Serii Complexe

8/18/2019 Serii Complexe

1/18

Matematici speciale( pentru ingineri )

SERII COMPLEXE

A. Seria Laurent. Această teorie este necesară pentru pregătirea teoremeireziduurilor 1. Preliminarii. În acest paragraf ne punem de acord cu

terminologia.Convergenţa absolută a seriei

⇔∑∞

=1nnz convergenţa seriei .z

1nn∑

∞

=

Dacă ∑∞

=1nnz este convergentă şi seria∑

∞

= 1nnz nu este convergentă atunci

spunem că seria∑∞

=1nnz este semiconvergentă.

Observaţie. Cu criteriul lui Cauchy se observă că orice serie absolutconvergentă este convergentă sau criteriul comparaţiei.!.

"ie .C#$C#%u$!!zu n1nn ⊆→≥

&otăm'.convergentşireste !zu(#z)#

1nnc ≥∈= c#

senumeşte mulţimea de convergenţă a şirului de funcţii.

În general$ rapiditatea de convergenţă *nc# diferă de la un punct la

altul.În cazul *n care rapiditatea este aceeaşi$ adică

( ) ( ) ! &$+ ε∃>ε∀ astfel *nc,t( ) c#z ∈∀ şi ( ) ! &n ε≥∀

ε


2/18

Matematici speciale (pentru ingineri )

-criem .uu .u.cn

→

Cealaltă convergenţă este convergenţă simplă şi notăm.uu

.s.c

n →

Dacă !z-!z- şi !zu!z- nn

1 n →= ∑

= spunem că seria de

funcţii este convergentă. !z/ !z-!z- nn =− se numeşte restul seriei şi

pe c# $ .+!z/ n →

Dăm fără demonstraţie următoareaTeoremă. Dacă nu sunt funcţii continue pe # şi --

u

n → pe # atunci

(i) suma seriei - este continuă pe #.

(ii) dacă arcul #A0 ⊆ atunci seria ∑ ∫ ∞

= 1n A0nu este convergentă şi

∫ ∑∑ ∫ ∞=∞

==

A0 1nn

1n A0n uu

serie de puteri sau serie întreagă este o serie de forma

!azc+n

nn∑

∞

=− cu .Cz$a$c n ∈

"orma domeniului de convergenţă a seriei de puteri se deduce din%

Teorema lui Abel 2 Dacă seria n1n

n zc∑∞

= este convergentă *n +z şi

divergentă *n 1z $ atunci ea este convergentă *n interiorul cercului +zz <

şi divergentă *n domeniul .zz 1>

Demonstraţie. 3om notac#z

4z4sup/ ∈

= şi numim raza de convergenţă a

seriei de puteri.5


3/18


Conform teoremei lui Abel seria de puteri este convergentă *n interiorulcercului de convergenţă cercul de rază /! şi divergenţă *n e6terior. 7e cerc$ *nunele puncte avem convergenţă *n altele divergenţă.7entru calculul razei de convergenţă este suficient să deducem margineasuperioară a punctelor de convergenţă de pe semia6a reală pozitivă /$ adică să

calculăm raza de convergenţă a seriei $/ 6$6c n+n

n ∈∑∞

= care ştim de la

seriile de puteri reale că este%

l

1/ = unde

n

1nn c

clim +

∞→=l $ .csuplimsau+c n n

nn ∞→

≠

B. Seria Taylor.

"ie f o funcţie olomorfă *ntr8un domeniu D şi D!a$C ⊆ρ $ cercul de

centru a şi de razăρ .Teoremă. ricare ar fi z cu $r az ρ


4/18


3om presupune că 51 =$=$< sunt conţinute *n D$ şi f z! nu este

olomorfă

*n interiorul cercului .= 1Căutăm pentru f z! o dezvoltare *n serie$ *n care vor e6ista şi puteri negative ale

lui z8a$ valabilă *n coroana circulară< .

Conform formulei lui Cauchy referitoare la domenii multiplu cone6e$ pe<avem%

duzu!uf

i51du

zu!uf

i51!zf

51 == ∫ ∫ −π−−π=7entru integrala pe 1= $ unde avem% $auaz −


5/18


7artea formată cu puterile negative se numeştepartea prin ipală a serieiaurent$ iar cea de8a doua$ partea *ntreagă sau parteatayloriană .

Puncte singulare

Clasifi area pun telor singulare izolare *n funcţie de diferite Bformeale seriei aurent.

a! Dacă seria aurent nu conţine dec,t partea tayloriană$ deci +a n =

pentru n;81$85$ $ atunci e6istă +zzc!zf lim

+

=→ şi singularitatea nu provine

dec,t din faptul că valoarea lui f *n+z este diferită de +c .

În acest caz singularitatea *n+z se poate *nlătura$ modific,nd valoarea

lui f *n +z lu,nd

!.zf lim!zf +zz

+ →=

Din acest motiv o numimsingularitate înlăturabilă .

b! Dacă partea principală conţine p termeni$+z este pol de ordine p.

c! C,nd partea principală are o infinitate de termeni$ punctul+z se

numeşte punct singular esenţial.-erii importante%Seria geometri ă.

z11

...z...zz1 n5−

=+++++ cu / ; 1 1!

"uncţiile ze $ sin z$ cos z$ au următoarele serii%

∞=+++++= / cu...9n

z...

95z

91z

1en5

z

E


6/18


( ) ∞=+−

=+−+−=−=+∞

=

−

∑ / cu1n5z!1...

9Fz

9Ez

9>z

91z

i5ee zsin

1n5

+n

n

FE>iziz

( ) ∞=−

=+−+−=+=

∑∞

=

−

/ cu9n5z

!1

...9G

z9@

z95

z1

5ee

zcos

n5

+nn

G@5iziz

-eria binomială% 7entru 1z < avem dezvoltarea

( ) ( ) ( ) ( ) /. unde ...z9n

1n...1...z

951

z91

1z1 n5 ∈λ++−λ−λλ++−λλ+λ+=+ λ

Dacă H∈λ atunci egalitatea are loc.

Dacă λ este fracţionar sai iraţional$ atunci membrul *nt,i este o funcţiemultiformă$ iar suma seriei din partea dreaptă este o funcţie uniformă.#galitatea va avea loc dacă *n partea st,ngă luăm determinarea care se reduce la1 pentru z ; +.

Apli aţii%

1. Determinaţi raza de convergenţă a seriei

∑∞

=1 5

z

şi studiaţi comportarea seriei pe cercul de convergenţă.

& % Dacă $1a

1alim

n

nn

=+=∞→

l atunci .11/ ==l

-eria este absolut

convergentă *n domeniul .1z <

G


7/18


7e cercul de convergenţă θ+θ= sinicosz $ seria devine

∑∞

= θ+θ1 55 sini

cos

Cu criteriul comparaţiei$ seriile%∑∞

=

θ1

5

cos ∑∞

=

θ1

5

sin sunt

convergente deoarece 55 1

cos

z9n>

9n∑∞

=

/%e

1

5.>. n5n

+n

zn1

1∑∞

=

+ /%e

1

5.@.∑∞

=1n

ninzsin /%e

1

5.E. ib$acu$znsin1n

n +=αα

∑∞

= b

e%/

>. Dacă nn c$/ c ∈ I + şi raza de convergenţă a seriei este 1$ atunci

n

+nn zc∑

∞

= este convergentă pe cercul $1z = e6cepţie ar putea să facă z ;1

/ezultatul *i aparţine lui 7icard!.

F


8/18


Soluţie% -ă arătăm că n

+ nzc!z-

∑== este şir Cauchy.

( ) 1 pn pn1

1 pn

1n 1

1n1nn pn zczcczc!z-!z-!1z

+++

+−+

+=+

+++ +−+−=−− ∑

( ) 1 pn pn1

1 pn

1n 1

1n1nn pn zCzCCzC!z-!z-1z

+++

+−+

+=+

+++ +−+≤−− ∑

Cum 1$z$1z ≠= deducem că

( ) +1z

C5CCCC

1z1

!z-!z- 1n pn

1 pn

1n 1 1nn pn →−=

+−+−≤−

++

−+

+=+++ ∑

@. Determinaţi mulţimea de convergenţă pentru următoarele serii%

@.1. ∑∞

=+

1n>

n

n

z1 1z%/ = inclusiv z ; 1!

@.5. n+n

5 z1n

1n∑∞

= ++ 1z%/ = inclusiv z ; 1!

@.>. ∑∞

=+

1n

n

n

z1 { }1zI1z%/ ==

@.@. ∑∞

=+ 1n

n>

nz

1 { }1zI1z%/ ==

'ndi aţie%

(etoda ' $ cu rezultatul 7icard.(etoda a '')a . -tudiem seriile obţinute scriind

$sinicosz θ+θ=J


9/18


deci

∑∑ ∞

=

∞

=

θ+

θ1n1n n

nsinin

ncos

E. Arătaţi că%

E.1.( )51n

1n1 z1

1nz!zf

−== ∑

∞

+

−

E.5.( )>1n

n55 z1

!z1zzn!zf

−+== ∑

∞

+

E.>.z1z1

ln51

z

z!zf

+n1n

1n5

> −+== ∑

∞

=+

+ pe domeniul{ }1zz <

&% Cele trei serii fiind uniform convergente de domeniul $1z < sunt

valabile teoremele de derivare şi integrare termen cu termen.

E.1.( )511 z1

1

z1

z!zf C

z1

zdz!zf

−=

′

−

=⇒+−

=

∫ E.5. ∑

∞

=

−=1n

1n55 znz!zf

51n

1n5

!z1z

Cnzzcdzz

!zf

−+=+= ∑∫

∞

=

−

( )>5 z1z1

!zf z1

−+

=

E.>.5z1

1!zf

−=′

G. -crieţi seriile :aylor *n ?urul punctelor indicate %

G.1. @z $1EzJz

>z!zf

5 =

+−

+=

K


10/18


G.5. iz +$z $5z

1z!zf ==

−

−=

G.>. ( ) +z $z1!zf z1

=+=

G.@. 5.z 1$z+$z$5zz5z

1z@z!zf

5>

5

=±==++−−

++=

G.E. 1z $1z

zsin!zf =

−=

Soluţii%

G.1. Cu substituţia z L @ ; u$ pentru 1u < avem

( ) ( ) 2uFuu1

1Fu

1u

Fu!!zuf !zf

+u

n555 ∑

∞

=+−=

−+−=

−+== /;1

G.5. a!5/ 2

5

z

5

1

561

1

5

11

5z

11!zf

+n 1n

n

=−=−

−=−

+=

∑

∞

= +

b!

( ) E/ 25iiz

15i1

1

5iiz

1

15i

11

5iiz1

1!zf

5

+n

n

=

−−

−−+=

=

−−+

⋅−+=−+−+=

∑∞

=

G.>.

1+


11/18


12/18


Dacă 11z

z11

!zf >5 +−+++−++−=

7entru dezvoltarea *n ?urul lui z ; 1 avem%

51z

1

151

>1z

1

1>1

1z1

!zf −+⋅−−+

⋅+−

−=

Dacă 11z

18z $1

51z

11!1!zf −

−+−= ++

∞

=

+∑G.E.

1z1

sin1cos1z

1cos1sin

1z1

1sin1z

zsin

−+−=

−+=−Din faptul că%

15


13/18


n5+n

n

1n5n

!1z!9n5

1!1

1z1

cos

...!1z!91n5

1!1...1z

19>

11z

11z

1sin

−−=−

+−+−++−−−=−

∑∞

=

+

obţinem%

...!1z!91n5

1coa!1

!1z!9n51sin

!1

...!1z9>

1cos!1z95

1sin1z1cos

1sin1z

zsin

1n5n

n5n

>5

+−+

−+−

−+

++

−

−

−

−−+=−

+

F. "ie

Gzz

1z5!zf

5 −−−=

Dezvoltaţi după puterile lui z *n domeniile%

F.1. 5z <

F.5. >z5 . >z >

Soluţie% Descompun,nd *n fracţii simple$ avem

>z

1

5z

1!zf

−+

+=

şi pe fiecare din cele trei domenii$ folosim dezvoltarea *n serie geometrică%

$...MM1M1

1 5 ++++=−

convergentă pentru .1M <

bţinem astfel seria :aylor

1>


14/18


n

+n1n1n

n

z>

15

!1

>z

11

>1

5z

11

51!zf ∑

∞

=++ −−=−

⋅−+

⋅=

dacă $15z < deci 25z < seria aurent

∑∞

=++−=

−

⋅+

+

⋅=+n

1nnn

z

1!>!5

z

>

1

1z1

z

5

1

1z1

!zf

dacă .>z >

J. -ă se găsească pe domeniile circulare 5z $5z1 $1z >

5

−+−+−=

Soluţie% f z! ale polii .iz$5z ±==

...5

z

5

z51

5z

1

151

5z1

1z

1z

5z

1!zf

>

5

5

5

−−−−=−

⋅−=−

+−+

−=

dacă 5z <

...1z

5...

z

5

z

5

z

1

z5

1

1

z

1

5z

1n

n

>

5

5 +

+++++=

−⋅=

−

dacă 5z >

1@


15/18


( )∑∞

=

++ −−=

=+−−++−=+⋅−=+−

+n

1n5n51n

@>555

zz!1

...zzzz1z1

1!1z1z

1z

dacă .1z <

( )

−−=

=++−−=

+

⋅+−=+−

+

∞

=

+∑ n51n1n

1n

E@>5

5

55

z

1

z

1!1

...z

1

z

1

z

1

z

1

z

1

z

11

1z1

5

1

1z

1z

dacă .1z > Nin,nd seama de aceste dezvoltări$ obţinem trei dezvoltări

diferite ale lui f corespunzătoare celor trei domenii.

K. -ă se găsească dezvoltările *n ?urul punctului∞=z ale funcţiilor

K.1.5E zz

1!zf

−=

K.5. ( )( )1Gz1zz

!zf @5

1E

−+=

K.>. nn1+ za...zaa!zf +++=

[email protected]

sinz!zf >=

K.E. bzaz

ln!zf −−=

K.G. 1zz5

e!zf +=

şi să se indice natura acestui punct$ ţin,nd seama de forma dezvoltării.

1E


16/18


Soluţie% A dezvolta funcţia f z! *n ?urul lui ∞=z $ *nseamnă a găsi o

serie de puteri ale lui z ale acestei funcţii$ convergentă *n e6teriorul unui cerc derază arbitrar de mare. Dacă această serie conţine%

a! numai puteri negative$ ∞=z este punct arbitrar b! punct singular

*n caz contrar b! pol dacă numărul termenilor cu puteri pozitive este finitc! punct singular esenţial izolat *n caz contrar dacă numărul termenilor

de puteri pozitive este finit!

K.1.1z

1

z

1!zf >5 −

⋅= care s8ar dezvolta pentru .1z < Dar noi avem

nevoie de dezvoltare *n ?urul lui ∞=z deci pentru 1z > . De aceea vom

scrie *n continuare astfel!.

.1z$z

1

...z

1

z

11

z

1

z

11

1

z

1

z

1!zf

+nn>E

G>E

>

>5

>=

=

+++=

−

⋅⋅=

∑∞

=+

∞=z este punct ordinar.

K.5.

+++

−+−=

=−

⋅

+=

−⋅⋅

+

=

...Jz

1G

z

1G1...$

z

1

z

11z

z1G

1

1

z1

1

1z

z1G

1zz1

1z

z!zf

5

@

E

>5

@

E

5@@

E

51+

1E

1G


17/18


18/18


+−+−++−+−+=

=== +−+−++

......!z

1z1

95@

...!>1

z

1z1

915

1e

eee

555

5

...!>z

15z

1z1

15z1

51z

z5

pentru .1z > Deci ∞=z este punct ordinar.

1J

Documents

Serii Complexe