Estadística Sesión 11: Distribuciones de probabilidad

continua. Segunda parte.

Contextualización

En la penúltima sesión aprenderás a definir y conocer la función de densidad, de

distribución acumulada, media y varianza de la variable aleatoria estándar.

Resolverás problemas que se relacionen con la variable aleatoria normal

estándar, además de conocer la función de densidad, media y varianza de

variables aleatorias relacionadas con la distribución normal.

Conocerás la relación entre la distribución binomial y la normal.

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/images/standard-normal-

distribution.gif

Introducción

¿Qué es la distribución de probabilidad normal?

La distribución de probabilidad más usada para describir variables aleatorias continuas es la normal.

La distribución de probabilidad normal tiene una diversidad de aplicaciones prácticas, en las que la variable aleatoria puede ser el peso o la estatura de las personas, puntuaciones de exámenes, resultados de mediciones científicas, precipitación pluvial u otras cantidades similares.

Fuente: http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_7_archivos/figura1.gif

Explicación

¿Conoces algo sobre la distribución normal?

La variable aleatoria normal X representa el comportamiento de muchos fenómenos naturales, sociales, económicos, industriales, etcétera. Por lo que es de uso bastante común.

La distribución se origina cuando el número de ensayos en una variable aleatoria discreta se vuelve grande.

Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distribucion-normal-01.gif

Explicación

Características de la curva normal:

También es llamada Campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal.

Es simétrica respecto a su valor central (𝜇)

Su punto máximo coincide con la media(𝜇)

Tiene puntos de inflexión situados a ambos lados de la media (𝜇) a una distancia (±𝑛𝜎) de ella. (n = 1, 2, 3).

Su área total bajo la curva es 1 (100%).

Esta función no tiene una solución sencilla para calcular valores de probabilidad, por lo que se requiere de una variable especial llamada variable normal estándar (Z).

Explicación

Distribución normal estándar

Si X es una variable normal con E(X) = 𝜇 y V(X) = 𝜎2 ,

entonces

𝑧 =𝑥 −𝜇

𝜎, es una variable normal estándar.

La media está dada por: E (Z)=0 y la varianza está dada por:

V (Z)=1.

Explicación

Ejemplo: el tiempo de preparación de una comida

casera en particular se distribuye normalmente con una

media de 12 minutos y una desviación estándar de 5.3.

Calcula la probabilidad de que una comida:

Demore en ser preparada menos de 10 minutos.

Demore en ser preparada entre 10 y 13 minutos.

Demore más de 15 minutos.

Explicación.

Solución: 𝜇 = 12, 𝜎 = 5.3

x= 10 𝑧 =10−12

5.3= −0.38

P (z<-0.38) = P (z>0.38)= 1- P (z<0.38)

=1-0.6480 (dato de la tabla de distribución normal)

P (z<_0.38) =0.352

x= 10 y 13

𝑧 =10−12

5.3= −0.38, 𝑧 =

13−12

5.3= 0.19

P (-0.38<Z<0.19) = P (z<0.19) – [1- P (z<0.38)]

= 0.5753 – 0.352 = 0.2233

x= 15 𝑧 =15−12

5.3= 0.57

P (z>0.57)= 1- P (z<0.57)

= 1- 0.7157 = 0.2843

Explicación

La distribución normal proporciona una aproximación a las

probabilidades binomiales considerando que la media µ=np y

la desviación estándar

)1( pnp . Por lo tanto,

)1( pnp

npxz

, n (z, 0,1)

Donde x es el número de éxitos buscados en n

intentos.

Explicación

Ejemplo: La probabilidad de que un alumno sea originario de Cd. Obregón, Sonora y viva fuera de la casa paterna es de 0.3. Si se encuestan 35 alumnos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 6 alumnos sean de Obregón y vivan fuera de su casa paterna?

Si deseamos b(x=6, n=35, p =0.3) entonces hacemos un ajuste: 6.5<x<7.5 y con este intervalo de valores de calcula z1 y z2 para hacer el cálculo n(z,0,1) como de costumbre.

Para x= 8, 6.5 < x < 7.5

Explicación

Entonces tenemos que: P(-1.47<x<-1.10) = P(-1.10)-P(-1.47)

Utilizando la tabla, tenemos que = 0.1357 - .0708 = 0.0649

47.135.7

4

)7)(.3)(.35(

)3)(.35(5.6

)1(

1

1

pnp

npxz

10.135.7

3

)7)(.3)(.35(

)3)(.35(5.7

)1(

1

1

pnp

npxz

Conclusión

En la sesión aprendimos que la distribución normal es la de mayor uso

dentro de las aplicaciones de probabilidad. Esto es debido a que modela

cualquier fenómeno presente en situaciones de todo tipo y es más fácil

asumir como primer paso de la solución de un problema que los datos

presentados tienen una distribución normal.

En la siguiente sesión veremos otra distribución de probabilidad que se

aproxima a la distribución normal, esta es la distribución t-student.

Fuente: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/ap2/prueba_t07.gif

Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para

enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Legareza, J. (s/f). Distribución normal. Consultado el día 29 de octubre del

2013: http://www.uv.es/ceaces/pdf/normal.pdf

Ejercicios resueltos. Distribución Normal. (s/f). Consultado el día 29 de

octubre del 2013: http://ocw.udem.edu.mx/cursos-de-posgrado/tutorial-de-

estadistica/Modulos/Modulo02/EJERES07.pdf

Video relacionado con el tema:

Ejercicios Distribución Normal I. (2012). Consultado el día 29 de

octubre de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=z4Roykb7MkE

Hernández, E. (2012). Distribución normal de probabilidades.

Consultado el 29 de octubre de 2013:

http://www.youtube.com/watch?v=1yJ19xJcjAQ

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te

permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.