Upload
rmcf1985
View
74
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Series, transformadas de Fourier y EDP´s
Citation preview
PROBLEMA 1
Sea �: (−�, �) → ℝ la función definida por:
�( ) = !−1 si − � < < 01 si 0 ≤ < �
(a) Encuentre la serie de Fourier 2�-periódica para �( ).
(b) Usando la serie hallada calcule la suma
$ (−1)%2& + 1
'
%*-
(c) Calcule el valor de la serie
$ 1(2& + 1).'
%*-
SOLUCIÓN:
(a) La función �: (−�, �) → ℝ es una función impar, por lo que su serie de Fourier 2p-
periódica es una serie de Fourier-seno ( /% = 0 ).
Se calculan los coeficientes 3% tales que
�( ) = $ 3% sen 42�&5 6'
%*7 donde 3% = ⟨�( ), sen 92�&5 ;⟩
⟨sen 92�&5 ; , sen 92�&5 ;⟩ = 25 ? �( )@/.B@/. sen 42�&5 6 C
Para 5 = 2� se calculan los coeficientes 3%:
3% = ⟨�( ), sen(& )⟩⟨sen(& ) , sen(& )⟩ = 22� ? �( )DBD sen(& ) C = 2� ? �( )D
- sen(& ) C =
= 2� ? 1 ∙ sen(& ) C D- = 2� ? sen(& ) C D
- = − 2� ∙ cos(& )& F �0 = − 2�& (cos(�&) − cos(0)) =
= 2�& (1 − cos(�&)) = 2�& G2 sen. 9&�2 ;H = 4�& sen. 9&�2 ;
Y la serie de Fourier 2p-periódica en (−�, �) para �(�) es:
�(�) = 4!" sen# $"!2 %&'*+ sen("�)
(b) Se aplica el teorema de la convergencia puntual en � = !/2 , como �(�) es continua
en este punto, entonces la serie de Fourier �,(�) converge en el mismo valor de la
función �(!/2):
�, $!2% = lim-→0� $!2 − ℎ% + � $!2 + ℎ%2 = � $!2 − 0% + � $!2 + 0%2 = � $!2% = 1
�, $!2% = 1 ⇒ 1 = 4!" sen# $"!2 %&'*+ sen $"!2 % ⇒ sen# $"!2 %"
&'*+ sen $"!2 % = !4
sen# $"!2 %" sen $"!2 %&'*+ = sen# $!2%1 sen $!2% + 0 + sen# $3!2 %3 sen ;3!2 < + 0 + ⋯ =
= 11 − 13 + 15 − ⋯ = (−1)'2" + 1&
'*0 ⇒ (−1)'2" + 1&
'*0 = sen# $"!2 %"&
'*+ sen $"!2 % = !4
(c) Se utiliza la igualdad de Parseval
2@ A |�(�)|#B/#CB/# D� = |E0|#2 + (|E'|# + |F'|#)&
'*+ ⇒ 22! A |�(�)|#GCG D� = |F'|#&
'*+
Calculando la integral de |�(�)|# se tiene que
|F'|#&'*+ = 1! A |�(�)|#D�G
CG = 2! A |�(�)|#D�G0 = 2! A |1|#D�G
0 = 2! A D�G0 = 2! ∙ ! = 2
Por otro lado
|F'|#&'*+ = I 4!" sen# $"!2 %I#&
'*+ = 16!# senK $"!2 %"#&
'*+
senK $"!2 %"#&
'*+ = senK $!2%1# + 0 + senK $3!2 %3# + 0 + ⋯ = 11# + 13# + 15# + ⋯ = 1(2" + 1)#&
'*0
1(2" + 1)#&
'*0 = 2 ⇒ 1(2" + 1)#&
'*0 = !#16 ∙ 2 = !#8
PROBLEMA 2
(a) Desarrolle en serie de Fourier-seno p-periódica de la función �: (0, �) → ℝ definida
por
�(�) = � 1 si 0 < � ≤ �/2−1 si �/2 < � < �
(b) Usando la serie encontrada en la parte (a) hallada calcule las sumas de las series
! (−1)"2# + 1
$
"%& y ! 1
(2# + 1)'$
"%&
SOLUCIÓN:
(a) La función �(�) se extiende como una función impar en el intervalo (−�, �) con
período 2p.
Se calculan los coeficientes *" tales que
-(�) = !*" sen .2�#3 �4$
"%5 donde *" = ⟨-(�), sen 72�#3 �8⟩
⟨sen 72�#3 �8 , sen 72�#3 �8⟩ =23: -(�);/'
>;/' sen .2�#3 �4 ?�
Para 3 = 2� se calculan los coeficientes *":
*" = ⟨-(�), sen(#�)⟩⟨sen(#�) , sen(#�)⟩ = 22�: -(�)@>@ sen(#�) ?� = 2�: �(�)@
& sen(#�) ?� =
= 2� A: �(�)@/'& sen(#�) ?� + : �(�)@
@/' sen(#�) ?�B =
= 2� A: sen(#�) ?�@/'& −: sen(#�) ?�@
@/' B = 2� C− cos(#�)# D�/20 + cos(#�)# D ��/2E =
2�# 71 − cos 7�2 #8 + cos(�#) − cos 7�2 #88 = 2�# 71 − 2 cos 7�2 #8 + (−1)"8
Y la serie de Fourier 2p-periódica en (−�, �) para �(�) es:
�(�) = � 2�� 1 − 2 cos �2 �" + (−1)#"$
#%&sen(��)
(a) Se aplica el teorema de la convergencia puntual en � = �/4 , como (�) es continua
en este punto, entonces la serie de Fourier !(�) converge en el mismo valor de la
función (�/4):
! "�4# = lim$→&
"�4 − ℎ# + "�4 + ℎ#2 = "�4 − 0# + "�4 + 0#
2 = "�4# = 1
"�4# = 1 ⇒ 1 = 2
� . 13 "1 − 2 cos "�
2 3# + (−1)5#6
578sen "3�
4 #
. 13 "1 − 2 cos "�
2 3# + (−1)5#6
578sen "3�
4 # = 0 + 2 + 22 + 0 + 0 + 0 − 2 + 2
6 + ⋯ =
= 0 + 21 + 0 + 0 + 0 − 2
3 + 0 + 0 + 0 + 25 + 0 + 0 + 0 − 2
7 + ⋯ = 2 . (−1)523 + 1
6
57&
1 = 2� . 1
3 "1 − 2 cos "�2 3# + (−1)5#
6
578sen "3�
4 # ⇒ 1 = 2� ∙ 2 . (−1)5
23 + 16
57& ⇒ . (−1)5
23 + 16
57&= �
4
Para calcular la segunda serie se utiliza la igualdad de Parseval
2@ A |B(�)|CD/C
ED/CF� = |G&|C
2 + .(|G5|C + |H5|C)6
578 ⇒ 2
2� A |B(�)|CIEI
F� = .|H5|C6
578
Calculando la integral de |B(�)|C se tiene que
.|H5|C6
578= 1
� A |B(�)|CF�IEI
= 2� A | (�)|CF�I
&= 2
� JA |1|CF�I/C&
+ A |−1|CF�II/C
K = 2� A F�I
&= 2
� ∙ � = 2
Por otro lado
.|H5|C6
578= . L 2
�3 "1 − 2 cos "�2 3# + (−1)5#LC6
578= 4
�C . M1 − 2 cos "�2 3# + (−1)5MC
3C6
578=
= 4�C N0 + 16
2C + 0 + 0 + 0 + 166C + 0 + 0 + 0 + 16
10C + ⋯ O = 16�C ∙ 2C N 1
2C + 16C + 1
10C + ⋯ O =
= 16�C N 1
1C + 13C + 1
5C + ⋯ O = 16�C . 1
(23 + 1)C6
57&
16�C . 1
(23 + 1)C6
57&= 2 ⇒ . 1
(23 + 1)C6
57&= �C
16 ∙ 2 = �C8
PROBLEMA 3
Una función �:ℝ → ℝ cumple �(� + 2�) = �(�) y para −� ≤ � ≤ � está dada por
�(�) = "−� si − � ≤ � < 0� si 0 ≤ � ≤ �
(a) Encontrar la serie de Fourier de �(�).
(b) Calcular las series
$ 1(2% + 1)&'
*,- y $ 1(2% + 1).
'
*,-
SOLUCIÓN:
La función �: ℝ → ℝ es una función par, por lo que su serie de Fourier 2p-periódica es una
serie de Fourier-coseno y los coeficientes 4* = 0.
Se calculan los coeficientes 5* tales que
�(�) = 5-2 + $ 5* cos 62�%7 �8
'
*,9 donde 5* = ⟨�(�), cos ?2�%7 �@⟩
⟨cos ?2�%7 �@ , cos ?2�%7 �@⟩ = 27 B �(�)C/&
EC/&cos 62�%
7 �8 F�
Recordando la fórmula integral de integración por partes:
B � cos(5�) F� = � sen(5�)5 − B sen(5�)
5 F� = � sen(5�)5 + cos(5�)
5&
Para un período de 7 = 2� se calculan los coeficientes 5* :
5* = ⟨�(�), cos(%�)⟩⟨cos(%�) , cos(%�)⟩ = 2
2� B �(�)GEG
cos(%�) F� = 2� B �(�)G
-cos(%�) F� =
= 2� B �G
-cos(%�) F� = 2
� H� sen(%�)% I J �
0 − 2� B sen(%�)
% F�G-
=
= 2� H� ∙ sen(%�)
% − 0I + 2�
cos(%�)%& J �
0 = 0 + 2�%& (cos(%�) − 1) = − 4
� ∙ sen& ?%�2 @%&
El término independiente 5- se encuentra evaluando en % = 0 la sucesión 5*:
� = 2! " #($)
%/ !"/ #$ = 22% & '($)*
!* #$ = 1% 2 & '($)*+ #$ = 2% & $*
+ #$ = 2% ∙ $ 2 - %0 = %
Y la serie de Fourier 2p-periódica en (−%, %) para '($) es:
'($) = %2 − 4 4% ∙ sen 67%2 87 cos(7$)9:;<
Se aplica el teorema de la convergencia puntual en $ = 0, como '($) es continua en este
punto, entonces la serie de Fourier '>($) converge en el mismo valor de la función '(0):
'>(0) = lim?→+'(0 − ℎ) + '(0 + ℎ)2 = '(0 − 0) + '(0 + 0)2 = '(0) = 0
'(0) = 0 ⇒ 0 = %2 − 4 4% ∙ sen 67%2 87 cos(7% ∙ 0)9:;< ⇒ 4 sen 67%2 87
9:;< = % 8
4 sen 67%2 87 9
:;< = sen 6%281 + 0 + sen 63%2 83 + 0 + sen 65%2 85 + ⋯
= 11 + 13 + 15 + ⋯ = 4 1(27 + 1) 9
:;+ ⇒ 4 1(27 + 1) 9
:;+ = 4 sen 67%2 87 9
:;< = % 8
Para calcular la sumatoria se usa la igualdad de Parseval:
2I & |'($)| "/ !"/ #$ = |J+| 2 + 4(|J:| + |K:| )9
:;< ⇒ 22% & |'($)| *!* #$ = |J+| 2 + 4|J:| 9
:;<
Se calcula primero el valor de la integral de |'($)| :
1% & |'($)| #$*!* = 2% & |'($)| *
+ #$ = 2% & |$| *+ #$ = 2% & $ *
+ #$ = 2% ∙ $L3 - %0 = 2 ∙ % 3 = 23 %
Luego se calcula la serie de |J:| :
4|J:| 9:;< = 1% & |'($)| *
!* #$ − |J+| 2 = 23 % − |%| 2 = M23 − 12N % = 4 − 36 % = % 6
4 P− 4% ∙ sen 67%2 87 P 9
:;< = % 6 ⇒ 16% 4 senQ 67%2 87Q9
:;< = % 6 ⇒ 4 senQ 67%2 87Q9
:;< = %Q16 ∙ 6 = %Q96
4 senQ 67%2 87Q9
:;< = senQ 6%281Q + 0 + senQ 63%2 83Q + 0 + senQ 65%2 85Q + ⋯ =
= 11Q + 13Q + 15Q + ⋯ = 4 1(27 + 1)Q9
:;+ ⇒ 4 1(27 + 1)Q9
:;+ = 4 senQ 67%2 87Q9
:;< = %Q96
PROBLEMA 4
Sea �: (−1,1) → ℝ la función definida por �(�) = �� si |�| < 1
(a) Halle la serie de Fourier 2-periódica para �(�).
(b) Usando la parte (a) calcule las series
(−1)"#$%�
&
"'$ y 1%�
&
"'$
(c) Calcule el valor de la serie
1%*&
"'$
SOLUCIÓN:
(a) La función �(�) = �� = �(−�) es una función par, por lo tanto se desarrolla en serie
de Fourier coseno 2-periódica en (−1,1). Se calculan los coeficientes +" tales que:
�(�) = +-2 + +" cos /20%3 �4&
"'$ donde +" = ⟨�(�), cos 620%3 �7⟩
⟨cos 620%3 �7 , cos 620%3 �7⟩ = 23 9 �(�):/�>:/� cos /20%3 �4 ?�
Primero se deduce la fórmula de integración del producto de �(�) y coseno realizando dos
veces integración por partes:
9 @� cos(A@) ?@ = @� sen(A@)A − 9 2@ sen(A@)A ?@ = @� sen(A@)A − 2A B− @ cos(A@)A − 9 − cos(A@)A ?@C =
= @� sen(A@)A + 2@ cos(A@)A� − 2 sen(A@)AD
+" = ⟨�(�), cos(0%�)⟩⟨cos(0%�) , cos(0%�)⟩ = 22 9 �(�)$>$ cos(0%�) ?� = 9 ��$
>$ cos(0%�) ?� =
= 2 9 ��$- cos(0%�) ?� = 2 B�� sen(0%�)0% + 2� cos(0%�)(0%)� − 2 sen(0%�)(0%)D C E 1
0 =
= 2 B1� ∙ sen(0%)0% + 2 ∙ 1 ∙ cos(0%)(0%)� − 2 ∙ sen(0%)(0%)D C − 2 B0� ∙ sen(0)0% + 2 ∙ 0 ∙ cos(0)(0%)� − 2 ∙ sen(0)(0%)D C =
2 Bsen(0%)0% + 2 cos(0%)(0%)� − 2 sen(0%)(0%)D C = 2 B 00% + 2(−1)"(0%)� − 2 ∙ 0(0%)DC = 4(−1)"
(0%)�
+- = ⟨�(�), cos(0 ∙ 0 ∙ �)⟩⟨cos(0 ∙ 0 ∙ �) , cos(0 ∙ 0 ∙ �)⟩ = 22 9 �(�)$>$ ?� = 9 ��$
>$ ?� = 2 9 ��$- ?� = 2 ∙ 1D
3 = 23
Y la serie de Fourier 2-periódica en (−1,1) para �(�) = �� es:
�(�) = 13 + 4(−1)"
(#$)% cos(#$�)&
"'*
(b) Para calcular la primera serie, se aplica el teorema de la convergencia puntual en � = 0, como (�) es continua en este punto, entonces la serie de Fourier !(�)
converge en el mismo valor de la función (0):
!(0) = lim"→$ (0 − ℎ) + (0 + ℎ)
2 = (0 − 0) + (0 + 0)2 = (0) = 0' = 0
(0) = 0' = 13 + * 4(−1),
(-.)' cos(-. ∙ 0)5
,67 ⇒ 4
-' * (−1),.'
5
,67= − 1
3 ⇒ * (−1),.'
5
,67= − -'
12
* (−1),:7.'
5
,67= -'
12
Para calcular la segunda serie, se aplica el teorema de la convergencia puntual en el extremo
del intervalo � = 1 el cual la serie de Fourier !(�) converge en el valor medio de la función
evaluada en los extremos (1 −) y (−1 +):
!(1) = lim;→7< (�) + lim;→>7? (�)2 = (1 − 0) + (−1 + 0)
2 = 1' + (−1)'2 = 1
!(1) = 1 = 13 + * 4(−1),
(-.)' cos(-. ∙ 1)5
,67 ⇒ 4
-' * (−1),.'
5
,67(−1), = 1 − 1
3 ⇒ * (−1)',.'
5
,67= 2 ∙ -'
4 ∙ 3
* 1.'
5
,67= -'
6
(c) Para calcular el valor de la última serie se utiliza la igualdad de Parseval
2A B | (�)|'C�D/'
>D/'= |F$|'
2 + *(|F,|' + |G,|')5
,67 ⇒ 2
2 B | (�)|'7>7
C� = |2/3|'2 + * H4(−1),
(-.)' H'5
,67
Calculando la integral
B | (�)|'7>7
C� = B |�'|'7>7
C� = B �I7>7
C� = 2 B �I7$
C� = 2 ∙ 1J5 = 2
5 Sustituyendo el valor de la integral y despejando la sumatoria
22 L2
5M = 4/92 + 4'
-I * H(−1),.' H
'5
,67 ⇒ * 1
.I5
,67= -I
4' L25 − 1/9
2 M = -I4' L2
5 − 29M = 2-I
4' L9 − 545 M = 2-I
4 L 145M = -I
90
* 1.I
5
,67= -I
90
PROBLEMA 5
Sea �(�) = |sen �| definida en el intervalo −� < � < � .
(a) Encuentre la serie de Fourier de (�) . (b) Usando la parte (a) calcular el valor de las siguientes series.
! 14"# − 1
$
%&' y ! 1
(4"# − 1)#$
%&'
SOLUCIÓN:
(a) La función :ℝ → ℝ es una función par, por lo que su serie de Fourier 2p-periódica es
una serie de Fourier-coseno y los coeficientes -% = 0.
Se calculan los coeficientes .% tales que
(�) = ./2 + !.% cos 52�"
6 �7$
%&' donde .% = ⟨ (�), cos ;2�"6 �>⟩
⟨cos ;2�"6 �> , cos ;2�"6 �>⟩ = 26 @ (�)A/#
CA/#cos 52�"
6 �7 D�
Poniendo 6 = 2� se calculan los coeficientes .% . Para resolver la integral se usa la fórmula
de trigonométrica de integración deducida en el problema anterior:
.% = 22� @ (�)E
CEcos("�) D� = 2
� @ (�)E/
cos("�) D� = 2� @ sen �E
/cos("�) D� =
2� @ 1
2 FsenF(1 + ")�G + senF(1 − ")�GGD�E/
= − 2� ∙ 1
2 IcosF(1 + ")�G1 + " + cosF(1 − ")�G
1 − " J K �0
= − 1� IcosF(1 + ")�G
1 + " + cosF(1 − ")�G1 − " J + 1
� Icos(0)1 + " + cos(0)
1 − " J =
= 1� I− cos(� + "�)
1 + " + 11 + " − cos(� − "�)
1 − " + 11 − "J = 1
� Icos("�) + 11 + " + cos("�) + 1
1 − " J =
= 1 + cos("�)� 5 1
1 + " + 11 − "7 = 1 + cos("�)
� 5 1 − " + 1 + "(1 + ")(1 − ")7 =
= 1 + cos("�)� ∙ 2
1 − "# = 2� ∙ 1 + cos("�)
1 − "# = 2� ∙ 2 cos# ;"�2 >
1 − "# = 4� ∙ cos# ;"�2 >
1 − "#
El término independiente �� se encuentra evaluando en = 0 la sucesión !":
!� = 2# $ %(&)'/*+'/* ,& = 22- $ %(&).
+. ,& = 2- $ %(&).� ,& = 2- $ sen &.
� ,& = − 2- ∙ cos & 4 -0 = 4-
Y la serie de Fourier 2p-periódica en (−-, -) para %(&) es:
%(&) = 2- + 8 4- ∙ cos* 9 -2 :1 − * cos( &)<">?
(b) Se aplica el teorema de la convergencia puntual en & = 0, como %(&) es continua en
este punto, entonces la serie de Fourier de %(&) converge en %(0):
%(0) = 0 ⇒ 0 = 2- + 8 4- ∙ cos* 9 -2 :1 − * cos( ∙ 0)<">? ⇒ 8 cos* 9 -2 : * − 1
<">? = 12
8 cos* 9 -2 : * − 1<
">? = 0 + 12* − 1 + 0 + 14* − 1 + 0 + ⋯ = 8 14 * − 1<
">? ⇒ 8 14 * − 1<
">? = 12
Para calcular la sumatoria se usa la igualdad de Parseval:
2# $ |%(&)|*'/*+'/* ,& = |!�|*2 + 8(|!"|* + |C"|*)<
">? ⇒ 22- $ |%(&)|*.+. ,& = |!�|*2 + 8|!"|*<
">?
Se calcula primero el valor de la integral de |%(&)|* :
1- $ |%(&)|*.+. ,& = 2- $ |%(&)|*.
� ,& = 2- $ |sen &|*.� ,& = 2- $ 1 − cos(2&)2 ,&.
� = 1- ∙ & 4 -0 = 1
Luego se calcula la serie de |!"|* :
8|!"|*<">? = 1- $ |%(&)|*.
+. ,& − |!�|*2 = 1 − |4/-|*2 = 1 − 8-*
Por otro lado
8|!"|*<">? = 8 E4- ∙ cos* 9 -2 :1 − * E
*<">? = 16-* 8 cosG 9 -2 :(1 − *)*
<">?
8 cosG 9 -2 :(1 − *)*<
">? = 1(1 − 2*)* + 1(1 − 4*)* + 1(1 − 6*)* + ⋯ = 8 1(4 * − 1)*<
">?
16-* 8 cosG 9 -2 :(1 − *)*<
">? = 1 − 8-* ⇒ 8 1(4 * − 1)*<
">? = 8 cosG 9 -2 :(1 − *)*<
">? = -*16 − 12
PROBLEMA 6
Para una cierta función �: ℝ → ℝ cumpliendo �(� + 2�) = �(�) y �(−�) = −�(�)
resulta que
! �(�) sen("�) #�$%& = 2'* para " = 1,2,3, …
Calcular el valor de la integral
! |�(�)|$#�$%&
SOLUCIÓN:
Como se cumple que �(−�) = −�(�) entonces �(�) es una función impar y la serie de
Fourier �(�) es una serie de Fourier seno (.* = 0) . Debido a la ortogonalidad de las funciones
seno en el intervalo [0,2�] se tienen que los coeficientes /* se calculan mediante
/* = ⟨�(�), sen("�)⟩⟨sen("�) , sen("�)⟩ = ∫ �(�) sen("�) #�$%&∫ |sen("�)|$#�$%& = 22� ! �(�) sen("�) #�$%&
= 1� ! �(�) sen("�) #�$%& = 1� ∙ 2'*
Usando la igualdad de Parseval en el intervalo [0,2�]:
28 ! |�(�)|$9& #� = |.&|$2 + :(|.*|$ + |/*|$);
*<> ⇒ 22� ! |�(�)|$$%& #� = :|/*|$;
*<>
Recordando la serie geométrica, que sirve para calcular la serie de |/*|$ :
: @*;*<& = 11 − @ si |@| < 1
Calculando la integral de |�(�)|$ :
! |�(�)|$$%& #� = � :|/*|$;
*<> = � : B1� ∙ 2'*B$;*<> = ��$ :|2'*|$;
*<> = 1� : 2'$*;*<> =
= 1� :(2'$)*;*<> = 1� : 14*
;*<> = 1� : 14*D>
;*<>'> = 14� : 14*
;*<& = 14� E 1
1 − 14F = 1� G 14 − 1H = 13�
PROBLEMA 7
Una función �: ℝ → ℝ cumple �( + 2!) = �( ) y para −! ≤ ≤ ! está dada por
�( ) = $ (! + ) si − ! ≤ < 0 (! − ) si 0 ≤ ≤ !
(c) Usando la parte (a) encuentre la serie de Fourier 2�-periódica para .
(d) Demuestre que
! 1(2" + 1)#$
%&'= 1615 *! (−1)%
(2" + 1)-$
%&'.
/
SOLUCIÓN:
(a) La función : (−�, �) → ℝ es una función impar, por lo que su serie de Fourier 2p-
periódica es una serie de Fourier-seno ( 7% = 0 ).
Se calculan los coeficientes 9% tales que
(;) = ! 9% sen <2�"> ;?$
%&@ donde 9% = ⟨ (;), sen C2�"> ;D⟩
⟨sen C2�"> ;D , sen C2�"> ;D⟩ = 2> F (;)G//IG// sen <2�"> ;? J;
Para > = 2� se calculan los coeficientes 9% . Para calcular la integral se utilizan propiedades
de integración por distribuciones calculando la segunda derivada generalizada y definiendo K: ℝ → ℝ como:
K(;) = L (;) si − � ≤ ; ≤ �0 en otro caso
9% = ⟨ (;), sen(";)⟩⟨sen(";) , sen(";)⟩ = 22� F (;)NIN sen(";) J; = 2� F (;)N
' sen(";) J;
= 2� F K(;)$I$ sen(";) J; = 2� ⟨K(;), sen(";)⟩ = 2� ⟨K(;), − 1"/
J/J;/ (sen(";))⟩ =
= − 2�"/ (−1)/⟨KOP%QQ (;), sen(";)⟩ = − 2�"/ ⟨−2 ∙ 1(',N)(;) + �S(;) + �S(; − �), sen(";)⟩ =
= 4��� ⟨1(!,")(#), sen(�#)⟩ −2
��⟨&(#) + &(# − �), sen(�#)⟩ =
= 4���
1(!,")(#)$%$ sen(�#) &# − 2�� (sen(� ∙ 0) + sen(� ∙ �)) =
= 4��� sen(�#) &#"! = − 4��� ∙ cos(�#)� - �
0 = 4��. (1 − cos(�#)) = 8� ∙ sen� /��2 3�.
Y la serie de Fourier 2p-periódica para 5(#) es:
5(#) = 6 8� ∙ sen� /��2 3�. sen(�#)$79:
(b) Se aplica el teorema de la convergencia puntual en # = �/2, como 5(#) es continua
en este punto, entonces la serie de Fourier de 5(#) converge en 5(�/2):
5 /�23 = �2 /� − �23 = ��4 ⇒ ��4 = 6 8� ∙ sen� /��2 3�. sen /��2 3$79: ⇒ 6 sen. /��2 3�.
$79: = �.32
6 sen. /��2 3�.$
79: = 11. + 0 − 13. + 0 + 15. + ⋯ = 6 (−1)7(2� + 1).$
79! ⇒ 6 (−1)7(2� + 1).$
79! = �.32
Para calcular la segunda serie se utiliza la igualdad de Parseval
2B |5(#)|�C/�%C/� &# = |D!|�2 + 6(|D7|� + |E7|�)$
79: ⇒ 22� |5(#)|�"%" &# = 6|E7|�$
79:
Calculando la integral de |5(#)|� se tiene que
6|E7|�$79: = 1� |5(#)|�&#"
%" = 2� |5(#)|�&#"! = 2� |#(� − #)|�&#"
! = �F8 (1 − #�)�&#:! = �F15
Por otro lado
6|E7|�$79: = 6 G8� ∙ sen� /��2 3�. G
�$79: = 64�� 6 senF /��2 3�I
$79:
6 senF /��2 3�I$
79: = 11I + 0 + 13I + 0 + ⋯ = 6 1(2� + 1)I$
79! ⇒ 64�� 6 1(2� + 1)I$
79! = �F15
6 1(2� + 1)I$
79! = �F15 ∙ ��64 = �I15 ∙ 64 = 32�15 ∙ 64 J�.32K� = 3215 ∙ 2 J�.32K� = 1615 L6 (−1)7(2� + 1).$
79! M�
PROBLEMA 8
Encuentre la función �(�, �) en 0 < � < � , 0 < � < � tal que
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ $%&$�% + $%&$�% = 0 si 0 < � < � , 0 < � < �$&$� (0, �) = $&$� (�, �) = 0 &(�, 0) = 0 &(�, �) = �
SOLUCIÓN:
Aplicando separación de variables. Sea &(�, �) = '(�)*(�)
⎩⎪⎨⎪⎧$%&$�% = '--(�)*(�)$%&$�% = '(�)*--(�) ⇒ $%&$�% + $%&$�% = 0 ⇒ '--(�)*(�) + '(�)*--(�) = 0
'--(�)'(�) = − *--(�)*(�) = −12
3$&$� (0, �) = '-(0)*(�) = 0$&$� (�, �) = '-(�)*(�) = 0 ⇒ '-(0) = '-(�) = 0 ya que *(�) ≠ 0
Se reescribe el problema de autofunciones como:
5'--(�) + 12'(�) = 0*--(�) − 12*(�) = 0'-(0) = '-(�) = 0
CASO 1: 12 > 0 . Sea 12 = 62% con 62 > 0
'--(�) + 62%'(�) = 0 ⇒ '(�) = 78 cos(62�) + 7% sen(62�)
'-(�) = −6278 sen(62�) + 627% cos(62�)
'-(0) = 0 ⇒ 0 = −6278 sen(62 ∙ 0) + 627% cos(62 ∙ 0) ⇒ 627% = 0 ⇒ 7% = 0
'-(�) = 0 ⇒ 0 = −6278 sen(62 ∙ �) + 627% cos(62 ∙ �) ⇒ 6278 sen(�62) = 0
Pero 78 ≠ 0 ya que se buscan soluciones no triviales.
Como 78 ≠ 0 y 62 ≠ 0 ⇒ sen(�62) = 0 ⇒ �62 = :� ⇒ 62 = : para : = 1,2,3 …
*--(�) − 62%*(�) = 0 ⇒ *(�) = A8 cosh(62�) + A% senh(62�)
En este caso la familia de autofunciones viene dada por:
&2(�, �) = 78 cos(62�) (A8 cosh(62�) + A% senh(62�))
&(�, 0) = 0 ⇒ 0 = 78 cos(62�) (A8 cosh(62 ∙ 0) + A% senh(62 ∙ 0)) ⇒ A8 = 0
��(�, 0) = �� cos(���) ! senh(��") = #� cos(���) senh(��")
CASO 2: $� = 0
%&&(�) = 0 ⇒ %(�) = ��� + �! y -&&(") = 0 ⇒ -(") = �" + !
%&(0) = %&(.) = 0 ⇒ �� = 0 ⇒ %(�) = �! ⇒ �/(�, ") = %(�)-(") = �!( �" + !)
�(�, 0) = 0 ⇒ 0 = �!( � ∙ 0 + !) ⇒ ! = 0 ⇒ �/(�, ") = �! �" = 2"
CASO 3: $� < 0 . Sea $� = −��! con �� > 0
%&&(�) − ��!%(�) = 0 ⇒ %(�) = �� cosh(���) + �! senh(���)
%&(�) = ���� senh(���) + ���! cosh(���)
%&(0) = 0 ⇒ 0 = ���� senh(�� ∙ 0) + ���! cosh(�� ∙ 0) ⇒ ���! = 0 ⇒ �! = 0
%&(.) = 0 ⇒ 0 = ���� senh(�� ∙ .) + �� ∙ 0 ∙ cosh(�� ∙ .) ⇒ ���� senh(.��) = 0
Como �� ≠ 0 entonces �� senh(.��) no se anula y �� = 0 obteniéndose la solución trivial.
Este caso se obtiene �(�, ") = 0
Se plantea una "Superposición" en serie de Fourier sumando todas las soluciones:
�(�, ") = 2" + 5 #� cos(���) senh(��")6
�7�
Aplicando la condición de borde �(�, .) = � :
�(�, .) = � = 2 ∙ 0 + 5 #� cos(���) senh(��")6
�7�
Los coeficientes #� son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones cos(���) en
el intervalo 0 ≤ � ≤ . .
#� = ⟨�(�, .), cos(���)⟩⟨cos(���) , cos(���)⟩ = ⟨�, cos(;�)⟩
./2 = 2. A � cos(;�) B�C
/= 2
. ∙ � sen(;�); D .
0 − 2. A sen(;�)
;C
/B�
= 0 + 2.;! cos(;�) D .
0 = 2.;! (cos(;.) − 1) = − 4
.;� sen� !"2 #
Calculando el valor del término independiente $
$ = %&2 = ⟨((*, "), cos(0 ∙ *)⟩
⟨cos(0 ∙ *) , cos(0 ∙ *)⟩ = 1" / ((*, ")3*
4
&= 1
" / *3*4
&= 1
" ∙ "�2 = "
2
Sustituyendo los coeficientes se obtiene la solución en 0 < * < " , 0 < 6 < "
((*, 6) = "2 6 − 8 4
"!� sen� !"2 # cos(!*) senh(!6)
:
;>?
PROBLEMA 9
Sea 0 < � < 1 . Encuentre la función (!, ") tal que
⎩⎪⎨⎪⎧ '* '!* = ' '" si 0 < ! < 1 , " > 0
' '! (0, ") = ' '! (1, ") = 0 (!, 0) = - 1 si 0 < ! < � 0 si � ≤ ! < 1
SOLUCIÓN:
Aplicando separación de variables. Sea (!, ") = /(!)2(")
3'* '!* = /44(!)2(")' '" = /(!)24(") ⇒ '* '!* = ' '" ⇒ /44(!)2(") = /(!)24(")
/44(!)/(!) = 24(")2(") = −78
3' '! (0, ") = /4(0)2(") = 0' '! (1, ") = /4(1)2(") = 0 ⇒ /4(0) = /4(1) = 0 ya que 2(") ≠ 0
Se reescribe el problema de autofunciones como
:/44(!) + 78/(!) = 024(") + 782(") = 0/4(0) = /4(1) = 0
CASO 1: 78 > 0 . Sea 78 = ?8* con ?8 > 0
/44(!) + ?8*/(!) = 0 ⇒ /(!) = @A cos(?8!) + @* sen(?8!)
/4(!) = −?8@A sen(?8!) + ?8@* cos(?8!)
/4(0) = 0 ⇒ 0 = −?8@A sen(?8 ∙ 0) + ?8@* cos(?8 ∙ 0) ⇒ ?8@* = 0 ⇒ @* = 0
/4(1) = 0 ⇒ 0 = −?8@A sen(?8 ∙ 1) + ?8@* cos(?8 ∙ 1) ⇒ ?8@A sen ?8 = 0
Pero @A ≠ 0 ya que se buscan soluciones no triviales.
Como @A ≠ 0 y ?8 ≠ 0 ⇒ sen ?8 = 0 ⇒ ?8 = CD para C = 1,2,3 …
24(") + ?8*2(") = 0 ⇒ 2(") = @GHIJKLM
En este caso la familia de autofunciones viene dada por
8(!, ") = /(!)2(") = @A cos(?8!) @GHIJKLM = N8HIJKLM cos(?8!)
CASO 2: �� = 0
!!(") = 0 ⇒ (") = %&" + %' y *!(,) = 0 ⇒ *(,) = %-
!(0) = !(.) = 0 ⇒ %& = 0 ⇒ (") = %'
/1(", ,) = (")*(,) = %'%- = 3
CASO 3: �� < 0 . Sea �� = −5�' con 5� > 0
!!(") − 5�' (") = 0 ⇒ (") = %& cosh(5�") + %' senh(5�")
!(") = 5�%& senh(5�") + 5�%' cosh(5�")
!(0) = 0 ⇒ 0 = 5�%& senh(5� ∙ 0) + 5�%' cosh(5� ∙ 0) ⇒ 5�%' = 0 ⇒ %' = 0
!(1) = 0 ⇒ 0 = 5�%& senh(5� ∙ 1) + 5� ∙ 0 ∙ cosh(5� ∙ 1) ⇒ 5�%& senh 5� = 0
Como 5� ≠ 0 entonces 5� senh 5� no se anula y %& = 0 obteniéndose la solución trivial.
Este caso se obtiene /(", ,) = 0
Se plantea una "Superposición" en serie de Fourier sumando todas las soluciones:
/(", ,) = 9 :�;?@ABC cos(5�")D
�E&
Aplicando la condición de borde /(", 0) :
/(", 0) = F 1 si 0 < " < G 0 si G ≤ " < 1 = 3 + 9 :� cos(5�")D
�E&
Los coeficientes :� son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones cos(5�") en
el intervalo 0 < " < 1 .
:� = ⟨/(", 0), cos(5�")⟩⟨cos(5�") , cos(5�")⟩ = ⟨/(", 0), cos(K.")⟩1/2 = 2 N 1 ∙ cos(K.") O"P1 + 2 N 0 ∙ cos(K.") O"&
P =
= 2 ∙ sen(K.")K. Q G0 = 2K. (sen(K.G) − 0) = 2 sen(K.G)K.
Calculando el valor del término independiente 3
3 = :12 = ⟨/(0, R), cos(0 ∙ R)⟩⟨cos(0 ∙ R) , cos(0 ∙ R)⟩ = 11 N /(", 0)O"&1 = N /(", 0)O"P
1 + N /(", 0)O"&P = G
Sustituyendo los coeficientes se obtiene la solución en 0 < " < 1 , , > 0
/(", ,) = G + 9 2 sen(K.G)K. ;?(�S)BC cos(K.")D
�E&
PROBLEMA 10
Encuentre la función �(�, �) tal que
⎩⎪⎨⎪⎧
$%�$�% = $%�$�% si 0 < � < ' , � > 0 �(0, �) = �(', �) = 0 �(�, 0) = 2 sen � − sen(3�) $�$� (�, 0) = �(' − �)
SOLUCIÓN:
Aplicando separación de variables. Sea �(�, �) = +(�)-(�)
⎩⎨⎧$%�$�% = +..(�)-(�)$%�$�% = +(�)-..(�) ⇒ $%�$�% = $%�$�% ⇒ +..(�)-(�) = +(�)-..(�)
+..(�)+(�) = -..(�)-(�) = −14
5�(0, �) = +(0)-(�) = 0�(', �) = +(')-(�) = 0 ⇒ +(0) = +(') = 0 ya que -(�) ≠ 0
Se reescribe el problema de autofunciones como
7+..(�) + 14+(�) = 0-..(�) + 14-(�) = 0+(0) = +(') = 0
CASO 1: 14 > 0 . Sea 14 = 94% con 94 > 0
+..(�) + 94%+(�) = 0 ⇒ +(�) = :; cos(94�) + :% sen(94�)
+(0) = 0 ⇒ 0 = :; cos(94 ∙ 0) + :% sen(94 ∙ 0) ⇒ :; = 0
+(') = 0 ⇒ 0 = 0 ∙ cos(94 ∙ ') + :% sen(94 ∙ ') ⇒ :% sen('94) = 0
Pero :% ≠ 0 ya que se buscan soluciones no triviales.
Como :% ≠ 0 ⇒ sen('94) = 0 ⇒ '94 = @' ⇒ 94 = @ para @ = 1,2,3 …
-..(�) + 14-(�) = 0 ⇒ -(�) = B; cos(94�) + B% sen(94�)
En este caso la familia de autofunciones viene dada por
�4(�, �) = +(�)-(�) = :% sen(94�) (B; cos(94�) + B% sen(94�))
�4(�, �) = C4 sen(94�) cos(94�) + D4 sen(94�) sen(94�)
CASO 2: �� = 0
!!(") = 0 ⇒ (") = %&" + %'
(0) = 0 ⇒ 0 = %& ∙ 0 + %' ⇒ %' = 0
(,) = 0 ⇒ 0 = %& ∙ , + 0 ⇒ %& = 0
Como %& = %' = 0 ⇒ (") = 0 ⇒ solución trivial -(", /) = 0
CASO 3: �� < 0 . Sea �� = −2�' con 2� > 0
!!(") − 2�' (") = 0 ⇒ (") = %& cosh(2�") + %' senh(2�")
(0) = 0 ⇒ 0 = %& cosh(2� ∙ 0) + %' senh(2� ∙ 0) ⇒ %& = 0
(,) = 0 ⇒ 0 = 0 ∙ cosh(2� ∙ ,) + %' senh(2� ∙ ,) ⇒ %' senh(,2�) = 0
Como 2� ≠ 0 entonces senh(,2�) no se anula y %' = 0 obteniéndose la solución trivial
Este caso se obtiene -(", /) = 0
La familia de autofunciones en 0 < " < , , / > 0 son
-�(", /) = 4� sen(2�") cos(2�/) + 5� sen(2�") sen(2�/) donde 2� = 6 para 6 = 1,2,3 …
Se plantea una "Superposición" en serie de Fourier sumando todas las soluciones del
problema:
-(", /) = :(4� sen(2�") cos(2�/) + 5� sen(2�") sen(2�/));
�?&
Aplicando la primera condición inicial -(", 0) = 2 sen " − sen(3") :
-(", 0) = :(4� sen(2�") cos(2� ∙ 0) + 5� sen(2�") sen(2� ∙ 0));
�?&
-(", 0) = 2 sen " − sen(3") = : 4� sen(2�");
�?&
Los coeficientes 4� son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones sen(2�") en
el intervalo 0 < " < , . Además, la condición de -(", 0) es una combinación lineal de
funciones seno por lo que se tiene que
@ sen(A") sen(6") B"CD = E 0 si 6 ≠ A
,2 si 6 = A
4� = ⟨-(", 0), sen(2�")⟩⟨sen(2�") , sen(2�")⟩ = ⟨2 sen " − sen(3") , sen(6")⟩,/2 = I 2 si 6 = 1−1 si 6 = 3 0 en otro caso
Derivando la solución respecto a � y aplicando la segunda condición inicial
! � (", �) = #(−%&'& sen(%&") sen(%&�) + %&*& sen(%&") cos(%&�))-
&./
! � (", 0) = #(−%&'& sen(%&") sen(%& ∙ 0) + %&*& sen(%&") cos(%& ∙ 0))
-
&./
! � (", 0) = "(2 − ") = # %&*& sen(%&")
-
&./
Los coeficientes %&*& son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones sen(%&")
en el intervalo 0 < " < 2 .
%&*& = ⟨ ! � (", 0), sen(%&")⟩⟨sen(%&") , sen(%&")⟩ = ⟨"(2 − "), sen(5")⟩
2/2 = 22 ⟨"(2 − "), − 1
59:9
:"9 (sen(5"))⟩
= − 2259 ⟨ :9
:"9 (2" − "9), sen(5")⟩ = − 2259 ⟨−2, sen(5")⟩ = 4
259 ⟨1, sen(5")⟩ =
= 4259 > 1 ∙ sen(5") :"?
@= − 4
259 ∙ cos(5")5 A 2
0 = 425B (1 − cos(52)) = 8
25B sen9 D522 E
%&*& = 825B sen9 D52
2 E ⇒ *& = 825H sen9 D52
2 E
Sustituyendo los coeficientes '& y *& en la solución
!(", �) = # '& sen(5") cos(5�)-
&./+ # 8
25H sen9 D522 E sen(5") sen(5�)
-
&./
!(", �) = 2 sen " cos � − sen(3") cos(3�) + # 825H sen9 D52
2 E sen(5") sen(5�)-
&./
PROBLEMA 11
Encuentre la función �(�, �) acotada en � > 0 , 0 < � < ! tal que
⎩⎪⎨⎪⎧ &'�&�' + &'�&�' = 0 si � > 0 , 0 < � < !&�&� (�, 0) = &�&� (�, !) = 0
�(0, �) = �
SOLUCIÓN:
Aplicando separación de variables. Sea �(�, �) = *(�)-(�)
⎩⎪⎨⎪⎧&'�&�' = *..(�)-(�)&'�&�' = *(�)-..(�) ⇒ &'�&�' + &'�&�' = 0 ⇒ *..(�)-(�) + *(�)-..(�) = 0
*..(�)*(�) = − -..(�)-(�) = 23
⎩⎪⎨⎪⎧&�&� (�, 0) = *(�)-.(0) = 0&�&� (�, !) = *(�)-.(!) = 0 ⇒ -.(0) = -.(!) = 0 ya que *(�) ≠ 0
Se reescribe el problema de autofunciones como:
5*..(�) − 23*(�) = 0-..(�) + 23-(�) = 0-.(0) = -.(!) = 0
CASO 1: 23 > 0 . Sea 23 = 63' con 63 > 0
-..(�) + 63'-(�) = 0 ⇒ -(�) = 78 cos(63�) + 7' sen(63�)
-.(�) = −6378 sen(63�) + 637' cos(63�)
-.(0) = 0 ⇒ 0 = −6378 sen(63 ∙ 0) + 637' cos(63 ∙ 0) ⇒ 637' = 0 ⇒ 7' = 0
-.(!) = 0 ⇒ 0 = −6378 sen(63 ∙ !) + 637' cos(63 ∙ !) ⇒ 6378 sen(!63) = 0
Pero 78 ≠ 0 ya que se buscan soluciones no triviales.
Como 78 ≠ 0 y 63 ≠ 0 ⇒ sen(!63) = 0 ⇒ !63 = :! ⇒ 63 = : para : = 1,2,3 …
*..(�) − 63'*(�) = 0 ⇒ *(�) = A8BCDE + A'BFCDE
BCDE es una función no acotada en el intervalo � > 0 y BFCDE es una función acotada en el
intervalo � > 0 y para que �3(�, �) sea una función acotada, la constante A8 tiene que ser
cero. En este caso la familia de autofunciones viene dada por:
�3(�, �) = A'BFCDE78 cos(63�) = G3BFCDE cos(63�)
CASO 2: �� = 0
!!(") = 0 ⇒ (") = %&" + %' y *!!(,) = 0 ⇒ *(,) = -&, + -'
!(0) = !(.) = 0 ⇒ %& = 0 ⇒ (") = %'
, es una función no acotada en el intervalo 0 < , < ∞ por lo que la constante -& = 0
12(,, ") = *(,) (") = -'%' = 4
CASO 3: �� < 0 . Sea �� = −6�' con 6� > 0
!!(") − 6�' (") = 0 ⇒ (") = %& cosh(6�") + %' senh(6�")
!(") = 6�%& senh(6�") + 6�%' cosh(6�")
!(0) = 0 ⇒ 0 = 6�%& senh(6� ∙ 0) + 6�%' cosh(6� ∙ 0) ⇒ 6�%' = 0 ⇒ %' = 0
!(.) = 0 ⇒ 0 = 6�%& senh(6� ∙ .) + 6� ∙ 0 ∙ cosh(6� ∙ .) ⇒ 6�%& senh(.6�) = 0
Como 6� ≠ 0 entonces 6� senh(.6�) no se anula y %' = 0 obteniéndose la solución trivial.
Este caso se obtiene 1(,, ") = 0
Se plantea una "Superposición" en serie de Fourier sumando todas las soluciones:
1(,, ") = 9 :�;?@AB cos(6�")C
�D&
Aplicando la condición de borde 1(0, ") = " :
1(0, ") = " = 4 + 9 :� cos(6�")C
�D&
Los coeficientes :� son obtenidos a partir de la ortogonalidad de las funciones cos(6�") en
el intervalo 0 < " < . .
:� = ⟨1(0, "), cos(6�")⟩⟨cos(6�") , cos(6�")⟩ = ⟨", cos(G")⟩
./2 = 2. J " cos(G") K"L
2= 2
. ∙ " sen(G")G M .
0 − 2. J sen(G")
GL
2K"
= 0 + 2.G' cos(G") M .
0 = 2.G' (cos(G.) − 1) = − 4
.G' sen' PG.2 Q
Calculando el valor del término independiente 4
4 = :22 = ⟨1(0, "), cos(0 ∙ ")⟩⟨cos(0 ∙ ") , cos(0 ∙ ")⟩ = 1
. J 1(0, ")K"L2
= 1. J "K"L
2= 1
. ∙ .'2 = .
2
Sustituyendo los coeficientes se obtiene la solución en , > 0 , 0 < " < .
1(,, ") = .2 − 9 4
.G' sen' PG.2 Q ;?�B cos(G")
C
�D&
PROBLEMA 12
Sea � > 0. Calcule la transformada de Fourier de la función definida por
(!) = "#$%/& sen(�!)
Y exprésela en términos de funciones hiperbólicas.
SOLUCIÓN:
sen(�!) = "'*$ − "#'*$2,
(!) = "#$%/& sen(�!) = "#$%/& "'*$ − "#'*$2, = 1
2, "#$%/&"'*$ − 12, "#$%/&"#'*$
Sea -(.) la transformada de Fourier de la función (!) definida por
-(.) ≡ ℱ[ (!)] = 125 6 (!)7
#7"#'8$9!
Luego, usando los teoremas operacionales:
ℱ:"#$%/&; = 1√25 "#8%/&
ℱ:"#$%/&"'*$; = 1√25 "#(8#*)%/&
ℱ:"#$%/&"#'*$; = 1√25 "#(8?*)%/&
Sustituyendo las expresiones:
-(.) = ℱ[ (!)] = 12, ℱ @"#$%
& "'*$A − 12, ℱ @"#$%
& "#'*$A
= 12,
1√25 "#(8#*)%
& − 12,
1√25 "#(8?*)%
& = 12,√25 B"#8%?*%#&*8& − "#8%?*%?&*8& C =
= 12,√25 B"#8%?*%
& "*8 − "#8%?*%& "#*8C = 1
2,√25 "#8%?*%& ("*8 − "#*8)
= 1,√25 "#8%?*%
& ∙ "*8 − "#*82 = 1
,√25 "#8%?*%& senh(�.) = −, 1
√25 "#8%?*%& senh(�.)
PROBLEMA 13
Sean � > 0, � > 0 . Usando transformadas de Fourier demuestre la siguiente fórmula de
integración
!"#$ sen(�%)%
&
'*% = arctan +�
�-
SOLUCIÓN:
!"#$ sen(�%)%
&
'*% = 1
2 !"#|$| sen(�%)%
&
"&*%
!"#|$| sen(�%)% = sen(�%)
%./3/45($)
∙ !"#|$|.347($)
= �(�)�(�)
�(�) = sen( �)� ∈ ℒ#(ℝ)
�(�) = %&'|*| ∈ ℒ#(ℝ)
Como �, � ∈ ℒ#(ℝ), se puede aplicar el teorema de Parseval donde
+ �(�)-&-
�(�)....../� = 20 + �1(3)�4(3).......-&-
/3
Hallando cada transformada de Fourier
ℱ[�(�)] = ℱ 6sen( �)� 7 ⇒ �1(3) = 1
2 1(&;,;)(3)
ℱ[�(�)] = ℱ<%&'|*|> = ℱ<�(�)......> ⇒ �4(3) = 10 ∙ @
3# + @#= �4(3).......
Como las funciones �, � y sus transformadas son funciones reales, entonces sus conjugadas
son las mismas funciones. Sustituyendo las expresiones y simplificando:
+ sen( �)�
-&-
%&'|*|......../� = 20 + 12 1(&;,;)(3) 1
0 ∙ @3# + @#
-&-
/3
= @ + 1(&;,;)(3) 13# + @#
-&-
/3 = @ + 13# + @#
;&;
/3 = 2@ + 13# + @#
;B
/3= 2@ ∙ 1
@ arctan C3@ D E
0 = 2 arctan C @D
Como el integrando es una función par, entonces
+ %&'* sen( �)�
-B
/� = 12 + %&'|*| sen( �)
�-
&-/� = 1
2 ∙ 2 arctan C @D = arctan C
@D
PROBLEMA 14
Calcule la siguiente integral
� sen ��2 ! " + 2 # + 2 $%$ &
SOLUCIÓN:
sen ��2 ! " + 2 # + 2 = sen ��2 ! '(()((*,(.)∙ 1 # + 2 + 2'((()(((*3(.)
= 4( )5( )
Completando cuadrados en la función 5( ) :
5( ) = 1 # + 2 + 2 = 1( # + 2 + 1) + (2 − 1) = 1( + 1)# + 1
4( ) = sen ��2 ! ∈ ℒ#(ℝ)
5( ) = 1( + 1)# + 1 ∈ ℒ#(ℝ)
Como 4, 5 ∈ ℒ#(ℝ), se puede aplicar el teorema de Parseval donde
� 4( )$%$ 5( );;;;;;& = 2� � 4<(>)5?(>);;;;;;;$
%$ &>
ℱ[4( )] = ℱ Asen ��2 ! B ⇒ 4<(>) = 12 1�%E#,E#!(>)
ℱ F 11 + #G = 12 H%|I| Utilizando el teorema de traslación en el tiempo
ℱ[5( )] = ℱ F 1( + 1)# + 1G ⇒ 5?(>) = 12 H%|I| ∙ HJK∙LI
Resolviendo el conjugado de 5?(>) (en este caso no se puede descuidar)
5?(>) = 12 H%|I|HLI ⇒ 5?(>);;;;;;; = 12 H�|�|��� = 12 ��|�|��"�
Sustituyendo expresiones en el teorema de Parseval:
# sen $%2 &'
& ∙ 1(& + 1), + 1 -&
.
�.= 2% # 1
2 1$�/,,/,'(3) ∙ 1
2 ��|�|��"�-3.
�.=
2� 12 ∙ 12 ! #$|%|#$&%'()*$)* = �2 ! #$|%|#$&%'()*
$)* = �2 ! #$|%|(cos ( − - sen ()'()*$)*
Descomponiendo la integral anterior en integral-coseno e integral-seno (la integral-seno es
cero por ser un integrando impar):
= �2 ! #$|%| cos ( '()*$)* − - �2 ! #$|%| sen ( '()*
$)* = 2 ∙ �2 ! #$|%| cos ( '()*/ =
= � ! #$% cos ( '()*/ = � ! #$% #&% + #$&%2 '()*
/ =
= �2 ! #$%3#&% + #$&%4'()*/ = �2 ! 3#($56&)% + #($5$&)%4'()*
/ =
= �2 ∙ 7#($56&)%−1 + - + #($5$&)%−1 − - 8 9 �20 = �2 ∙ #$% 7 #&%−1 + - + #$&%−1 − -8 9 �2
0 =
= �2 ∙ #$% 7(−1 − -)#&% + (−1 + -)#$&%(−1 + -)(−1 − -) 8 9 �20 =
�2 ∙ #$% 7−3#&% + #$&%4 − -3#&% − #$&%4(−1)* − -* 8 9 �20 = �2 ∙ #$% 7−(2 cos () − -(2- sen ()2 8 9 �2
0
�2 ∙ #$%(− cos ( + sen () 9 �20 = �2 ∙ #$)* ;− cos ;�2< + sen ;�2<< − �2 ∙ #/(− cos(0) + sen(0))
= �2 ∙ #$)* − �2 (−1) = �2 31 + #$)/*4
Así se concluye que
! sen ;�2 ?<?@ + 2?* + 2?A$A '? = �2 31 + #$)/*4
Observación: el integrando NO es una función par.
PROBLEMA 15
Sean �, � > 0 . Utilizando la transformada de Fourier calcule la integral
cos(�!)(!" + �")" #!$%$
SOLUCIÓN:
Esta integral puede calcularse con el teorema de los residuos de variable compleja, pero
también puede calcularse utilizando el teorema de Parseval y la transformada de Fourier.
&'*-(!" + �")" #!$%$ = 1!" + �" ∙ &'*-!" + �" #!$
%$ = 1!" + �"/23245(-)∙ &%6*-!" + �"/23247(-)
8888888888 #!$%$
9(!) = 1!" + �" ∈ ℒ"(ℝ) y @(!) = &%'*-!" + �" ∈ ℒ"(ℝ)
Como 9, @ ∈ ℒ"(ℝ), se puede aplicar el teorema de Parseval donde
9(!)$%$ @(!)888888#! = 2B 9C(D)@E(D)8888888$
%$ #D
ℱ[9(!)] = ℱ G 1!" + �"H ⇒ 9C(D) = 12� &%J|K| ℱ[@(!)] = ℱ L &%'*-!" + �"M ⇒ @E(D) = 12� &%J|K| ND + � = 12� &%J|KO*|
Sustituyendo expresiones en el teorema de Parseval:
1!" + �" ∙ &%6*-!" + �"8888888888 #!$%$ = 2B 12� &%J|K| ∙ 12� &%J|KO*|888888888888888#D$
%$ = B2�" &%J(|K|O|KO*|)#D$%$
|D| + |D + �| = P−D − (D + �) si D < −� −D + (D + �) si − � ≤ D < 0D + (D + �) si D ≥ 0 = U −2D − � si D < −� � si − � ≤ D < 0 2D + � si D ≥ 0
B2�" &%J(|K|O|KO*|)#D$%$ = B2�" V &%J(%"K%*)#D%*
%$ + &%J*#DW%* + &%J("KO*)#D$
W X =
= B2�" V &"JKO*J#D%*%$ + &%J* #DW
%* + &%"JK%*J#D$W X =
B2�" Y&"JKO*J2� N−� + &%J* ∙ � − &%"JK%*J−2� N 0 Z = B2�" V&%"J*O*J2� + �&%J* + &%*J2� X =
= B&%*J2�" \ 12� + � + 12�^ = B&%*J2�_ (1 + ��) ⇒ &'*-(!" + �")" #!$%$ = B&%*J2�_ (1 + ��)
Tomando partes reales a la expresión anterior:
cos(�!)(!" + �")" #!$%$ = B&%*J2�_ (1 + ��) para �, � > 0
PROBLEMA 16
Sea �: ℝ → ℝ una función definida por
�(�) =⎩⎪⎨⎪⎧ 2 + � si − 2 ≤ � < 0
2 − � si 0 ≤ � < 2 0 si no
(a) Calcule la transformada de Fourier de �.
(b) Usando la parte (a) calcule las integrales
' *sen �� ,
- .�/1 y ' *sen �� ,3 .�/
1
SOLUCIÓN:
(d) Calculando las primeras dos derivadas generalizadas de � :
�(�) =⎩⎪⎨⎪⎧2 + � si − 2 ≤ � < 0
2 − � si 0 ≤ � < 2 0 si no
�456 7 (�) =⎩⎪⎨⎪⎧ 1 si − 2 ≤ � < 0
−1 si 0 ≤ � < 2 0 si no
�456 77 (�) = 9(� + 2) − 29(�) + 9(� − 2)
Sea �:: ℝ → ℝ la transformada de Fourier de �(�) definida por
�:(@) ≡ ℱ[�(�)] = 12C ' �(�)/D/ EDFGH.�
Aplicando los teoremas operacionales de las transformadas de Fourier
ℱI�456 77 (�)J = (K@)-�:(@) = − @-�:(@)
ℱ[9(�)] = 12C
ℱ[9(� + 2)] = 12C E-FG
ℱ[�(� − 2)] =1
2� !"#$
ℱ%&'*+ �� ( )! = ℱ[#( + 2)] − 2ℱ[#( )] + ℱ[#( − 2)] ⇒ − '*,-(') = 12. /*03 − 2 ∙ 12. + 12. /5*03
Despejando la transformada de Fourier de la expresión anterior
− '*,-(') = 1. 6−1 + /*03 + /5*03278889888:;<>(*3)? ⇒ ,-(') = 1. ∙ 1 − cos(2')'* = 1. ∙ 2 sen*''* = 2. @sen '' A*
(e) A partir de la definición de la transformada inversa de Fourier se calcula la primera
integral
,( ) ≡ ℱ5CD,-(')! = E ,-(')F5F /03GH'
,( ) = E 2. @sen '' A*F5F /03GH' ⇒ ,(0) = 2. E @sen '' A*F
5F /JH' ⇒ E @sen '' A*F5F H' = .2 ∙ 2 = .
Como el integrando es una función par entonces
E @sen '' A*F5F H' = 2 E @sen '' A* H'F
J ⇒ E @sen '' A* H'FJ = 12 E @sen '' A*F
5F H' = .2
Para encontrar el valor de la segunda integral se usa el teorema de Parseval, donde la función , ∈ ℒ*(ℝ) :
E ,( )F5F ,( )NNNNNNH = 2. E ,-('),-(')NNNNNNNF
5F H' ⇒ E |,( )|*F5F H = 2. E O,-(')O*F
5F H'
E O,-(')O*F5F H' = 12. E |,( )|*F
5F H
E P2. @sen '' A*P*F5F H' = 12. E |,( )|*F
5F H = 22. E |2 − |**J H = 1. E |2 − ( + 2)|**5*
5* H = 1. E *J
5* H = − 1. E (− )*J* H = 1. E **
J H = 1. ∙ 2Q3
S2.T* E @sen '' AUF5F H' = 1. ∙ 2Q3 ⇒ E @sen '' AUF
5F H' = 1. ∙ 2Q3 ∙ .*2* = 2.3
Como el integrando es una función par entonces
E @sen '' AUF5F H' = 2 E @sen '' AU H'F
J ⇒ E @sen '' AU H'FJ = 12 E @sen '' AUF
5F H' = .3
PROBLEMA 17
Sea �: ℝ → ℝ una función definida por
�(�) = � cos � si |�| ≤ �/2 0 si |�| > �/2
(a) Calcule la transformada de Fourier de � y muestre que esta función es analítica.
(b) Usando la parte (a) calcule las integrales
cos !�2 �"1 − �$ %�&
' y cos$ !�2 �"(1 − �$)$ %�&'
SOLUCIÓN:
Definiendo la función
�(�) = � cos � si |�| ≤ �/2 0 si |�| > �/2
Calculando la primera derivada generalizada
�*+, - (�) = �-(�) = �− sen � si |�| ≤ �/2 0 si |�| > �/2
Calculando la segunda derivada generalizada:
�*+,-- (�) = . !� + �2" + . !� − �2" + �--(�) =
= .(� + �/2) + .(� − �/2) + �− cos � si |�| ≤ �/2 0 si |�| > �/2 = .(� + �/2) + .(� − �/2) − �(�)
Por lo tanto �(�) satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas generalizadas
�*+,-- (�) + �(�) = .(� + �/2) + .(� − �/2)
Sea �4: ℝ → ℝ la transformada de Fourier de �(�) definida por
�4(7) ≡ ℱ[�(�)] = 12� �(�)&;& <;?@A%�
Aplicando los teoremas operacionales de las transformadas de Fourier
ℱB�*+,-- (�)C = (D7)$�4(7) = − 7$�4(7)
ℱ[�(� + �/2)] = 12� !"#$
ℱ[�(� − �/2)] = 1
2� &!
"#$
Se sustituyen las expresiones y se despeja la transformada de Fourier
ℱ'*,-.00 ( )! + ℱ[#( )] = ℱ[$( + %/2)] + ℱ[$( − %/2)] ⇒ − ,-#.(,) + #.(,) = 12% 03-45 + 12% 063-45
(1 − ,-)#.(,) = 1% ∙ 03-45 + 063-452 ⇒ (1 − ,-)#.(,) = 1% cos 8%2 ,9 ⇒ #.(,) = 1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,-
#.(,) es una función analítica en todo su dominio:
lim5→±; #.(,) = lim5→±; 1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,- = 1% lim5→±;<<, cos 8%2 ,9<<, (1 − ,-) = 1% lim5→±;
− %2 ∙ sen 8%2 ,9−2, = 14 < ∞
a partir de la definición de transformada inversa de Fourier
#( ) = ℱ6;A#.(,)! = B #.(,)C6C 045D<,
#( ) = B 1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,-C6C 045D<,
#(0) = cos(0) = 1 = B 1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,-C6C 045∙F<, ⇒ 1% B cos 8%2 ,91 − ,-C
6C <, = 1
⇒ B cos 8%2 ,91 − ,-C6C <, = % ⇒ 2 B cos 8%2 ,91 − ,-C
F <, = % ⇒ B cos 8%2 ,91 − ,-CF <, = %2
Para encontrar el valor de la segunda integral se usa el teorema de Parseval, donde la función # ∈ ℒ-(ℝ) :
B |#( )|-C6C < = 2% B J#.(,)J-C
6C <, ⇒ B J#.(,)J-C6C <, = 12% B |#( )|-C
6C <
B K1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,- K-C6C <, = 12% B |cos |-3/-
63/- < = 12% ∙ 2 B cos- 3-F < = 1% L 2 + sen(2 )4 M N %2
0= 1% ∙ 12 8%29 = 14
B K1% ∙ cos 8%2 ,91 − ,- K-C6C <, = 14 ⇒ 2%- B Kcos 8%2 ,91 − ,- K- <,C
F = 14 ⇒ B cos- 8%2 ,9(1 − ,-)- <,CF = %-8
PROBLEMA 18
Encuentre explícitamente la función �(�, �) que satisface el problema de conducción de calor
⎩⎪⎨⎪⎧ #2$#%2 = #$#& si − ∞ < % < ∞ , & > 0
$(%, 0) = +(%)
SOLUCIÓN:
Se aplica transformada de Fourier respecto a la variable que tiene como dominio todos los
números reales. Aplicando la transformada de Fourier respecto a la variable % definida por
$-(., &) ≡ ℱ[$(%, &)] = 124 5 $(%, &)6789:;%?7?
Usando los teoremas operacionales:
ℱ @#A$(%, &)#%A B = (C.)A$-(., &) = −.A$-(., &)
ℱ @#$(%, &)#& B = #$-#& (., &)
ℱ[$(%, 0)] = ℱ[+(%)] ⇒ $-(., 0) = 124
El problema se reescribe en términos de transformadas de Fourier
⎩⎪⎨⎪⎧−.A$-(., &) = #$-(., &)#& si − ∞ < . < ∞ , & > 0
$-(., 0) = 124 si − ∞ < . < ∞
Y luego se resuelve la ecuación diferencial:
−.A$-(., &) = #$-(., &)#& ⇒ #$-(., &)#& + .A$-(., &) = 0
Cuya solución general es
$-(., &) = G(.)679HI
Se encuentra la constante G(.) con la condición inicial:
$-(., 0) = G(.)679H∙K = G(.) = 124
Sustituyendo la constante se obtiene la solución acotada |$-(., &)| < ∞ cuya transformada
inversa de Fourier existe por que $-(., &) ∈ ℒN(ℝ) .
��(�, �) = 12� !"#$ si − ∞ < � < ∞ , � > 0
Luego se recupera la función �(�, �) mediante la transformada inversa de Fourier:
�(�, �) ≡ ℱ"#[�$(%, �)] = & �$(%, �)'*+-.%/"/
�(�, �) = & �$(%, �)'*+-.%/"/ = & 120 '"+34'*+-.%/
"/ = 120 & '"+34'"*+("-).%/"/
= ℱ5'"+346 7−� = ℱ 9'"(:4)+3: ; 7−� = 1<20(2�) ' "-3
:(:4) 7−� = 1√40� '"("-)3@4 = 1
√40� '"-3@4
La solución explícita al problema de valores iniciales es
�(�, �) = 1√40� '"-3@4 si � ∈ ℝ y � > 0
PROBLEMA 19
Encuentre la función acotada �(�, �) tal que satisfaga el siguiente problema
⎩⎪⎨⎪⎧ %&�%�& = %�%� si � > 0 , � > 0 %�%� (0, �) = 0 si � > 0
�(�, 0) = '*+-/& si � > 0
SOLUCIÓN:
Hay que extender la variable � a −∞ < � < ∞. Para esto, se elimina la condición de borde
nula 232+ (0, �) = 0 y se extiende la función �(�, 0) = '*+-/& como una función par:
4(�) = 5�(−�, 0) si � < 0�(�, 0) si � ≥ 0 = 7'*(*+)-/& si � < 0
'*+-/& si � ≥ 0 = '*+-/&
Con la variable � extendida a todos los números reales, se replantea el problema como:
⎩⎨⎧ %&�%�& = %�%� si − ∞ < � < ∞ , � > 0
�(�, 0) = '*+-/& si − ∞ < � < ∞
Ahora se puede aplicar la transformada de Fourier respecto a la variable � definida por
�8(9, �) ≡ ℱ[�(�, �)] = 12A B �(�, �)'*CD+E�F*F
Usando los teoremas operacionales:
ℱ ����(�, )��� ! = ("#)��$(#, ) = −#��$(#, )
ℱ ���(�, )� ! = ��$� (#, )
ℱ[�(�, 0)] = ℱ&'*+-/�. ⇒ ℱ �'*3∙+-� ! = 1√28 ∙ 1 '*9-�∙3 ⇒ �$(#, 0) = 1√28 '*9-/�
El problema se reescribe en términos de transformadas de Fourier
⎩⎪⎨⎪⎧−#��$(#, ) = ��$(#, )� si − ∞ < # < ∞ , > 0
�$(#, 0) = 1√28 '*9-/� si − ∞ < # < ∞
Y luego se resuelve la ecuación diferencial:
−����(�, �) = ��(�, �) � ⇒ ��(�, �) � + ����(�, �) = 0
Cuya solución general es
��(�, �) = #(�)$%&'* si − ∞ < � < ∞ , � > 0
Se encuentra la constante #(�) con la condición inicial:
��(�, 0) = #(�)$%&'∙/ = #(�) = 1√24 $%&'/�
Sustituyendo la constante se obtiene la solución acotada |��(�, �)| < ∞ cuya transformada
inversa de Fourier existe por que ��(�, �) ∈ ℒ8(ℝ) .
��(�, �) = 1√24 $%&'/� ∙ $%&'* = 1
√24 $%:8�;*?&' si − ∞ < � < ∞ , � > 0
Luego se recupera la función �(�, �) mediante la transformada inversa de Fourier:
�(�, �) ≡ ℱ"#[�$(%, �)] = & �$(%, �)'*+-.�/"/
�(�, �) = & �$(%, �)'*+-.%/"/ = & 1
√23 '"4#5678+9'*+-.%/"/ = 123 & 23
√23 '"4#5678+9'"*+("-).%/"/
= ℱ :√23 ∙ '"4#5678+9< >−�= √23 ∙ ℱ @'"4556578+9
5 A >−�= √23 ∙ 1
B23 422 + 2�8 ' "-954556578 >−�
= 1√1 + 2� '"("-)9#657 = ' "-9576#
√2� + 1
La solución �(�, �) al problema explícitamente es
�(�, �) = exp D −�52� + 1E
√2� + 1 si � > 0 , � > 0
PROBLEMA 20
Encuentre la función acotada �(�, �) tal que satisfaga el siguiente problema
⎩⎪⎨⎪⎧
������ = ��� si � > 0 , > 0 ���� (0, ) = 0 si > 0 �(�, 0) = sen �� si � > 0
SOLUCIÓN:
Hay que extender la variable � a −∞ < � < ∞. Para esto, se elimina la condición de borde
nula $%$& (0, ) = 0 y se extiende la función �(�, 0) = '*&+/� como una función par:
-(�) = .�(−�, 0) si � < 0�(�, 0) si � ≥ 0 =
⎩⎪⎨⎪⎧sen(−�)−� si � < 0
sen �� si � ≥ 0= sen ��
Con la variable � extendida a todos los números reales, se replantea el problema como:
⎩⎪⎨⎪⎧ ������ = ��� si − ∞ < � < ∞ , > 0
�(�, 0) = sen �� si − ∞ < � < ∞
Ahora se puede aplicar la transformada de Fourier respecto a la variable � definida por
�6(7, ) ≡ ℱ[�(�, )] = 12? @ �(�, )'*AB&C�D*D
Usando los teoremas operacionales:
ℱ E���(�, )��� F = (G7)��6(7, ) = −7��6(7, )
ℱ E��(�, )� F = ��6� (7, )
ℱ[�(�, 0)] = ℱ Hsen �� I ⇒ ℱ Hsen �� I = 12 ∙ 1(*L,L)(7) ⇒ �6(7, 0) = 12 ∙ 1(*L,L)(7)
El problema se reescribe en términos de transformadas de Fourier
⎩⎪⎨⎪⎧−7��6(7, ) = ��6(7, )� si − ∞ < 7 < ∞ , > 0
�6(7, 0) = 12 ∙ 1(*L,L)(7) si − ∞ < 7 < ∞
Y luego se resuelve la ecuación diferencial:
−����(�, �) = ���(�, �)�� ⇒ ���(�, �)
�� + ����(�, �) = 0
Cuya solución general es
��(�, �) = "(�)#$%&' si − ∞ < � < ∞ , � > 0
Se encuentra la constante "(�) con la condición inicial:
��(�, 0) = "(�)#$%&∙/ = "(�) = 12 ∙ 1($3,3)(�)
Sustituyendo la constante se obtiene la solución acotada |��(�, �)| < ∞ cuya transformada
inversa de Fourier existe por que ��(�, �) ∈ ℒ3(ℝ) .
��(�, �) = 12 ∙ 1($3,3)(�) ∙ #$%&' si − ∞ < � < ∞ , � > 0
Luego se recupera la función �(7, �) mediante la transformada inversa de Fourier:
�(7, �) ≡ ℱ$3[��(�, �)] = : ��(�, �)#;%?@7A
$A
�(7, �) = : ��(�, �)#;%?@�A
$A= : 1
2 ∙ 1($3,3)(�) ∙ #$%&'#;%?@�A
$A= 1
2 : #$%&'#;%?@�3
$3
= 12 : #$%&'(cos(�7) + B sen(�7))@�
3
$3= 1
2 : #$%&' cos(�7) @�3
$3+ B
2 : #$%&' sen(�7) @�3
$3
= 12 : #$%&' cos(�7) @�
3
$3+ 0 = 1
2 ∙ 2 : #$%&' cos(�7) @�3
/= : #$%&' cos(�7) @�
3
/
La integral que contiene la función seno se anula por ser una función impar y se reescribe la
integral del coseno en el intervalo [0,1] por ser una función par. Esta integral no se puede
resolver analíticamente, por lo tanto la solución �(7, �) del problema se expresa como
�(7, �) = : #$%&' cos(�7) @�3
/ si 7 > 0 , � > 0
PROBLEMA 21
Sea �(�, �) una función acotada tal que
⎩⎪⎨⎪⎧$%�$�% + $%�$�% = 0 si � > 0 , � > 0
�(�, 0) = 0 �(0, �) = '2
(a) Demuestre que la solución del problema es
�(�, �) = * sen(-�)-./ 134|5|6-
(b) Resuelva la integral de la parte (a) y muestre que
�(�, �) = arctan(�/�)
SOLUCIÓN:
Hay que extender la variable � a −∞ < � < ∞. Para esto, se elimina la condición de borde
nula �(�, 0) = 0 y se extiende la función �(0, �) = "(�) como una función impar:
"(�) = #−$/2 si � < 0$/2 si � ≥ 0
Con la variable � extendida a todos los números reales, se replantea el problema como:
⎩⎨⎧ -.�-�. + -.�-�. = 0 si � > 0 , − ∞ < � < ∞
�(0, �) = "(�) si − ∞ < � < ∞
Ahora se puede aplicar la transformada de Fourier respecto a la variable � definida por
�3(�, 4) ≡ ℱ[�(�, �)] = 12$ 8 �(�, �)9:;?@A�B:B
Usando los teoremas operacionales:
ℱ C-.�(�, �)-�. D = -.�3(�, 4)-�.
ℱ C-.�(�, �)-�. D = (E4).�3(�, 4) = −4.�3(�, 4)
ℱ C-.�-�.D + ℱ C-.�-�.D = 0 ⇒ -.�3(�, 4)-�. − 4.�3(�, 4) = 0
La solución a esta ecuación es
��(�, �) = ��(�)��|�|� + !(�)�|�|� si # > 0 , − ∞ < & < ∞
Para que la solución '(#, &) sea acotada, la solución en transformada de Fourier también debe
ser acotada |*-(#, �)| < ∞. Así, el coeficiente !(�) = 0 para que esta solución sea una
función acotada.
*-(#, �) = �(�)��|�|� si # > 0 , − ∞ < � < ∞
Se determina el coeficiente �(�) utilizando la condición de borde.
.(&) = /−1/2 si & < 0 1/2 si & ≥ 0
La derivada generalizada de .(&) es
.5678 (&) = 1 9(&)
Por lo tanto
ℱ[9(&)] = 121
ℱ?.5678 (&)@ = ℱ[1 9(&)] ⇒ B�.C(�) = 121 = 12 ⇒ .C(�) = 12B�
ℱ[*(0, &)] = ℱ[.(&)] ⇒ *-(0, �) = .C(�)
*-(0, �) = �(�)��|�|∙E = �(�) = 12B�
Por lo tanto, la solución en transformada de Fourier es
*-(#, �) = 12B� ��|�|� si # > 0 , − ∞ < � < ∞
Se recupera la función *(#, &) por medio de la transformada inversa de Fourier
*(#, &) ≡ ℱ��[*-(#, �)] = G *-(#, �)�H�IJ�K�K
Así
*(#, &) = G 12B� ��|�|��H�IJ�K�K = 12 G 1� ��|�|� Lcos(�&) + B sen(�&)B MK
�K J� =
−B 12 G 1� ��|�|� cos(�&)K�K J� + 12 G 1� ��|�|� sen(�&)K
�K J�
(a) La integral del coseno es cero, ya que el integrando es una función impar en � y la
integral del seno es una función par, así
�(�, �) = 12 1! "#|$|% sen(!�)
&
#&'! = 12
sen(!�)!
&
#&"#%|$|'! = sen(!�)
!&
*"#%|$|'!
(b) Utilizando el teorema de Parseval. Si +, - ∈ ℒ0(ℝ)
4(!)&
#&5(!)6666666'! = 27 48(9)58(9)666666&
#&'9
Como
4(!) = sen(!�)! ∈ ℒ0(ℝ)
5(!) = "#%|$| ∈ ℒ0(ℝ) Definiendo la transformada de Fourier respecto a la variable ! como:
48(9) ≡ ℱ[4(!)] = 127 4(!)"������
�
Así
ℱ["(�)] = ℱ #sen(�$)� % ⇒ "*(+) = 12 1(�,,,)(+)
ℱ[.(�)] = ℱ/0�3|�|4 = ℱ/.(�)55555554 ⇒ .*(+) = 16 ∙ 889 + +9 = .*(+)555555
Luego, se aplica el teorema de Parseval
12 ; sen �$�
� 0�3|�|�� = 262 ; 12 1(�,,,)(+) 16 ∙ 889 + +9
� �+ = 12 ; 889 + +9,
�, �+
= 128 ; 11 + <+8>9 �+,
�, = 12 arctan ?+8@ A $−$ = 12 arctan <$8> − 12 arctan <−$8 >
= 2 ?12 arctan <$8>@ = arctan <$8>
Por lo tanto la solución en 8 > 0 , $ > 0 es
E(8, $) = arctan <$8>
PROBLEMA 22
Sea � > 0 y las funciones , !: ℝ → ℝ . Sea $(%, &) una función que satisface la ecuación de
la onda
⎩⎪⎨⎪⎧./$.&/ = �/ ./$.%/ si − ∞ < % < ∞ , & > 0
$(%, 0) = (%) si − ∞ < % < ∞.$.& (%, 0) = !(%) si − ∞ < % < ∞
Muestre que la solución a este problema es la fórmula de D'Alembert:
$(%, &) = (% − �&) + (% + �&)2 + 12� 7 !(8)98;?@A;B@A
SOLUCIÓN:
Aplicando transformadas de Fourier a la ecuación diferencial y a las condiciones iniciales
definiendo la transformada de Fourier como
$C(D, &) ≡ ℱ[$(%, &)] = 12G 7 $(%, &)HBH IBJK;9%
ℱ[$(%, &)] = $C(D, &)
ℱ L./$(%, &).&/ M = ./$C(D, &).&/
ℱ L./$(%, &).%/ M = (ND)/$C(D, &) = −D/$C(D, &)
ℱ[$(%, 0)] = ℱ[ (%)] ⇒ $C(D, 0) = P(D)
ℱ Q.$.& (%, 0)R = ℱ[!(%)] ⇒ .$C.& (D, 0) = !C(D)
La ecuación diferencial en términos de transformadas de Fourier se expresa como
⎩⎪⎨⎪⎧./$C(D, &).&/ = −�/D/$C(D, &) si − ∞ < D < ∞ , & > 0
$C(D, 0) = P(D) si − ∞ < D < ∞.$C.& (D, 0) = !C(D) si − ∞ < D < ∞
./$C(D, &).&/ = −�/D/$C(D, &) ⇒ ./$C(D, &).&/ + �/D/$C(D, &) = 0
Cuya solución general es
$C(D, &) = ST(D) cos(�D&) + S/(D) sen(�D&)
Aplicando las condiciones iniciales
��(�, 0) = ��(�) ⇒ ��(�, 0) = �(�) cos(0) + ��(�) sen(0) = ��(�) ⇒ ��(�) = ��(�)
!"#!$ (�, $) = %�(−��(�) sen(%�$) + ��(�) cos(%�$))
!"#!$ (�, 0) = '#(�) ⇒ %�(−��(�) sen(0) + ��(�) cos(0)) = '#(�) ⇒ ��(�) = 1
%� '#(�)
"#(�, $) = ��(�) cos(%�$) + '#(�) sen(%�$)%� si − ∞ < � < ∞ , $ > 0
Luego se recupera la función mediante la transformada inversa de Fourier definida por
"(., $) ≡ ℱ3�["#(�, $)] = 4 "#(�, $)535
6789:.
ℱ3�["#(�, $)] = ℱ3�;��(�) cos(%�$)? + ℱ3� @'#(�) sen(%�$)%� A
Obteniendo la transformada inversa de Fourier al primer factor:
��(�) cos(%�$) = ��(�) 67B8C + 637B8C2 = 1
2 ��(�)67B8C + 12 ��(�)637B8C
ℱ3� E12 ��(�)67B8C + 1
2 ��(�)637B8CF = 12 �(. + %$) + 1
2 �(. − %$) = �(. − %$) + �(. + %$)2
Se obtiene la transformada inversa de Fourier al segundo factor con el teorema de Parseval:
4 �(G)'(G)HHHHHH:G535
= 2I 4 ��(�)'#(�)HHHHHHH:�535
⇒ 4 ��(�)'#(�)HHHHHHH:�535
= 12I 4 �(G)'(G)HHHHHH:G5
35
ℱ3� @'#(�) sen(%�$)%� A = 4 '#(�) sen(%�$)
%�5
356789:� = 1
% 4 sen(%�$)� '#(�)63J89HHHHHHHHHHHHHH5
35:� =
= I2I% 4 ℱ3� @1
I ∙ sen(%�$)� A ℱ3�['#(�)63J89]HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH5
35:� =
= 12% 4 1(3BC,BC)(G) ∙ '(G − .)5
35:G = 1
2% 4 1(93BC ,9LBC)(G) ∙ '(G)535
:G = 12% 4 '(G):G9LBC
93BC
Finalmente la solución al problema de la onda es
"(., $) = �(. − %$) + �(. + %$)2 + 1
2% 4 '(G):G9LBC93BC
si . ∈ ℝ , $ > 0
PROBLEMA 1
Una función �: ℝ → ℝ cumple �( + !) = �( ) , �(− ) = �( ) y para 0 ≤ ≤ ! está
definida por:
�( ) = $1 si 0 ≤ < !20 si !2 ≤ ≤ !
(a) Halle la serie de Fourier !-periódica de �( ).
(b) ¿A qué valor converge la serie de Fourier de � en = !/2 y en = ! ? Justifique.
(c) Demuestre que
&' (−1)*2, + 1-
*.3 �� = 12 1(2! + 1)�"
#$%
PROBLEMA 2
Sea Ψ > 0 . Encuentre explícitamente la función '(*, -) tal que
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 6�'6*� + 6�'6-� = 0 si * > 0 , - > 0
6'6* (0, -) = 0 '(*, 0) = ΨΨ� + *�
|'(*, -)| ≤ 8 < ∞ para algún 8 ∈ ℝ
PROBLEMA 3
Encuentre la función '(*, ?) tal que satisface el problema de la onda
⎩⎪⎨⎪⎧
6�'6*� = 6�'6?� si 0 < * < 1 , ? > 0 '(0, ?) = '(1, ?) = 0 '(*, 0) = *(1 − *) 6'6? (*, 0) = sen(2A*)
PROBLEMA 4
Sea B > 0, C > 0 . Usando transformadas de Fourier demuestre la siguiente fórmula
D sen(B*)*(*� + C�)"
% E* = A2C� F1 − GHIJK
Respuestas:
Problema 1
C# = 2A ∙ sen(!A/2)!
(b) Converge a 1/2 y a 0 respectivamente
Problema 2
'(*, -) = - + Ψ*� + (- + Ψ)�
Problema 3 '(*, ?) = sen(2A*) cos(2A?) +
+ 8A!O sen� P!A2 Q sen(!A*) sen(!A?)"#$R
PROBLEMA 1
Una función �: ℝ → ℝ cumple �(� + �) = �(�) , �(−�) = −�(�) y para 0 ≤ � ≤ � está
definida por:
�(�) = " � si 0 ≤ � < �2 � − � si �2 ≤ � ≤ �
(a) Calcule la transformada de Fourier de la función $: ℝ → ℝ definida por
$(�) = �(�) ∙ 1(*,-)(�) − �(�) ∙ 1(.-,*)(�)
(b) Halle la serie de Fourier �-periódica de �(�) . Sugerencia: Puede utilizar la parte (a).
(c) Demuestre que
/ 1(23 + 1)45
67* = 23 9/ 1(23 + 1);5
67* >;
PROBLEMA 2
Encuentre explícitamente la función ?(�, @) tal que
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ E;?E�; + E;?E@; = 0 si 0 < � < 1 , 0 < @ < 1E?E� (0, @) = E?E� (1, @) = 0 ?(�, 0) = 0 ?(�, 1) = 2 cos;(��)
PROBLEMA 3
Encuentre explícitamente la función ?(�, F) tal que satisface el problema de conducción de
calor
⎩⎪⎨⎪⎧ E;?E�; = E?EF si � > 0 , F > 0 ?(0, F) = 0 ?(�, 0) = �H.IJ/; limL→5 ?(�, F) = 0
Respuestas:
Problema 1
�M(N) = O�N; Psen(�N) − 2 sen P�2 NQQ
R6 = 4� ∙ sen(3�/2)3;
Problema 2 ?(�, @) = @ + senh(2�@)senh(2�) cos(2��)
Problema 3
?(�, F) = �H .IJ4LT;√2F + 1