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Cálculo Diferencial e Integral 4
Rudimar Luiz Nós
DAMAT - UTFPR
http://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos
1. SÉRIES
Sequências infinitas
nfa ,Zn ,a n*
n
,14
25,
11
16,
8
9,
5
4,
2
1 a
1n3
n1a n
21n
n
Uma sequência infinita é uma função discreta cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos.
1n2
na n
,3n2
1n,
1n2
n,,
11
5,
9
4,
7
3,
5
2,
3
1 a n
2
1
n
12
1lim
1n2
nlim
nn
{an} é convergente
Séries infinitas
SSlim nn
n321n
3213
212
11
aaaaS
aaaS
aaS
aS
n321
1n
n aaaaa
0alim nn
0alim nn
2
2
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
11n432
1n1n
1nn
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
1nn
1
1n
11n
nlimSlim
1n
n
1n
11S
1n
1
n
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11aaaaS
1n
1
n
1
1nn
1a
nn
n
n
n321n
n
• Condições suficientes à convergência
• Condições necessárias à convergência
• Condições suficientes e necessárias à convergência
A série geométrica
1n32 arararara
1r1 1r
1rou -1r 1r
Converge
r1
aSlim n
n
Diverge
Exemplos
2
2
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
11n432
1n1n
9
5
109
105
101110
5
10000
5
1000
5
100
5
10
55555,05,0
Condição necessária à convergência
0alim nn
Teste da divergência
0alim nn
nn
alim
não existe
O teste da integral
Teorema
Seja f uma função contínua, decrescente e de valores positivos para todo x≥1. A série infinita
nf2f1fnf
1n
1
dx xf
converge ou diverge se a integral imprópria abaixo for convergente ou divergente, respectivamente.
A série harmônica
5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
0n
1limn
0blnlimxlnlimdxx
1 limdx
x
1
b
b1
b
b
1 b
1
divergente
x
y
Convergência absoluta e condicional
na
n21n aaaa
Teorema
(1)
(2)
Se (2) converge, então (1) também converge.
Exemplo
2222222 8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
6n
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
1n
22222222
!5
32
!4
16
!3
8
!2
42
!n
2
1n
n
!4
x4sen
!3
x3sen
!2
x2senxsen
!n
nxsen
1n
1n
n
!n
2
1n!n
nxsen
Série de números reais
Série de funções
Séries de funções
1n
321n xuxuxuxu
Convergência uniforme
1n
n xu
xuxuxuxuxS n321n
xSxSlim nn
b,a
Convergência uniforme
0 b,ax
xSxSn
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxu dxxu
1n
n
1n
n xudx
dxu
dx
d
0N
Nn x,N
Teste M de Weierstrass (condições suficientes)
Se existe uma sequência de constantes Mn, n=1,2,3,..., tal que para todo x em um intervalo
nn Mxu
1n
nM
(i)
(ii) converge
então
1n
n xu converge uniforme e absolutamente no
intervalo.
Teste M de Weierstrass
1n
2222 4
x4cos
3
x3cos
2
x2cosxcos
n
nxcos
22 n
1
n
nxcos
1n
2
2 6n
1
2. SÉRIES DE FOURIER
• Funções periódicas• Séries trigonométricas• A série de Fourier• Funções seccionalmente contínuas• Série de Fourier de senos e cossenos• O fenômeno de Gibbs• A identidade de Parseval• Convergência de séries• Forma exponencial • Aplicações
Por que aproximar uma função por uma série?
Para facilitar o tratamento matemático do modelo.
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
Funções periódicas
:f 0P x, xfPxf
x
y
Séries trigonométricas
x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa2
a332211
0
1n
nn0 nxsenbnxcosa
2
a
1n
nn0 n
senA2
a
L
x
2n
2nn baA nnn senAa nnn cosAb
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a
A série de Fourier
0n ,0dxL
xncos
L
L
dun
Ldx dx
L
ndu
L
xnu
0nsennsenn
L
L
xnsen
n
Ldx
L
xncos
L
L
L
L
L2LLxdx dxL
xncos0n L
L
L
L
L
L
0dxL
xnsen
L
L
dun
Ldx dx
L
ndu
L
xnu
0ncosncosn
L
L
xncos
n
Ldx
L
xnsen
L
L
L
L
00dx dx
L
xnsen0n
L
L
L
L
0nm se L,
nm se 0,dx
L
xncos
L
xmcos
L
L
nm se 0dx
L
xn-mcos
L
xnmcos
2
1dx
L
xncos
L
xmcos
vucosvucos2
1vcosucos : que Lembrando
L
L
L
L
Lx2
1dx
2
1dx1
L
xn2cos
2
1dx
L
xncos0nm L
L
L
L
L
L
L
L
2
L2xdx2
2
1dx
L
xncos
L
xmcos0nm L
L
L
L
L
L
0nm se L,
nm se 0,dx
L
xnsen
L
xmsen
L
L
vucosvucos2
1vsenusen : que Lembrando
nm se 0dx
L
xnmcos
L
xn-mcos
2
1dx
L
xnsen
L
xmsen
L
L
L
L
Lx2
1dx
2
1dx
L
xn2cos1
2
1dx
L
xnsen0nm L
L
L
L
L
L
L
L
2
0dx0
2
1dx
L
xnsen
L
xmsen0nm
L
L
L
L
0dxL
xnsen
L
xmcos
L
L
0dx
L
xm-nsen
L
xmnsen
2
1dx
L
xncos
L
xmsen
vusenvusen2
1vcosusen : que Lembrando
L
L
L
L
Produto interno ou produto escalar
b
a
dxxgxfg|f
0dxxgxfg|f
b
a
L
xnsenxf
L
xncosxg
Coeficientes das série de Fourier
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a
L
L
dxxfL
a
0 1
L
L
n dxL
xncosxf
L
1a
L
L
n dxn
senxfL
b
L
x
1
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
1n
II
L
L
L
L
I
L
L
L
L
dxn
senm
cosdxn
cosm
cos
dxm
cosAdxm
cosxf
n
n
L
x
L
xb
L
x
L
xa
L
x
L
x
Considerando m≠0 em I e n=m em II:
Ladxm
cosxf m
L
L
L
x
L
L
m dxm
cosxfL
a
L
x1
L
L
n dxn
cosxfL
a
L
x1
L
L
dxxfL
a
0 1
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
Considerando n=m em I:
1n
I
L
L
L
L
L
L
L
L
dxn
senm
sendxn
cosm
sen
dxm
senAdxm
senxf
n
n
L
x
L
xb
L
x
L
xa
L
x
L
x
Lbdxm
senxf m
L
L
L
x
L
L
m dxm
senxfL
1b
L
x
L
L
n dxn
senxfL
b
L
x
1
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
1n
L
L
n
L
L
n
L
L
L
L
dxL
xnsenbdx
L
xncosadx Adxxf
AL2dxxf L
L
dxxf L2
1A
L
L
2
aAAL2La 0
0
Os resultados encontrados continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente.
Observações
bxa
1n
n xu
1n
n xv xh
1n
nn xvxu
1n
nn xvxu
1
n
n xuxh
1n
n xv xh
Funções seccionalmente contínuas
Convergência
• f(x) é definida em (-L,L), exceto em um número finito de pontos;
• f(x) é 2L-periódica fora de (-L,L);
• f(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas em (-L,L).
• A série de Fourier converge para f(x) se x é um ponto de continuidade;
• A série de Fourier converge para a média dos limites laterais se x é um ponto de descontinuidade.
x
y
Série de Fourier da onda quadrada com n=5.
Exercícios
• Construa o gráfico de f(x).
• f(x) satisfaz às condições de Dirichlet?
• Determine a série de Fourier de f(x).
• Redefina f(x) para que a série de Fourier venha a convergir para f(x) em -5≤x≤5.
xf,,0
)x(f
10xf 5x0 3,
0x5-
Assim, a série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para 3/2 (média dos limites laterais) nos pontos de descontinuidade.
• f(x) é definida em (-5,5), exceto em x = 0 (há um número finito de descontinuidades no intervalo);
• f(x) é periódica de período fundamental P = 10, isto é, f(x) = f(x+10);
• f(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas em
(-5,5).
5L10L2P
3055
3x
5
3dx3 dx0
5
1dxxf
L
1a 5
0
5
0
0
5
L
L
0
3a 0
5
0
0
5
L
L
n dx5
xncos3dx
5
xncos0
5
1dx
L
xncosxf
L
1a
00sennsenn
3
5
xnsen
n
5
5
3a
5
0
n
0a n
5
0
0
5
L
L
n dx5
xnsen3dx
5
xnsen0
5
1dx
L
xnsenxf
L
1b
ncos1
n
30cosncos
n
3
5
xncos
n
5
5
3b
5
0
n
11n
311
n
3b 1nn
n
11n
3b 1n
n
1n
1n
5
x nsen
n
113
2
3xf
5
x7sen
7
2
5
x5sen
5
2
5
x3sen
3
2
5
xsen
1
23
2
3xf
5
x7sen
7
1
5
x5sen
5
1
5
x3sen
3
1
5
xsen
6
2
3xf
1n5
x1n2sen
1n2
16
2
3xf
5 x,2
3
5x0 3,
0 x,2
3
0x5- 0,
-5 x,2
3
xf
Exercícios
• Esboce o gráfico de f(x).• Expanda f(x) em uma série de Fourier.• Usando a série de Fourier de f(x), prove
que
xf,x)x(f 2 2xf ,2x0
.64
1
3
1
2
11
n
1 2
222
1n
2
L2L2P
Lembre-se de que a função está definida em (0,2L) , e não em (-L,L).
3
808
3
1
3
x1dx x
1dxxf
L
1a
23
2
0
32
0
2
L2c
c
0
3
8a
2
0
2
0
2
L2c
c
n dxnxcos x1
dxL
xncosxf
L
1a
Usando integração por partes, temos que:
vduuvudv
n
nxsen v,dxnxcosdv 2xdx,du ,xu 2
dxnxsen xn
2
n
nxsenxdxnxcosx
22
n
nxcos v,dxnxsendv dx,du ,xu
dxnxcos
n
1
n
nxcosx
n
2
n
nxsenxdxnxcosx
22
Cn
nxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenxdxnxcosx
32
22
2
032
22
0
2n n
nxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenx1dxnxcos x
1a
22n n
40
n
41a
2n n
4a
2
0
2
L2c
c
n dxnxsen x1
dxL
xnsenxf
L
1b
2
032
22
0
2n n
nxcos2
n
nxsen x2
n
nxcosx1dxnxsen x
1b
n
4
n
2
n
2
n
41b
33
2
n
n
4bn
1n
2
2
n
nxsen
n
nxcos4
3
4xf
64
1
3
1
2
11
n
1 2
222
1n
2
1n
2
22
n
14
3
42
3
2
3
42
n
14
222
1n
2
6n
1 2
1n
2
22
22
04
.
Em x = 0, a série de Fourier converge para a média dos limites laterais:
1n
2
2
n
nxsen
n
nxcos4
3
4xf
.
Explorando o winplot
Funções definidas por várias sentenças
3x ,x
1
3x1 ,4x
1x ,2x
xf
2
JOINx
x
1,3|4x,1|22^x
x
y
.
Explorando o winplot
Comando para uma soma
sum(f(n,x),n,a,b): soma de f(n,x) de n=a até n=b
1n
nx2senn
14
(4/pi)+sum((1/n)*sin(2*n*x),n,1,100)
x
y
Funções pares e ímpares
• Função par
xfxf
xx eexf
• Função ímpar
xfxf
x2x3xxf 35
Propriedades das funções pares e ímpares
• O produto de duas funções pares é par.
• O produto de duas funções ímpares é par.
• O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar.
• A soma de duas funções pares é par.
• A soma de duas funções ímpares é ímpar.
a
0
a
a
dxxf 2dxxf
0dxxf a
a
Se f(x) é par, então
Se f(x) é ímpar, então
Série de Fourier de cossenos
0dxL
xnsenxf
L
1b
dxL
xncosxf
L
2 xd
L
xncosxf
L
1a
dxxf L
2dxxf
L
1a
L
L
ímpar função
n
L
0
L
L
par função
n
L
0
L
L
0
1n
n0
L
xncosa
2
axf
Exemplo
x
y
2x0 se x,
0x2- se ,xxf
xf4xf
1n
2
n
2 2
xncos
n
1141xf
Série de Fourier de senos
0 xdL
xncosxf
L
1a
0dxxf L
1a
L
L ímpar função
n
L
L
0
L
0
L
L par função
n dxL
xnsenxf
L
2dx
L
xnsenxf
L
1b
1n
n L
xnsenbxf
Exemplo
x
y
2x2- ,xxf
xf4xf
1n
1n
2
xnsen
n
14xf
O fenômeno de Gibbs
x
y
A identidade de Parseval
1n
2n
2n
20
L
L
2 ba2
adxxf
L
1
LbdxL
xnsenxf dx
L
xnsenxf
L
1b
L a dxL
xncosxf dx
L
xncosxf
L
1a
Ladxxf dxxf L
1a
n
L
L
L
L
n
n
L
L
L
L
n
0
L
L
L
L
0
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
1n
2n
2n
20
L
L
2
1n
2n
2n
20
L
L
2
1n
nnnn00
L
L
2
1n
L
L
n
L
L
n
L
L
0
L
L
2
ba2
adxxf
L
1
ba2
aLdxxf
LbbLaaLa2
adxxf
dxL
xnsenxfbdx
L
xncosxfadxxf
2
adxxf
Exercício
x
y
2x0 se x,
0x2- se ,xxf
xf4xf
1n
2
n
2 2
xncos
n
1141xf
Determinar a identidade de Parseval correspondente à série de Fourier de f(x).
967
1
5
1
3
11
1n2
1 4
444
1n
4
1n
2n
2n
20
L
L
2 ba2
adxxf
L
1 2L
1n
2
2
n
2
22
0
2
n
114
2
2dx x
2
2
1n
2
4
n
4
2
0
3
n
11162
3
x
4444444 11
4
9
4
7
4
5
4
3
4
1
4162
3
8
4444444 11
1
9
1
7
1
5
1
3
1
1
1642
3
8
1n
4
4
1n2
1
643
2
961n2
1 4
1n
4
Convergência de séries
90n
1 4
1n
4
1440n2
1 4
1n
4
6159615
16
n
1
96n
1
16
15
96n
1
16
11
n
1
16
1
96n
1
4
1
3
1
2
11
2
1
1n2
1
n
1
6
1
4
1
2
1
7
1
5
1
3
11
n
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
44
1n
4
4
1n
4
4
1n
4
1n
4
4
1n
4
4444
1n
4
1n
4
444444
1n
4
444444
1n
4
90n
1 4
1n
4
1440n2
1
1440
1516
9690n2
1
8
1
6
1
4
1
2
1
n2
1
4
1n
4
4444
1n
4
4444
1n
4
Derivação e integração da série de Fourier
2x2- ,xxf
1n
1n
2
xnsen
n
14xxf
• Obtenha uma série de Fourier para f(x) = x2, 0 < x < 2 , integrando a série de Fourier
• Use a série obtida anteriormente para mostrar que
1n
2
2
1n
12n
1
1n
1n
2
xnsen
n
14xxf
2
u 4sen
4
1
2
u 3sen
3
1
2
u 2sen
2
1
2
u sen
4uuf
2
x 4sen
4
1
2
x 3sen
3
1
2
x 2sen
2
1
2
x sen
4xxf
2
x 4cos
4
1
2
x 3cos
3
1
2
x 2cos
2
1
2
x cos
16Cx
2
x 4cos
4
1
2
x 3cos
3
1
2
x 2cos
2
1
2
x cos
8C
2
x
2
x 4cos
4
2
2
x 3cos
3
2
2
x 2cos
2
2
2
x cos
24C
2
x
C2
x 4cos
4
2C
2
x 3cos
3
2C
2
x 2cos
2
2C
2
x cos
24
2
x
du2
u 4sen
4
1du
2
u 3sen
3
1du
2
u 2sen
2
1du
2
u sen
4udu
22222
2222'
2
222'
2
)1(
4232221
2
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
3
4
3
8
2
1
3
x
2
1dxx
2
1dxxf
L
1
2
aC
2
0
32
0
2
2
0
0
2
x 4cos
4
1
2
x 3cos
3
1
2
x 2cos
2
1
2
x cos
16
3
4x
22222
1n
2
1n
22
2
xncos
n
116
3
4xxf
12n
1
n
1
163
4
n
116
3
4
n
116
3
40
n
116
3
4x
2
1n
2
1n
1n
2
1n2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
22
0x
1n
2
1n
22
2
xncos
n
116
3
4xxf
A forma exponencial da série de Fourier
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
n
L
x ni
necxf
3,2,1,0,n ,dxexf L2
1c
L
L-
L
x ni
n
sen icose i
L
xnsen i
L
xncos
L
xnsen i
L
xncose
L
xnsen i
L
xncose
L
xni
L
xni
i2
ee
L
xnsen
2
ee
L
xncos
L
xni
L
xni
L
xni
L
xni
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
L
xni
n
L
xni
L
xni
n0
1n
nn0
e2
ibae
2
iba
2
axf
ei2
biae
i2
bia
2
axf
ei2
b
2
ae
i2
b
2
a
2
axf
i2
eeb
2
eea
2
axf
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
1n
L
xni
nnL
xni
nn0 e2
ibae
2
iba
2
axf
2
ibac nn
n
cca
2
ibac nnn
nnn-
nnn ccib
n
ni
necxf L
x
2
ac0n 0
0
L
L
n
L
L
L
L
nnn
dxL
xnsen i
L
xncosxf
L2
1c
dxL
xnsenxf
L
1idx
L
xncosxf
L
1
2
1iba
2
1c
L
L
L
xni
n dxexf L2
1c
2
acac2dxxf
L
1c2dxxf
L2
1c 0
000
L
L
0
L
L
0
Exemplo
2L4P 2,x2- ,xxf
L
L
L
xni
n dxexf L2
1c
2
2
2
2
ni
n dxn
senin
cosx4
1dxxe
4
1c
2
x
2
x
2
x
2
0
2
2
n dxn
xsen2
idx
nsenx
4
ic
2
x
2
x
ncos
n
4
2
insen
n
4ncos
n
x2
2
ic
2
022n 2
x
2
x
nn 1n
i2c
n
ni
necxf L
x
n
ni
n
n
ni
en
1i2e1
n
i2xf 2
x
2
xn
Verificando a equivalência entre as formas exponencial e convencional:
n
nsen
ncosi
n
12xf
2
x
2
x
n
1n
1n
2
xnsen
n
14xf 0dxx
4
1c
2
0
2
Aplicações da série de Fourier
Solução de equações diferenciais parciais
Equação do calor
Equação da onda
Equação de Laplace
t,xut,xu xxt
t,xuct,xu xx2
tt
0y,xuy,xu yyxx
limitada) (solução Mtx,u
2x0 ,xx,0u
0 t,0t,2ut0,u
2x0 0, t ,x
u3
t
u2
2
20
tTxXt,xu
Solução
Equação do calor
XTx
3XTt 2
2
2
2
dx
XdT3
dt
dTX
22
2
dx
Xd
X
1
dt
dT
T3
1
0Xdx
Xd
0T3dt
dT
22
2
2
0Xdx
Xd
0T3dt
dT
22
2
2
x senBx cosAX
CeT
11
t3 2
tTxXt,xu
x senBx cosAX
CeT
11
t3 2
constantes B eA , xBsen xcosAet,xu t3 2
xsenBet,xu0A0Ae0t,0u t3t3 22
02senBe0t,2u t3 2
Zn ,2
nn202sen
Condições de contorno
xsenBet,xu t3 2
2
xnseneBt,xu 4
tn3
n
22
1n
4
tn3
n 2
xnseneBt,xu
22
2x0 ,x0,xu
2x0 ,2
xnsenBx
1n
n
1nnn 1
n
41
n
4ncos
n
4B
Condição inicial:
1n
4
tn3
n 2
xnseneBt,xu
22
1nnn 1
n
41
n
4ncos
n
4B
1n
4
tn3
1n
2
xnsene
n
14t,xu
22
Equação da onda
M
00,x
xf
0t,Lux
ua
t
u2
22
2
2
tx,u
Lx0 u
Lx0 x,0u
0t t0,u
0t L,x0
t
Equação de Laplace
M
yfu
0,xuy,1u
y
u
x
u
1
2
2
2
2
tx,u
x,1u
0y0,u
1y0 1,x0 0
0
0 0
u1
1
1 0x
y
Exercício
Expandir f(x) em uma série de Fourier.
x
y
2xfxf ,x0 se ,xsen
0x- se ,0xf
Mostrar que:
16
8
9.7
1
7.5
1
5.3
1
3.1
1 2
22222222
x0 ,xsen
0x- ,0 xf
L 2L2P
211
1 xcos
1dxxsen
1a 0
0
0
2a 0
0
0
0
n dxxn1sen dxxn1sen 2
1dxnxcosxsen
1a
00n n1
xn1cos
n1
xn1cos
2
1a
00n n1
nxsenxsennxcosxcos
n1
nxsenxsennxcosxcos
2
1a
n1
1ncos
n1
1ncos
2
1a n
n1
1
n1
1
2
11a
n
n
2
n
n n1
2
2
11a
2n ,
n1
11a
2
n
n
0114
1 x2cos
4
10dxx2sen
2
1a 0
0
1
0a1
0
0
0
n dxxn1cos dxxn1cos 2
1dxnxsenxsen
1b
00n n1
xn1sen
n1
xn1sen
2
1b
2n ,0b1
2
10
2
1 x2sen
2
1x
2
1dxx2cos dx
2
1b 00
0
0
1
2
1b1
2n
2
n
nxcosn1
111xsen
2
11xf
x
y
