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Sesión

TRABAJANDO CON PROPORCIONES10

Proporciones y tipos de proporciones (proporción directa e inversa)

Contenidos

Resuelve problemas utilizando operaciones básicas con proporciones directas

Resuelve problemas utilizando operaciones básicas con proporciones inversas

Aprendizajes esperados


Resumen

La igual dad de dos razo nes se llama pro por ción. En gene ral, si las razo nes

a : b y c : d for man una pro por ción, se escri be a : b = c : d, o bien

ab

= cd

. Y se lee “a es a b como c es a d”.

Resumen

En toda pro por ción, el pro duc to de los tér mi nos medios es igual alpro duc to de los tér mi nos extre mos (también se le conoce como teorema fundamental de las proporciones). Es decir, si

ab

= cd

enton ces a • d = b • c.

Propiedad fundamental de las proporciones

En una pro por ción se tiene:

150 : 450 = 42 : 126

Producto de los extre mos: 150 • 126 = 18.900

Producto de los medios: 450 • 42 = 18.900

Ejemplo

La razón de la can ti dad de hom bres y de muje res en las empre sas de tele fo nía y de

trans por te men cio na das en la pági na ante rior no for man una pro por ción, pues 13

no

Como 1 • 2 =/ 3 • 3, entonces 13

=/ 32

.

es equivalente a 32

, ya que no se cumple el teorema fundamental de las proporciones.

150 • 126 = 450 • 42

Al mul ti pli car o divi dir ambos miem bros de una igual dad por un mismo núme ro, dis tin to de cero, la igual dad se man tie ne; es decir, si

x = y y z =/ 0 enton ces

x • z = y • z

Ejemplo

24

= 612

/ • 4

24

• 4 = 612

• 4

2 = 63

2 = 2

RecueRda

Término extremo

Término medio

Término medio

Término extremo

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Ancho (cm) Largo (cm) Largo (cm)Ancho (cm)

Tamaño 1 10 15 1510

= 32

Tamaño 5 20 30 3020

= 32

Se puede notar que el tama ño 1 corres pon de al tama ño de la foto gra fía ori gi nal de Lucas, mien tras que de los res tan tes tama ños, el único cuya razón entre largo y ancho es equi va len te con el ori gi nal es el tama ño 5, por tanto, este es el único pro por cio nal al ori gi nal.

Los otros tama ños tam bién corres pon den a amplia cio nes de la foto gra fía ori gi nal, pero aun cuan do las dimen sio nes aumen tan en una can ti dad cons tan te (por ejem plo, suman do 3 cm a la medida del largo y del ancho del tama ño ori gi nal, obte ne mos la amplia ción de 13 cm • 18 cm), la razón entre largo y ancho no es la misma que en la foto gra fía de 10 cm • 15 cm, y enton ces ambos tama ños no son pro por cio na les.

Variaciones pro por cio na les y no pro por cio na lesLucas ha selec cio na do una de sus foto gra fí as para enviar la a un con cur so. Las bases dicen que las dimen sio nes de la foto gra fía deben ser 10 cm • 15 cm, y ade más se debe enviar una copia amplia da a un tama ño pro por cio nal a este.El software que Lucas usará para ampliar su foto gra fía trae los siguien tes tama ños prede ter mi na dos:

Tamaño 1 10 cm • 15 cm Tamaño 4 20 cm • 25 cm

Tamaño 2 13 cm • 18 cm Tamaño 5 20 cm • 30 cm Tamaño 3 15 cm • 20 cm

¿Qué tamaño satisface las condiciones del concurso? Para que la foto cumpla con los requisitos del concurso debe ser proporcional a la fotografía original. La siguiente tabla muestra la razón entre el largo y el ancho de las distintas alternativas:

Tamaño 2 13 18 1813

Tamaño 3 15 20 2015

= 43

Tamaño 4 20 25 2520

= 54

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Ancho (cm) Largo (cm)

Tamaño 2 13 18

Resumen

Si la razón entre dos cantidades variables se mantiene constante (no cambia) estas variables son proporcionales.

Si la razón entre ambas variables cambia, las cantidades son no proporcionales.

Aplicaciones de las pro por cio nes

Escalas

Los mapas y los pla nos son repre sen ta cio nes grá fi cas redu ci das de terri to rios o cons truc cio nes, para ela bo rar los es nece sa rio usar una esca la.

El plano mues tra las dimen sio nes de un depar ta men to.

Escala 1:100

hall

0,85 cm

2,4 cm

cocina

área deservicio

baño baño

dormitorio 3 dormitorio 1

dormitorio 2

com

edor

sala de estar

terr

aza

El siguiente mapa de Chile está hecho a escala 3,5 : 40.000.000; es decir, si La Serena y Santiago están a 4 cm de distancia aproximadamente en el mapa, la distancia real entre ambas ciudades es:

3,540.000.000 =

4x x = 45.714.285 cm

Por tanto, entre La Serena y Santiago hay 457,1 km, aproximadamente.

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Está ela bo ra do en una esca la de 1:100 ó 1001 . Es decir, un cen tí me tro en el plano

represen ta 100 cm en la rea li dad. Con estos datos se pueden cal cu lar las medi das reales del depar ta men to sin nece si dad de medir direc ta men te. Por ejem plo, en el plano, las medi das de la terra za son 2,4 cm y 0,85 cm; enton ces, las medi das rea les se cal cu lan de la siguien te mane ra:

Por tanto, las medi das rea les de la terra za son 240 cm y 85 cm o bien 2,4 m y 0,85 m.

Resumen

Una esca la es la razón entre una lon gi tud en un plano o mapa y su correspon dien te lon gi tud real, expre sa das en la misma uni dad de medi da.

• 2,4

• 2,4

1100

= 2,4240

2,4 cm del plano equivalena 240 cm de la realidad.

1100

= 0,8585

• 0,85

• 0,85

0,85 cm del plano equivalena 85 cm de la realidad.


Ecuaciones y pro por cio na li dadDon José tiene un terre no rec tan gu lar en el que deci dió plan tar 3 tipos dife ren tes de árbo les: pino (P), euca lip to (E) y roble (R). Todavía no sabe cuán tos plan tar de cada uno pero sí sabe que dichas can ti da des deben ser pro por cio nales a la super fi cie desti na da para cada tipo de árbol. Veamos un esque ma del pro ble ma y los datos que tiene don José.

Total de semi llas: 2.470

Recuerda que la fórmula para encontrar el área de un rectángulo de lados p y q es:

Área = p · q

RecueRda

20 m P E R

16 m 12 m 10 m

A partir de nuestros conocimientos de geometría, sabemos que la superficie destinada para cada tipo de árbol es: 320 m2, 240 m2 y 200 m2, respectivamente.Como don José desea que las cantidades sean proporcionales a los m2 de cada terreno, se tiene:

P

320 =

E240

= R

200 = k o bien P = 320 k E = 240 k R = 200 k

Donde k corresponde a la cantidad de árboles de cada tipo en cada metro cuadrado. Así, podemos expresar la siguiente ecuación para resolver el problema:

P + E + R = 2.470

320 k + 240 k + 200 k = 2.470

760 k = 2.470

k = 3,25

Luego, P = 320 • 3,25 = 1.040 árboles de pino.

E = 240 • 3,25 = 780 árboles de eucalipto.

R = 200 • 3,25 = 650 árboles de roble.

Con estos valores, podemos decir que la cantidad de árboles plantados de cada especie es proporcional al terreno destinado para cada una.

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Proporcionalidad direc ta

En un perió di co se publi cael siguien te grá fi co para ilus trar el gasto men sual dependiendo del con su mo eléc tri co deuna fami lia.Como pue des ver, el grá fi co tiene la forma de una línearecta ascen den te.

Podríamos afir mar que“a medi da que aumen tael con su mo, aumen ta elcan ti dad a pagar”.

Obser va ade más que exis te una regu la ri dad en la rela ción de estas varia bles. Por ejem plo, por 20 kWh se deben can ce lar $ 2.160, ¿qué ocu rri rá si se aumen ta al tri ple el con su mo? Del grá fi co sabe mos que 60 kWh cues tan $ 6.480, es decir,

20 • 3 = 60

2.160 • 3 = 6.480

Cuando la varia ción entre dos varia bles es cons tan te, es decir, una aumen ta o dis mi nu ye la misma can ti dad de veces que la otra, se dice que las varia bles son direc ta men te pro por cio na les.

Consumo (kWh)

Prec

io (

$)

Así, si P es el precio y C es el consumo eléctrico, podemos decir que:

• Si P disminuye a la mitad, C también disminuye a la mitad.

• Si C se duplica, P también se duplica.

• Si P se multiplica por 51 , C también se multiplica por 5

1 .

Esto ocurre puesto que el cociente entre P y C es constante. En términos algebraicos:

PC

= k constante de proporcionalidad directa.


Plano cartesiano: está formado por dosrectas perpendiculares. El punto en donde se intersectan corresponden al origen y al par ordenado (0,0). El eje vertical es el eje de las ordenadas, comúnmente llamado y,el eje horizontal es el eje de las abcisas, llamado x. Estos ejes forman la base del sistema de coordenadas cartesianas, en donde se pueden graficar todos los pares ordenados de la forma (x,y).

RecueRda

La rapidez es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo que tomó recorrerla.

Para hablar de velocidad debemosmencionar un sentido y una dirección, ya que es una magnitud vectorial.

RecueRda

Dos variables P y Q forman una proporcionalidad directa si

PQ

= k

Si se invierten las variables, su constante también se invertirá:

QP

= 1k

RecueRda

Proporcionalidad direc ta: mode lo mate má ti coEl papá de Ignacio tuvo que viajar de Rancagua a Zapallar. Ignacio quiere saber cuánto se va a demorar, pero solo sabe que viajará a 90 km/h en promedio.

¿Qué infor ma ción pode mos obte ner con lo que sabe Ignacio? Veamos.

Si lla ma mos D a la dis tan cia que ha reco rri do el papá (en km), T al tiem po que lleva mane jan do el auto (en horas) y la rapi dez es de 90 km/h, es posi ble plan te ar la siguien te expre sión que las rela cio na:

D = 90T

Con este mode lo mate má ti co es posi ble obte ner bas tan te infor ma ción; por ejem plo, pode mos saber la dis tan cia reco rri da en dis tin tos momen tos del viaje.

Luego de 1,5 horas, ¿cuán tos km ha reco rri do?Reemplazamos T por 1,5 en la expre sión y se obtie ne:D = 90 • 1,5 = 135Por tanto, el papá lleva reco rri dos 135 km.

si su cociente es constante. Algebraicamente, AB

= k (k: constante)

Resumen

Dos variables A y B se relacionan de manera directamente proporcional,

si su cociente es constante. Algebraicamente, BA = k (k: constante)

En su gráfica, siempre se apreciará una línea recta ascendente que pasa por el origen del plano cartesiano.

Completa la siguiente tabla para verificarlo.

P 1.080 2.160 4.320 7.560 8.640

C 10 30 50 60

PC

108

¿Qué representa la constante de proporcionalidad en este caso?

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Lado 1

También pode mos saber el tiem po que lleva viajando según la dis tan cia reco rri da hasta el momen to.

A los 225 km, ¿cuán to tiem po ha trans cu rri do? Reemplazamos D por 225 en la expre sión y se obtie ne:

225 = 90T

22590

= T

2,5 = T

Por tanto, el papá ha mane ja do duran te 2,5 horas.

Resumen

El modelo matemático de la proporcionalidad directa se puede escribir como:

AB

= k o equivalentemente A = B • k

Donde k es la constante de proporcionalidad entre las variables A y B.

Elcocienteentreambasvariablesesconstante.

Sugráficoasociadoesunarecta.

Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una proporcionalidad directa, pues:

Así, Ignacio solo debe conocer la distancia entre Rancagua y Zapallar (265 km). Al hacer el cálculo, obtiene que se demorará 2,9 horas.

D = 90 • T + DT

= 90

Tiempo

Dis

tanc

ia


Proporcionalidad inversaUna profesora pidió a sus alumnos(as) que construyeran rectángulos en cartulina, con una condición: todos deberían tener un área igual 24 cm2.

Luego de unos minutos, se anotó en una tabla las distintas dimensiones obtenidas. Solo se consideraron valores enteros.Veamos algunas conclusiones que podemos obtener de la tabla.

1. Si uno de los lados del rectángulo se duplica, ¿qué deberías hacer con la medida del otro lado para que la condición del problema se mantenga (tener área igual a 24 cm2)?

De la tabla tomemos, por ejemplo, el primer y segundo rectángulo. El lado 1 se duplicó y el lado 2 se redujo a la mitad.

2. Si uno de los lados del rectángulo se triplica, ¿qué sucede con la medida del otro lado para que el área se mantenga igual a 24 cm2?

Si observas el segundo y quinto rectángulo te darás cuenta de que mientras una de las medidas se triplicó, la otra se redujo a la tercera parte.

Al construir un gráfico, usando la tabla, obtenemos una línea curva, que por su forma recibe el nombre de hipérbola.

24 cm 12 cm1 cm 2 cm

12 cm4 cm

6 cm2 cm

Lado 1

Lado

2

Lado 1 Lado 2

1 cm 24 cm

2 cm 12 cm

3 cm 8 cm

4 cm 6 cm

6 cm 4 cm

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Ya sabe mos que en nues tro pro ble ma el pro duc to se man tie ne cons tan te. Si lla mamos x e y a las medi das de los lados del rec tán gu lo, ten dre mos que:

x • y = 24

Así, x e y for man una rela ción de pro por cio na li dad inver sa, pues el pro duc to de sus mag ni tu des es siem pre cons tan te. Por ejem plo, si x aumen ta al doble, y se redu ce a la mitad.

Resumen

Dos variables M y N forman una relación de proporcionalidad inversa si el producto de sus magnitudes permanece constante. Algebraicamente,

M • N = k

donde k es la constante de proporcionalidad inversa.

El gráfico correspondiente a este tipo de proporcionalidad es una curva llamada hipérbola.

Proporcionalidad inver sa: mode lo mate má ti coPilar y su abue li ta tie nen una mini empre sa de venta de bufan das: la abue li ta las confec cio na y Pilar las vende. Ellas pre ten den obte ner como venta total $ 20.000. Como podrás adi vi nar, si el pre cio de cada bufan da es muy caro lo más pro ba ble es que no les vaya muy bien o, si son muy bara tas, ten drán que ven der muchas bufan das para lle gar a la meta.

Si lla ma mos B a la can ti dad de bufan das que se fabri can y P al pre cio que ten drá cada una de ellas, es posi ble plan te ar la siguien te expre sión que las rela cio na:

B • P = 20.000


Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una relación de proporcionalidad inversa, pues:

B • P = 20.000

Es decir, el producto entre ambas magnitudes es constante. Su gráfico asociado es una curva llamada hipérbola.

La hipérbola es una curva que resulta de la intersección de una superficie cónica con un plano.

RecueRda

Bufandas

Prec

io

Con este mode lo mate má ti co es posi ble saber, por ejem plo, la can ti dad de bufan das que se nece si tan si se fija un pre cio deter mi na do para ellas.

También pode mos saber el pre cio de cada bufan da, si cono ce mos la can ti dad que se han con fec cio na do.

Si cada bufan da se vende en $ 2.500, ¿cuán tas bufan das nece si ta ven der?

Reemplazamos P por 2.500 y se obtie ne:

B • 2.500 = 20.000

B = 20.0002.500

B = 8

Por tanto, Pilar nece si ta ven der 8 bufan das.

Si se quie re ven der solo 5 bufan das, ¿en cuán to se debe ven der cada una?

Reemplazamos B por 5 y se obtie ne:

5 • P = 20.000

B = 20.000

5

B = 4.000

Por tanto, Pilar debe cobrar $4.000 por cada bufan da.

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C 3.100 3.200 3.500 4.000 C 200 400 1.000 2.000

M 1 2 5 10 M 1 2 5 10

Resumen

El modelo matemático de la proporcionalidad inversa se puede escribir como

M • N = q o equivalentemente M = qN

Donde q es la constante de proporcionalidad inversa entre las variables M y N.

Variaciones proporcionales y no proporcionalesEn las páginas anteriores, ya has visto cómo relacionar dos o más variables a través de expresiones algebraicas o ecuaciones y los tipos de relaciones de proporcionalidad que se pueden establecer entre ellas.

Analicemos ahora distintas situaciones para distinguir cuándo estamos en presencia de una relación de proporcionalidad o no.

Situación 1

La empre sa A de tele fo nía celu lar tiene un plan con un costo fijo de $ 3.000 y $ 100 por cada minu to de lla ma da. La empre sa B, en cam bio, solo cobra $ 200 por cada minu to y no tiene costo fijo. Por ejem plo, si una per so na habla 10 minu tos usan do la empre sa A su cuen ta sería de:

Empresa A: $ 3.000 + 10 min x $ 100 = $ 4.000

Estos mis mos 10 minu tos en la empre sa B serí an:

Empresa B: 10 min x $ 200 = $ 2.000

Observa el grá fi co que ilus tra esta situa ción.

Las relaciones de proporcionalidad entre dos variables pueden ser directas o inversas. En ocasiones, si hay más de dos variables relacionadas entre sí, se habla de proporcionalidad compuesta.

RecueRda

Minutos

Empresa A

Empresa B

Costo $


Tabla 1: Empresa A Tabla 2: Empresa B

Empresa A Empresa B

Considera los minu tos usa dos (M) y la cuen ta total a pagar (C) en cada empre sa de tele fo nía. ¿Se rela cio nan de mane ra pro por cio nal estas can ti da des?

A sim ple vista podrí a mos pen sar que sí for man una pro por cio na li dad direc ta, pues en ambos casos, al aumen tar los minu tos de lla ma das, aumen ta el pre cio que se debe pagar. Pero recuer da que dos varia bles se rela cio nan en pro por cio na li dad direc ta solo sí el cocien te entre sus mag ni tu des es cons tan te. Completa las tablas para exa mi nar esta con di ción.

Como pue des obser var, las varia bles deter mi nan una varia ción pro por cio nal en la tabla 2, pero no en la tabla 1. Esto se debe al monto fijo que se debe pagar ini cial men te. Observa los mode los mate má ti cos que están detrás de cada caso:

C = 3.000 + 100 • M C = 200 • M

Sigamos con el aná li sis de estas empre sas, ¿cuál ele gi rí as tú?

Observando la tabla, la res pues ta pare ce obvia: la empre sa B es la más bara ta. Si embar go, al aumen tar la can ti dad de minu tos pue des lle var te una sor pre sa. Completa el grá fi co y seña la cuán do es más con ve nien te una empre sa en rela ción a la otra.

No corresponde al modelo de proporcionalidad directa

Sí corresponde al modelo de proporcionalidad directa

C 3.100 3.200 3.500 4.000 C 200 400 1.000 2.000

M 1 2 5 10 M 1 2 5 10

CM

CM

Minutos

Costo $

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Situación 2

En Física es común uti li zar expre sio nes mate má ti cas para sim bo li zar la rela ción entre variables. Una de estas corres pon de a la rela ción entre las varia bles velo ci dad (v), dis tan cia (d) y tiem po (t) de un recorrido en automóvil:

v = dt

De esta expre sión pode mos dedu cir lo siguien te:

a. Si deja mos d como cons tan te, la velo ci dad y el tiem po deter mi nan una rela ción pro por cio nal inver sa.

vt = d

Por ejem plo, si la dis tan cia a reco rrer por un automóvil es 100 km, a mayor velo ci dad obten drá menor tiem po y, por el con tra rio, si su velo ci dad es muy peque ña demo ra rá mucho más tiem po en reco rrer estos 100 km.

El siguiente gráfico ilustra la situación. ¿Qué valor tiene la velocidad para un tiempo

igual a 10 horas? Completa el gráfico con este valor.

b. Si la velo ci dad es cons tan te, enton ces las variables d y t deter mi nan una rela ción pro por cio nal direc ta de cons tan te v.

Por ejem plo, si la velo ci dad de un automóvil es siem pre 50 km/h, a mayor dis tan cia a reco rrer mayor tiem po se va a demo rar, y vice ver sa.

t (horas)

v (k

m/h

)

t (horas)

v (k

m/h

)

Resumen

Para deter mi nar si dos varia bles se rela cio nan pro por cio nal men te hay que com pro bar que cum plan con el mode lo mate má ti co que corres pon da. Es decir, en el caso de pro por cio na li dad direc ta, que el cocien te sea cons tan te; y en el caso de pro por cio na li dad inver sa, que el pro duc to sea cons tan te.


Ejercicios resueltos

1. Camila, Marta y Andrea se asociaron y abrieron un negocio en su barrio. Camila invirtió $ 300.000, Marta $ 700.000 y Andrea $ 500.000. Al tercer año de funcionamiento se obtuvo una ganancia de $ 1.200.000, la que fue dividida en tres partes, directamente proporcionales al capital que cada una invirtió.

Secalculaelvalordelarazónentreelcapitalganadoyelcapitalinvertido.

Elvalordelarazónsepuedeinterpretarcomolaganancia(enpesos)porcada

pesoinvertido.Esdecir,porcadapesoinvertido,

seganaron0,8pesos.Paracalcularlagananciacorrespondienteacadauna,sepuedemultiplicar0,8por

lacantidadinvertida.

300.000 + 700.000 + 500.000 = 1.500.00 Dinero invertido en total.

1.200.0001.500.000

= 0, 8

300.000 • 0,8 = 240.000

700.000 • 0,8 = 560.000

500.000 • 0,8 = 400.000

Comprobando los resultados:

Camila: 240.000300.000

= 45

Marta: 560.000700.000

= 45

Andrea: 400.000500.000

= 45

Respuesta:Camila debe recibir $ 240.000, Marta $ 560.000 y Andrea $ 400.000.

Secompruebaelresultadoyseescribelarespuesta.

Valor de la razón del dineroganado y el dinero invertido.

Camila invirtió $ 300.000, entonces le corresponde una ganancia de $ 240.000.

Marta invirtió $ 700.000, entonces le corresponde una ganancia de $ 560.000.

Andrea invirtió $ 500.000, entonces le corresponde una ganancia de $ 400.000.

Para las tres, la razón entre lo ganado y lo invertido es igual,por tanto, son directamente proporcionales.

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2. Un condominio está formado por tres edificios: El Roble, El Olmo y El Arce. Toda la comunidad se está organizando para plantar arbustos nuevos en el jardín, con un costo de $ 77.000. ¿Qué cantidad de dinero es la que debe aportar cada edificio, si sus habitantes son 54, 68 y 32, respectivamente, y el aporte será proporcional al nº de habitantes de cada uno?

Se plantea la ecuación del reparto proporcional, donde x es el factor de reparto.

El ejercicio se resuelve mediante un reparto proporcional.

54x + 68x + 32x = 77.000

154x = 77.000

x = 77.000

154

x = 500

Así, cada edificio debe aportar:

El Roble 54 • 500 = $ 27.000El Olmo 68 • 500 = $ 34.000El Arce 32 • 500 = $ 16.000{

Seplantealaecuacióndelrepartoproporcional,dondexeselfactordereparto.

Secalculaelaportedecadaedificio,multiplicandoelfactorderepartoporlacantidaddehabitantesdecadauno.

a. Si D es constante (k), por la fórmula nos quedaría

150 = V • T

Es decir, el producto de las variables es constante. Así, la velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales.

b. Si V es constante (k), obtenemos

DT

= 100

Luego, el cociente es constante y, por ende, la distancia y el tiempo son directamente proporcionales.

3. Una de las fórmulas más usadas y sencillas en Física es la del movimiento rectilíneo uniforme (MRU): D = V · T, donde D es la distancia,

V la velocidad y T el tiempo.

a.Si la distancia por recorrer es 150 km, ¿qué relación se establece entre V y T? b.Si la velocidad permanece constante a 100 km/h, ¿qué relación se establece entre D y T?

Seanalizalaexpresiónyseverificaqueelmodelomatemáticoresultanteesdeproporcionalidaddirecta.

Seanalizalaexpresiónyseverificaqueelmodelomatemáticoresultanteesdeproporcionalidadinversa.


Organizamoslosdatosenunatabla.

Identificamoseltipodeproporcionalidad.

Resolvemoslaecuación.

Resolvemoslaecuación.

Identificamoseltipodeproporcionalidad.

Organizamoslosdatosenunatabla.

Aplicando una estrategia (ordenar los datos en una tabla)

Observa atentamente la estrategia usada para resolver el siguiente problema.

Una llave de agua demora 20 minutos en llenar un estanque a razón de 15 litros por minuto.

a. ¿Cuántos minutos demora si lo hace a razón de 5 litros por minuto?

b. ¿Cuántos minutos demora si lo hace a razón de 25 litros por minuto?

Velocidad 15 5

Tiempo 20 x

a.

La velocidad y el tiempo son cantidades inversamente proporcionales(a mayor velocidad, menor tiempo), tenemos que:

15 • 20 = 5 • x

15 • 20

5 = x

15 • 4 = x

60 = x

Por tanto, se necesitan 60 minutos para llenar el estanque.

Velocidad 15 25

Tiempo 20 x

b.

Nuevamente se trata de cantidades inversamente proporcionales, entonces,

15 • 20 = 25 • x

15 • 20

25 = x

3 • 4 = x

12 = x

Por tanto, se necesitan 12 minutos para llenar el estanque.

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Soy capaz de utilizar datosnuméricos para establecer

proporciones.

Respondo y analizo lapertinencia de las soluciones.

Analizando una pregunta

Observa la resolución del siguiente ejercicio y compárala con los métodos que tú usarías para resolverlo. Presta especial atención a lo que te indican las etiquetas.

Se sabe que 3 tarros de pintura alcanzan para pintar 12 m2 de pared.Si se necesita pintar una pared de 44 m2, y cada tarro de pintura cuesta $ 7.500,¿cuánto dinero costarán todos los tarros necesarios para pintar la pared?

Observa que:

Tarros de pintura Superficie a pintar

3 12 m2 de pared

x 44 m2 de pared

Como las variables tarros de pintura y m2 de pared están en proporción directa,calculamos el término que falta en la proporción:

3x

= 1244

44 • 3 = 12 • x

132 = 12 • x

13212

= x

11 = x

Entonces, se necesitan 11 tarros para pintar 44 m2 de pared.Ahora bien, si el tarro cuesta $ 7.500, entonces: 7.500 • 11 = 82.500El costo de 11 tarros de pintura es de $ 82.500.

Puedo aplicar la propiedadfundamental de las proporciones.


Ejercicios

1. Teresa trabajó tres horas y ganó $8.100. ¿Cuántas horas debe trabajar en el mismo lugar y bajo las mismas condiciones para ganar $32.400?

2. En condiciones óptimas un alumno del taller de teatro necesita 25 minutos para aprender 15 líneas del texto, ¿cuántos minutos necesitará bajo las mismas condiciones para memorizar 180 líneas?, ¿cuántas horas se demora en memorizar este texto?

3. El arriendo de una cancha de tenis cuesta $5.500 la media hora. Si Juan y su hermano la arrendarán por 3 horas 15 minutos, ¿cuánto dinero deben pagar?

4. Un estudio determinó que 100 gramos de naranjas aportan al organismo 34 ml de agua, ¿cuántos ml de agua aportarán al organismo 2 kilos de naranjas?

5. El siguiente gráfico presenta la relación entre los metros cúbicos consumidos de agua y el valor a pagar en pesos por tal consumo. De acuerdo a la información entregada en el gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuánto se debe cancelar si se consumen 7.552 metros cúbicos de agua?

–1 0 10 20 30 40 50 60 70X

Y

60

50

40

30

20

10

0

$ Pesos

metros cúbicos de agua

6. El siguiente gráfico presenta la distancia recorrida por un bus de pasajeros en relación a los litros de combustible consumidos durante el viaje, si mantiene una velocidad constante. De acuerdo a los datos de gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuántos litros de combustible gastará el bus si realiza un viaje de 375km?

–1 0 20 40 60 80 100 120 140 160X

Y

12

10

8

6

4

2

0

Litros de combustible

Km recorridos

7. Un acuario puede llenarse con 12 bidones de 15 litros cada uno, ¿cuántos bidones de 4,5 litros se necesitan para llenar el mismo acuario?

8. Una constructora sabe que para construir un edificio de 8 pisos se necesitan 72 trabajadores, los cuales se demoran 12 meses en terminarlo. ¿Cuántos trabajadores extra se deben contratar para terminar el mismo edificio en 9 meses?

9. En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿para cuántos días alcanzaría la misma cantidad de alimento?

10. Un bus demora 7,5 horas entre Valparaíso y Talca a una velocidad promedio de 84 km/h. ¿A qué velocidad promedio se desplazó otro vehículo que hizo el mismo recorrido en 6 horas?

Sesión 10


11. El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos de la cuota que debe pagar cada integrante de un grupo familiar al adquirir un producto tecnológico. De acuerdo al gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuál sería la cuota que se debería pagar cada integrante, si el grupo familiar estuviera compuesto por 12 personas?

0 10 20 30 40 50 60X

Y

40

30

20

10

0Val

or c

uota

Mile

s $

Nº personas

12. En el siguiente gráfico se presenta información que relaciona el tiempo de espera de los clientes en ser atendidos en una sucursal de telefonía celular, con respecto a la cantidad de trabajadores que están atendiendo. Si trabajan 12 personas en la sucursal, ¿cuántos minutos tendrá que esperar una persona para ser atendida?

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50X

Y

30

25

20

15

10

5

0

Tie

mpo

esp

era

min

utos

Nº Trabajadores

13. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 1 minuto 12 segundos, si mantiene su rapidez constante?

14. Una inversión de $350.000 produce un rendimiento (ganancia) de $4.200 en un año. ¿Qué rendimiento producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo?

15. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de productos comprados (todos de las mismas características) y el valor a pagar. De acuerdo a la información, ¿cuál es el valor que se debe cancelar si se compran 15 productos iguales?

0 2 4 6 8X

Y

30000

25000

20000

15000

10000

5000

0

Valor a pagar

Cantidad de productos

16. La rapidez de un automóvil es de 70 km/h y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará en recorrer la misma distancia, otro automóvil, con una rapidez de 80 km/h? Utilice FIX1

17. Cuando una llave arroja 32 litros por minuto de cierto líquido, demora 3,5 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto demora en llenarse este estanque, si ahora la llave arroja 24 litros por minuto? Utilice FIX1

18. Un estudio realizado sobre la salinidad del agua de mar determinó que 2 litros de agua de mar contienen 1,5 gramos de sal. Si se tiene una muestra que contiene 9,375 gramos de sal, ¿cuántos litros de agua de mar se extrajeron?

19. Para pavimentar una calle de 800 metros de largo y 12 metros de ancho, se han utilizado 18.000 pastelones. ¿Cuántos pastelones se necesitan para pavimentar una calle de 1.000 metros de largo y 15 metros de ancho?


20. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de máquinas que se tienen para realizar un determinado trabajo y el tiempo que demoran en realizarlo. ¿Cuántas horas demorarán en hacer el mismo trabajo si se cuenta con 25 máquinas?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

Y

7065605550454035302520151050

Tiempo de demora (horas)

Nº Máquinas

21. Una persona establece la relación entre el número de grifos necesarios y las horas que tardan en llenar una piscina. Si se sabe que 5 grifos demoran 1,6 horas en llenarla, ¿cuál de los siguientes gráficos representa la situación planteada?

a.

0 1 2 3 4 5 6X

Y

6

4

2

0

Nº

hora

s

Nº grifos

b.

0 1 2 3 4 5 6X

Y

6

4

2

0

Nº

hora

s

Nº grifos

c.

0 1 2 3 4 5 6X

Y

6

4

2

0

Nº

hora

s

Nº grifos

22. Un instituto confecciona un gráfico donde se representa la relación entre la cantidad de alumnos matriculados y el dinero recaudado por este concepto. Se sabe que se si matriculan 15 alumnos la recaudación es de $750.000, ¿cuál de los siguientes gráficos establece la relación entre las variables?

a.

0 1 2 3 4 5 6X

Y

40

30

20

10

0

Recaudaciónmiles $

Nº matrículas

b.

0 1 2 3 4 5 6X

Y

180

120

60

0

Recaudaciónmiles $

Nº matrículas

c.

0 1 2 3 4 5 6X

Y

150

100

50

0

Recaudaciónmiles $

Nº matrículas

Selección Múltiple:

23. Un árbol de 1,8 metros de altura proyecta una sombra hacia el frente de 2,2 metros. ¿Cuánto mide la sombra de otro árbol de 1,5 metros que se encuentra al lado del primero a la misma hora? Utilizar FIX2

a. 0,54 mb. 1,83 m

c. 2,06 md. 2,64 m

e. 5,94 m

24. Una máquina puede etiquetar 4.096 envases en cuatro días de trabajo. ¿Cuántos días son necesarios para etiquetar 9.216 envases iguales a los anteriores?

a. 1 b. 2 c. 9 d. 10 e. 13

Sesión 10


25. Una casa se pinta en 20 días con 60 hombres trabajando. Por problemas de presupuesto, al mes siguiente la empresa debe contratar a 45 personas menos bajo las mismas condiciones. ¿Cuántos días se demorarán en pintar una casa de iguales características?

a. 5 b. 15 c. 26 d. 60 e. 80

26. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas de trabajo, ¿cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?

a. 7,2 b. 12,5 c. 25,0 d. 50,0 e. 288,0

27. Para pintar una pared de 96 m2 se ocupan 8 tarros de pintura. ¿Cuántos tarros del mismo tipo de pintura se necesitan para pintar una pared de 28,8 metros de largo por 2,5 metros de ancho?

a. 3 b. 5 c. 6 d. 11 e. 17

28. El pago por el consumo de la electricidad es proporcional a la electricidad que se consume mensualmente. Esta situación se refleja en el siguiente gráfico. Si una familia consume 1.550KW de electricidad en el mes, ¿cuánto es lo que debe cancelar?

a. $258 b. $7.750 c. $9.000

0 1 2 3 4 5 6 7X

Y

30

24

18

12

6

0

Valor (en pesos)

Cant KW

d. $9.300e. $9.360

29. Un jefe de obra construye el siguiente gráfico donde se relaciona la cantidad de operarios trabajando bajo las mismas condiciones, y el tiempo en horas que se demoran en realizar un determinado trabajo. ¿Cuánto tiempo se demorarán en realizar el mismo trabajo 16 operarios?

a. 9 ,37 b. 6 ,25

0 1 2 3 4 5 6 7X

Y

150

100

50

0

Nº horas

Nº operarios

c. 12 ,5 d. 100 e. 800

30. En una parcela hay 12 caballos que consumen 720 kg. de alfalfa durante el mes de “Abril”. El dueño de la parcela compró 3 caballos más, si tiene la misma cantidad de alfalfa, ¿para cuántos días le alcanzará?

a. 7,5 b. 14 c. 24 d. 37,5 e. 38,75

31. La cantidad de mg de medicamento en el organismo se relaciona en forma proporcional a las horas transcurridas desde que se ingiere. Pasadas 1,6 horas de haber sido ingerido quedan en el organismo 125mg, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I. Pasada 1 hora hay en el organismo 200 mg del medicamento

II. La constante de proporcionalidad es 50

III. El siguiente gráfico modela la situación

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X

Y

200

150

100

50

0

Mg de medicamento

Horas transcurridas

a. Sólo Ib. Sólo IIc. Sólo I y IId. Sólo I y IIIe. I, II y III


Sesión 9

32. Laura quiere comenzar a andar en bicicleta y diseña un plan de acción que se ve representado en el siguiente gráfico, donde se relacionan en forma proporcional los minutos dedicados a andar en bicicleta y la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

0 30 60 X

Y

30

25

20

15

10

5

0

KM recorridos

Minutos

I. Si hace ejercicio por media hora, recorre 5 km en bicicleta

II. La constante de proporcionalidad es 0,16

III. Si Laura se dedica 1 hora y 24 minutos a andar en bicicleta, recorre 14 kilómetros.

a. Sólo Ib. Sólo IIIc. Sólo I y IIId. Sólo II y IIIe. I, II y III

33. Un nutricionista le indica a un paciente que una porción de yogurt tiene 6,3 proteínas. Si el médico le indica a su paciente que debe consumir diariamente 5 porciones de yogurt con las mismas características, ¿cuántas proteínas debe consumir el paciente a la semana?

a. 8,82 b. 31,5 c. 157,5 d. 126 e. 220,5

34. Eugenia se quiere comprar una estufa a parafina que gasta 2 litros del combustible en 5 horas. Si el consumo de parafina es proporcional al tiempo de uso, ¿cuántos litros de parafina se gastarán en 8 horas?

a. 1,25 b. 2 c. 3,2 d. 11 e. 15

35. Una cuenta se dividirá en forma proporcional a la cantidad de personas que la compartirán, la situación se ve reflejada en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la cuota que debe cancelar cada uno, si el grupo tiene en total 16 personas?

0 1 2 3 4 5 6 7 8X

Y

300.000

250.000

200.000

150.000

100.000

50.000

0

$

Nº personas

a. $17.500 b. $18.750 c. $21.875 d. $50.000 e. $114.286

36. Un jardinero utiliza 74,4 metros cuadrados de pasto para colocar la misma cantidad en 6 casas, ¿Cuántos metros cuadrados de pasto necesitará el jardinero para colocar en 14 casas iguales a las anteriores?

a. 31,9 m2 b. 94,4 m2

c. 173,6 m2

d. 297,6 m2e. 520,8 m2

37. Jaime ahorra mensualmente la misma cantidad de dinero. Al consultar su saldo después de 15 meses, observa un total de $354.000. Si Jaime sigue ahorrando de la misma manera, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado después de 32 meses?

a. $165.938b. $377.600

c. $708.000d. $755.200

e. $826.000

Sesión 10


38. Para construir un edifico el capataz de una obra determina que si tiene 70 trabajadores trabajando bajo las mismas condiciones demorarán 24 meses en terminarlo. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I. La constante de proporcionalidad es 1.680

II. Si el capataz contratara 14 trabajadores más, trabajando bajo las mismas condiciones, demorarían 20 meses en terminar el mismo edificio.

III. Si se contratan más trabajadores, trabajando bajo las mismas condiciones, se demorarán más en terminar el mismo edificio.

a. Sólo Ib. Sólo IIIc. Sólo I y IId. Sólo I y IIIe. I, II y III

39. El siguiente gráfico presenta la relación proporcional entre los litros de pintura utilizados para pintar un muro y la superficie que se puede cubrir al pintar. ¿Cuántos litros de la misma pintura se deben comprar para pintar un muro de 68 metros cuadrados de superficie?

a. 0,6 Lb. 6 Lc. 6,8 L

0 2 4 6 8 10X

Y

120

100

80

60

40

20

0

Superficie(metros cuadrados)

Litros de pintura

d. 7 Le. 10 L

40. Gonzalo necesita dejar su auto en un estacionamiento. Un letrero le indica que el costo por estacionar 30 minutos es de $800. Si el cobro del estacionamiento es proporcional al tiempo, ¿cuánto debe cancelar Gonzalo si permanece estacionado por 1 hora y 24 minutos?

a. $640b. $1.600

c. $1.720d. $2.240

e. $3.040


Solucionario Sesión de ejercicios Nº 10


1. Debe trabajar 12 horas

2. Se demora 300 minutos = 5 horas

3. Debe pagar $35.750

4. Aportan al organismo 680ml de agua

5. La contante de proporcionalidad es 2. Se deben cancelar $15.104

6. La constante de proporcionalidad es 0,05. Se necesitan 18,75 litros de combustible.

7. Se necesitan 40 bidones

8. Se necesitan 24 trabajadores extra

9. Les alcanza para 15 días

10.Viaja a 105 km/h

11.La constante de proporcionalidad es 600.000. Cada uno debe pagar $50.000

12.El tiempo de espera es de 12,5 minutos

13.La moto recorre 2.160 metros

14.Produce una ganancia de $5.400

15.Por 15 productos cancela $75.000

16.Se demorará 4,4 horas

17. Se demorará 4,7 horas

18.Se extrajeron 12,5 litros de agua de mar

19.Se necesitan 28.125 pastelones

20.Se demoran 16 horas

21.Gráfico B

22.Gráfico C

Selección Múltiple:

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

23 B 32 E

24 C 33 E

25 E 34 C

26 D 35 C

27 C 36 C

28 D 37 D

29 C 38 C

30 C 39 C

31 D 40 D

Documents

Sesión 10 nueva