Sesión 1_La Recta

8/17/2019 Sesión 1_La Recta

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MATEMÁTICA 1 PARA ARQUITECTURASESIÓN 1: LA RECTA: FORMA CARTESIANA Y VECTORIAL

Departamento de Ciencias


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¿QUÉ PREDOMINA EN ESTOS DISEÑOS?


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RECTAS PRESENTES EN EL MUNDO REAL

Representamos 2 rectas en estalínea del tren.

La infinita línea del horizontepuede representar una recta.


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EJEMPLOS DE RECTAS SECANTES, PERPENDICULARES Y PARALELAS:

La calle Manuel

Bulnes esperpendicular a lacalle Carrera Pinto.

La Avda. UltimaEsperanza y la Avda.España son RectasSecantes.

La calle BlancoEncalada es paralela acalle Baquedano.


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ÁNGULO ENTRE RECTAS

¿Cuál es el ángulo que forman las rectas mostradas?

(1,10)

(0,0)

(16,12)


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LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje, elestudiante resuelve ejercicios en los que

encuentra las ecuaciones cartesiana yvectorial de una recta e identificaaplicaciones de las mismas en el diseñoarquitectónico.


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CONCEPTOS PRELIMINARES: PLANO CARTESIANO

•Es el plano codificado mediante un sistema de coordenadas ubicadas

en dos ejes perpendiculares:

•Eje de las abscisas

•Eje de las ordenadas

Origen

Un punto cualquiera del plano cartesianotiene dos coordenadas:

= (, )

Y

X


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CONCEPTOS PRELIMINARES: PUNTO

•Elemento geométrico que no puede dimensionarse, y se representa

dibujando una cruz (x) o un pequeño círculo que describe su posición

en el espacio.

• A los puntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C, D, etc.

Ejemplo

A B


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•La recta o línea recta es la sucesión continua e indefinida de puntos

en una misma dimensión.

•También se puede considerar a la recta como la distancia más corta

entre dos puntos.

•

La recta es de longitud ilimitada, sin grosor ni extremos.•Una recta se determina por la unión de dos puntos

Ejemplo

CONCEPTOS PRELIMINARES: LA RECTA

A B

A

B

Veamos el ejercicio 1 de

la HT1


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Los ángulos son la unión de dos rayos. Note que ambos rayos tienen

un mismo origen, al cual se le conoce con el nombre de vértice delángulo y a los rayos se les conoce como lados del ángulo.

Ejemplo

Lados

Vértice

El ángulo se mide en

Grados.

ÁNGULOS


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EJEMPLOS COTIDIANOS DE ÁNGULOS:

En las figuras podemos observar diversas representaciones de ángulos,con las cuales nos encontramos a diario.


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UNIDADES DE MEDIDA PARA LOS ÁNGULOS

Los ángulos se pueden medir en:

•Radian

•Grado Centesimal

•Grado Sexagesimal

Nosotros utilizaremos la unidad de medida llamada GradoSexagesimal y como ejemplo de su notación tendríamos: 90º.

Lo leeremos como “noventa grados”.

El grado sexagesimal es la nonagésima (1/90) parte de unángulo recto.


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CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Ángulo Agudo

Mide menos de 90º

Ángulo Recto

Mide 90º

Ángulo Obtuso

Mide más de 90º

Ángulo Extendido o Llano

Mide 180º


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RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Se dice que

dos rectas a y b son paralelas cuando son equidistantes, es decir,cuando todos los puntos de una recta están a igual distancia de la otrarecta.También podemos decir que dos rectas son paralelas si nunca llegana cortarse en un punto.

Todos los puntos deestas rectas estánequidistantes, es

decir, a igual distanciaentre ambas, por lotanto son rectasparalelas.

Ejemplo


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EJEMPLOS COTIDIANOS DE RECTAS PARALELAS:

En esta escalera tambiénpodemos representarrectas paralelas.

Estos lápices estánequidistantes entre sí, por lotanto representan rectasparalelas.

En esta construcción puedesapreciar diversas rectasparalelas.


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Dos rectas son secantes si están en el mismo plano y se cortan en

un mismo punto, formando cuatro ángulos, cada uno diferente de90º.

Ejemplo

Todos los Ángulos sondistintos de 90º

RECTAS SECANTES:


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Dos rectas son perpendiculares si están en el mismo plano y se cortan en

el mismo punto, forman 4 ángulos iguales de 90º cada uno.A estos ángulo que miden 90º se les llama ángulos rectos, y esto permitedefinir a dos rectas como perpendiculares.

EjemploAngulo de 90º

Angulo de 90º

RECTAS PERPENDICULARES:


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Cómo son las siguientes rectas con respecto a su posición:

:

: : :

:

EJEMPLO


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POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:

a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten

c) Que seanCoincidentes

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y


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PENDIENTE DE UNA RECTA

tan( )m

Sea la recta L, el ángulo

de inclinación de L, es elángulo determinado porla recta L y la partepositiva del eje x, ladenotaremos por:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

L

La pendiente se definecomo la tangente delángulo de inclinación dela recta L con respecto aleje x.


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COMPORTAMIENTO DE LA RECTA, SEGÚN VALOR DE LA PENDIENTE

x

y

x

y

x

y

Si m > 0 la recta l es creciente Si m


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CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA

CASO I:Se conoce el ángulo de inclinación

CASO II:Se conocen dos puntos de la recta

tan( )m

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

L

x1 x2

y1

y2

x

y L1

= −

−


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x

y

L2

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Sean dos rectas L1 con pendiente y L2 con pendiente , entonces:

L1

Si: =

Entonces son Paralelas

x

y L2 L1

Si: × = −1

Entonces son Perpendiculares


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ECUACIÓN DE LA RECTA CASO I: PUNTO - PENDIENTE

SE CONOCE LA PENDIENTE Y UN PUNTO DE PASO

Hallar la ecuación de la recta quepasa por el punto (2,3) y tienependiente m = -2.

Punto de paso: = , Pendiente:

Se define la ecuación de la recta como:

: − = −

EJEMPLO 1

SOLUCIÓN:

Punto de paso: = , = 2 , 3

Pendiente: = −2

= −2 + 7

Ecuación:

− 3 = −2 − 2 Reduciendo: − 3 = −2 + 4 = −2 + 4 + 3


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ECUACIÓN DE LA RECTA CASO II PASA POR DOS PUNTOS

SE CONOCEN DOS PUNTOS DE PASO

Hallar la ecuación de la recta quepasa por los puntos (1,4) y (-2,-4).

= , , = ,

PRIMERO:Se calcula la pendiente

SEGUNDO:

Se repite el caso anterior

: − = −

EJEMPLO 2

SOLUCIÓN:

=

−

−

PRIMERO:Se calcula la pendiente:

=−4 − 4

−2 − 1 =

−8

−3 =

8

3

SEGUNDO:

Ecuación:

− 4 =8

3 − 1

Reduciendo:

− 4 =

8

3 −

8

3

=8

3 −

8

3 + 4

=8

3 +

4

3

= −2 + 7


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CÓMO GRAFICAR UNA RECTA

Analizaremos ahora la forma de graficar una recta dada su ecuación, mediante un ejemplo:

1. Grafique = + Tabulamos sólo dos puntos

1 3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(, )

(, )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

2. Grafique = − +

Tabulamos sólo dos puntos

−

(, )

(, −)


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INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Una recta siempre tiene como ecuación la forma: = + , ; ∈ ℝ

INTERPRETACIÓN:m : Pendiente de la rectab: intersección con el eje Y

Ejemplo: = 3 + 1 Pendiente: 3Intersección con eje y: 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(,)


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RECTAS PARALELAS A LOS EJES COORDENADOS

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

3

4

y = 3

x = 4


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5. TRABAJO EN EQUIPO

• En equipos de 3 estudiantes, desarrollar los ejerciciosindicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.


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APLICACIÓN ÁNGULO ENTRE RECTAS

Calcule la tangente del ángulo que forman las tijerales mostrados

(1,10)

(0,0)

(16,12)


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SOLUCIÓNAplicaremos la fórmula:

= −

1 +

Donde es la pendiente de la recta 1,Y es la pendiente de la recta 2.

(1,10)

(0,0)

(16,12)

Primero calculamos :

=10 − 01 − 0

= 10

Ahora calculamos :

=12 − 10

16 − 1 =

2

15

Aplicamos la fórmula:

= −

1 +

Aplicamos la fórmula:

=10 −

215

1 + (10)( 215

)=

14835


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6. METACOGNICIÓN

•

¿Qué estructura presente en la universidad UPN puedesasociar a rectas? ¿podrías hallar la ecuación de esas

restas?

• ¿Qué dificultades se presentan en la solución de

ejercicios dadas en la hoja de trabajo 1?

• ¿Qué es lo más complicado en obtener las ecuaciones

de la recta?

• ¿Qué he aprendido en esta sesión 1?


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7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

N° CÓDIGO AUTOR TITULO AÑO

1 510 / UGAR Ugarte Guerra

Francisco “ Matemáticas para Arquitectos”

2011

2 516. 3 LEAN Charles Lehmann “Geometría Analítica” 2005

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