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1

DINAMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL

Ecuación de Difusión 1DDiferencias Finitas

Sesión 1

Armando Blanco A.

2IntroducciónEn el flujo de fluidos encontramos una gran diversidad de procesos y escalas.Transporte por difusión y convección, flujos multifásicos, cambios de fase, reacciones químicas, etc.Este capítulo introductorio se centra en procesos de difusión y permite introducir esquemas numéricos explícitos así como el análisis del error debido a la discretización de las ecuaciones diferenciales parciales.Se aplican conceptos vistos en el curso anterior de métodos numéricos como estabilidad, convergencia y consistencia .Finalmente se culmina con una aplicación que permitirá poner en práctica los conceptos aprendidos.

3

Ecuación de Difusión y problema base

Formulación del método explícito FTCS

Análisis de estabilidad FTCS

Precisión FTCS

Análisis de errores

Esquema de DuFort-Frankel

Aplicación

4Ecuación de Difusión 1D

2

2

x

T

t

T

Desde un punto de vista numérico, la ecuación de difusión contiene los mismos mecanismos, relativos a la disipación, que se presentan en problemas de flujo de fluidos.Consideremos la ecuación de difusión del calor 1D

Esta ecuación modela el flujo de calor en una columna de sección uniforme, aislada en su cuerpo pero que puede transferir calor a los alrededores a través de sus extremos.

(1)

aislante

aislante

A B

A

A

x

T

T

conocidas

o

B

B

x

T

T

conocidas

o

xTxT 0)0,( Condiciones iniciales

5




Precisión FTCS



Aplicación

6Métodos Explícitos: FTCS

Consideremos la discretización explícita en el espacio de esta ecuación. Expresando las derivadas en primer orden en tiempo

3

,

2

22

,

1

!2!1,, tO

t

Tt

t

TttxTttxT

txtx

2

,

2

21

, 2tO

t

Tt

t

TT

t

T

tx

nj

nj

tx

donde hemos retenido el primer término del error. Similarmente, para la discretización espacial en segundo orden tendremos

6

,

5

55

,

4

44

,

3

33

,

2

22

,

1

6

,

5

55

,

4

44

,

3

33

,

2

22

,

1

!5!4!3!2!1,,

!5!4!3!2!1,,

xOx

Tx

x

Tx

x

Tx

x

Tx

x

TxtxTtxxT

xOx

Tx

x

Tx

x

Tx

x

Tx

x

TxtxTtxxT

txtxtxtxtx

txtxtxtxtx

(2)


42

,

4

42

,

2

2

211

1

,122

2xtO

x

Tx

t

Tt

x

TTT

t

TT

txtx

nj

nj

nj

nj

nj

Sumando estas dos ecuaciones y cambiando la notación a índices tenemos

Definiendo

(5)

4

,

4

42

211

,

2

2

12

2xO

x

Tx

x

TTT

x

T

tx

ni

ni

ni

tx

(3)

Con (2) y (3) en (1) obtenemos

(4)

2x

ts

Término principal del error

Expresión discreta


obtenemos de (4)

(6)

Este esquema se denomina FTCS (Forward Time Centred Space).

nj

nj

nj

nj sTTssTT 11

1 )21(

n

n+1

j-1 j+1j

Este esquema es de dos niveles (n, n+1). En consecuencia, los valores de T del nivel n deben ser almacenados para poder calcular los valores en el nivel n+1.

9




Precisión FTCS



Aplicación

10Estabilidad FTCS

Hagamos un análisis de estabilidad de von Neumann.

Analicemos el crecimiento de una perturbación. Para ello consideremos que podemos escribir la solución aproximada añadiéndole un error “espontáneo” de manera que la solución a (6) incluya ahora el error en cada nodo j en el tiempo t

njnj

nj TtxTe -, (7)

Tendremos entonces

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj eTseTseTseT 1111

11 21 (8)

Obteniendo al restarle a (8) la ec. (6)

nj

nj

nj

nj seessee 11

1 21 (9)

Luego, la ecuación discretizada de la perturbación es la misma que la de la Temperatura.

11

Estabilidad FTCS

Consideremos que el error se expresa en términos de los componentes de Fourier de esa función y de un factor de amplificación en el tiempo. Luego podemos escribir

donde G se interpreta como el factor de amplificación en el tiempo para esa componente de Fourier. Tendremos que la relación

(11)

(10) )exp( jiGe nnj

GjiGjiG

e

en

n

nj

nj

)exp()exp(11

Luego, si |G|>1 entonces la perturbación crecerá en el tiempo mientras que |G|1 implica que ésta se atenuará. En consecuencia, |G| nos permitirá determinar bajo que condiciones el esquema propuesto es estable.

12

Sustituyendo (10) en (9) tendremos

(12) 1exp

exp211exp)exp(1

jisG

jiGsjisGjiGn

nnn

Estabilidad FTCS

Despejando G de (12) llegamos a

Simplificando

)exp(21)exp( issisG

1expexp211exp)exp( jisjisjisjiG

13

Luego,

isinssisinsG cos21cos

cos121cos221 sssG

Utilizando que

2cos1

22 sin

Estabilidad FTCS

Llegamos a

G es el factor de amplificación del error y su módulo debe ser menor a 1 para que el esquema sea estable.

241 2 ssinG (13)

14

Imponiendo la condición de estabilidad tendremos que

Luego, para todo

Estando la función

(14)

12

41 1 2 ssinG

12

411 2 ssin

12

0 2 sin

Estabilidad FTCS

Llegamos a que, para verificar (14) para todo necesitamos que

(15)21s Condición de estabilidad para el esquema FTCS

15




Precisión FTCS



Aplicación

16

Analicemos el término principal del error

entonces

Precisión FTCS

42

,

4

42

,

2

2

,122

xtOx

Tx

t

TtE

txtx

Puesto que

2

2

x

T

t

T

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

T

xt

T

xx

T

tt

T

tt

T

4

42

2

2

x

T

t

T

(16)

(17)

17

Con (17) en (16) llegamos a:

Precisión FTCS

42

,

4

42

42

,

4

4

22

42

,

4

42

,

4

42

42

,

4

42

,

2

2

,6

1

2

1

,6

1

2

1

,122

,122

xtOx

TsxE

xtOx

T

x

txE

xtOx

Tx

x

TtE

xtOx

Tx

t

TtE

tx

tx

txtx

txtx

(16)

En consecuencia, para s=1/6 el término dominante del error, de orden (Δt,Δx2) se anula y el esquema es preciso en orden (Δt2,Δx4)

18




Precisión FTCS



Aplicación

19Análisis del Error

2

2

x

T

t

T

Consideremos la solución numérica de la ecuación de difusión del calor 1D

utilizando el esquema FTCS, en la situación siguiente:

aislante

aislante

A B

100AT 100BT

1,0 ,0)0,( xxT

cuya solución analítica es:

01.0

1

120

22

12sin12

141

m

tmexmm

TT


25.001.0

1.025.0

22

x

st

Utilicemos s=0.25 y 11 nodos. Entonces tendremos que Δt viene dado por:

Los resultados para t=0,1,2,…10 se ilustran en la gráfica siguiente:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

T

T FTCST exacta A primera impresión, una excelente concordancia

entre la solución numérica (azul) y la exacta (verde) se aprecia en la figura.


0.08261

2

nx

TT

RMS

nx

j

jnumexacta

El error RMS en t=10 es dado por:

En el caso anterior, la contradicción entre la condición inicial (T=0) en todas partes, y la condición de borde fue ignorada. Con la finalidad de darle peso a ambas condiciones, supongamos que en t=0 hacemos:

0.0461

nx

TT

RMS

nx

jjnumexacta

052

0 010

TTT xx

Repitiendo el cálculo anterior obtenemos:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

T

T FTCST exacta


El error RMS se reduce sustancialmente. En consecuencia la imposición más “real” de la condición de borde permite obtener resultados más precisos.Analicemos el efecto de la condición inicial en la tasa de convergencia. Para ello, manteniendo el valor de s constante, consideremos tres mallas, variando la cantidad de nodos en dirección x, de manera que el espaciamiento se reduzca a la mitad de manera sucesiva. Tendremos,

2r

3.2r

Cond. Borde “promedio” presenta:•Mayor precisión•Mayor tasa de convergencia


Examinemos el caso s=1/6 para el cual la precisión esperada es de orden Δx4

2r

9.3r

Únicamente la Cond. Borde “promedio” presenta:•Precisión de orden 4El error cometido al “degradar” la condición de borde se propaga y perturba toda la solución en el tiempo

24




Precisión FTCS



Aplicación

25Ec. de Dif. 1D: Esquema de DuFort-Frankel

La búsqueda de esquemas más precisos en el tiempo llevó a Richardson a plantear el esquema:

222

1111

,2

2xtO

x

TTT

t

TT nj

nj

nj

nj

nj

No obstante, un análisis de estabilidad de von Neumman muestra que este esquema es incondicionalmente inestable para s>0.Sin embargo, un esquema estable, conocido como DuFort-Frankel puede ser obtenido si se sustituye

2

11

nj

njn

j

TTT

(17)

(18)

en (17) para obtener

2

111

111

2 x

TTTT

t

TT nj

nj

nj

nj

nj

nj


Esta expresión, con la definición de s puede ser escrita como:

(19)

El esquema Dufort-Frankel es un esquema de tres niveles en el tiempo a menos que s=1/2.

111

1

2121

212

n

jnj

nj

nj T

ss

TTs

sT

n

n+1

j-1 j+1jn-1

En consecuencia, (a)dos niveles de tiempo deben ser almacenados (n, n-1) para calcular el nivel siguiente (n+1) y,(b)mucho cuidado debe tenerse en el cálculo del primer nivel.


Un análisis de estabilidad muestra que en el caso del esquema de DuFort-Frankel, el factor de amplificación del error es:

s

ssG

21

sin41cos2 22

En consecuencia, este esquema es estable para cualquier valor de s.Adicionalmente, el término principal del error se escribe como:

(20)

(21)

Por lo que el esquema es de orden Δx4 cuando s=(1/12)1/2.

4

422

12

1

x

TsxE


A pesar de las bondades del esquema de DuFort-Frankel (explícito, independencia del valor de t, alta precisión espacial), debe tenerse cuidado en su utilización. Un análisis de consistencia (sustitución de la expansión de la solución exacta en serie de Taylor alrededor del nodo j,n lleva a:

En consecuencia, para consistencia del esquema con la ecuación diferencial

(22) 0, 222

22

2

2

xtOtT

xt

xT

tT

n

j

0

xt

cuando x 0 y t 0, debemos garantizar que

xt


De la definición de s podemos ver que:

En problemas de difusión esperamos que s sea O(1) por lo que el esquema será poco preciso si st es grande.Luego la restricción en el paso de tiempo del esquema de DuFort-Frankel está relacionada mas con la consistencia y precisión que con la estabilidad del esquema.

(23)tsxt

txt

xt

s

2

2

2

2

2

1

30




Precisión FTCS



Aplicación

31

AplicacionesEjercicio 1:Obtenga las tendencias de los resultados mostrados para el esquema FTCS con s=0.30 y 0.41.Usted utilizará estos resultados para compararlos con los obtenidos en el ejercicio 2.

32

AplicacionesEjercicio 2:Realice el análisis de la tasa de convergencia del esquema de DuFort-Frankel considerando la ecuación de difusión del calor para una barra 1D, con temperatura T=100 en los bordes, entre los instantes t=2 y t=10, imponiendo la condición inicial a partir de la solución analítica :

•Grafique el error RMS y DIF en función del tiempo con s=0.25, s=(1/12)1/2, s=0.30 y s=0.41 y compare con FTCS.

•Estudie el efecto de incrementar el paso de tiempo para una malla con espaciamiento espacial fijo.

1

120

22

12sin12

141

m

tmexmm

TT

nx

TT

DIF

nx

jj

nn

1

21

33

AplicacionesEjercicio 3:Consideremos el flujo que se origina por la oscilación armónica de una placa infinita paralelamente al plano que la contiene, con las condiciones

Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a

La solución analítica viene dada por:

x

y)cos(),0( tUtu

2

2

y

u

t

u

finitatyu ),(

ytUetyu

yn

2cos),( 2

34

AplicacionesEjercicio 3:Resuelva numéricamente este problema utilizando el esquema FTCS, considerando los siguientes valores:

U=1; = 10; =1; Δt=0.003; Δy=0.4; tmax=20;

a)Determine la influencia de la ubicación de la frontera y= en el error RMS para t=1

b)Calcule Δt a partir de la condición de estabilidad y determine el valor RMS del error para t=1 para s=0.25 y s=(1/12)1/2

c)Grafique el valor del error del esfuerzo cortante en la pared (suponga =1) para tres mallas distintas con Δy=0.4; 0.8 y 1.6.

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