VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

Seventh Edition

Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

Ders Notu:Hayri ACARİstanbul Teknik Üniveristesi

Tel: 285 31 46 / 116E-mail: acarh@itu.edu.trWeb: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

2. MADDESEL NOKTALARINSTATİĞİ

DÜZLEM KUVVETLER SİSTEMİ

• KUVVET VEKTÖREL BİR BÜYÜKLÜKTÜR

θ

y

x

F

F

• UYGULAMA NOKTASI

• ŞİDDETİ

• YÖNÜ

BİLİNMESİ GEREKENLER

F3

F2

F1

θ1

θ2

θ3

VEKTÖR ÖZELLİKLERİ

NEGATİF VEKTÖR:

TOPLAMA:

F1

F2

F3

- F1 + F2 + F3 = F4

F4

F1

F2

F3

= F4

TESİR ÇİZGİSİ AYNI OLAN VEKTÖRLERİN TOPLANMASI:

F1

F2 F3

x

y

z

y

x

F1

F2F3F4

F5

AYNI NOKTAYA TESİR EDEN VEKTÖRLERİN TOPLANMASI:

y

x

F1

F2F3

F4

F5

y

x

F

FFFFFFrrrrrr

=++++ 54321

PARALEL KENAR YASASI:

toplamaçıkarma

COSİNÜS TEOREMİ:

P

Q

αP

Qβ

γ

180 - α

R2 = P2 + Q2 – 2PQCos(180-α)

R2 = P2 + Q2 + 2PQCos(α)

SİNÜS TEOREMİ:αβγ sinsinsin

RQP==

α

İKİDEN FAZLA VEKTÖRÜN TOPLANMASI

VEKTÖRLERİN TOPLANMASI

Şekildeki somuna A noktasından iki kuvvet etkimektedir. Bu kuvvetlerin bileşkesini bulunuz.

Örnek Problem 2.1

• Grafik çözüm - paralelkenar yöntemi:

• Trigonometrik çözüm – cos ve sin teoremleri:

°== 35N 98 αR

°== 35N 98 αR

α) α = 45o olduğu durumda her iki halattaki kuvveti,

b) 2 nolu halattaki kuvvetin minimum olması için α açısını bulunuz.

Şekildeki mavna iki römorkör ile çekilmektedir. Römorkörlerin uyguladığı kuvvetin bileşkesi 5000 N ise

Örnek Problem 2.2

• Grafik çözüm – Paralelkenar yöntemi

NTNT 26003700 21 ==

• Trigonometrik çözüm – Sinüs kuralı

°=

°=

° 105sin5000

30sin45sin21 NTT

NTNT 25903660 21 ==

5000 N

5000 N

(a)

• 2. halattaki minimum kuvvet için üçgen kuralı kullanılarak değişik α açıları için çözüm yapılır:

(b)

• 2. halattaki minimum kuvvet T1 ve T2birbirine dik olduğu zaman oluşur:

( ) °= 30sin50002 NT NT 25002 =

( ) °= 30cos50001 NT NT 43301 =

°−°= 3090α °= 60α

5000 N

5000 N

Fxθ

Fy

Fx = F cos θ

Fy = F sin θ

y

x

F

Fx

θ

Fy

y

x

F

BİR KUVVETİN DİK BİLEŞENLERİNE AYRILMASI

F = (Fx, Fy) = Fx i + Fy j

F = (Fx2 + Fy

2)1/2

Tan θ = Fy / Fx

F1 = F1x i + F1y j

F2 = F2x i + F2y j

Fn = Fnx i + Fny j

R = (ΣFix i)0n+ (ΣFiy j)0

n = 0

Rx = (ΣFix)

F3

F2

F1

F1 cos θ1

F2 cos θ2

F3 cos θ3

F1 sin θ1

F2 sin θ2

F3 sin θ3

Ry = (ΣFiy)

F3

F2

F1

F1 cos θ1

F2 cos θ2

F3 cos θ3

F1 sin θ1

F2 sin θ2

F3 sin θ3

F1 cos θ1F3 cos θ3

x

Fx = F1 cos θ1 + F2 cosθ2 + F3 cosθ3

F3

F2

F1

F1 cos θ1

F2 cos θ2

F3 cos θ3

F1 sin θ1

F2 sin θ2

F3 sin θ3

F1 sin θ1

F2 sin θ2

F3 sin θ3

y

Fy = F1 sinθ1 + F2 sinθ2 + F3 sinθ3

F = (Fx2 + Fy

2 )1/2

θ = tan -1 (Fy / Fx )

MADDESEL NOKTANIN DENGESİ

ΣM = 0 (moment)

Σ F = 0 (kuvvet)

F1 = F1x i + F1y j

F2 = F2x i + F2y j

Fn = Fnx i + Fny j

R = (ΣFix i)+ (ΣFiy j) = 0

(ΣFix) = 0

(ΣFiy) = 0

Şekildeki somuna A noktasında dört kuvvet etkimektedir. Bileşke kuvveti bulunuz.

Örnek Problem 2.3

Her kuvvetin dik bileşenleri hesaplanır:

9.256.961000.11001102.754.27800.759.129150

4

3

2

1

−+−+−++

−−

FFFF

bilybilxşidkuvvet

r

r

r

r

1.199+=xR 3.14+=yR

22 3.141.199 +=R N6.199=R

• Bileşkenin şiddeti ve yönü:

N1.199N3.14tan =α °= 1.4α

Parçacıkların Dengesi• Parçacığa etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise parçacık dengededir.

• Parçacığa iki kuvvet etkiyor :- eşit şiddetli - aynı tesir çizgisi - zıt yönlü

• Parçacık ikiden fazla kuvvet etkisi altında: - grafik çözüm zorlaşır.- cebirsel çözüm uygundur.

000

==

==

∑∑∑

yx FFFRrr

• Newton’un 1. Kanunu: Bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık başlangıçtaki hareketini korur. Dengede ise dengede kalır, belirli bir hızı varsa aynı hızda devam eder.

Serbest Cisim Diyagramı

Uzay Diyagramı: Problemin fiziksel durumunu gösteren resim

Serbest Cisim Diyagramı: Seçilen elemana etkiyen kuvvetleri gösteren çizim.

Bir gemiye araç yüklemesi sırasında 3500 N’luk bir araba kablolar ile kaldırılmaktadır. AC kablosundaki kuvveti bulunuz.

Örnek Problem 2.4

°=

°=

° 58sin3500

2sin120sinNTT ACAB

NTAB 3570=

NTAC 144=

Serbest cisim diyagramı

3500 N

3500 N

Bir botun sürükleme kuvvetinin hesaplanabilmesi için su kanalı kullanılmaktadır. Bot 3 kablo ile desteklenmiştir. AB kablosunda 40 N, AE kablosunda ise 60 N kuvvet oluştuğu biliniyorsa, botun sürüklem kuvvetini ve AC kablosundaki kuvveti bulunuz.

Örnek Problem 2.6

7 m 1.5 m

4 m

4 mAkış

Botun serbest cisim diyagramı:

°=

==

25.60

75.1m 4m 7tan

α

α

°=

==

56.20

375.0m 4m 1.5tan

β

β

• Denge için kuvvet toplamının sıfıra eşit olması gerekir:

0=+++= DAEACAB FTTTRrrrrr

7 m 1.5 m

4 m

4 mAkış

40 N

60 N

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( ) jT

iFTR

iFF

jT

jTiT

jTiTT

jijiT

AC

DAC

DD

ACAC

ACACAC

AB

r

r

r

rr

rr

rr

rrr

rr

rrr

609363.084.19

3512.073.340

N 06

9363.03512.0

56.20cos56.20sin

N 84.19N 73.3426.60cosN 4026.60sinN 40

−++

++−=

=

=

−=

+=

°+°=

+−=

°+°−=

(60 N)

(40 N)

(40 N)

42.9 N

40 N

19.66 N

60 N

( )( ) jT

iFTR

AC

DACr

r

r

609363.084.193512.073.34

0

−++

++−=

=

( )( ) 609363.084.1900

3512.073.3400−+==

++−==

∑∑

ACy

DACxTF

FTF

N 66.19N 9.42

+=+=

D

AC

FT

42.9 N

40 N

19.66 N

60 N

B C

AA

A A

RABRAC

WA

A

B

RBC

RBX

RBY

A

C

RCX

RCY

RBC

WCWB

Serbest Cisim Diyagramları

Uzayda Dik Bileşenler

• Vektör OBACdüzlemindedir.

yy FF θcos=

yh FF θsin=

• Yatay bileşenlerin dik bileşenleri

φθ

φ

φθφ

sinsin

sin

cossincos

y

hy

y

hx

F

FF

FFF

=

=

==

• Düşey ve yatay bileşenleri:

• F vektörünün dik eksenlerle yaptığ açı biliniyorsa:

( )

kji

F

kjiF

kFjFiFF

FFFFFF

zyx

zyx

zyx

zzyyxx

rrrr

r

rrr

rrrr

θθθλ

λ

θθθ

θθθ

coscoscos

coscoscos

coscoscos

++=

=

++=

++=

===

• tesir çizgisi üzerindeki birim vektördür.λr

zyx ve θθθ cos cos,cos : doğrultman cosinüsleri

λ (Şiddet=1)

Tesir çizgisi üzerindeki iki nokta ile tanımlanan kuvvetin yönü

( ) ( )222111 ,, ve,, zyxNzyxM

( )

dFdF

dFd

Fd

FdF

FF

kdjdidd

zzdyydxxd

kdjdidd

zz

yy

xx

zyx

zyx

zyx

===

=

++=

−=−=−=

++=

λ

λrr

rrrr

rrrr

1

121212

Noktalar

M ve N noktalarını birleştiren vektör