Dada una función f, encontrar su derivada f ’.

En un curso básico de cálculo diferencial se aborda:

Ahora, veremos cuán importante es el problema:

Dada una función f, encontrar una función F cuya derivada sea f.

En esta primera parte del curso resolveremos de manera más o menos simultánea los problemas siguientes:

(1) Dada una función f(x) , hallar una función F(x) tal que

( ) ( )' .F x f x=

(2) Dada una función f(x) que sea ≥0, dar una definición de área bajo la curva y=f(x) que no recurra a la intuición geométrica.

Una función F se llama una antiderivada de una función f en un intervalo I si para todo valor de xen I.

( ) ( )'F x f x=

Ejemplo

( ) 3 24 5F x x x= + + es una antiderivada de ( ) 212 2f x x x= +

pues ( ) ( )2' 12 2F x x x f x= + =

( ) ( )'F x f x=Una función F(x) se llama primitiva de otrafunción f(x) si .

Proposición 1

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas, que se diferencian entre sí en una constante.

Si F es una primitiva de f entonces G(x)=F(x)+c, donde c es una constante arbitraria, entonces G’(x)=F’(x)=f(x) y G

también es primitiva de f.

Algunos miembros de la familia de anti-derivadas de f(x)=12x2+2x

Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto formado por todas sus primitivas, y se denota por:

integrando

( )�

( )f x dx F x C= +∫

Ejemplos

1). 1 dx x C= +∫2

2). 2

xx dx C= +∫

3). x xdx Ce e= +∫1

4). lndx x Cx

= +∫

4. Determine una función F(x), tal que :

( ) 1' , 0,F x x

x= ∀ ≠

( )1 2,F − =

( ) 4.F e =

Solución

( ) ( ) 1

2

ln si 01ln si 0

x C xF x dx

x C xx

− + <= = + >∫

( ) ( )( ) 1 11 2 ln 1 2 2F C C− = ⇔ − − + = ⇔ =

( ) 2 2

2

4 ln 4 1 4

3

F e e C C

C

= ⇔ + = ⇔ + =⇔ =

Luego

( ) ( )ln 2 si 0

ln 3 si 0

x xF x

x x

− + <= + >

5. Hallar ( )3 22 1x x dx+ +∫

Buscamos una primitiva del integrando, es decir una función tal que al derivarla nos dé el integrando. En consecuencia,

( )4 3

3 2 22 1

4 3

x xx x dx x C+ + = + + +∫

Propiedades

( ) ( ) ( ) { }1). , \ 0k f x dx k f x dx kF x C k= = + ∀ ∈∫ ∫ ℝ

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2).

f x g x dx f x dx g x dx

F x G x C

± = ±

= ± +∫ ∫ ∫

13). ; 1 .

1

nn x

x dx C n nn

+= + ≠ − ∧ ∈

+∫ ℚ

( ) ( ) ( ) ( )Sean ' y G' . EntoncesF x f x x g x= =

Ejemplos

( )4 3 21). 5 8 9 2 7x x x x dx− + − +∫

( )4 3 25 8 9 2 7x x x x dx− + − + =∫4 3 25 8 9 2 7x dx x dx x dx xdx dx− + − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4 1 3 1 2 1 1 1

5. 8. 9. 2. 74 1 3 1 2 1 1 1

x x x xx C

+ + + +

− + − + + =+ + + +

5 4 3 22 3 7 .x x x x x C= − + − + +

Si G es una anti derivada de g, entonces

( ) ( )dug u dx G u C

dx= +∫

ya que, mediante la regla de la cadena,

( ) ( ) ( )'d du du

G u G u g udx dx dx

= =

INTEGRACION POR SUSTITUCION

Si u=g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, f es una función continua sobre I y F es una antiderivada de f sobre I, entonces

( )( ) ( ) ( )' .f g x g x dx f u du=∫ ∫

INTEGRACION POR SUSTITUCION

Halle ( ) ( )829 3 5 2 3x x x dx+ + +∫

hacemos la sustitución

Solución

2 3 5u x x= + + ( ) 8 9g u u⇒ =

( ) ( )2 3 5 2 3du d x x x dx= + + = +

( )( )

( ) ( )829 3 5 2 3

dug u

x x x dx g u du+ + + =∫ ∫������������

8 99u du u C= = +∫

Volviendo a la variable x

( )92 3 5x x C= + + +

( ) ( )829 3 5 2 3x x x dx+ + +∫

Halle 2 3xdxe −∫

Solución hacemos la sustitución:

2 3u x= − ( )2 3 3du d x dx⇒ = − = −

( )� ( )12 3 3

3

2 3 g u

du

x xdx dxe e−− − −

=∫ ∫ ���

Solución

1

3

udue−

= ∫

1

3

1

3u udu Ce e− − =

+

=∫

Solución

2 3 2 31

3x xdx Ce e− −− = +

∫

INTEGRACION POR PARTES

Integrando la diferencial del producto de dos funciones d(uv) = v du+udvresulta

INTEGRACION POR PARTES

( )d uv vdu udv= +∫ ∫ ∫

de donde,

uv vdu udv= +∫ ∫

nos permite expresar una de las dos integrales en función de la otra:

udv uv vdu= −∫ ∫

donde G es una anti derivada de g.

( )�

( )�fácil deintegrar

fácil dederivar

f x g x dx=∫

( ) ( ) ( ) ( )'G x G xf x f x dx− ∫

En resumen, la integración por partes significa

� �fácil deinte

fácil deder rarivar g

,vu dv u duv= −∫ ∫

También

Reemplazando

2 xx dxe∫Solución hacemos

2 2xx xdv e v

u x du xdx

d e ev dx

= =

⇒=

⇒

= = =∫ ∫

�� ( )�

( )�

( )�

( )2 2 2dv

vu

duu v

x x xx dx x x dxe e e= −∫ ∫ ����

2 2x xx e xe dx= − ∫

xx xdv e

u x du d

v e

x

dv e dx

= ⇒ =

⇒ == = =∫ ∫

2 2 xx xx e xe e dx = − − ∫2 2 xx xx e xe e = − −

( )2 2 2xe x x C= − + +

ln xdx∫Solución por integración por partes: hacemos

1lnu x du dx

x

dv dx v xdv dx=

= ⇒ =

⇒ = = =∫ ∫

�� ( )�

( ) ( )�

1ln ln

uv

du

dvvu

x x dxx

dx x x = −

∫ ∫������

lnx x x C= − +

cossenxdx x C= − +∫ cosx dx sen x C= +∫ 2sec tanx dx x C= +∫

2csc cotx dx x C= − +∫ sec tan secx x dx x C= +∫ csc cot cscx x dx x C= − +∫

tan ln cosx dx x C= − +∫ sec ln sec tanx du x x C= + +∫

( ) ( )2 2sen x dx∫Solución hacemos u=2x.

Entonces du/dx=2. Por lo tanto.

( ) ( ) ( )

( )

cos

cos 2

dusen u dx sen u du u

dxx

= = −

= −∫ ∫

Observe que:

( ) ( )2 cos 2sen x dx x≠ −∫

( )xe sen x dx∫Solución por integración por partes:

( ) cos

x x

dv sen x

u e du e dx

senxdxdx v x

= ⇒ =

⇒ == −=∫

( )I xe sen x dx= ∫

entonces

( ) ( )I cos cosx xe x e x dx= − − −∫( )I cos cosx xe x e x dx= − + ∫

aplicamos integración por partes nuevamente

1

( )cos cos

x x

dz x dx z s

t e dt e dx

d nx e xx

= ⇒ =

⇒ = == ∫

La segunda integral se convierte en tdz tz zdt= −∫ ∫

( ) ( )cosx x xe x dx e senx e sen x dx= −∫ ∫ 2

De las ecuaciones (1) y (2) tenemos:

cosx xI e x e senx I= − + −Por lo tanto

( )cosx x x xe senxdx e x e senx e sen x dx= − + −∫ ∫2 cosx x xe senxdx e x e senx= − +∫

cos

2

x xx e x e senx

e senxdx C− += +∫