se conocen como los coecientes de la serie.

Por tanto, el termino n-esimo de una serie de potencias es un monomio

de grado n o es nulo. Las siguientes series de funciones son ejemplos de series

de potencias:1Xn=0

xn

n!,

1Xn=1

(1)nxn

n,

1Xn=1

1

n2(x 1)n.

Teorema 5.1.2. [Formula de Cauchy{Hadamard] SeaP1

n=0 an(x a) unaserie de potencias centrada en a, y sea = lm supn!1

npjanj. Denotemos

R := 1=, si se entiende esta expresion en la recta real extendida, de modo

que R = 0 si = +1 y R = +1 si = 0. Se verica:

(a) Si 0 < R < +1, la SP es absolutamente convergente en cada puntodel intervalo abierto (a R; a + R), y no converge en ningun punto xcon jxaj > R. Ademas, la serie converge uniformemente en cualquiersubconjunto compacto de (aR; a+R).

(b) Si R = +1, la SP es absolutamente convergente en cada punto de R,y converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto de R.

(c) Si R = 0 la SP solo converge en el punto a.

Se llama intervalo de convergencia de la SP al conjunto (aR; a+R), a Ro a ;, segun que, respectivamente, se de el caso (a), (b) o (c). El numero R 2[0;+1] denido en el teorema anterior se denomina radio de convergenciade la SP. Es evidente que, si I es el intervalo de convergencia de una SP y D

es su dominio de convergencia, entonces I D I.

SERIES DE POTENCIAS 57

Demostracion del Teorema 5.1.2. Probaremos solo (a) [los apartados (b)

y (c) son mas faciles y se demuestran de modo analogo]. Sea pues 0 R. Eli-jamos cualquier con 1jxaj < 1 para todo k 2 N:

Se deduce que la sucesion fan(x a)ng tiene una sucesion parcial que notiende a 0, luego ella misma no tiende a 0. Por la condicion necesaria de

convergencia de series,P1

n=0 an(x a)n no converge.Por ultimo, jemos un compacto K (a R; a + R). Entonces K es

acotado y cerrado, luego su nmo y su supremo estan en K, as que estan

en (a R; a + R). En consecuencia, existe un intervalo cerrado J con K J (a R; a + R). Es claro que podemos suponer que J = [a r; a + r]para algun r 2 (0; R). Por lo ya demostrado, la SP converge absolutamenteen el punto a + r, es decir, la serie

P1n=0 janjrn es convergente. Esta es una

serie numerica de terminos positiva que cumple jan(x a)nj janjrn paratodo x 2 J y todo n 2 N. Por el criterio M de Weierstrass (Teorema 4.3.3),nuestra SP es uniformemente convergente en J , y por tanto en K. 2

El resultado anterior no arma nada sobre el comportamiento de la se-

rie en los extremos del intervalo de convergencia. Por ejemplo, las series de


potencias1Xn=1

xn

n2;

1Xn=1

(1)nxn

n;

1Xn=0

x2n

tienen radio de convergencia R = 1 y las tres presentan comportamientos

distintos en los extremos del intervalo de convergencia, es decir, en los puntos

1.A continuacion, damos una variante de la formula de Hadamard que es

util en muchos casos.

Proposicion 5.1.3. SeaP1

n=0 an(xa)n una SP. El radio de convergenciade esta serie viene dado por R = lm

n!1

anan+1

, siempre que exista este lmite.Demostracion. Como R es el unico numero de [0;+1] tal que la serie con-verge siempre que jx aj < R y diverge siempre que jx aj > R, bastaprobar que, si := lmn!1

anan+1

, entonces goza de la misma propiedad.Pues bien, si x es tal que jx aj < , tenemos que lmn!1 an+1jxajn+1anjxajn < 1.Por el criterio del cociente (ver Captulo 1), la serie

P1n=0 an(x a)n es ab-

solutamente convergente, luego es convergente. Por ultimo, si jx aj > , setiene que existe n0 2 N tal que jx aj

anan+1

para todo n n0, de dondese deduce que la sucesion fjan(x a)njgnn0 es creciente, luego no tiende a0. Pero entonces el termino general de nuestra SP tampoco tiende a 0 en el

punto x, as que, por la condicion necesaria de convergencia (ver Captulo

1), la SP no converge en dicho punto x.

Nota 5.1.4. Se pueden considerar series de potencias en el plano complejo,

es decir, series de funciones de la formaP1

n=0 an(z a)n, donde (an) C ya 2 C. En este caso la serie converge puntualmente en el disco de convergenciafz 2 C : jz aj < Rg [donde la convergencia es incluso absoluta; recordarque el valor absoluto o modulo de un numero complejo z = x+ iy viene dado

por jzj = (x2 + y2)1=2] y, para cada r 2 (0; R), converge uniformemente en el


disco fz 2 C : jz aj < rg. Aqu R es el radio de convergencia dado por laformula de Cauchy{Hadamard. Si jz aj > R, la SP no converge.

5.2. Continuidad, derivabilidad e integrabili-

dad de series de potencias

Consideremos una serie de potenciasP1

n=0 an(x a)n con con radiode convergencia R > 0. Denimos la funcion suma de la SP como

x 2 I 7! f(x) =1Xn=0

an(x a)n 2 R:

Se entiende que I = (a R; a + R) si R < +1 e I = R si R = +1. Elsiguiente resultado nos dice que esta funcion es continua, derivable y tiene

primitiva en su intervalo de convergencia, y que se puede derivar e integrar

termino a termino dentro de dicho intervalo.

Teorema 5.2.1. Sea f la funcion suma de la SPP1

n=0 an(x a)n en elintervalo de convergencia I. Se verica:

(a) La funcion f es continua en I.

(b) El intervalo de convergencia de la SPP1

n=0(n+1)an+1(xa)n coincidecon I, la funcion f es derivable en I y f 0(x) =

P1n=0(n+1)an+1(xa)n

para todo x 2 I.

(c) El intervalo de convergencia de la SPP1

n=0ann+1

(xa)n+1 coincide conI y la funcion que dene es una primitiva de f en I.

Demostracion. Recordemos que el radio de convergencia de la SP original

viene dado por R = 1= lm supn!1 janj1=n. Llamemos R1; R2 a los radios deconvergencia respectivos de las series que aparacen en (b) y (c), es decir, a


las series formales que resultan de derivar e integrar termino a termino la SP

original. Por la formula de Hadamard,

R1 =1

lm supn!1[((n+ 1)jan+1j)1

n+1 ]n+1n

y R2 =1

lm supn!1[(n1jan1j)1

n1 ]n1n

:

Teniendo en cuenta que las cuatro sucesiones f(n+1) 1n+1g, fn+1ng, f(n1) 1n1g

y fn1ng tienden a 1, resulta que R1 = R = R2 y por tanto los intervalos de

convergencia de las tres series son el mismo, I. De acuerdo con el Teorema

5.1.2, las tres series convergen uniformemente en cada intervalo [a r; a+ r]con 0 < r < R. En particular, ya que cada monomio an(xa)n es una funcioncontinua, del Teorema 4.2.1 se deduce la continuidad de f en [a r; a + r].Como esto es cierto para todo r 2 (0; R) y cada punto x 2 I es interior aalguno de estos intervalos, concluimos que f es continua en I [recordemos

que la continuidad, al igual que la derivabilidad, es una propiedad local, es

decir, solo depende del comportamiento de la funcion en un entorno del punto

considerado]. Por tanto hemos probado (a).

La primera parte de (b) [y de (c)] ya se ha probado en el parrafo anterior.

Para el resto, consideremos de nuevo las funciones fn(x) := an(x a)n, queson derivables. Fijemos un intervalo [a r; a + r] I como antes. Habidacuenta de la convergencia uniforme de la serie de las derivadas a cierta funcion

g : [a r; a + r] ! R, del Teorema 4.2.3 (donde [a; b] se sustituye por[a r; a+ r] y elegimos x0 = a) se inere que f es derivable en [a r; a+ r] yque su derivada coincide con g. De nuevo, esto es cierto para cada r 2 (0; R),luego las propiedades demostradas son validas en I y (b) queda probado.

La prueba de (c) se completa de manera analoga, usando el Teorema

4.2.3 en cada [a r; a + r] pero sustituyendo f por la suma F de la serieP1n=0

ann+1

(x a)n+1 y fn por ann+1(x a)n+1. Tambien se puede demostrarutilizando el Teorema 4.2.2 sobre integracion termino a termino de series de

funciones.


Si I R es un intervalo yN 2 N, se denota por CN(I) el conjunto de todaslas funciones f : I ! R que tienen derivadas continuas en todos los puntos deI hasta orden N inclusive. A veces tambien se escribe C0 := C(I). Por otraparte, simbolizaremos mediante C1(I) el conjunto de todas las funcionesf : I ! R que tienen derivadas de todos los ordenes en todos los puntosde I. Es facil ver que todos estos conjuntos son espacios vectoriales, que

C0(I) C1(I) C2(I) C1(I) y que C1(I) = TN2N CN(I).Corolario 5.2.2. Si f es la funcion suma de una serie de potenciasP1

n=0 an(x a)n en su intervalo de convergencia I, se tiene que f 2 C1(I)y que es factible la derivacion termino a termino en I para todos los ordenes

de derivacion. En particular, se tiene que an =f (n)(0)

n!para todo n 2 N0.

Demostracion. Basta aplicar sucesivamente el teorema anterior. Para cual-

quier k 2 N se tiene que la series de potencias que resulta al derivar k vecescada termino an(x a)n tiene el mismo radio de convergencia R que la serieoriginal. Por induccion, obtenemos que f (k) existe y coincide en el intervalo

de convergencia con la suma de la serie de las derivadas k-esimas. Si en par-

ticular hacemos x = a, obtenemos f (k)(a) = k!ak + 0+ 0+ 0+ , de donderesulta la formula deseada.

Puesto que la derivada en un punto solo depende del comportamiento de

la funcion en un entorno de dicho punto, se deduce la siguiente consecuencia.

Corolario 5.2.3. [Principio de identidad para series de potencias]

Consideremos dos series de potenciasP1

n=0 an(x a)n yP1

n=0 bn(x a)n,de sumas respectivas f y g. Si f y g coinciden en un entorno de a, entonces

an = bn para todo n 2 N0, y por tanto las dos series son identicas.

El comportamiento de una serie de potencias en los extremos del inter-

valo de convergencia depende del ejemplo en concreto. El siguiente resultado


resulta muy util cuando la SP converge en un extremo, ya que nos garantiza

la continuidad de la funcion suma de la serie de potenc

Documents

Series de Funciones