Series_parte_2.pdf

Apuntes preparado por el profesor Sr. Rosamel Sez Espinoza con fines de docencia

6) PRONSTICOS Existen muchas palabras en espaol para designar los intentos de anticipar el futuro. Desde una perspectiva cientfica, y tratndose de procedimientos cuantitativos, hay dos trminos, prediccin y previsin, que se vienen usando como sinnimo. En general, previsin puede usarse no slo en el sentido de anticipacin, sino tambin de prevencin, es decir, de tomar precauciones para evitar un riesgo. En el contexto temporal, puede hablarse de dos clases de predicciones: condicionales e incondicionales. Las predicciones condicionales son las que se realizan mediante modelos causales. Por ejemplo, en un modelo de regresin que relaciona dos variables, las predicciones de la variable dependiente y estn condicionadas a x, es decir se predice y dada x. Las predicciones incondicionales son las que se hacen mediante mtodos autoprotectivos. Estos mtodos pueden estar basados en dos enfoques alternativos: El determinista o clsico, y el estocstico o moderno. Segn su horizonte temporal, las predicciones se clasifican en tres clases: a corto, a medio y a largo plazo. En economa, y adoptando un enfoque cuantitativo, corto plazo suele ser cualquier periodo inferior a un ao; medio plazo es un periodo de 1 a 2 aos y largo plazo es cualquier horizonte temporal superior a 2 aos. Pronosticar supone proyectar la experiencia pasada hacia el futuro, basados eso s, en el supuesto que las condiciones que generaron los datos histricos no sern diferentes de las condiciones futuras. Pronosticar es el arte y la ciencia de predecir los eventos futuros. Aunque an se necesita del juicio gerencial para pronosticar, hoy contamos con la ayuda de herramientas y mtodos matemticos sofisticados para realizar tal tarea. En todo proceso para efectuar pronsticos se deben identificar los siguientes pasos: 1.- Toma y resumen de datos 2.- Construccin del modelo 3.- Evaluacin del modelo 4.- El pronstico

De todos estos pasos, el ms delicado y complejo es la obtencin de los datos y el asegurarse que estos sean correctos, ya que como mencionamos al comienzo de este mdulo, la calidad de las predicciones que podemos efectuar est estrechamente relacionada con la informacin que se puede extraer y utilizar de los datos que se tengan.

La construccin del modelo significa encontrar el modelo adecuado para usarlo con los datos recogidos. Cuanto ms sencillo sea el modelo, mayor ser la oportunidad de que el proceso de pronsticos tenga aceptacin entre quienes deban tomar decisiones.

Una estrategia usual para evaluar los distintos mtodos de pronsticos incluye los siguientes pasos:

Rodrigo GarcaRectangle


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2

1.- Elegir un mtodo de pronsticos basado en el examen del patrn de los datos por parte del analista.

2.- El conjunto de datos se debe dividir en dos partes; una de inicializacin

y otra de prueba. 3.- El mtodo de pronstico que se elige se usa para desarrollar valores

ajustados a partir de la parte de inicializacin de los datos 4.-- El modelo usado para pronosticar la parte de prueba permite calcular y

evaluar los errores de pronstico. 5.- Se toma una decisin sobre el modelo. La decisin puede ser: usar el

modelo en su forma actual, modificar el modelo, desarrollar un pronstico usando otro modelo y comparar los resultados, o descartar el modelo e intentar otra cosa.

El pronstico real debe ser un tanto cuantitativo como cualitativo. El modelo proporciona el valor cuantitativo y el juicio del analista aporta los ajustes cualitativos. 6.1) Errores de pronsticos. Se han desarrollado varios mtodos para medir los errores generados por un procedimiento de pronsticos especfico. Estos mtodos consisten en generar pronsticos para periodos pasados y compararlos con los valores reales de la variable. Se define y denota el error de pronstico para un periodo t mediante la expresin:

ttt FYe = (6.1.1) donde

te : es el error de pronstico en el periodo t

tY : es el valor real en el periodo t

tF : es el pronstico en el periodo t. A continuacin definiremos dos formas de evaluar los errores de pronsticos. ECM, Error cuadrtico medio. Corresponde a un promedio del cuadrado de los errores y se calcula mediante la expresin:




3

n

e

ECM

n

1t

2

t== (6.1.3)

EPM, error porcentual medio. Este tipo de medida permite determinar si un mtodo de pronstico est sesgado, es decir determina si un mtodo pronostica alto o bajo en forma estable.

n

Y

e

EPM

n

1t t

t== (6.1.5)

Valores cercano a cero de esta medida indicaran que el enfoque de pronstico no esta sesgado. Si el resultado es un porcentaje positivo grande, el mtodo de pronstico subestima la mayor parte del tiempo. Si el resultado es un porcentaje negativo grande, el mtodo de pronstico sobrestima. 6.2) Algunos mtodos de pronsticos. Uno de los mtodos ms sencillo para pronosticar una variable de serie de tiempo, es aquel que usa el valor del periodo actual como pronstico para el prximo periodo:

t1tYF =+ (6.2.1)

donde

1tF + es el pronstico para el periodo t+1

tY es el valor de la variable en el periodo t

Este mtodo de pronstico recibe el nombre de mtodo intuitivo de prediccin, o mtodo Naive o Ingenuo. Otro modelo de esta clase es:

( )1 1t t t tF Y Y Y+ = + (6.2.1.1)

La desventaja de los modelos obtenidos por el mtodo naive, es que no toma en cuenta la tendencia ni la estacionalidad de los datos. Este mtodo intuitivo por lo general es aplicado a compaas ms o menos nuevas y que no han tenido el tiempo suficiente de desarrollar una base de datos histrica que pueda ser usada con cierta confianza.




Rodrigo GarcaLineREAL MENOS EL PRONSTICO

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4

Un mtodo ms usado para realizar pronsticos es el mtodo de promedios mviles. El modelo de promedios mviles utiliza el promedio mvil de varios periodos anteriores como pronstico para el siguiente periodo y se aplica cuando la serie no presenta tendencia. En la practica, el analista debe decidir cuntos periodos anteriores ha de promediar. El trmino promedio mvil implica que a medida que se conoce una nueva observacin, se calcula un nuevo promedio mvil, previo a la eliminacin de la observacin ms antigua e incorporacin de la observacin ms reciente. Esta nueva media es el pronstico para el siguiente periodo. La expresin para calcular los pronsticos de promedios mviles es:

m

Y...YYF 1mt1tt1t

++

+++= (6.2.2)

donde

1tF + es el pronstico para el periodo t+1


m es el nmero de trminos en el promedio mvil. Ejemplo: Suponga que disponemos de registros de automviles nuevos entre

enero de 1985 a diciembre de 1986. Con estos datos vamos a realizar un pronstico para enero de 1987.

Para realizar tal pronstico determinaremos promedios mviles para 4 y

seis periodos. Determinaremos adems el error correspondiente para cada promedio.

Tabla 6.2.1: Procedimiento para la determinacin de promedios mviles.

Prom. Mvil Prom. Mvil Error para Error para

Ao Mes Registros de 4 meses de 6 meses Pronost.4 Pronost.6

1985 ene 781

feb 790

mar 927

abr 936

may 912 859 53

jun 923 891 32

jul 949 925 878 24 71

ago 926 930 906 -4 20

sep 1105 928 929 177 176

oct 973 976 959 -3 14

nov 828 988 965 -160 -137

dic 849 958 951 -109 -102

1986 ene 913 939 938 -26 -25

feb 822 891 932 -69 -110

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5

mar 848 853 915 -5 -67

abr 906 858 872 48 34

may 918 872 861 46 57

jun 1012 874 876 138 136

jul 934 921 903 13 31

ago 894 943 907 -49 -13

sep 1149 940 919 209 230

oct 948 997 969 -49 -21

nov 719 981 976 -262 -257

dic 902 928 943 -26 -41

1987 ene 930 924

Observe que el pronstico para enero de 1987 (periodo 25) usando 4 periodos para el clculo del promedio mvil es de 930 registros, en cambio si usamos 6 periodos en el clculo del promedio mvil , el pronstico es de 924 registros. Veamos cual de los dos modelos produce un menor error.

Tabla 6.2.2: Comparacin de los errores de pronstico usando ambos modelos,

para 4 y seis periodos.

Pronstico usando : 4 periodos 6 periodos ECM 11.007,1 12.672,3

EPM -1,17% -1,27%

De acuerdo a los resultados mostrados en la tabla 6.2.2, vemos que todas las medidas de error usando 4 periodos es menor que las medidas de error usando 6 periodos en el clculo de los promedios mviles. Por otra parte, para el pronstico usando cuatro periodos vemos que el ECM es menor que el modelo basado en seis periodos, El EPM para este mismo es bastante pequeo, por lo que podramos aventurar que el modelo no est sesgado, es decir no subestima ni sobrestima el nmero de registros de automviles nuevos de manera consistente. Este mtodo se llama mvil porque cuando se conoce el valor real para el mes que hicimos el pronstico, el proceso de promediar se mueve un mes ms adelante, eliminando del clculo el valor ms antiguo y agregando el valor recin conocido. En el uso de los promedios mviles como tcnica de prediccin no se presupone la presencia de patrones de estacionalidad, tendencias ni componente cclica, sino que la serie puede representase como


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6

ttY += (6.2.3) donde


es una componente llamada nivel promedio

t es el error aleatorio en el tiempo t.

Por ltimo, cabe mencionar que mientras ms largo sea el periodo en que

se hace el promedio, ms lenta ser la respuesta ante cambios en la variable observada, dando con esto ms estabilidad a los pronsticos. Sin embargo en ciertas situaciones se traduce en una desventaja, puesto que responden con mayor lentitud ante cambios verdaderos. De aqu que se recomiende seleccionar una compensacin entre la estabilidad y la velocidad de respuesta al seleccionar el nmero de periodos a considerar en el promedio.

Una manera de hacer que el promedio mvil responda con mayor rapidez a los cambios de la variable respuesta, es colocar un peso relativo superior sobre las observaciones ms recientes. Esto se denomina promedio mvil ponderado y su forma de clculo es:

11211 ... ++ +++= mtmttt YWYWYWF (6.2.4)

con

11

==

m

i

iW

Una desventaja en el uso del promedio ponderado, es que la respuesta de

un promedio mvil ponderado no puede cambiarse con facilidad sin alterar cada uno de los pesos especficos. Para resolver estas dificultades, se ha desarrollado el mtodo de suavizamiento exponencial.

Suavizamiento Exponencial o promedio mvil de ponderacin exponencial. La tcnica de suavizamiento exponencial usa un promedio ponderado de los valores pasados de una serie de tiempo para llegar a un pronstico suavizado, y su aplicacin es apropiada cuando los datos no presentan ninguna tendencia ni estacionalidad. El suavizamiento exponencial recibe este nombre porque los pesos o ponderaciones que se asignan a periodos anteriores para formar el pronstico disminuyen en forma exponencial, es decir, las ponderaciones decrecen con rapidez conforme el periodo es ms antiguo. Esta tcnica, genera pronsticos acertados para muchas variables de series de tiempo y reconoce el impacto decreciente de periodos cada vez ms lejanos en el pasado. Sea el peso de la observacin ms cercana, )1( el peso para la

siguiente observacin ms reciente, 2)1( , para la siguiente, y as



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sucesivamente. Un pronstico de suavizamiento exponencial es calculado mediante la formula:

ttt FYF )1(1 +=+ (6.2.5)

donde

1+tF es el pronstico para el periodo t+1

tY es la observacin en el tiempo t

es una constante de suavizamiento, con un valor entre 0 y 1 tF pronstico para el periodo t

Observar que valores de la constante de suavizamiento cercanos a 1 nos indican que la observacin ms reciente afectar ms al nuevo pronstico, en cambio valores de cercanos a 0, indican que el nuevo pronstico ser muy parecido a la observacin ms antigua. Para determinar la constante de suavizamiento es necesario considerar que si se desea que los pronsticos sean estables y que se suavicen las variaciones aleatorias, entonces debe ser pequea, en cambio si se desea una respuesta rpida a los cambios reales en el patrn de observaciones, un valor grande de es apropiado. La mayor parte de los software que trabajan con suavizamiento exponencial, encuentran la constante de suavizamiento ptima mediante la minimizacin de la suma de cuadrados del error. Retomemos nuevamente el ejemplo de registros de automviles nuevos entre enero de 1985 a diciembre de 1986 de la pagina 30 para realizar el pronstico para enero de 1987 usando el suavizamiento exponencial. Tabla 6.2.3: Procedimiento para realizar pronsticos usando suavizamiento

exponencial.

alfa alfa alfa Error para Error para Error para

Ao Mes Registros 0,1 0,4 0,6 Alf = 0,1 Alf = 0,4 Alf = 0,6

1985 ene 781

feb 790 781 781 781 9 9 9

mar 927 782 785 786 145 142 141

abr 936 797 842 871 139 94 65

may 912 811 880 910 101 32 2

jun 923 821 893 911 102 30 12

jul 949 831 905 918 118 44 31

ago 926 843 923 937 83 3 -11

sep 1105 851 924 930 254 181 175

oct 973 876 996 1035 97 -23 -62

nov 828 886 987 998 -58 -159 -170

dic 849 880 923 896 -31 -74 -47

1986 ene 913 877 893 868 36 20 45

feb 822 881 901 895 -59 -79 -73

mar 848 875 869 851 -27 -21 -3

abr 906 872 861 849 34 45 57






8

may 918 875 879 883 43 39 35

jun 1012 879 895 904 133 117 108

jul 934 892 942 969 42 -8 -35

Ago 894 896 939 948 -2 -45 -54

Sep 1149 896 921 916 253 228 233

Oct 948 921 1012 1056 27 -64 -108

Nov 719 924 986 991 -205 -267 -272

dic 902 904 879 828 -2 23 74

1987 ene 904 888 872

E.C.M = 12818,7 10926,13 11480,43

Observe que para un valor de 4.0= se logra el menor valor del error cuadrtico medio, por lo que usando suavizamiento exponencial con 4.0= podemos pronosticar 888 autos nuevos para enero de 1987. En la figura 8 se muestra la serie original y las curvas de pronsticos usando suavizamiento exponencial. Figura 8: Serie original y lneas de pronsticos usando suavizamiento exponencial

para tres valores distintos de

En esta figura, la serie 1 representa a los datos observados, en cambio la serie 2 corresponde a la lnea de pronstico usando =0,1, la serie 3 corresponde a la

600

700

800

900

1000

1100

1200

En

Ma

My Ju

Se

No

En

Ma

My Ju

Se

No

En

Serie1 Serie2 Serie3 Serie4



9

lnea de pronstico usando =0,4 y la serie 4 corresponde a la lnea de pronstico usando =0.6. En la tabla 6.2.4 se muestran los valores del ECM obtenidos para este ejemplo usando diferentes valores de . Tabla 6.2.4. Comparacin del ECM para los distintos pronsticos obtenidos por

suavizamiento exponencial.

Valores del parmetro en el suavizamiento exponencial ECM 0.01 0.05 0.20 0.35 0.40 0.45 23.256,5 15.951,8 11.261,3 10.968,58 10.926,1 11.028,2

Valores del parmetro en el suavizamiento exponencial ECM 0.50 0.55 0.39 0.40 0.41 11.140,6 11.291,9 10.962,1 10.926,1 10.952,1

Modelo de Brown con tendencia lineal

Cuando la serie y1, y2, presenta tendencia lineal entonces t ty t = + + y la

prediccin en el periodo t a un horizonte k, Ft+k ser:

t k t tF a b k+ = +

Donde ta y tb son estimaciones de y que hay obtener de los datos muestrales

yt (t =1, 2, 3,,T). Las expresiones de calculo de a y b son:

ta = 2St St

tb = 1

( St St)

con

St = ( )1ty + St-1

St = ( )' 1tS + St-1 Al igual que en el suavizamiento exponencial S1=S1=y1. Modelo de Brown con tendencia cuadrtica. Cuando la serie y1, y2, presenta tendencia cuadrtica entonces

2

t ty t t = + + + y la prediccin en el periodo t a un horizonte k, Ft+k ser:






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Rodrigo GarcaLinehorizonte es 1, hasta que se empieza a proyectar en donde aumenta en +1 despus de la primera proyeccin


10

21

2t k t t tF a b k c k+ = + +

Con

' " '''3 3t t t ta S S S= +

( )

{ } { } { }( )' " '''2 6 5 10 8 4 32 1

t t t tb S S S

= +

( )

( )2

' " '''

22

1t t t tc S S S

= +

Y

St = ( )1ty + St-1

St = ( )' 1tS + St-1 St = ( )'' 1tS + St-1 La inicializacin puede llevarse a cabo haciendo S1=S1=St=y1. Modelos de Holt El mtodo de Holt, al igual que el de Brown, sirve par realizar predicciones bajo el supuesto de tendencia. Este modelo utiliza dos constantes de suavizamiento, de aqu que el mtodo sea conocido como mtodo de suavizacin de dos parmetros de Holt. El modelo de suavizacin exponencial de Holt es una ampliacin de la suavizacin simple; se aade en l un factor de crecimiento (o factor de tendencia) a la ecuacin de suavizacin como mtodo de ajuste de la tendencia. El modelo de Holt consta de tres ecuaciones y dos constantes de suavizamiento:

( )

( ) ( )1

1 1

1 1

1 ( )

1

t t t t

t t t t

t m t t

F Y F T

T F F T

H F mT

+

+ +

+ + +

= + +

= +

= +

En la que

Ft+1 = valor suavizado para el periodo t+1 =constante de suavizacin para los datos 0 1< < Yt =valor real actual (en el periodo t). Tt+1= estimacin de los valores de tendencia =constante de suavizacin para la estimacin de los valores de

tendencia, 0 1< <

m= nmero de periodos futuros que hay que pronosticar. Ht+m = valor del pronostico de Holt para el periodo t+m.





11

Suavizacin exponencial de Winters El modelo de suavizacin exponencial de Winters es la segunda ampliacin del modelo bsico de suavizacin; se emplea para datos que presentan al mismo tiempo tendencia y estacionalidad. Se trata de un modelo con tres parmetros que puede considerarse como extensin del modelo de Holt. En el aade una ecuacin que ajusta el modelo al componente estacional. Las cuatro ecuaciones que integran el modelo de Winters son:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 1

1 1

1

1

1

tt t t

t p

tt t p

t

t t t t

t m t t t

YF F T

S

YS S

F

T F F T

W F mT S

+

= + +

= +

= +

= +

En las que Ft = valor suavizado para el periodo t =constante de suavizacin para los datos 0 1< < Yt =valor real actual (en el periodo t). Ft-1:experiencia media de la serie suavizada para el periodo t-1 Tt+1= estimacin de los valores de tendencia. St= estimacin de la estacionalidad. =constante de suavizacin para la estimacin de los valores de tendencia,

0 1< <

=constante de suavizacin para la estimacin de los valores de tendencia,

0 1< < .

m= nmero de periodos futuros que hay que pronosticar. P= nmero de perodos en el ciclo estacional. Wt+m= Previsin de Winters para m periodos futuros


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