1

SERİLER

A. Seriler Tanım

)na( reel terimli bir dizi olmak üzere,

1n...

na...

3a

2a

1ana toplamına seri denir.

na ’ye serinin genel terimi denir.

Örnek:

,...)1n

3,...,4

3,3

3,2

3,3,1()1n

3()na(

reel sayı dizisi

olduğu için,

1n...

1n3...

43

33

2331

1n3

sonsuz toplamı bir seridir.

Serinin genel terimi, 1n

3

dir

Örnek:

,...)3

n,...,3

5,3

4,3

3,3

2,3

1()3

n()na( reel sayı dizisi

olduğu için,

1n...

3n...

35

34

33

32

31

3n

sonsuz toplamı bir seridir.

Serinin genel terimi, 3

n tür. Tanım Serinin ilk n teriminin toplamı olan,

na...

3a

2a

1anS

ifadesine serinin n. kısmi toplamı denir.

,...)n

S,...,3

S,2

S,1

S()nS(

dizisine serinin kısmi toplamlar dizisi denir

Örnek:

,...)1n,...,6,5,4,,3,2()1n()na( dizisi reel sayı

dizisidir. Buna göre,

1n...1n...65432)1n(

sonsuz toplamı, genel terimi n +1 olan seridir. Bu serinin n. kısmi toplamı:

1n...32n

a...3

a2

a1

anS

2

n32n1

2

)2n).(1n(

dir.

Serinin kısmi toplamlar dizisi

,...)n

S,...,3

S,2

S,1

S()nS(

,...)n

a...2

a1

a,...,3

a2

a1

a,2

a1

a,1

a(

,...)1n...32,...,432,32,2( dir.

Uyarı Serinin genel terimi ile kısmi toplamlar dizisinin genel terimi aynı ifadedir Örnek:

1n...

2n...

25

24

23

22

21

2n

Serisinin genel terimi 2

nna dir.

.n kısmi toplamı,

2n...

25

24

23

22

21

nS

6

)1n2).(1n.(n dır.

2

Kısmi toplamlar dizisi,

6

)1n2).(1n.(n)

nS( dır.

Kural Bir serinin değeri (toplamı), kısmi toplamlar dizisinin limitine eşittir.

1n)

nS( limna

Örnek:

1n 2k32

k

1 serisinin kısmi toplamlar dizisinin

genel terimi,

n

1k )2k).(1k(

1n

1k 2k32

k

1

nS

2.1

1

2n

1n

)2n).(1n(

1...

5.4

1

4.3

1

3.2

1

2

1

2n

1n

dir.

Buna göre, serinin değeri

2

1

2

11

2

1

2n

1n lim)

nS( lim

dir.

Tanım Kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seriye yakınsak seri, kısmi toplamlar dizisi ıraksak olan seriye ıraksak seri denir.

1nna serisinin kısmi toplamlar serisi )nS( olsun.

1. )nS( dizisi ıraksak ise

1nna serisi de ıraksaktır.

2. )nS( dizisi yakınsak ise

1nna serisi de yakınsaktır.

Örnek:

1kk serisinin yakınsak olup olmadığını inceleyelim.

Çözüm:

2

)1n.(nn...321

n

1kk

nS

olduğuna göre,

2

n2n lim

2

)1n.(n lim)

nS( lim

olduğu için, kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. Buna göre,

1kk serisi ıraksaktır.

Örnek:

1k

k

3

1 serisinin yakınsak olup olmadığını inceleyelim.

Çözüm:

n

3

1...

3

3

12

3

11

3

1n

1k

k

3

1

nS

n3.2

1n3

2

n3

1n3

3

1.33

n3

1n3

3

11

n

3

11

.3

1

olur.

2

1

n3.2

1n3 lim)

nS( lim

olur. Buna kısmi toplamlar

dizisi yakınsaktır.

Bu durumda

1k

k

3

1 serisi de yakınsaktır.

Dolayısıyla serinin değeri (toplamı);

2

1)

n(S lim

1k

k

3

1

dir.

3

Kural

1.

1nna serisi yakınsak ise 0)

na( lim dır.

2. 0)n

a( lim ise

1nna serisi yakınsak olmayabilir.

3. 0)n

a( lim iken

1nna serisi ıraksaktır.

Örnek:

1n

2n

1kln serisinin ıraksak olduğunu gösterelim.

Çözüm:

01ln)1n

2n( lim ln)

1n

2n( ln lim

olduğu halde,

)1n

2n( ln...)

3

4( ln)

2

3( ln

1n

2nn

1kln

nS

)2

2n( ln)

1n

2n.

n

1n...

4

5.

3

4.

2

3( ln

)

2

2n( ln lim)

nS( lim olup

1n

2n

1kln serisi

ıraksaktır. Örnek:

1k 22k2

123k serisinin yakınsak olup olmadığını gösterelim.

Çözüm:

22n2

12n3

na

iken 0

2

3

22n2

12n3 lim

na lim

olduğundan

1k 22k2

123k serisi ıraksaktır.

B. Aritmetik Seriler

)na( dizisi bir aritmetik dizi ise,

1nna serisine aritmetik

seri denir. Aritmetik serinin n. kısmi toplamı:

d).1n(1

a.2.2

n)

na

1a.(

2

n

nS dir.

Örnek:

1n31k

serisini inceleyelim.

Çözüm:

1n31k

serisinde 1n3na dir.

31n31)1n(3n

a1n

a

tür.

Serinin genel terimi, aritmetik dizi koşulunu sağladığına göre, verilen seri aritmetik seridir.

)1n3( limna lim dur. 0na lim olduğundan seri

ıraksaktır. Uyarı

)0( sabit dizisi hariç tüm aritmetik seriler ıraksaktır.

C. Geometrik Seriler

)na( dizisi bir geometrik dizi ise,

1nna serisine geometrik

seri denir.

1n

1nr.

1a geometrik serisinin n. kısmi

toplamı:

r1

nr1.

1a

nS

dir.

4

Uyarı

1n

1nr.

1a geometrik serisinde;

1r ise seri ıraksaktır.

1r ise seri yakınsaktır.

Yakınsak ise, serinin toplamı(değeri)

r1

1.

1a

1n

1nr.

1a

dir.

Örnek:

1n n4

1n3 serisini inceleyelim.

Çözüm:

1n n4

1n3 serisinde

n4

1n3

na

dir.

4

3

n4

1n3

n4.4

1n3.3

n4

1n3

1n4

2n3

na

1na

tür.

Serinin genel terimi, geometrik dizi koşulunu sağladığı için, verilen seri geometrik seridir.

00.3

n

4

33. lim)

n4

1n3( lim)na( lim

olduğu

için, seri yakınsak olabilir. Buna göre, serinin kısmi toplamlar dizisinin limitine bakalım. Serinin kısmi toplamı:

4

9

1a ve

4

3r olduğuna göre,

n

4

31.9

4

31

n

4

31

.4

9

nS

r1

nr1.

1a

nS

Kısmi toplamlar dizisinin limiti:

9)01.(9

n

4

31.9 lim

nSlim

olur.

Kısmi toplamlar dizisinin limiti bir reel sayı olduğuna göre, verilen seri yakınsaktır.

Buna göre, 9)n

(S lim1n n4

1n3

olur.

Örnek:

1n

1n5 serisini inceleyelim.

Çözüm:

1n

1n5 serisinde

1n5

na

dir.

51n5

2n5

na

1na

tir. Serinin genel terimi, geometrik dizi

koşulunu sağladığı için, verilen seri geometrik seridir.

0)1n

(5 lim)na( lim

olduğundan seri

ıraksaktır. Buna göre serinin değeri (toplamı) dur. Örnek:

...3333,03,0 devirli ondalık açılımının değeri kaçtır?

Çözüm:

1n n10

3 ...

n10

3...

100

3

100

3

10

3...3...333,0

Bu serinin ortak çarpanını ve ilk terimini belirleyip, değerini bulalım:

5

10

1

3

n10.

n10.10

3

n10

3

1n10

3

na

1na

r

olduğuna

göre verilen seri geometrik seridir. 1r olduğundan seri

yakınsaktır. Bu durumda serinin değeri;

r1

1.

1a

1n

1nr.

1a

ise,

3

1

10

11

1.

10

3

1n n10

3

olur.

Örnek:

1n

1n

2

1 serisinin değeri kaçtır?

Çözüm:

...

1n

2

1...

32

1

22

1

2

11

1n

1n

2

1

Serinin genel terimi, geometrik dizi koşulunu sağladığı için

verilen seri geometrik seridir. Ortak çarpanı 2

1r dir.

Buna göre,

3

2

)2

1(1

1.1

r1

1.

1a

1n

1n

2

1

olur.

Örnek:

61n 2n

3

a

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

...2n3

a...

53

a

43

a

33

a

1n 2n3

a

Serinin genel terimi, geometrik dizi koşulunu sağladığı için

verilen seri geometrik seridir. Ortak çarpanı 3

1r tür. Buna

göre,

6

3

11

1.

27

a6

r1

1.

1a6

1n 2n3

a

108a618

a6

2

3.

27

a dir.

Örnek:

1a olmak üzere 6

5

0n

na

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

...n

a...3

a2

aa10n

na

6

5

0n

na

ise

5

1a6a55

6

5

a1

1.1

tir.

Örnek:

4...n3

xln...27

xln9

xln3

xln olduğuna göre

x in değeri kaçtır? Çözüm:

4...n3

xln...27

xln9

xln3

xln ise

4...xln.n3

1...xln

27

1xln.

9

1xln.

3

1

4...xln.n3

1...xln

27

1xln.

9

1xln.

3

1

8xln4xln.2

14xln.

3

11

1.

3

1

8ex olur.

6

Örnek:

o90x

o0 olmak üzere,

0n2

nxsin olduğuna

göre x kaç derecedir? Çözüm:

0n...x

nsin...x

2sinxsin1

nxsin

0n2

nxsin ise, 2

xsin1

1.1

olur.

2

1xsin1xsin.22 olur.

o90x

o0

olduğundan,

o30x

2

1xsin dir.

Örnek:

1n

1n

2

1

4 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

...

3

2

1

4.

2

2

1

4.

1

2

1

4.

0

2

1

4

1n

1n

2

1

4

...32

1

22

1

2

11

4

162

42

11

1.1

4

olur.

Örnek: Yarıçapı 10 birim olan çemberin içine, her birinin yarıçapı bir öncekinin yarısı olacak şekilde sonsuz çoklukta çemberler çiziliyor. Çizilen çemberlerin alanları toplamı kaç birim karedir?

Çözüm:

Çemberlerin alanları dışarıdan içeriye doğru sırasıyla,

... ,

2

16

5. ,

2

4

5. ,

2

2

5. ,

2.5 ,

210.

olur.

Buna göre çizilen çemberlerin alanları toplamı,

...

2

16

5.

2

4

5.

2

2

5.

2.5

210.

4

11

1.1.100...

62

1

42

1

22

11

210.

3

400

3

4.100

olur.

Örnek:

1n

n1n.3 serisinin değerini bulalım.

Çözüm:

1n

1nn.3 serisinin değeri S olsun. Buna göre,

...53

6

43

5

33

4

23

3

3

21S

...63

6

53

5

43

4

33

3

23

2

3

1S.

3

1

İlk eşitlikten ikincisi taraf tarafa çıkarılırsa,

...53

1

43

1

33

1

23

1

3

11S.

3

1S

7

4

9S

2

3

3

S.2

3

11

1.1

3

S2

olur.

Sonuç

1r1 olmak üzere 2)r1(

1

1n

1nn.r

dir.

Çözümlü Sorular

1. ...4321

54

321

43

21

321

serisinin

genel terimini bulunuz. Çözüm:

1n n...321

1nn...

321

43

21

321

1n2

)1n.(n

nn.n

1n 1n

nn.2 olduğu için serinin

genel terimi 1n

nn.2

na

dir.

2.

1k 8k62k

1 serisinin değeri kaçtır?

Çözüm:

2k

B

4k

A

)2k).(4k(

1

8k62

k

1

ise,

)2k).(4k(

)4k.(B)2k.(A

)2k).(4k(

1

1)4k.(B)2k.(A

1)B4A2(k).BA(

2

1B ve

2

1A

1B4A2

0BA

olur.

Buna göre,

2k

1

4k

1.

2

1

2k

2

1

4k

2

1

8k62

k

1 dir.

1k 2k

1

4k

1.

2

1

1k 8k62k

1 olur.

Bu durumda,

n

1k 2k

1

4k

1.

2

1n

1k 8k62k

1

nS

2n

1

4n

1...

4

1

6

1

3

1

5

1.

2

1

4

1

3

1

3n

1

4n

1.

2

1 olur.

)n

(S lim

1k 8k62k

1

)

4

1

3

1

3n

1

4n

1.(

2

1- lim

24

7

12

7.

2

1

tür.

3. ...45...454545,0 devirli ondalık açılımının değeri kaçtır?

Çözüm:

...n210

45...

10000

45

100

45...45...454545,0

1n n210

45

8

Bu serinin ortak çarpanını ve ilk terimini belirleyip, değerini bulalım:

100

1

45

n210.

n210.100

45

n210

45

2n210

45

na

1na

r

olduğuna göre verilen seri geometrik seridir. 1r

olduğundan seri yakınsaktır. Bu durumda serinin değeri;

r1

1.

1a

1n

1nr.

1a

ise,

11

5

99

100.

100

45

100

11

1.

100

45

1n 2n10

45

olur.

4. ba1 olmak üzere

1n

n

b2

a ifadesinin değeri

nedir? Çözüm:

2

1

b2

a01

b

a0ba1 dir.

...

3

b2

a2

b2

a

b2

a

1n

n

b2

a

olduğuna

göre, b2

a

1a ve

b2

ar dir.

ab2

a

ab2

b2.

b2

a

b2

a1

1.

b2

a

1n

n

b2

a

olur.

5.

4n

10n3

2

1 serisinin değeri kaçtır?

Çözüm:

10n3

2

1

na

4n

10n3

2

1

dur.

8

13

2

1

10n3

2

1

7n3

2

1

na

1na

r

dir.

...112

1

256

1

32

1

4

1

4n

10n3

2

1

olduğuna göre 4

1

1a tür.

7

2

8

11

1.

4

1

r1

1.

1a

4n

10n3

2

1

olur.

6. k22

2k3.

1k1

serisinin değeri kaçtır?

Çözüm:

n223.

1n1

na

k22

2k3.

1k1

dir.

9

1

n223.1n

1

n23.2n

1

na

1na

r

dur.

Buna göre seri geometrik seridir.

r1

1

.1a

k22

2k3.

1k1

10

1

9

11

1.

9

1

olur.

9

7. 4a1 olmak üzere 3

22

1n n4

1na

olduğuna

göre a kaçtır? Çözüm:

14

a

4

14a1 dir.

1n 1n n4

1

4

na

1n n4

1na

1n 1n

n

4

1n

4

a

3

1

a4

a

4

11

1.

4

1

4

a1

1.

4

a

olur.

7a4

a

3

22

3

1

a4

a

3

22

1n n4

1na

2

7a28a8aa728

8. 2

3

an

n-23

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

...2a3

9

1a3

9

a3

9

an n3

9

an

n-23

...

33

1

23

1

13

11.

a3

9

a3.2

27

3

11

1.1.

a3

9

olur.

Buna göre,

2a271a

32

3

a3.2

27

2

3

an

n-23

dir.

9. 2n

1n3

na

olmak üzere

1nn

a1n

a serisinin

değeri kaçtır? Çözüm:

2n

1n3

3n

2n3

2n

1n3

21n

13n3

na

1na

)3n).(2n(

3n9n2n34n6n22n3

)3n).(2n(

7

1n )3n).(2n(

7

1nn

a1n

a olur.

Buna göre serinin n. kısmi toplamı,

)3n).(2n(

7...

6.5

7

5.4

7

4.3

7

nS

)3n).(2n(

1...

6.5

1

5.4

1

4.3

1.7

6

1

2

1

3n

2n.7

3.2

1

2.1

1

3n

2n.7

)n

(S lim

1n )3n).(2n(

7

6

1

2

1

3n

2n7. lim

3

7

6

1

2

11.7

olur.

10. 1x olmak üzere

3

14

1n

n1xn13n12

olduğuna göre x

kaçtır?

10

Çözüm:

1n

n1xn13n12

1n 1n

n1xn13

1n

n12

1x

x

2

32

x

11

1.1

3

11

1.1

2

11

1.1

olur.

3

14

1n

n1xn13n12

ise,

7x6

7

1x

x

3

14

1x

x

2

32

olur.

11. x2

x olmak üzere

2

9...

1nx...

3x

2xx1

x

1

olduğuna

göre x kaç olabilir? Çözüm:

2

9...

1nx...

3x

2xx1

x

1

ise,

2

9...1nx...3x2xx1.

x

1

02x92

x92

9

2xx

1

2

9

x1

1.1.

x

1

3

2 xveya

2

1x0)2x3).(1x3( olabilir.

12. 1r olmak üzere 30n

1nr.

1a

ve

12...2

na...

2

3a

2

2a

2

1a olduğuna göre r

kaçtır?

Çözüm:

3r1

1a

3r1

1.

1a 3

0n

1nr.

1a

92)r1(

2

1a

olur.

Serinin terimlerinin kareleri toplamı 12 olduğuna göre,

12...2

)3

r.1

a(2

)2

r.1

a(2

)r.1

a(2

1a

12...6

r.2

1a

4r.

2

1a

2r.

2

1a

2

1a

12...3)2r(2)2r(1)2r(12

1a

2r1

2

1a

122r1

1.1.

2

1a

olur.

92)r1(

2

1a

ve 122r1

1.1.

2

1a

eşitlikleri oranlanırsa,

01r62

r74

3

2)r1(

2r1

12

9

2r1

2

1a

2)r1(

2

1a

7

1-r veya 1r0)1r7).(1r( olur.

Seri yakınsak olduğundan 1r olacaktır. Dolayısıyla

7

1-r bulunur.

13. 72

1

an 1n23

1

olduğuna göre, a nın alabileceği en

küçük değer kaçtır?

11

Çözüm:

...5a23

1

3a23

1

1a23

1

an 1n23

1

...

63

1

43

1

23

11.

1a23

1

8.1a23

1

9

11

1.1.

1a23

1

72

1

8.1a23

1

72

1

an 1n23

1

21a22

31a2

3

2

3a olur.

a tam sayı olduğuna göre, verilen koşulu sağlayan a nın

alabileceği en küçük tam sayı değeri 2 dir.

14. x2

x olmak üzere 2

1

1n

1nx

olduğuna göre,

1n

n2x serisinin değeri kaçtır?

Çözüm:

2

1...

4x

3x

2x

2

1

1n

1nx

2

1...3x2xx1

2x

2

1

x1

2x

2

1

x1

1.1.

2x

0)1x).(1x2(01x2

x2

-1 xveya 2

1x olur.

-1x için seri ıraksak olacağından 2

1x dir.

2

1x ise

1n

n2

2

1

1n

n2x

...

6

2

14

2

12

2

1

...

3

4

12

4

1

4

1

3

1

3

4.

4

1

4

11

1.

4

1

olur.

15. bir top x metre yükseklikten bırakılıyor. Top yere her

çarpışında düştüğü yüksekliğin 6

5 sı kadar yükseliyor.

Topun aldığı toplam dikey yol 44 metre olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm:

Şekildeki top x metre yükseklikten bırakılıyor. Top yere her

çarpışında düştüğü yüksekliğin 6

5 sı kadar yükseliyor.

Topun aldığı toplam dikey yol 44 metre olduğuna göre,

44...

n

6

5.x.2...

6

5.

6

5.

6

5.x.2

6

5.

6

5.x.2

6

5.x.2x

44...

1n

6

5...

2

6

5

6

51

6

5.x.2x

44

6

51

1.1.

6

5.x.2x

12

441

6.

6

5.x2x44

6

51

1.1.

6

5.x.2x

4x44x1144x10x olur.

16.

Şekildeki ABCD dikdörtgeninin boyutları 6a birim ve 8a birimdir. Bu dikdörtgenin kenarlarının orta noktalarını köşe kabul eden dörtgen çiziliyor. Bu kez içteki dörtgenin kenarlarının orta noktalarını köşe kabul eden

dörtgen çiziliyor. En içteki dörtgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirmeye devam edilirse sonsuz sayıda dörtgen oluşur. Bu sonsuz sayıdaki dörtgenin çevrelerinin toplamı kaç birimdir? Çözüm: Verilen şekil sırasıyla, bir dikdörtgen bir eşkenar dörtgen şeklindedir. Herhangi bir dikdörtgenin çevresi, kendisinden bir önce çizilen dikdörtgenin çevresinin yarısına eşittir. Benzer durum eşkenar dörtgenler için de geçerlidir. Buna göre, dikdörtgenlerin çevreleri toplamı,

...

n

2

1.a28...

2

1.

2

1.

2

1.a28

2

1.

2

1.a28

2

1.a28a28

..

n

2

1...

3

2

12

2

1

2

11a28

a56

2

11

1.1.a28

birim olur.

Eşkenar dörtgenlerin çevreleri toplamı,

...

n

2

1.a20...

2

1.

2

1.

2

1.a20

2

1.

2

1.a20

2

1.a20a20

..

n

2

1...

3

2

12

2

1

2

11a20

a40

2

11

1.1.a20

birim olur.

Buna göre, oluşan tüm dörtgenlerin çevreleri toplamı,

a96a40a56 bulunur.

Konu Bitmiştir…