Upload
shaw
View
360
Download
30
Embed Size (px)
DESCRIPTION
SETENGAH PUTARAN. PADA HAKEKATNYA SETENGAH PUTARAN ADALAH BENTUK KHUSUS DARI PERPUTARAN, NAMUN ADA SIFAT-SIFAT TERTENTU SEHINGGA LEBIH BAIK DIBAHAS DALAM BAHASAN TERSENDIRI. KEKHUSUSAN-NYA ANTARA LAIN 1. SETENGAH PUTARAN MERUPAKAN INVOLUSI, - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
SETENGAH PUTARAN
PADA HAKEKATNYA SETENGAH PUTARAN
ADALAH BENTUK KHUSUS DARI PERPUTARAN,
NAMUN ADA SIFAT-SIFAT TERTENTU SEHINGGA
LEBIH BAIK DIBAHAS DALAM BAHASAN
TERSENDIRI.
KEKHUSUSAN-NYA ANTARA LAIN1. SETENGAH PUTARAN MERUPAKAN INVOLUSI,
2. DAPAT DIPANDANG SEBAGAI PENCERMINAN TERHADAP TITIK, 3. GESERAN DAPAT DINYATAKAN DALAM HASILKALI DUA SETENGAN PUTARAN
DEFINISI SETENGAH PUTARAN
• Setengah putaran terhadap titik P (dengan pusat P ) , dilambangkan dengan HP, adalah pemetaan yang memenuhi: untuk sebarang titik A di bidang V
• HP(A) = A , jika A=P• = B , dengan P titik tengah AB , jika A tidak sama dengan P.
. Rumus Aljabar dari Setengah Putaran.
• Misalkan P(a,b) dan HP memetakan A(x,y) ke A’(x’,y’). Berdasarkan definisi, P merupakan titik tengah AA’
• sehingga diperoleh :
Jadi x’ = -x + 2a dan y’ = -y + 2b• Atau
2y'y
bdan 2
x'x a
b
a
y
x
y
x2
'
'
BEBERAPA TEOREMA
Setengah putaran merupakan suatu involusi.
Sehingga HHIH P1-Patau
2P
Teorema : Setengah putaran adalah isometri.
Teorema : Untuk sebarang garis g dan setengah putaran HP , berlaku HP(g)//g
Misal P(a,b) .Ambil sebarang garis g pada bidang V. Misal g : px + qy +c = 0. Dan g’=HP(g).Untuk sebarang titik A(x,y) berdasarkan definisi setengah putaran diperoleh hubungan antara A(x,y) dan A’(x’,y’)=HP(A) sebagai x=-x’+2a dan y = -y’+2b.
Sehingga diperoleh g’ : p(-x’+2a)+q(-y’+2b)+c=0 atau
g’:-px-qy+(2ap+2bq+c)=0.
Tampak bahwa gradien garis g’ sama dengan
gradien garis g. Dapat disimpulkan bahwa g’//g.Jadi terbukti Untuk sebarang garis g dan setengah putaran HP , berlaku HP(g)//g.
.
• Teorema : Satu-satunya titik tetap dalam HP adalah titik P, sedangkan garis-garis tetapnya adalah semua garis yang melalui P.
• Teorema : Hasil kali dua setengah putaran adalah suatu geseran. Jika B titik tengah AC, maka HBHA=SAC=HCHB.
• Teorema : • Untuk tiga titik A,B, dan C yang tidak segaris, berlaku HCHBHA=HD dengan |AD|=|BC|.
Misalkan l : px+qy+c=0 merupakan garis tetap.
Sedangkan l’: px + qy - (2ap+2bq+c) = 0.
Agar l merupakan garis tetap haruslah
-(2ap+2bq+c)=c atau 2ap+2bq+2c=0 .
Ini berarti garis l melalui titik P.
Jadi agar l merupakan garis tetap haruslah
melalui P.
Jadi garis tetapnya adalah semua garis
yang melalui P.
.
A
B
C
P’
P
P”
AD
F
ECB
A
B
C
P’
P
P”
AKAN DIBUKTIKAN HBHA SUATU GESERAN
Berdasarkan definisi geseran | PA| =| P’A| , dan
| P’B| =| P”B| . Jadi dalam segitiga P’PP”, AB adalah garis
tengah yang sejajar dengan PP”, yang berarti
| PP”| =2| AB| . Jadi PP”/ / AB dan | PP”| =2| AB| . Karena P
,A, dan B sebarang maka terbukti bahwa HBHA= SCD dengan
CD/ / AB dan | CD| =2| AB| .
Jadi terbukti Hasil kali dua setengah putaran adalah
suatu geseran.
A
B
C
D
E
F
HCHB = SBE dengan | BE| =2| BC|
= SAF dengan | AF| =| BE| = 2| BC|
= HDHA dengan AD = ½ | AF| = | BC|
Akibatnya kita punya
HCHBHA = HDHAHA
= HDI
= HD dengan | AD| = | BC| .
• Akibat : Hasil kali geseran dan setengah putaran adalah suatu setengah putaran.
• Teorema : Untuk sebarang tiga titik A, B, dan C berlaku HCHBHA=HAHBHC.
Menurut teorema sebelumnya, terdapat titik D
sedemikian sehingga
HCHBHA = HD
= HD1
= (HCHBHA)-1
= HCHBHA111
= HCHBHA
• Terbukti HCHBHA=HAHBHC.
.•
• Diketahui lingkaran L, titik P dan garis g seperti terlihat di bawah ini.
Lukis garis h yang memotong L di A dan g di B sehingga P merupakan titik tengah A dan B
L
.P
g
. P
A
B
A
B
h
h
g
g’
Lukis HP(g)= g’ . Diperoleh g’//g dan g’ memotong L di A1 dan A2.Selanjutnya garis A1P=h1 dan A2P=h2 adalah garis yang Ditanyakan.Karena jika A1P memotong g di B, maka P adalah titik tengah A1 B.
Diketahui lingkaran L dengan tali busur AB dan CD . Misalkan S suatu titik tertentu pada CD.Lukislah titik P pada L dengan AP dan BP berturut-turut memotong CD di E dan F sedemikian sehingga S titik tengah EF.
S
C
D
A B
L
.
S
C
D
AB
L
.
KEADAAN AWAL
A’
GAMBAR SEAKAN MASALAH TELAH TERSELESAIKAN
S
C
D
A B
L
.
P
E
F
Andaikan titik P telah dapat terlukis. Dengan setengah putaran terhadap S, AP menjadi A’P’=HS(AP). Ini belum dapat terealisir karena P belum didapat. Tetapi A’ sudah dapat dilukis dan dapat diketahui bahwa A’P’ melalui F ( karena AP melalui E).
Pada segitiga A’BF dapat diketahui A’B dan m(<F) = m(<P) = ½ busur AB=besar sudut keliling lingkaran terhadap busur AB. Maka dapat dicari tempat kedudukan titik F dalam segitiga A’BF yang berupa lingkaran. Kemudian titik potong lingkaran itu dengan CD adalah titik F yang dicari, karena BF memotong L di titik P yang diminta. Dengan demikian dapat diketahui urutan cara melukis P.
1. Lukis A’=HS(A).
2. Lukis tempat kedudukan F dalam segitiga A’BF, yaitu lingkaran L1.
3. L1 memotong CD di F.
4. BF memotong L di P yang dicari.
1. Diketahui lingkaran L dengan persamaan (x-2)2+(y+1)2=9, titik P=(7, -
5) dan garis g dengan persamaan x – y = 10.
Dapatkah dibuat garis h yang memotong L di A dan g di B sedemikian
sehingga P titik tengah AB? Jika bisa dibuat tentukan koordinat titik A
dan B.
2. Diberikan dua lingkaran L1 dan L2 masing-masing mempunyai
persamaan L1 (x+3)2+(y-3)2=9, L2 (x-8)2+y2=36 ,dan garis g x+y= -
4. Tentukan persamaan garis h yang sejajar g dan koordinat titik-titik
A, B di L1 dan C,D di L2 sedemikian sehingga h memotong L1 di titik
A dan B, serta memotong L2 di titik C dan D dengan syarat |AB|=|CD|.
3. Diberikan dua titik A=(-8,10) dan B=(1,-11) serta dua garis s: 2x-y = 3,
t: y=2x-2. Tentukan jarak terpendek dari A dan B, dengang syarat
jalur yang memotong kedua garis s dan t harus tegak lurus terhadap
garis-garis tersebut.