SERIES DE LAURENT LUIS GUALCO

𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑢1 𝑧 , 𝑢2 𝑍 , ⋯ , 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑟𝑒𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑧 , 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑧 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑢𝑛í𝑣𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧.

Llamamos U(z)el límite de 𝑢𝑛 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞, 𝑦 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 lim

𝑛→∞𝑢𝑛 𝑧 = 𝑈(𝑧)

Si cualquier número positivo 𝜖 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑁 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑢𝑛 𝑧 − 𝑈(𝑧) < 𝜖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 > 𝑁. 𝐸𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.

Ejemplo: Considere la sucesión 𝑥𝑛 =1

𝑛 𝑒𝑛 ℝ. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑥𝑛 → 0.

Para mostrar eso sea 𝜖 > 0. 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑟𝑞𝑢í𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒ℝ, existe N ∈ ℤ+ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑁 ≥ 1/𝑛

0

2

21 )()()(n

ooo

n

on zzazzaazza

)( ozz

0

2)(2

1)(1)(

!

1

n

n izizizn

Convergencia de series de potencias

Las series de potencias en general convergen para algunos

valores de z, y para otros.

Por ejemplo la serie

0

321n

n zzzz

converge para |z |<1, pero diverge para |z |≥1. Fuera del círculo de

convergencia la serie

de potencias diverge.

(Serie

geométrica)

Radio de

convergencia

R =1

Círculo de convergencia:

mayor círculo centrado

en z0 en el que la serie de

potencias converge.

Ra

a

n

n

n

1lim 1

0

2

2)3(6)3(21)3(

)!(

)!2(

n

n izizizn

n

Rn

nn

n

n

n

n

a

a

nnn

n

n

14

)1(

)12)(22(lim

)!2(

)!(

)!1(

!)1(2limlim

2

2

2

1

4

1R

7

1 !

)1()1(

k

kk

k

iz

01

1lim

!

)1(

)!1(

)1(

lim ,!

)1(1

2

1

n

n

n

na

nn

n

n

n

n

32

0

0

)(

0

1

!

)0(

1

1

zzz

z

zn

f

zaz

n

n

n

nn

n

n

n

Tomemos centro a= 0 :

!3)0(

2)0(

1)0(

1)0(

f

f

f

f

4321

!3)(,

1

2)(,

1

1)(,

1

1)(

zzf

zzf

zzf

zzf

1z0oz

centro

punto singular

1R

Encontrar la serie de Taylor para

SERIE DE TAYLOR:

Sea f una función analítica en un abierto A𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐴 ⊂ ℂ 𝑦 𝑧0 ∈ 𝐴. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 0 ≤𝑟 < 𝑅 ≤ ∞ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜 𝐴 𝑧0; 𝑟, 𝑅 = {𝑧 ∈ ℂ ; 𝑟 <𝑧 − 𝑧0 < 𝑅} 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐴.

Entonces la serie:

converge a f(z) para todo z ∈ A(z0; r; R). Donde la formula anterior se conoce como serie de Laurent centrada en z0 en el anillo A(z0; r;R )

Cada serie de Laurent tiene dos partes:

3

03

2

02010 )()()()( zzazzazzaazf

4

0

4

3

0

3

2

0

2

0

1

)()()(...

zz

b

zz

b

zz

b

zz

b

Potencias positivas (serie de Taylor)

Potencias negativas (Parte Principal)

DENTRO

FUERA

Si tomamos una función y dibujamos sus puntos singulares, podremos separar el plano complejo en distintas regiones de convergencia.

La serie de Laurent siempre converge dentro de un anillo.

Ejemplo

zzf

1

1)(

centro

Dentro del disco |z|<1 tenemos la serie de Taylor:

centro

En el anillo 1< |z| < tenemos la serie de Laurent:

3211

1zzz

z

32

111

1

1

zzzz

Series de Laurent (a) incluyen potencias negativas de (z-z0) (b) convergen dentro de un anillo

842

111

23

32 2

22

zz

zzzz

z

Puntos singulares en z = 1, 2 Centro

Ejemplo

Converge para 1<|z|<2

Ejemplo

Expandir la función con centro z = 0 )3)(1(

1

zz

¿De cuántas formas podemos hacerlo?

(a) |z| < 1 (b) 1 < |z| < 3 (c) 3 < |z| <

3

1

2

1

1

1

2

1

)3)(1(

1

zzzz

centro

(a) |z| < 1

2

2

22

27

13

9

4

3

1

331

3

11

2

1

)3/(1

1

3

1

)(1

1

2

1

3

1

1

1

2

1

)3)(1(

1

zz

zzzz

zz

zzzz

Dentro del disco, términos positivos: serie de Taylor.

(b) 1 < |z| < 3

54186

1

2

1

2

1

2

1

331

3

1111

1

2

1

)3/(1

1

3

1

)/1(1

11

2

1

3

1

1

1

2

1

)3)(1(

1

2

23

2

2

2

zz

zzz

zz

zzz

zzz

zzzz

potencias negativas 1 < |z| <

potencias positivas |z| < 3

Serie de Laurent

En la página anterior, ¿cómo sabíamos qué término expandir en potencias negativas y cuál, si lo había, expandir en potencias positivas?

El término está “fuera”

- términos negativos El término está “dentro”

- términos positivos 3

1

z

1

1

z

El anillo final resulta de la superposición

(c) 3 < |z| <

432

2

2

2

1341

331

1111

1

2

1

)/3(1

11

)/1(1

11

2

1

3

1

1

1

2

1

)3)(1(

1

zzz

zzzzzz

zzzz

zzzz

potencias negativas 3 < |z| <

potencias positivas |z |<