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DISTRIBUCIONES MUESTRALES Juan Carlos Colonia

Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

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Page 1: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Juan Carlos Colonia

Page 2: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE

MEDIAS MUESTRALES

Page 3: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 1: VARIANZAS POBLACIONALES

CONOCIDAS

Sean y las medias muestrales de dos muestras aleatorias de tamaños y extraídas de dos poblaciones independientes con medias y y varianzas y respectivamente; la diferencia de medias se distribuye:

Por tanto:

2 2

1 21 2 1 2

1 2

x x N ,n n

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

x xN 0 ,1

n n

1n 2n

1 22

12

2

1 2x x

1x2x

Page 4: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 1: VARIANZAS POBLACIONALES

CONOCIDAS

Ejemplo:

Se tiene dos tipos de acero A y B. Suponga que para el acero tipo A que la resistencia esperada a la tensión es 105 Klb y la desviación estándar 8 Klb. Para el acero tipo B suponga que la resistencia esperada a la tensión y la desviación estándar son de 100 Klb y 6 Klb respectivamente. Sea la resistencia promedio a la tensión de una muestra aleatoria de 40 barras de acero tipo A y sea la resistencia promedio a la tensión de una muestra aleatoria de 35 barras de acero tipo B. Calcular la probabilidad de que la media muestral de la resistencia a la tensión del acero tipo A sea mayor en 10 Klb a la del acero tipo B.

x

y

Page 5: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 1: VARIANZAS POBLACIONALES

CONOCIDAS

Solución:

: Resistencia a la tensión del acero A

: Resistencia a la tensión del acero B

: Resistencia promedio a la tensión del acero A

: Resistencia promedio a la tensión del acero B

x y N 5 , 2.6285

2

X X X105 y 64 y n 40

2

Y Y Y100 y 36 y n 35

P x y 7 P Z 1.2335 0.1087

x

y

X

Y

Page 6: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 2: VARIANZAS POBLACIONALES

DESCONOCIDAS

Sean y dos muestras aleatorias

de tamaño y extraídas respectivamente de dos poblaciones

independientes y , cuando las dos varianzas

poblacionales son desconocidas la distribución de la media

muestral presenta tres situaciones:

Muestras grandes

Muestras pequeñas y varianzas poblacionales

desconocidas pero iguales

Muestras pequeñas y varianzas poblacionales

desconocidas pero diferentes

1n 2n

2

1 1N ,

11 21 n1X , X , ..., X12 22 n2X , X , ..., X

2

2 2N ,

1 2n n 30

1 2n n 30

1 2n n 30

Page 7: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 2: MUESTRAS GRANDES

La diferencia de medias muestrales se distribuye:

Por tanto:

2 2

1 21 2 1 2

1 2

s sx x N ,

n n

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

x xN 0 ,1

s s

n n

1 2x x

1 2n n 30

Page 8: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 2: MUESTRAS PEQUEÑAS

Y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES

La diferencia de medias muestrales se distribuye:

: varianza pooled

1 2

1 2 1 2

n n 22 2

1 1 2 2

1 2 1 2

x xt

n 1 s n 1 s 1 1

n n 2 n n

1 2x x

1 2n n 30

2 2

1 1 2 22

p

1 2

n 1 s n 1 ss

n n 2

Page 9: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 2: MUESTRAS PEQUEÑAS

Y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES

Ejemplo:

Se realiza un estudio sobre la calidad del aire en dos zonas A y B. Un indicador de la calidad es el número de microgr. de partículas en suspensión por m3 de aire, que se supone siguen distribuciones Normales independientes de media 62.237 en A, 61.022 en B y varianzas iguales. En la zona A se realizan 12 mediciones, obteniéndose una varianza de 8.44 microgr2 y en la B 15 mediciones, con una varianza de 9.44 microgr2. Obtener la probabilidad de que la media muestral de A sea como mínimo tres unidades superior a la media muestral de B.

1 2n n 30

Page 10: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 2: MUESTRAS PEQUEÑAS

Y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES

Solución:

1 2n n 30

2

A A A62.237 y n 12 y s 8.44

2

B B B61.022 y n 15 y s 9.44

A B 25P x x 3 P t 1.708 0.05

2 2

1 1 2 22

p

1 2

n 1 s n 1 ss 9

n n 2

Page 11: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

CASO 2: MUESTRAS PEQUEÑAS

Y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DIFERENTES

La diferencia de medias muestrales se distribuye:

Donde los grados de libertad esta dado por:

1 2 1 2

g2 2

1 2

1 2

x xt

s s

n n

1 2x x

22 2

1 2

1 2

2 22 2

1 2

1 1 2 2

s s

n ng

s 1 s 1

n n 1 n n 1

1 2n n 30

g

Page 12: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE

VARIANZAS MUESTRALES

Page 13: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS

MUESTRALES

Sean y dos muestras

aleatorias de tamaño y extraídas de dos

poblaciones independientes y , la

distribución de cociente de varianzas tiene

distribución:

1n 2n

2

1 1N ,

11 21 n1X , X , ..., X12 22 n2X , X , ..., X

2

2 2N ,

1 2

2 21 1 1

1 2 22 2

1 21 1

2 n 1, n 12 22 2 2 1

2 22

22

n 1 s sn 1

sF

n 1 s sn 1

Page 14: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS

MUESTRALES

Ejemplo:

Se está comparando la variabilidad de dos procesos

de producción: A y B, los dos procesos siguen

distribuciones Normales. Se realizan 16 mediciones

del proceso A y se obtiene una varianza de 9.52, y

18 mediciones proceso B y se obtiene una varianza

de 7. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza del

proceso B sea como mínimo el doble de la varianza

del proceso A?

Page 15: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS

MUESTRALES

Solución:

2

A An 16 y s 9.52

2

B Bn 18 y s 7.00

2 2 2

2 2 B A BB A 2 2 2

A B A

s 9.52P 2 P 2 P 2

s 7.00

2 2

B A 15 ,17P 2 P F 2.72 0.025

Page 16: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE

PROPORCIONES MUESTRALES

Page 17: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE

PROPORCIONES

Sean y las proporciones muestrales de dos muestras aleatorias de tamaños y extraídas de dos poblaciones independientes con proporciones poblacionales respectivas y ; la distribución de la diferencia de proporciones esta dada por:

Por tanto:

1n 2n

1 2

1p2p

1 2p p

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2

1 1p p N ,

n n

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

p pN 0 ,1

1 1

n n

Page 18: Sesion 11 Distribuciones Muestrales II

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE

PROPORCIONES

Ejemplo:

Dos máquinas A y B, producen un mismo artículo. La máquina A produce como término medio una proporción de 14% de artículos defectuosos, mientras que la máquina B, produce en término medio una proporción de 20% de artículos defectuosos. Si se obtiene una muestra aleatoria de 200 unidades del artículo que provengan de la máquina A y una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la máquina B, calcular la probabilidad de que B tenga una proporción de defectuosos 8% o más que A.

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DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE

PROPORCIONES

Solución:

A A0.14 y n 200

B B0.20 y n 100

B AP p p 0.08 P Z 0.43 1 P Z 0.43

B AP p p 0.08 0.3336