of 62/62
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU SEVIDŽOVA TEORIJA ODLUČIVANJA MASTER RAD Mentor: Student: Prof. dr Miroslav Ristić Milena Dekić Niš, 2017.

# SEVIDŽOVA TEORIJA ODLUČIVANJA - pmf.ni.ac.rs · 1.2 Istorijski osvrt Matemati čko zasnivanje teorije odlu čivanja, po činje još u osamnaestom veku, kada Danijel Bernuli objavljuje

• View
0

0

Embed Size (px)

### Text of SEVIDŽOVA TEORIJA ODLUČIVANJA - pmf.ni.ac.rs · 1.2 Istorijski osvrt Matemati čko zasnivanje...

• UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

SEVIDŽOVA TEORIJA ODLUČIVANJA

Mentor: Student:

Prof. dr Miroslav Ristić Milena Dekić

Niš, 2017.

• 2

Glava 1 ........................................................................................................................................... 4

Relacija preferencije ..................................................................................................................... 4

1.1 Uvod ...................................................................................................................................... 4

1.2 Istorijski osvrt ........................................................................................................................ 4

1.3 Osnovni pojmovi ................................................................................................................... 5

1.4 Relacija preferencije .............................................................................................................. 9

1.5 Princip sigurne odluke ......................................................................................................... 11

Glava 2 ......................................................................................................................................... 16

Subjektivna verovatnoća ............................................................................................................ 16

2.1 Uvod .................................................................................................................................... 16

2.2 Kvalitativna subjektivna verovatnoća ................................................................................. 17

2.3 Kvantitativna subjektivna verovatnoća ............................................................................... 19

2.4 Uslovna verovatnoća ........................................................................................................... 21

2.5 Pristup sigurnosti kroz iskustvo .......................................................................................... 26

2.6 Komentari vezani za subjektivnu verovatnoću ................................................................... 29

Glava 3 ......................................................................................................................................... 30

Korisnost ...................................................................................................................................... 30

3.1 Uvod .................................................................................................................................... 30

3.2 Lutrijski lozovi .................................................................................................................... 31

3.3 Preferencije između lutrijskih lozova .................................................................................. 38

3.4 Funkcija korisnosti na uopštene akcije ............................................................................... 42

3.5 Komentari i primeri vezani za funkciju korisnosti .............................................................. 48

Glava 4 ......................................................................................................................................... 53

Posmatranje ................................................................................................................................. 53

4.1 Uvod .................................................................................................................................... 53

4.2 Osnovni pojmovi ................................................................................................................. 53

4.3 Višedimenzionalno posmatranje ......................................................................................... 55

Literatura..................................................................................................................................... 61

Biografija ..................................................................................................................................... 62

• 3

Koristim priliku da se na ovom mestu najsrdačnije zahvalim svom mentoru

profesoru Miroslavu Ristiću na strpljenju, razumevanju i stručnim savetima koji su

znatno poboljšali kvalitet ovog master rada.

Takođe, veliku zahvalnost dugujem svojoj porodici, posebno roditeljima koji su

uvek bili podrška i oslonac ne samo tokom studiranja već i tokom čitavog

školovanja.

• 4

Glava 1

Relacija preferencije 1.1 Uvod

Teorija odlučivanja se kao što samo ime kaže, bavi problemom donošenja odluka. Statistička teorija odlučivanja se bavi donošenjem odluka koristeći znanja matematičke statistike. Teorija odlučivanja razmatra situacije u kojima neka osoba bira između više raspoloživih mogućnosti. Rezultat odlučivanja je odluka.

Razmotrimo sledeći primer. Neka farmaceutska kompanija treba da odluči da li da na tržištu plasira novi lek protiv bolova ili ne. Mnogo faktora utiče na donošenje odluke od kojih su neki: procenat ljudi koji bi zaista koristili taj lek, odnosno kome je lek neophodan, zatim ciljna grupa ljudi kod kojih bi lek delovao pozitivno, procenat tržišta na kojem će se lek naći itd. Parametri, kao što su procenat ljudi, tržišta, ciljna grupa, u opštem slučaju su nepoznati, a neke informacije o njima se dobijaju pomoću eksperimenata. Ovo je tipičan primer teorije odlučivanja.

Ovaj rad predstavlja teoriju o osnovama matematičke statistike koja je bazirana na subjektivnoj verovatnoći. Takođe, u narednim delovima izučavaće se apstraktna teorija ponašanja osobe koja je suočena sa nekom vrstom neizvesnosti prilikom donošenja odluka. Izučavaće se tzv. Sevidžova teorija odlučivanja i biće razmatran aksiomatski pristup konstrukcije relacije preferencije i funkcije korisnosti.

1.2 Istorijski osvrt

Matematičko zasnivanje teorije odlučivanja, počinje još u osamnaestom veku, kada Danijel Bernuli objavljuje uticajni rad u kome razmatra čuveni St.Petersburški paradoks. Jakob Bernuli

• 5

definiše verovatnoću kao stepen subjektivnog uverenja o realizaciji posmatranog događaja. Oživljavanjem teorije subjektivne verovatnoće, koje je nastalo iz rada Bruna de Finetija i Leonarda Sevidža, proširena je teorija korisnosti u smislu da se subjektivna verovatnoća koristi prilikom izrade teorije korisnosti.

U ovom radu se razmatraju dve definicije verovatnoće: objektivna i subjektivna definicija verovatnoće.

- Objektivna definicija verovatnoće se zasniva na mogućnosti neograničenog ponavljanja eksperimenta. Na primer, ako se kaže da je verovatnoća da padne pismo prilikom bacanja

fer novčića jednaka �� , to znači da će se posle dugog niza nezavisnih bacanja novčića

pismo pojaviti u 50% ponavljanja eksperimenta. Rezultati koje imamo, dobijamo isključivo posmatranjem, odnosno eksperimentalnim putem.

- Subjektivna definicija verovatnoće oslikava lično (subjektivno) uverenje (stav) pojedinca o mogućnosti da će se neki događaj realizovati. Ideja je prirodna, s obzirom na to da je uobičajeno da procenjujemo verovatnoću realizacije nekog događaja, na primer da će određeni student naredni ispit da položi, na osnovu raspoloživih informacija koje u tom trenutku imamo.

1.3 Osnovni pojmovi

Odluke prožimaju život svakog pojedinca. Sa gledišta teorije odlučivanja nije bitno da li je “osoba“ koja vrši izbor pojedinac, država, kompanija ili nešto drugo. Odlučivanje predstavlja sposobnost odvajanja bitnog od nebitnog. Svrha ovog rada i matematičke statistike uopšte je da se nađu obrazloženja za donošenje odluka. Obrazloženja su obično povezana sa logikom, ali logika slabi kada se suoči sa neizvesnošću. Neizvesnost se javlja kada nisu poznati uslovi pod kojima će se dati događaj realizovati, a osoba mora doneti odluku.

U narednim delovima izgrađuje se formalni model ili šema od situacije u kojoj se osoba suočava sa neizvesnošću. Uvodimo sledeću nomenklaturu:

TABELA 1

TERMIN DEFINICIJA PREDMET POSMATRANJA Predmet o kojem osoba razmišlja. STANJE Objašnjenje predmeta posmatranja.

• 6

Pri primeni teorije nameće se pitanje koji predmet uzeti za razmatranje? U tom smislu razmotrimo sledeći primer.

Primer 1.3.1 Pred osobom se nalazi kutija bombona. Ona nije sigurna da li su sve bombone istog ukusa ili postoji neka bombona koja je različitog ukusa.

Ovde je pitanje da li će predmet posmatranja biti jedna bombona ili cela kutija bombona? Međutim, često pojednostavljenje predstavlja prednost koja je vrlo značajna.

Iz ovog primera moguće je da je jedna bombona razlicitog ukusa ili više njih da su različite, ali može se desiti da su sve istog ukusa, odnosno da nema razlike među njima.

Definicija 1.3.1 Događaj je skup stanja.

Postoje dva događaja koje je potrebno posebno napomenuti. Univerzalni događjaj kojeg označavamo sa Ω i sadrži sve moguće ishode posmatranog eksperimenta i nemoguć događaj kojeg označavamo sa Ø, dakle to je prazan skup. U naredne tri tabele uvedene su oznake za osnovne pojmove, relacije i konstrukcije koje ćemo sve koristiti.

TABELA 2

OSNOVNI TERMINI DEFINICIJA Skup Događaj A, B, C, … Simboli (oznake) za događaje sʹ, sʹʹ, sʹʹʹ, … Oznaka za stanja Ω Univerzalni događaj Ø Nemoguć događaj

TABELA 3

RELACIJE DEFINICIJA s ∈ A S je element iz A, stanje u A A ⊂ B A je sadržano u B, svaki element iz skupa A

ujedno je element i skupa B A = B A i B su jednaki, imaju iste elemente

• 7

TABELA 4

KONSTRUKCIJE DEFINICIJA A ͨ ( komplement događaja ) Elementi koji su u Ω, a nisu u A

A ∪ B ( unija događaja A i B ) Oni elementi iz Ω koji su u A ili u B, moguće je da budu i u oba

� ���

Unija događaja Ai

A ∩ B ( presek događaja A i B ) Zajednički elementi u A i B

��

� Presek događaja Ai

Definicija 1.3.2 Akcija je funkcija koja svakom stanju pridružuje posledicu.

Pri sprovođenju neke akcije u delo bićemo suočeni sa posledicom.

Definicija 1.3.3 Odluka predstavlja izbor između jedne ili više akcija.

Skup svih mogućih posledica označavaćemo sa F, dok ćemo svaku posledicu pojedinačno označavati sa f, g, h, … Skup svih akcija dostupnih u datoj situaciji biće označen sa F, dok će oznaka za akcije biti f, g, h. Dakle, f označava akciju, odnosno funkciju koja stanju s pridružuje posledicu f (s).

Ako bi pri sprovođenju dveju različitih akcija imali istu posledicu za svako stanje, onda ne bi imalo smisla razmatrati dve različite akcije uopšte, jer za koju god akciju da se odlučimo bićemo suočeni sa istom posledicom, nezavisno od izbora akcije. Akcija bi se stoga mogla identifikovati sa svim svojim mogućim posledicama. Ukoliko bismo na primer imali dve “ekvivalentne” akcije za istu situaciju, onda bi one dovele do iste posledice. Sledeća dva primera objašnjavaju pojam stanja, posledice i akcije, koji su prethodno bili uvedeni.

Primer 1.3.2 Zemljoradnik treba da donese odluku koju će vrstu voća da zasadi naredne godine. Bira između malina, kupina i lubenica na osnovu planiranih dobiti u slučaju triju vremenskih uslova: loši, dobri i izuzetni vremenski uslovi. Planirane dobiti na uloženih milion dinara zajedno sa vrstom voća i vremenskim uslovima predstavljene su tabelom 5. Negativna vrednost u tabeli ukazuje na gubitak.

• 8

TABELA 5 Vremenski uslovi

Vrsta voća Loši Dobri Izuzetni

Malina -0,7 2,5 3,0

Kupina -0,5 2,0 3,5

Lubenica -0,2 1,6 2,4

U ovom primeru stanja bi bili vremenski uslovi, akcije bi bile izbor sadnje jednog od tri voća, dok bi posledice bile dobiti sa tih parcela na kojima bi voće bilo zasađeno. Odnosno, stanja možemo predstaviti na sledeći način:

s1- loši vremenski uslovi, s2- dobri vremenski uslovi,

s3- izuzetni vremenski uslovi. Akcije u ovom primeru možemo označiti na sledeći način:

f3- “sadnja lubenica”. Kako su posledice dobiti sa parcela na kojima je voće zasađeno, na osnovu tabele imaćemo:

f1(s1) = -0,7, …, f3(s3) = 2,4. Primer 1.3.3. Osoba treba da izabere jednu od dveju akcija, sa mogućim stanjima i posledicama: (pada kiša) nije pokisao, nosi kišobran akcija 1 poneti kišobran (sunčano) nije pokisao, nosi kišobran (pada kiša) pokisao akcija 2 ostaviti kišobran kod kuće (sunčano) nije pokisao.

Dakle, u ovom primeru postoje dve akcije. Sa f označićemo akciju “poneti kišobran”, sa g označićemo akciju “ostaviti kišobran”. Postoje dva stanja: s1- “pada kiša” i s2- “sunčano”. Moguće su tri posledice: f – pokisao, g – nije pokisao i h – nije pokisao, nosi kišobran.

• 9

1.4 Relacija preferencije

Preferencija predstavlja sklonost prema nekome ili nečemu. Navodimo sada definiciju relacije preferencije.

Definicija 1.4.1 Relacija preferencije predstavlja davanje prednosti nekome ili nečemu, odnosno davanje prvenstva nekome ili nečemu.

Posmatramo skup svih mogućih akcija F i pretpostavimo da u njemu ima više dostupnih akcija. Izbor akcije se ne sprovodi tako što se sve akcije međusobno upoređuju, jer među njima ima onih koje više preferiramo, pa one koje manje preferiramo nećemo uzeti u razmatranje. Takođe može se desiti da postoje i neke ekvivalentne akcije, te u tom slučaju ne posmatramo sve akcije, već samo jednu od tih ekvivalentnih akcija. To možemo i formalno iskazati na sledeći način:

Prilikom izbora između dveju akcija f i g moguće je da osoba više preferira akciju f nego akciju g.

Ovo bi značilo da ukoliko osoba mora da bira između akcija f i g i ako nijedna druga akcija nije prihvatljiva, ona će se odlučiti za akciju f. Međutim, može se desiti da se ne može izdvojiti jedna akcija koja je “poželjnija “ od druge, odnosno osoba se ne može odlučiti ni za jednu od postojećih akcija. Bilo da su sve akcije podjednako poželjne ili čak da nijedna ne odgovara, razlozi dakle nisu bitni, suština je da se ne može napraviti izbor jer ne postoji nikakva prednost među datim akcijama. U tom slučaju osoba je zapravo indiferentna prilikom izbora akcija, odnosno smatra date akcije ekvivalentnim u smislu njihovog izbora.

Usvajamo termin ʺ nije preferiranije ( poželjnije ) od ʺ , tako da umesto da kažemo da je f preferiranije (poželjnije ) od g, možemo reći da g nije preferiranije (poželjnije ) od f.

Zahtevaćemo da važi da ako f ne preferiramo više od g i g ne preferiramo više od h, onda je nemoguće da f preferiramo više od h. Navodimo sledeću definiciju.

Definicija 1.4.2 Relaciju ≤· između elemenata nekog skupa F zovemo jednostavno uređenje ako i samo ako za svako x, y, z iz F:

1. važi x ≤· y ili y ≤· x, 2. ako je x ≤· y i y ≤· z onda je x ≤· z.

• 10

Uvodimo sledeću aksiomu.

P1 Relacija ≤ je jednostavno uređenje na skupu dostupnih akcija.

Aksioma P1 bi zapravo značila da je relacija ≤ kompletna i tranzitivna na skupu akcija. Kompletnost nam omogućava da upoređujemo svake dve akcije iz skupa F, dok bi tranzitivnost značila da se u potpunosti mogu upoređivati sve akcije. To su neophodne osobine koje su nam potrebne da bismo dokazivali buduće teoreme, a kako aksiomatski zasnivamo pristup konstrukcije relacije preferencije, od izuzetne važnosti su pomenute osobine. Iz aksiome P1 proizilazi sledeća teorema.

Teorema 1.4.1 Ako je F konačan skup akcija, tada postoje akcije f i h iz F takve da za svaku akciju g iz F važi

f ≤ g ≤ h.

Dokaz: Kako iz aksiome P1 imamo da je relacija ≤ jednostavno uređenje među akcijama, iz definicije 1.4.2 imamo da važi osobina kompletnosti i osobina tranzitivnosti. Neka su f, g, h akcije iz F. Zbog kompletnosti i tranzitivnosti možemo upoređivati ove akcije, odnosno možemo iz aksiome P1 uporediti sve akcije koje manje preferiramo od g i koje više preferiramo od g, pa će važiti da je f ≤ g ≤ h. ∎ Ovu teoremu bismo mogli da shvatimo na takav način da uvek postoji najmanje poželjna i najviše poželjna akcija iz celog skupa akcija, tj. uvek možemo izdvojiti najmanje preferiranu akciju (f) i najviše preferiranu akciju (h).

Navodimo tabelu relacija koje su nastale iz relacije ≤ .

TABELA 6

NOVA RELACIJA DEFINICIJA f ≥ g g ≤ f f < g ne važi g ≤ f f > g g < f f ≡ g f ≤ g i g ≤ f

g je između f i h f ≤ g ≤ h ili h ≤ g ≤ f

• 11

Postoje dve različite vrste interpretacija koje se mogu izvesti iz aksiome P1. Prva interpretacija se zove empirijska i možemo je shvatiti kao predviđanje u ponašanju ljudi prilikom odlučivanja, odnosno ako osoba bira između nekih akcija, moguće je da jedna od njih bude “poželjnija” u odnosu na drugu ili da osoba bar bude indiferentna u odnosu na izbor jedne od njih (kada su neke akcije ekvivalentne među sobom). Bitno je da se uvek može napraviti neki izbor. Druga interpretacija je sa logičke strane i zove se normativna. Kada uočimo neki odnos među datim akcijama, onda nećemo posmatrati sve akcije, već ćemo u obzir uzeti onu koja je u tom trenutku najprihvatljivija. Od velikog značaja je normativna interpretacija.

1.5 Princip sigurne odluke

Najpre razmotrimo sledeći primer.

Primer 1.5.1 Neka se osoba odlučuje za kupovinu nekretnine i smatra da je kurs dinara prema evru od značaja za njegovu odluku. Osoba sebi postavlja dva pitanja. Prvo, da li će kupiti nekretninu ako zna da će vrednost dinara porasti u odnosu na evro. Drugo je slično prvom, samo što je sada u pitanju pad dinara u odnosu na evro. U oba slučaja on se odlučuje da kupi nekretninu. Dakle, zaključak je da bez obzira na to koji će se događaj realizovati, on donosi istu odluku, da kupuje nekretninu.

Ovakav princip se zove princip sigurne odluke. Formalno princip sigurne odluke iskazujemo na sledeći način.

Definicija 1.5.1 Ako osoba ne preferira akciju f više od akcije g, bez obzira na to koji će se događaj B ili B ͨ realizovati, onda ona neće preferirati akciju f više od akcije g.

Postavlja se pitanje kako bi se upoređivale akcije ako bi znali da će se realizovati događaj B. Znači, ovo upoređivanje ne treba da zavisi od toga kakav je njihov odnos na komplementu događaja B. Zbog toga možemo uzeti da su one jednake (da se poklapaju) na B ͨ i u tom smislu se uvodi pojam saglasnosti svuda osim na B. Saglasnost za dve različite akcije bi značila da u slučaju da se ne realizuje događaj B, posledice datih akcija će biti jednake svuda osim na B.

Definicija 1.5.2 Za dve akcije f i g iz skupa svih akcija F kažemo da su saglasne svuda osim na B ako za svako s iz B ͨ važi da je f (s) = g (s).

• 12

Neka su f i g dve akcije iz skupa svih akcija F takve da su saglasne svuda osim na B. Pretpostavimo da važi odnos f ≤ g između njih. Izmenimo sada ove dve akcije na sledeći način. Na B, neka je f = f ʹ i g = gʹ. Na B ͨ izmenimo akcije f i g tako da dobijemo akcije f ʹ i gʹ koje su saglasne svuda osim na B. Očekujemo da će u tom slučaju da se održi odnos između novih akcija, tj. biće fʹ ≤ gʹ. Znači odnos između akcija se ne menja na skupovima na kojima su saglasne, tj. upoređivanje akcija ne zavisi od posledica na kojima se poklapaju. Ovaj zaključak je formalno iskazan sledećom aksiomom P2.

P2 Ako su akcije f, g, fʹ i gʹ iz skupa akcija F takve da važi:

1. Na B ͨ f je saglasna sa g i fʹ je saglasna sa gʹ , 2. Na B f je saglasna sa fʹ i g je saglasna sa gʹ , 3. f ≤ g ;

tada važi fʹ ≤ gʹ , odnosno važi da akciju fʹ ne preferiramo više od akcije gʹ.

Uvodimo sledeću oznaku, ako je f (s) = g (s) za svako s iz B, onda ćemo to označavati sa

f = g za realizovano B. Definicija 1.5.3 Konačan skup disjunktnih događaja ���, ��, … , ��� je razbijanje događaja B ako važi

� �� = � .�

���

Teorema 1.5.1 Ako je ���, ��, … ��� razbijanje događaja B i f i g dve akcije iz F takve da važi da je f ≤ g na �� za svako � ∈ �1, 2, … , ��, onda je f ≤ g na B. Ako je pri tome f < g na �� za neko � ∈ �1, 2, … , ��, onda je f < g na B.

Dokaz. Najpre dokazujemo prvi deo teoreme. Pretpostavimo da su f i g dve akcije iz skupa akcija F i da je ���, ��, … ��� razbijanje događaja B. Tada je

� �� = �.�

���

• 13

Dokaz izvodimo indukcijom po n:

1) ako je n = 2, to će značiti da je B = B1 ∪ B2. Iz uslova teoreme imamo da je f ≤ g na �� za svako i = 1,2. Imaćemo da važi na osnovu definicije 1.5.1 da je f ≤ g na B, jer u tom slučaju bismo B2 shvatili kao B1 ͨ . Dakle važiće f ≤ g bez obzira na to koji će se događaj B1 ili B2 realizovati.

2) Indukcijska hipoteza. Pretpostavimo da tvrđenje važi za n ∶= � − 1 odnosno neka je ���, ��, … , � !�� razbijanje događaja B takvo da za svako � ∈ �1, 2, … , � − 1�, važi f ≤ g na Bi.Tada važi f ≤ g na B.

3) Dokažimo da tvrđenje važi za n ∶= k. Neka je ���, ��, … , � � razbijanje događaja B. To možemo zapisati na sledeći način:

� = � �� = �� ∪ �� ∪ … ∪ � !� ∪ � = � �� ∪ � . !�

���

���

Za svako � ∈ �1,2, … , �� imamo da za dve akcije f i g iz skupa F važi da je f ≤ g na Bi. Kako smo razbijanje događaja B zapisali na prethodni način, da bismo primenili definiciju 1.5.1 na ovaj deo, posmatraćemo uniju od k-1 –nog elementa kao jedan element. Za tu uniju imamo iz indukcijske hipoteze da važi da je f ≤ g na uniji. Za drugi element, za Bk imamo da iz pretpostavke teoreme važi da je f ≤ g. Kada primenimo definiciju 1.5.1 imaćemo da je f ≤ g na B. Time je dokazan prvi deo teoreme.

Drugi deo teoreme se dokazuje na isti način matematičkom indukcijom. Odaberimo jedan indeks za koje događaje važi stroga nejednakost, a za ostale neka važi odnos ≤, što na kraju u uniji ponovo daje strogu nejednakost među događajima. ∎

Dakle, znajući da važi odnos f ≤ g na svakom događaju Bi, � ∈ �1, 2, … , �� takav odnos relacije preferencije će važiti i na celom događaju B. Ukoliko važi da je f < g na nekom Bj, onda će isto takav odnos relacije preferencije važiti i na celom B.

Navodimo još jedno bitno zapažanje koje proizilazi iz poslednje teoreme. Ako bi važilo za dve akcije f i g iz skupa akcija F da f = g na �� za svako i, onda bi važilo i f = g na B. Ovo tvrđenje dokazujemo na sledeći način. Kako imamo da je f = g na �� za svako i, to će značiti da je

f (s) = g (s) za svako s iz Bi,

a kako je ���, ��, … , ��� razbijanje događaja B, imaćemo da je f (s) = g (s) na B, odnosno f = g na B.

• 14

Definicija 1.5.4 Za akciju kažemo da je konstantna ako njene posledice ne zavise od stanja, odnosno vrednosti posledica se ne menjaju po stanjima.

U skladu sa prethodnom definicijom uvodimo sledeću oznaku. Oznaka f ≡ g će značiti da za svako stanje s važi f (s) = g, što znači da je f jedna konstantna akcija.

Ranije definisana relacija preferencije između akcija može se proširiti i na posledice pomoću uvedene definicije konstantne akcije.

Sada definišemo relaciju preferencije između posledica.

Definicija 1.5.5 Za bilo koje dve posledice g i gʹ , važi odnos g ≤ gʹ ako i samo ako iz f ≡ g i fʹ ≡ gʹ važi odnos f ≤ fʹ između akcija f i fʹ.

Ovom definicijom smo uveli odnos g ≤ gʹ između posledica, ako za odgovarajuće konstantne akcije važi isti odnos. Sve ostale odnose između posledica definišemo na sličan način u skladu sa definicijom 1.5.5.

Razmotrimo sledeći problem. Neka su fʹ i gʹ dve konstantne akcije iz skupa svih akcija F takve da je f ≡ g i fʹ ≡ gʹ, gde su g i gʹ dve posledice takve da važi sledeći odnos g ≤ gʹ. Postavlja se pitanje da li se odnos između akcija f i fʹ može promeniti na nekom događaju B?

Primer 1.5.2 Student ima pauzu jedan dan u nedelji kada nema predavanja. Treba da odluči kako će provesti dan. Pred njim su dve mogućnosti: može otići na pozorišnu predstavu gde po ceni jedne karte dobija još jednu kartu gratis za sledeću predstavu ili otići u bioskop gde se uz kupljenu kartu dobija i vaučer za bilo koji naredni film. Dakle, mora odlučiti da li da kupi kartu za pozorišnu predstavu ili bioskop, zato što nema novca za oba. Posledice bi dakle bile posedovanje karte za bioskop i posedovanje karte za pozorišnu predstavu, a akcija bi bila jedna od odluka koja bi dovela do kupovine jedne ili druge karte. Njegova odluka je nezavisna od toga da li je njemu bliži bioskop ili pozorište. Međutim, ako student voli (preferira) pozorište u odnosu na bioskop, odluka bi mogla biti drugačija ako sazna da će postojati i dodatni popust za studente u bioskopu. Znači, događaj B je dobijanje dodatnog popusta za studente.

Vidimo da bi posmatranjem (uvođenjem) novog događaja mogla da se primeni preferencija između posmatranih akcija. Međutim, mi ne želimo da se tako nešto dešava, te u tom smislu uvodimo sledeću aksiomu.

• 15

P3 Neka su f ≡ g i f ʹ ≡ gʹ konstantne akcije iz skupa akcija F i neka događaj B nije nemoguć događaj. Tada važi f ≤ f ʹ za realizovani događaj B ako i samo ako važi g ≤ gʹ.

Aksioma P3 zapravo kaže da se odnos između konstantnih akcija ne menja ako se one posmatraju na nekom konkretnom događaju.

• 16

Glava 2

Subjektivna verovatnoća 2.1 Uvod

Subjektivna verovatnoća se određuje na osnovu subjektivnog mišljenja i zato se može desiti da dva pojedinca dođu do različitih subjektivnih verovatnoća o realizaciji istog događaja iako raspolažu istim informacijama o uslovima pod kojima se posmatrani događaj realizuje. Subjektivnom verovatnoćom zapravo određujemo naš stav, odnosno iskazujemo mišljenje o verovatnoći realizacije nekog događaja. Ona zapravo predstavlja stepen ostvarenosti nekog događaja. Primer subjektivne verovatnoće može biti procena da će sutra padati kiša, uspeh na školskom takmičenju učenika iz matematike itd. Takođe, možemo vršiti procenu koji je od dva događaja verovatniji da će se desiti. Sada dajemo i formalno definiciju subjektivne verovatnoće.

Definicija 2.1.1 Subjektivna verovatnoća predstavlja individualno uverenje donosioca odluke o ostvarenju (realizaciji) nekog događaja na osnovu informacija koje donosilac odluke poseduje o tom događaju.

Najkraći put da saznamo mišljenje neke osobe, odnosno da saznamo njen stav o ostvarenju nekog događaja jeste da je pitamo šta ona misli o realizaciji tog događaja. Dakle, informacije dobijamo eksperimentalnim putem, odnosno posmatranjem. Vrlo često se može desiti da ta posmatranja zahtevaju i određene troškove, odnosno da eksperimenti “ koštaju ” , pa stoga i vodimo računa na koji način će se eksperiment izvršiti ili koliko puta će se ponoviti eksperiment, ako je to uopšte potrebno. Međutim, može se desiti i sledeća situacija, da se eksperimenti iz nekog razloga ne mogu ponoviti. Na primer, nemoguće je ponovo ostvariti iste uslove pod kojima se eksperiment odvija. U tom slučaju treba voditi računa i o samom načinu realizacije eksperimenta.

Relacija upoređivanja događaja zove se relacija verodostojnosti i njome se upoređuju događaji na osnovu toga koji je događaj verovatniji da će se desiti. Ozbiljnije proučavanje subjektivne verovatnoće i njeno aksiomatsko zasnivanje počinje u dvadesetom veku. Značajan doprinos tom proučavanju daju Sevidž i De Fineti.

• 17

Relacija verodostojnosti se zove i kvalitativna verovatnoća, a osim nje postoji i kvantitativna verovatnoća. Takođe, možemo ispitivati i uslovnu verodostojnost koja se zasniva na upoređivnju dva događaja pod uslovom da se realizovao treći događaj.

2.2 Kvalitativna subjektivna verovatnoća Razmotrimo najpre sledeći primer.

Primer 2.2.1 Na stolu se nalaze dve kutije, crvena i plava. U jednoj će biti ubačena bela kuglica. Nudi se nagrada od 10 dinara ako osoba pogodi u kojoj od njih je ubačena kuglica. Ako ne pogodi, igra se završava. Neophodno je naglasiti da se učešće u igri ne plaća, odnosno osoba ne daje nikakav novac za učešće u igri.

Dakle, može se desiti da će kuglica biti ubačena u crvenu kutiju, može se desiti da će biti ubačena u plavu kutiju. Odgovor ispitanika zavisi od njegove lične procene gde se kuglica nalazi.

Postavlja se sledeće pitanje, da li bi odgovor ispitanika bio isti u slučaju da se nudi manja nagrada? Na primer da je nagrada usled tačnog odgovora 5 dinara, a da se pritom učešće u igri ne naplaćuje. Očigledno je da osoba neće promeniti svoj odgovor. Međutim, ukoliko bi osoba za učešće u igri dobila veći iznos, recimo 1000 dinara, onda bi ona možda promenila svoju odluku, tj. dala bi drugi odgovor. Ranije posmatrane akcije su bile jednostavne u smislu odlučivanja. Mogu se posmatrati akcije gde osoba treba da odluči na osnovu posmatranja na nekom događaju. U tom smislu posmatrajmo sledeće.

Posmatrajmo dve posledice f i f ʹ iz skupa posledica F, za koje važi odnos da je f ʹ < f. Može se desiti da ako se nudi neka nagrada u slučaju realizacije događaja A dođe do promene preferencije između posledica f i f ʹ. U tom slučaju, uvodimo sledeću akciju "#kojom se ovaj postupak opisuje, na sledeći način

$%(s) = f za & ∈ �,$%(s) = f ʹ za & ∈ �', (1)

gde važi da je f ʹ < f .

Ovakve akcije su poznate pod nazivom akcije sa nagradom.

• 18

Ovo bi značilo da može doći do promene naših preferencija ako odluku donosimo na osnovu realizacije nekog događaja A. S obzirom da želimo da odlučivanje ne zavisi od promene nagrade koja se nudi, to uvodimo sledeću aksiomu P4.

P4 Ako su f, f ʹ, g, g ʹ posledice; A, B dva događaja; "(, "), *(, *) akcije iz skupa svih akcija F i ako pritom važe sledeće tri pretpostavke:

1. f ʹ < f, g ʹ < g; 2. a) $%(s) = f, gA (s) = g za s ∈ A,$%(s) = $ʹ, gA (s) = gʹ za s ∈ Ac, b)$,(s) = f, gB (s) = g za s ∈ B, $,(s) =$ ʹ, gB (s) = gʹ za s ∈ B ͨ , 3. "( ≤ ") ;

onda će važiti *( ≤ *).

Znači, preferencije između akcija se neće promeniti ukoliko smanjimo ili povećamo nagradu za učešće u igri.

U skladu sa aksiomom P4 imamo sledeću definiciju, kojom definišemo relaciju verodostojnosti među događajima.

Definicija 2.2.1 Događaj A nije verodostojniji od događaja B, što skraćeno zapisujemo sa A ≤ B, ako i samo ako za dve posledice f i f ʹ takve da je f ʹ < f i za dve akcije fA i fB iz skupa akcija F takve da je

$%(s) = .$, /0 & ∈ � $ʹ, /0 & ∈ � ͨ2 i$,(s) = . $, /0 & ∈ �$ ʹ, /0 & ∈ � ͨ2 ; važi

"( ≤ ").

Navodimo sledeću aksiomu.

• 19

P5 Postoji bar jedan par posledica f i f ʹ za koje će važiti odnos da je

f ʹ < f.

Aksioma P5 zapravo kaže nisu sve posledice podjednako prihvatljive (poželjne), odnosno da se uvek može izdvojiti neka posledica koja je prihvatljivija od druge. Na primeru 1.3.3 koji je prethodno bio urađen, najbolje se vidi smisao aksiome P5. Ako ne važi aksioma P5, onda nema šta da se razmišlja; bez obzira na stanja, rezultat (posledica) je uvek isti.

Upoređivanje akcija i upoređivanje posledica služi nam da bismo mogli lakše uporediti događaje. U skladu sa tim, uvodimo sledeću definiciju.

Definicija 2.2.2 Za relaciju ≤ · definisanu na događajima kažemo da je kvalitativna verovatnoća ako i samo ako za sve događaje B, C, D važi:

1. relacija ≤ · prosto uređenje, 2. važi B ≤ · C ako i samo ako je B ∪ D ≤ · C ∪ D kada su događaji B i D, i C i D

disjunktni, 3. ∅ ≤· B, ∅ < · Ω.

Napomena. Ovde možemo zapaziti drugi deo definicije 2.2.2. Neće se promeniti odnos među događajima ako im dodamo neki događaj sa kojim su disjunktni. Odnosno u drugom smeru, ako izostavimo isti taj događaj sa kojim su posmatrana dva događaja disjunktna, odnos između događaja se neće promeniti.

Sve aksiome i definicije su bile uvedene iz razloga da se može formirati i dokazati činjenica da je relacija ≤ kvalitativna verovatnoća. Sledeća teorema nam to i tvrdi.

Teorema 2.2.1 Relacija ≤ koja se primenjuje na događaje je kvalitativna verovatnoća.

2.3 Kvantitativna subjektivna verovatnoća

Kvalitativna verovatnoća omogućava da se događaji upoređuju, ali ne može da numerički predstavi taj odnos. U tom smislu ona nije dovoljna za ovu teoriju, već moraju da se uvedu dodatni pojmovi koji će nam omogućiti to upoređivanje.

• 20

U zavisnosti od odnosa između verovatnoće događaja i kvalitativne verovatnoće mogu se uvesti sledeći pojmovi.

Definicija 2.3.1 Ako su na skupu Ω definisani verovatnoća P i kvalitativna verovatnoća ≤ · takvi da za svaka dva događaja B i C važi P(B) ≤ P(C) ako i samo ako je B ≤ · C, tada kažemo da je verovatnoća P ( strogo ) svuda saglasna sa relacijom ≤ · .

Definicija 2.3.2 Ako je na skupu Ω definisana verovatnoća P i kvalitativna verovatnoća ≤ · takva da za svaka dva događaja B i C važi da B ≤ · C implicira P(B) ≤ P(C), onda kažemo da je verovatnoća P skoro svuda saglasna sa relacijom ≤· .

Ako je verovatnoća P strogo svuda saglasna sa relacijom ≤ · onda je verovatnoća P takođe i skoro svuda saglasna sa relacijom ≤ · . Stroga saglasnost je jači uslov.

Definicija 2.3.3 Kažemo da je relacija verodostojnosti ≤· fina ako i samo ako za svaki događaj B > · Ø, postoji razbijanje skupa Ω takvo da nijedan događaj iz razbijanja nije verodostojniji od događaja B.

Definicija 2.3.4 Za događaje B i C kažemo da su skoro ekvivalentni, što zapisujemo sa B ≈· C, ako i samo ako za svaka dva događaja G i H takva da je G ≠ ∅, H ≠ ∅ i B ∩ G = C ∩ H = ∅, važi da je B ∪ G ≥ · C i C ∪ H ≥ · B. Očigledno je da važi sledeća činjenica, da su ekvivalentni događaji i skoro ekvivalentni događaji. Kako je ekvivalentnost događaja jači uslov od uslova skore ekvivalentnosti, tako ekvivalentnost implicira skoru ekvivalentnost događaja.

Sledeću aksiomu uvodimo da bismo omogućili razbijanje skupa svih stanja na proizvoljan broj ekvivalentnih podskupova, tako da odnos između akcija se ne menja promenom na akcijama.

P6 Ako su akcije g i h iz skupa akcija F takve da važi da je g < h i f je bilo koja posledica, tada postoji razbijanje skupa Ω takvo da ako je akcija g ili akcija h modifikovana (izmenjena) na bilo kom jednom elementu razbijanja tako da uzima vrednost f na svakom stanju s tog elementa, a ostale vrednosti su nepromenjene, onda izmenjena akcija g i dalje je manje poželjna od h.

• 21

Aksioma P6 govori o tome da se odnos između akcija g i h zadržava bez obzira na izmene koje vršimo na jednoj ili drugoj akciji. Ne postoje posledice koje su mnogo bolje ili mnogo gore od drugih posledica.

2.4 Uslovna verovatnoća U definiciji 2.2.1 definisana je verodostojnost za dva događaja uz pomoć odgovarajućih posledica i akcija. Do iste definicije za verodostojnost dva događaja dolazimo kada upoređujemo uslovne verovatnoće dva događaja pod uslovom da se realizovao treći događaj, tj. odnos koji bi važio između događaja pod uslovom da se realizovao neki događaj bio bi isti kao odnos koji važi za odgovarajuće akcije pod uslovom da se realizovao isti taj događaj. Dakle, pored relacije verodostojnosti nad događajima može se definisati i relacija uslovne verodostojnosti. Kod uslovne verodostojnosti upoređivanje događaja se vrši na osnovu trećeg, realizovanog događaja. Navodimo sledeću definiciju.

Definicija 2.4.1 Neka su f i g akcije iz skupa F i B, C, D događaji, pri čemu je D ≠ ∅. Tada kažemo da događaj B nije verodostojniji od događaja C pod uslovom da se realizovao događaj D, što zapisujemo sa B ≤ · C pod uslovom da se realizovao događaj D, ako i samo ako za akcije važi odnos f ≤ g pod uslovom da se realizovao događaj D.

Kada upoređujemo dva događaja pod uslovom da se realizovao treći događaj i uspostavljamo vezu između akcija pod uslovom da se realizovao isti taj događaj, moguće je postojeće akcije zameniti nekim drugim akcijama, tako da se odnos između ta dva događaja ne menja. Prethodno uvedene aksiome važiće i za uslovnu verovatnoću.

Definicija 2.4.2 Pretpostavimo da je relacija ≤ · kvalitativna verovatnoća i B, C, D događaji, pri čemu važi da je ∅ < · D. Tada je B ≤ · C pod uslovom da se realizovao događaj D (događaj B nije verodostojniji od događaja C pod uslovom da se realizovao događaj D) ako i samo ako važi da je B ∩ D ≤ · C ∩ D.

Posmatrajmo sledeći razlomak 7( , ∩ 9 )

7( 9 ) . Kada fiksiramo događaj D, razlomak možemo smatrati funkcijom po B. Dakle imamo

P ( B | D ) = 7( , ∩ 9 )

7( 9 ) . (1)

• 22

Verovatnoću realizacije događaja B pod uslovom da se realizovao događaj D, možemo smatrati kao verovatnoću realizacije događaja B nakon što se uoči da se događaj D ostvaruje. Tako smo uslovnu verovatnoću predstavili u vremenskim uslovima, znači da pratimo realizaciju jednog događaja i onda kada se on realizuje dolazi do realizacije nekog drugog događaja, možemo očekivati isti smisao i za relaciju preferencije između akcija s obzirom na realizaciju nekog događaja, odnosno i odgovarajuća relacija preferencije pod uslovom realizacije nekog događaja može biti izražena u vremenskim uslovima.

Definicija 2.4.2 Za dva događaja B i C reći ćemo da su nezavisni ako važi

P( B ∩ C ) = P( B ) P( C ). Uopšteno, za n događaja kažemo da su nezavisni, ako za svaki konačan skup događaja ���, ��, … , ��� važi

;(⋂ ������ ) = ∏ ;(������ ). (2)

Kako u uslovnoj verovatnoći imamo i presek odgovarajućih događaja, činjenica da su dva događaja nezavisna pojednostaviće situaciju.

Uočimo sledeće, događaji B i D su nezavisni ako i samo ako je P( B | D ) = P( B ). Pokažimo to. Neka su B i D nezavisni događaji, iz definicije 2.4.2 imamo da je P( B ∩ D ) = P( B ) P( D ), sa druge strane posmatrajmo uslovnu verovatnoću, tj. P( B | D ) gde je

;( � | ? ) = ;( � ∩ ? );( ? ) = ;( � );( ? );( ? ) = ;( � ), što je i trebalo pokazati. Sada pretpostavimo da važi da je P( B | D ) = P( B ), pokazaćemo da su dati događaji nezavisni. Uočimo sledeće

;( � | ? ) = ;( � ∩ ? );( ? ) = ;( � ), odakle direktno sledi da je P( B ∩ D ) = P( B ) P( D ), odnosno odgovarajući događaji su nezavisni.

Definicija 2.4.3 Ako za događaj D važi da je P( B | D ) = P( B ), tada kažemo da je on irelevantan za događaj B.

• 23

Sledeća formula je poznata je pod nazivom formula potpune verovatnoće i zapisujemo je kao

;( @ ) = A ;( @ |��) ;B ��C (3)�

���

gde za događaje �� ≠ ∅, � ∈ �1, 2, … , ��, važi da čine razbijanje skupa Ω.

Koristeći formulu potpune verovatnoće, pri čemu je događaj C takav da je C ≠ ∅ i � ∈�1, 2, … , ��, važiće poznato Bajesovo pravilo ili Bajesova teorema koja se iskazuje na sledeći način

;(��|@ ) = ;( @ |�� ) ;( ��);( @ ) =

= ;( @ |�� ) ;( �� )∑ ;( @ |��� ) ;( �� ) . (4) Sledi primer gde se koristi Bajesovo pravilo.

Primer 2.4.1 Posmatrajmo tri ormana od kojih svaki ima dve fioke. Prvi orman sadrži po zlatan novčić u svakoj fioci, drugi orman u jednoj fioci sadrži srebrni novčić, a u drugoj zlatan, a treći orman u svakoj fioci sadrži po srebrni novčić. Nasumice je odabran orman i otvorena jedna fioka. Ako ta fioka sadrži zlatan novčić, kolika je verovatnoća da i druga fioka istog ormana sadrži takođe zlatan novčić?

Neka su A1, A2, A3 događaji koji označavaju izbor prvog, drugog odnosno trećeg ormana, a B događaj da je iz fioke izvučen zlatan novčić. Nas ustvari interesuje P(A1|B), jer samo prvi orman sadrži i u drugoj fioci zlatan novčić. Iz postavke zadatka je P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3, P(B|A1) = 1, P(B|A2) = 1/2, P(B|A3) = 0, pa (4) daje

• 24

;( ��|� ) = ;(��);( � |��);(��);( � |��) + ;( ��);( � |��) + ;( �H);( � | �H) =

= 13 · 113 · 1 + 13 · 12 + 13 · 0

= 23 .

Dakle, tražena verovatnoća je �H .

Posmatrajmo događaje B i C, pri čemu važi da je B ≠ ∅ i C ≠ ∅. Uslovna verovatnoća događaja B pod uslovom da se realizovao događaj C jednaka je

;( � | @ ) = ;( � ∩ @ );( @ ) , tj. važiće da je

;( � ∩ @ ) = ;( � | @ ) ;( � ). Slično tako, uslovna verovatnoća događaja C pod uslovom da se realizovao događaj B jednaka je

;( @ | � ) = ;( @ ∩ � );( � ) , tj. imaćemo da je

;( @ ∩ � ) = ;( @ | � ) ;( � ). Kako je ;( � ∩ @ ) = ;( @ ∩ � ), važiće da je

;( � | @ ) ;( � ) = ;( @ | � ) ;( � ) = ;( � ∩ @ ). Poslednji izraz podelimo sa ;( � );( @), te dobijamo da je

;( � | @ ) ;( @ );( � );( @ ) = ;( @ | � ) ;( �);( �);( @ ) = ;( � ∩ @);( �);( @ ) . Imaćemo da važi sledeće

;( � | @ );( � ) = ;( @ |� );( @ ) = ;( � ∩ @ );( � ); ( @ ) . (5)

• 25

Ovo se može protumačiti na sledeći način: informacija o događaju C promeniće verovatnoću događaja B istim faktorom kojim informacija o događaju B menja verovatnoću događaja C. Što predstavlja korisnu činjenicu.

Uvodimo sledeću definiciju.

Definicija 2.4.4 Slučajna promenljiva X je finitna i ℱ - merljiva funkcija iz skupa Ω na realnu pravu.

Slučajna promenljiva X je finitna ako važi

;�M|N(M) = ±∞� = 0. Slučajna promenljiva X je ℱ - merljiva ako važi

(∀R ∈ ℬ�) N!�( R ) = �M|N(M) ∈ R� ∈ ℱ , pri čemu je ℬ� Borelova σ-algebra na ℛ.

Ako su X i Y slučajne promenljive sa realizacijama x i y respektivno, pritom su slučajne promenljive definisane na istom prostoru verovatnoća, nova slučajna promenljiva Z = �X, Y� je definisana sa:

Z(s) = �X(s), Y(s)�. Slučajna promenljiva Z uzima vrednosti iz skupa X ͯ Y ( Dekartov proizvod ) gde prva slučajna promenljiva uzima vrednost u X , a druga slučajna promenljiva uzima vrednosti u Y. Isto tako, ako bismo posmatrali n slučajnih promenljivih, svaka slučajna promenljiva bi uzimala vrednosti iz odgovarajućih skupova.

Definicija 2.4.5 Slučajne promenljive X1 i X2 su nezavisne ako su događaji X1-1( S1)

i X2-1(S2)

nezavisni, pri čemu je S1, S2 ∈ ℬ�.

• 26

2.5 Pristup sigurnosti kroz iskustvo

U prethodnom delu smo relaciju relativne verodostojnosti povezali sa verovatnoćom, što olakšava rad, jer numerički izražavamo odnos između događaja. Kada posmatramo neki problem subjektivne verovatnoće, to je kao da posmatramo taj isti problem iz ugla verovatnoće. Svaki put kada se postavi pitanje o stepenu realizacije nekog događaja, odgovor je procena koliko je verovatno da će se taj događaj realizovati.

Bitan faktor u proceni realizacije nekog događaja predstavlja iskustvo osobe koja procenjuje događaj, u smislu da što se osoba više puta sretala sa nekim problemom i rešavala ga, pri svakom narednom putu procena je bila bliža istini, odnosno pogodak je bio skoro izvestan. Tako je prirodno postaviti sledeće pitanje: da li kada iskustvo raste postajemo gotovo svesni istine o realizaciji nekog događaja? Odgovor je pozitivan. Dakle postoji velika šansa da će procena biti tačna, ali ujedno to i nije garancija da će se uvek tačno odgovoriti, jer moguće je uvek napraviti grešku. Razlika je u tome što je procena svakim narednim iskustvom sve bliža istini. Sa povećanjem iskustva, stvari se lakše povezuju, uopštavaju.

Pretpostavimo da se posmatra veliki broj slučajnih promenljivih koje su sve međusobno nezavisne pod uslovom da se realizovao događaj �� za svako i , gde je ���� razbijanje skupa Ω. Neka je P( �� ) = X�. Zatim, neka je �XY, Z = 1, 2, . . . � niz slučajnih promenljivih koje uzimaju vrednosti iz konačnog skupa ( bez gubljenja opštosti možemo uzeti da su to celi brojevi ) . Ovo ograničenje da svaka slučajna promenljiva uzima vrednost iz konačnog skupa možemo da ne koristimo, ali nam to nije trenutno od važnosti. Odnosno ne moramo posmatrati samo konačan skup vrednosti.

Uvedimo sledeću oznaku da X označava prvih n slučajnih promenljivih iz niza slučajnih promenljivih �X[�. Kako X zavisi od n, broja slučajnih promenljivih, možemo koristiti oznaku X(n). Uslovnu raspodelu slučajnih promenljivih Xr pod uslovom da se realizovao događaj Bi, možemo predstaviti sa

P( X[(&) = \Y| ��) = ξ ( X[ | � ), (1) pri čemu ξ ( X[ | � ) predstavlja samo oznaku.

Posmatrajući prethodnu jednakost zajedno sa pretpostavkom da su Xr nezavisne slučajne promenljive pod uslovom da se realizovao događaj �� , imaćemo da važi:

P( X |��) ≝ ; ( X(&) = �\�, … , \�� |��) = ∏ ;( X[( & ) = \[|��) =�[��

• 27

= ∏ ξ ( X[| � )�[�� . (2)

U nastavku slede izvođenja koja su direktna posledica Bajesovog pravila i formula (2) i (3) iz prethodnog poglavlja.

Aposteriorna verovatnoća za događaj �� pod uslovom da se realizovao događaj �X = \� je ;(��|N = \ ) = ;( �� ∩ �N = \� );( N = \ ) .

Verovatnoća događaja �X = \� pod uslovom da se realizovao događaj Bi je ;( N = \ |��) = ;( �N = \� ∩ ��);( ��) .

Imaćemo da važi

;( ��|N = \ ) = ;( �X = \� ∩ �� );( N = \ ) = ;( N = \ |��) ;( ��);( N = \ ) =

= ;( N = \ |��) X�;( N = \ ) = ∏ _(N[|�) X�[;(N = \ ) , (3)

i na osnovu formule potpune verovatnoće biće

;( N = \ ) = A ;( N = \ |��) ;( ��) = A X�  _( N[|� ). (4)[��

Jednakost (4) smo dobili tako što smo primenili jednakost (2) i činjenicu da je P( �� ) = X�. U vezi sa (3) možemo prokomentarisati sledeće. Ako je apriorna verovatnoća događaja �� nula, tj. βi je nula, onda je i verovatnoća P( �� | X = x ) takođe nula, što direktno sledi iz (3) kada za βi stavimo da je nula. To bi zapravo značilo da ako znamo da je verovatnoća realizacije događaja Bi nula, onda je i uslovna verovatnoća za taj događaj, pod uslovom da se realizuje neki događaj, takođe nula.

Da bismo došli do jednog značajnog pojma, uporedićemo verovatnoće dva događaja razbijanja skupa Ω, na sledeći način:

• 28

;( ��|N = \ );( �� |N = \ ) = ;( N = \ |��)X�;(N = \);(N = \ |��)X�;(N = \)

= ;(N = \|��) X�;( N = \|��) X� =X�X�

_ (N[|1 )_ ( N[|2 )[ =

= β�β� ` bʹ ( \Y) = β�β�Y b( \ ), (5)

pri čemu je Rʹ( xr ) = c( de|�)c( de|� ), dok je R( x ) = ∏ bʹ( \[).[

Rʹ (\[) i R( x ) predstavljaju količnike verodostojnosti događaja ��u odnosu na događaj B2 s obzirom na vrednosti \[ i x, respektivno. Kada bi β2 bilo jednako nuli, onda bismo imali situaciju da izraz teži beskonačnosti, pri čemu je β1≠0. Odnosno, imali bismo da izraz teži beskonačnosti i u slučaju kada važi da je β1≠0 i R( x ) = ∞. Znači da prilikom upoređivanja uslovnih verovatnoća dva događaja razbijanja skupa Ω, izraz teži beskonačnosti kada bi β2 bilo jednako nuli.

Veličinu

I = E(log bʹ( \Y) | ��) zovemo informacijom za raspodelu slučajne promenljive Xr pod uslovom da se realizovao događaj ��u odnosu na raspodelu slučajne promenljive Xr pod uslovom da se realizovao događaj ��. To je zapravo uslovno očekivanje količnika verodostojnosti pod uslovom da se realizovao događaj B1. Ako su P i Q verovatnoće definisane na konačnom skupu, informacija za verovatnoću P s obzirom na verovatnoću Q je definisana na sledeći način sa

A ;(\)jkl ;(\)m(\)n .

• 29

2.6 Komentari vezani za subjektivnu verovatnoću Pretpostavimo da posmatramo neki događaj i zapisujemo kada se taj događaj realizuje. Često se javlja potreba da se na osnovu posmatranja odredi nepoznata verovatnoća p, koja predstavlja verovatnoću javljanja tog događaja. Sa objektivne strane gledišta, ovaj problem možemo rešiti izvođenjem eksperimenata, na osnovu kojih određujemo nepoznatu verovatnoću. Sa subjektivne strane gledišta rešava se procenom verovatnoće o realizaciji tog događaja, odnosno na osnovu subjektivnog mišljenja osobe. Dakle, izvođenje eksperimenata ima veliki uticaj na određivanje verovatnoće. U realnom životu često razmišljamo o šansama javljanja pojedinih događaja, ali ih retko izražavamo u numeričkom obliku. Izuzetak su ekstremni slučajevi, odnosno oni događaji koje smatramo sigurnim ili nemogućim, tj. događaji za koje smo ubeđeni da će se realizovati i oni za koje smo uvereni da se neće realizovati. Tako za neke događaje kažemo da je šansa da se realizuju 100%, dok za neke kažemo da smo sigurni da se nikada neće ostvariti, odnosno da je njihova verovatnoća nula.

Teorija subjektivne verovatnoće izražava stanje pojedinca, odnosno njegovo mišljenje. Na prvi pogled deluje da subjektivna verovatnoća omogućava potpunu proizvoljnost prilikom iznošenja mišljenja. Međutim, ako smatramo da je verovatnoća da se desi događaj A jednaka p, tada će verovatnoća da se desi komplementaran događaj, tj. da se događaj A ͨ realizuje, biti jednaka 1-p. Logiku možemo ponekad smatrati paralelnom teoriji subjektivne verovatnoće, ako činjenjem logičnih stvari zapravo izražavamo subjektivno mišljenje. Međutim, dešava se da ono što bi bilo logično uraditi u nekom trenutku, ne bi predstavljalo dobro rešenje, ne bi bio dobar izbor, jer bismo tada došli u sukob sa subjektivnim mišljenjem. Zato je tada subjektivna verovatnoća kompletnija od logike jer predstavlja stepen uverenja o realizaciji događaja na osnovu dostupnih podataka, dok logika predstavlja samo unapred određeno ponašanje kojeg bi se trebalo pridržavati. Subjektivna verovatnoća bi imala kompletniju sliku od logike jer uzima u obzir sve dostupne informacije. Rekli smo da subjektivna verovatnoća označava procenu pojedinca o realizaciji nekog događaja na osnovu informacija koje pojedinac poseduje do trenutka procene. Baš zbog takve procene možemo imati slučaj da dve osobe imaju različite subjektivne verovatnoće o jednom te istom događaju. Međutim, interesantno je sledeće zapažanje, da dve osobe ne mogu da se ne slože kada se meri na primer dužina nekog puta, jer tada u obzir dovodimo fizički sistem i nerealno bi bilo njega kritikovati. Dakle to posmatranje ne zavisi od subjektivnog mišljenja. Odnosno, procenom bismo samo iskazali svoje mišljenje i ukoliko ta procena ne bi bila tačna, morali bismo da je zanemarimo, tj. da ne uzmemo u obzir subjektivno mišljenje.

• 30

Glava 3

Korisnost 3.1 Uvod Pomoću prethodno uvedenih aksioma P4-6, videli smo da prilikom odlučivanja neće doći do promena u odluci ako se promeni nagrada koja se nudi. Takođe, odnos između akcija se neće promeniti ukoliko dođe do promene na samim akcijama. To su pojednostavljenja koja omogućavaju lakši rad sa akcijama. Prvenstveno se ta pojednostavljenja odnose na relaciju ≤ . Kako je još uveden pojam verovatnoće, poređenje događaja sada vezujemo na obično upoređivanje numeričkih vrednosti, odnosno poređenje akcija sveli smo na obično poređenje brojeva, što je veoma značajno, jer svodimo problem na aritmetičko poređenje numeričkih vrednosti, a to do sad nismo imali.

Kako sada akcije možemo porediti aritmetički, uvođenjem nove aksiome P7, poređenje među akcijama možemo proširiti na gotovo sve parove akcija. Aritmetičko poređenje između akcija se postiže povezivanjem broja U ( f ) svakoj posledici f i to na sledeći način. Neka imamo dve akcije f i g iz skupa akcija F. Za njih će važiti odnos f ≤ g ako i samo ako očekivana vrednost za U ( f ) je numerički manja ili jednaka od U ( g ), pri čemu su realne vrednosti U ( f ) i U ( g ) u suštini ograničene vrednosti. Time su akcije povezane sa odgovarajućim realnim vrednostima. Međutim, ovakva ekvivalencija između akcija i realnih vrednosti može biti neispunjena u slučaju da postoje akcije koje su jasno bolje za neku fiksiranu nagradu ili izrazito loše za bilo koju fiksiranu kaznu. To bi značilo da odnos koji je prethodno uveden da važi, ne bi nastavio da važi ako bi se otkrilo da je neka akcija izrazito bolja od druge akcije, odnosno da je neka akcija izrazito loša u odnosu na drugu akciju. Odnos bi bio narušen u smislu da ako je neka akcija izrazito bolja, onda je i realno očekivati da će ona biti izabrana, dok u slučaju da je izrazito loša, ona neće biti izabrana. I u jednom i u drugom slučaju dati odnos među akcijama prati isti odnos između odgovarajućih realnih vrednosti. Uvodimo definiciju funkcije korisnosti.

Definicija 3.1.1 Funkcija U koja numerički opisuje preferencije između akcija naziva se funkcija korisnosti.

• 31

Funkcija korisnosti ima dosta osobina koje omogućavaju lakši rad. Naime svaka funkcija korisnosti se jednostavno može upoređivati sa drugom funkcijom korisnosti. Takođe i linearna transformacija funkcije korisnosti je funkcija korisnosti. Korisnost kao pojam pominje se kod Fon Nojmana i Morgenšterna u teoriji ekonomije, dok se sam pojam funkcije korisnosti i povezivanje sa novčanim dobitima pominje kod Kramera i Bernulija, kada su obojica, nezavisno jedan od drugog, razmatrali problem poznat pod nazivom “ paradoks Sankt Peterburga” koji će kasnije biti i u potpunosti objašnjen u vidu primera.

3.2 Lutrijski lozovi

U ovom delu uvodi se pojam lutrijskih lozova, koji se povezuje sa akcijama i pokazuju se neke osobine koje poseduju lutrijski lozovi. Poznato je da postoji veliki broj različitih akcija, međutim među svim tim akcijama preferencija zavisi samo od raspodele verovatnoće posledica datih akcija.

Teorema 3.2.1 Ako važe sledeće tri pretpostavke:

1. $� , … ,$� su n posledica iz F, n ≥ 1 ; 2. o�, … , o� su nenegativni brojevi takvi da je ∑ o� = 1 ; 3. * i q su akcije takve da ;( l ( & ) = $�) = ;( ℎ( & ) =$� ) = o� , i = 1, …, n ;

onda će važiti za akcije g i h da je g = h.

Dokaz. Dokaz izvodimo matematičkom indukcijom po n.

Za n = 1 je očigledno da važi. Imamo posledicu f1, dok za akcije g i h važi

P( g(s) = f1 ) = P( h(s) = f1 ) = 1.

Dakle, obe akcije su ekvivalentne konstantne akcije.

Ostaje da pokažemo da tvrđenje važi za svako n > 1.

Pretpostavimo da važi indukcijska hipoteza, tj. da tvrđenje važi za neko n > 1.

Neka B označava presek dva događaja �l( & ) = $�� i �ℎ( & ) ≠$��, odnosno događaj B je

• 32

B = �l( & ) = $�� ∩ �ℎ( & ) ≠$��. Neka C označava presek dva događaja �ℎ( & ) = $�� i �l( & ) ≠$��, odnosno događaj C je

C = �ℎ( & ) = $�� ∩ �l( & ) ≠$��. Iz pretpostavke (3) imamo da je

P(l( & ) = $�) = ;(ℎ( & ) =$�) = o�. Takođe važi

P(l( & ) ≠ $�) = ;(ℎ( & ) ≠$�). Uz to važi i da događaji koji čine događaje B i C su disjunktni, te je P( B ) = P ( C ). Uvodimo pomoćne događaje Ci i Bi. Događaje Ci definišemo na sledeći način. Najpre stavljamo da je C0 nemoguć događaj, a zatim ostale događaje Ci definišemo kao presek događaja C i događaja �l( & ) = $�� . Na osnovu ranijih rezultata možemo konstruisati događaje Bi za koje važi da je P( ��) = ;( @�), za i = 0, … , n-1. Neka je *s = * i definišemo *tuv korak po korak za i = 0 , … , n-2 tako da važi: (1) l�u�( & ) = w$�, za & ∈ @�u�$�u�, za & ∈ ��u�l�(&), inače. 2 U skladu sa (1), l�(&), � ∈ �1,2, … , � − 1� možemo predstaviti na sledeći način l�(&) = w$�, za & ∈ @�$�, za & ∈ ��l�!�, inače. 2 Kako bismo lakše uočili da je *�u� = *�, za � ∈ �1,2, … , ��, s obzirom na realizovani događaj ��u� ∪ @�u� i da je *�u� = *�, za � ∈ �1,2, … , ��, s obzirom na realizovani događaj (��u� ∪@�u�) ,ͨ posmatrajmo šta se dešava za i =0 i i = 1, pa se posle može slučaj lako uopštiti. Za i = 0 iz formule (1), imamo da je • 33 l�(&) = w$�, za & ∈ @�$�, za & ∈ ��l(&), inače. 2 Za i = 1, imaćemo da je l�(&) = w$�, za & ∈ @�$�, za & ∈ ��l�(&), inače.2 Za slučaj i = 0 potrebno je da posmatramo događaj B1 ∪ C1. U tom slučaju, imamo da u slučaju realizovanog događaja B1 ∪ C1, l�(&) se ponaša na sledeći način l�(&) = .$�, /0 & ∈ @�$�, /0 & ∈ �� 2. Prema tome važi da je g1 = g0 s obzirom da se realizovao događaj B1 ∪ C1. Istim postupkom slučaj se može uopštiti, posmatrajući uzastopne akcije za � ∈ �1,2, … ��, pa će važiti da je *�u� = *� s obzirom na realizovani događaj ��u� ∪ @�u�. Posmatrajmo sada događaj (B1 ∪ C1) ͨ za slučaj i = 0. U tom slučaju, za realizovani događaj (B1 ∪ C1) ͨ l�(&) biće oblika l�(&) = l(&), dok je l}(&) = l�(&). Vidimo da je g1 = g0 s obzirom da se realizovao događaj (B1 ∪ C1) ͨ. Istim postupkom slučaj se može uopštiti, posmatrajući uzastopne akcije za � ∈ �1,2, … ��, pa će važiti da je *�u� = *� s obzirom na realizovani događaj (��u� ∪ @�u�) ͨ . Dakle, *�u� = *� pa je *�!� = *, pri čemu je � ∈ �1,2, … ��. Kako smo dobili da je *�u� = *�, važiće da je l�u�( & ) = l�(&), osim toga važiće i da je l�u�( & ) = l�(&) =$�, za neko � ∈ �1, 2, … , ��. Tada na osnovu pretpostavke (3) ove teoreme imamo da je

;B l�u�( & ) = $�C = ; B l�( & ) =$� C = o�. Kako je l�!� ( & ) = l(&) = $� , biće ;B l�!� ( & ) =$� C = o�, za � ∈ �1, 2, … , ��

• 34

na osnovu pretpostavke teoreme. Znamo da je *�!� = g. Dokazaćemo da teorema važi za *�!� i h, umesto za g i h.

Iz definicije za l�u�( & ) imamo da je l�u�( & ) = $�, za & ∈ @, osim na praznom skupu, odnosno važiće da je *�!� =$�. Kako je *�!� = q pod uslovom da se realizovao događaj @ ∪ ?, pri čemu je D podskup od C ͨ , imaćemo da je *�!� = q = $�. Ostaje da se pokaže da je *�!� = q pod uslovom realizacije događaja (@ ∪ ? ) ͨ . Ako je (@ ∪ ? ) ͨ nemoguć događaj, onda očigledno važi. Zato se koncentrišemo na manje očiglednu situaciju. Ako (C ∪ D ) ͨ nije nemoguć događaj, onda imamo na osnovu prethodnog da je ;B l�!� ( & ) =$� C = o�, za � ∈ �1, 2, … , ��, a uz to je ;B ℎ ( & ) = $� C = o� za � ∈�1, 2, … , ��, pri čemu su$�, … , $� posledice iz skupa F i o�, … , o� nenegativni brojevi. Tako imamo da je *�!� = q pod uslovom da se realizovao događaj ( @ ∪ ? ) ͨ . Čime je teorema dokazana. ∎ Definicija 3.2.1 Neka imamo konačan niz posledica$�, $�, … ,$� i nenegativne realne brojeve o�, … , o� takve da je ∑ o� = 1, pri čemu je ���, ��, … , ��� razbijanje skupa B gde je P( ��) = o� i f (s) = $� za s iz ��. Lutrijski loz predstavlja klasu akcija gde se posledice$�, $�, … ,$� biraju sa verovatnoćama o�, … , o�, što zapisujemo sa ∑ o�$�. Oznaka za lutrijski loz biće , , . Mogu se posmatrati akcije koje su mešavine akcija kojima se opisuju lutrijski lozovi. Zato i uvodimo sledeću definiciju. Definicija 3.2.2 Neka je � konačan niz lutrijskih lozova oblika (2) � = ∑ o��$�� �

i � odgovarajući niz nenegativnih realnih brojeva takvih da važi ∑ � = 1 . Mešavina akcija � sa težinama � u oznaci ∑ �� je definisana sa:

(3) A �� = A � A o��$��� = A AB�o��C$������ , gde su $�� posledice i �o�� brojevi takvi da važi A A �o�� = 1.�� • 35 Ovakve mešavine akcija kojima se opisuju lutrijski lozovi imaju veliku primenu, prvenstveno u aktuarstvu, gde se isplata osiguranja vrši tokom trajanja života osiguranika. Isto tako primena se može videti kod lutrijskih lozova gde nagrada nije novčana već je u pitanju drugi lutrijski loz. Za dve akcije f i g iz skupa akcija F imali smo sledeći odnos f ≤ g i to onda kada je akcija g bila prihvatljivija u odnosu na akciju f. Prirodno je očekivati isti takav odnos između lutrijskih lozova i , tj. i za njih bi moglo da važi ≤ . U tom smislu uvodimo narednu teoremu koju navodimo bez dokaza. Teorema 3.2.2 Ako su , i lutrijski lozovi i 0 < o ≤ 1 , tada važi o + ( 1 − o ) ≤ o + ( 1 − o ) ako i samo ako je ≤ . Ova teorema zapravo kaže da ako važi odnos ≤ među lutrijskim lozovima i , onda će se takav odnos i zadržati za njihovu linearnu kombinaciju uvođenjem dodatnog lutrijskog loza. Teorema 3.2.3 Ako za lutrijske lozove i važi da je < i ako su brojevi ρ i σ takvi da važi 0 ≤ < o ≤ 1, tada će važiti o + ( 1 − ρ ) < + ( 1 − σ ) . Dokaz. Najpre ćemo na drugačiji način zapisati levu stranu nejednakosti koja je data formulacijom teoreme. Uočimo sledeće. Neka su = ∑ �$�� i = ∑ X�$�� lutrijski lozovi, pri čemu je ∑ � = 1� i ∑ X� = 1.� Objasnićemo prelaz u prvom redu prethodnog izraza. Imamo da je o + (1 − o) = o A �$�� + (1 − o) A X�$�� = o A �$�� + A X�$�� − o A X�$�� = = o A �$�� + A X�$�� − A oX�$�� = o + − o. Imamo da je o + (1 − o) = o + − o = o − + + − o = = (o − ) + + (1 − o) = = (o − ) + �!(!)�!(!) � + (1 − o)� = • 36 = (o − ) + 1 − (o − ) u(�!)�!(!) = = ( o − ) + 1 − ( o − ) . 1 − (o − ) + (1 − o)1 − (o − ) (4). Iz (4) imaćemo da važi da je o + ( 1 − o ) = ( o − ) + 1 − ( o − ) . 1 − (o − ) + (1 − o)1 − (o − ) (5). Na isti način možemo transformisati i desnu stranu nejednakosti samo što ćemo umesto broja ρ imati broj σ. Tako da dobijamo da važi + (1 − ) = (o − ) + 1 − (o − ) . 1 − (o − ) + (1 − o)1 − (o − ) (6). Iz uslova teoreme imamo da između lutrijskih lozova važi odnos < . Kada to iskoristimo dobijamo da je ( o − ) < (o − ), tj. ( o − ) + 1 − ( o − ) . 1 − (o − ) + (1 − o)1 − (o − ) < (o − ) + 1 − (o − ) . 1 − (o − ) + (1 − o)1 − (o − ) . Odnosno važiće da je o + ( 1 − o ) < + (1 − ). Što je i trebalo pokazati. ∎ Ako bismo stavili da je ρ = 1 i σ = 0, u poslednju nejednakost, dobili bismo da je < , što je trivijalan slučaj. Ova osobina je poznata pod nazivom osobina monotonosti. Pre sledeće teoreme navodimo Arhimedovu aksiomu koja će nam biti potrebna u narednom dokazu. Arhimedova aksioma Neka su f1, f2 i f akcije iz skupa akcija F takve da važi da je f1 < f < f2. Tada postoje brojevi ∈ (0,1) i X ∈ (0,1) takvi da je "� + (1 − α)"� < " < X "� + (1 − β)"�. • 37 Teorema 3.2.4 Ako su �, � lutrijski lozovi i g akcija, za koje važi � < � i � ≤ * ≤ � onda postoji jedno i samo jedno ρ takvo da je o � + ( 1 − o )� = * . Dokaz. U ovoj teoremi potrebno je pokazati egzistenciju i jedinstvenost broja ρ za koje važi da je o � + ( 1 − o )� = *. Pokazujemo najpre egzistenciju. Neka su �,� lutrijski lozovi i g akcija i neka važi da je � < � i � ≤ * ≤ �. Ako bi g = �, tada bi moralo da važi da je g = 1 · v + (1 − 1)�, odakle sledi da je ρ= 1. Ako bi g = �, tada bi moralo da važi da je g = 0 · � + (1 − 0)�, odakle sledi da je ρ= 0. Pretpostavimo sada da je � < * < � i definišimo sledeći skup N = � ∈ 0,1)| � + (1 − )� ≤ *�. Skup X nije prazan, sadrži nulu, takođe je ograničen odozgo brojem jedan, pa postoji supremum tog skupa. Neka je o = sup N. Dokazaćemo da za broj ρ važi da je o� + (1 − o)� = *. Pretpostavimo suprotno, tj. da ne važi prethodna relacija. U tom slučaju mogu se javiti dva slučaja. Posmatrajmo najpre prvi slučaj kada je o� + (1 − o)� < * < �. Ovde mora da važi da je ρ< 1, jer ako to ne bi važilo, onda bi bilo � < * < �, što je nemoguće. Postoji broj 1- ∈ (0, 1), iz Arhimedove aksiome, takav da važi (1 − )� + o� + (1 − o)� < *, � − � + o� + � − o� < *, o� + (1 − o)� < *. Broj o pripada skupu X, ali takođe ne važi da je o > o, pa onda o nije supremum skupa X, došli smo do kontradikcije. Posmatrajmo sada drugi slučaj kada je � < * < o� + (1 − o)�. Postoji broj ∈ (0, 1) takav da važi * < o� + (1 − o)� + (1 − )� * < o� + � − o� + � − � * < B1 − (1 − o)C� + (1 − o)�. • 38 Imamo da 1 − (1 − o) ∉ N i 1 − (1 − o) < o, pa je 1 − (1 − o) manja majoranta od supremuma što je nemoguće. Dakle, jedini mogući slučaj je da važi o� + (1 − o)� = *. Čime je pokazana egzistencija. Sada pokazujemo jedinstvenost broja o. Pretpostavimo suprotno, pretpostavimo da postoji još jedan broj takav da važi da je � + (1 − )� = *, pri čemu je ≠ o. Neka je < o, imaćemo da je * = � + (1 − )� < o� + (1 − o)� = *. ↓ iz teoreme 3.2.3 Dakle, dobili smo da je g < g, što je nemoguće. Neka je sada > o, imaćemo da je * = o� + (1 − o)� < � + (1 − )� = *. ↓ iz teoreme 3.2.3 Ponovo smo dobili da je g < g, što je nemoguće. Dakle, mora da = o, odakle sledi jedinstvenost broja o. ∎ 3.3 Preferencije između lutrijskih lozova Najpogodnije je uvesti funkciju korisnosti na slučaj lutrijskih lozova, odnosno akcija čije se posledice biraju sa određenim verovatnoćama. Definicija 3.3.1 Funkcija korisnosti U je funkcija koja svakoj posledici pridružuje realan broj tako da ako su = ∑ o�$� i = ∑ �l� dva lutrijska loza tada je ≤ ako i samo ako je

• 39

A o�($�) ≤ A �Bl�C.�� Ako uvedemo oznaku = A o�($�),� tada se prethodna nejednakost može zapisati u obliku

≤ .

Teorema 3.3.1 Realna funkcija U je funkcija korisnosti ako i samo ako je f ≤ g ekvivalentno sa " ≤ * pod uslovom da su f i g akcije definisane na konačnom skupu posledica. Dokaz. Pretpostavimo da je realna funkcija U funkcija korisnosti. Iz definicije 3.3.1 imamo da važi za lutrijske lozove i da je ≤ ako i samo ako je ≤ . Kako su lutrijski lozovi zapravo akcije čije se posledice biraju sa određenim verovatnoćama, tako direktno sledi da i za akcije važi isti odnos, jer su lutrijski lozovi vrsta akcija, tako da možemo posmatrati akcije umesto lutrijskih lozova.

Za drugi deo teoreme dokaz je očigledan. Ako pretpostavimo da za akcije f i g važi da je f ≤ g ako i samo ako je " ≤ *, opet imamo isti odnos i između lutrijskih lozova, sledi iz definicije lutrijskih lozova, jer su oni zapravo akcije, što po definiciji 3.3.1 znači da je realna funkcija U funkcija korisnosti. ∎

Teorema 3.3.2 Ako je U funkcija korisnosti i ρ i σ realni brojevi gde je ρ > 0, onda funkcija U ʹ = ρU + σ je takođe funkcija korisnosti.

Dokaz. Pretpostavimo da je funkcija U funkcija korisnosti, tj. da je funkcija koja svakoj posledici pridružuje realan broj tako da ako su = ∑ o�$� i = ∑ �l� tada je ≤ ako i samo ako je A o�($�) ≤ A �Bl�C.�� Prethodnu nejednakost možemo zapisati na sledeći način

≤ .

• 40

Ako bismo pomnožili nejednakost sa brojem ρ koji je pozitivan, odnos bi ostao isti, tj. imaćemo da je

o ≤ o. Isto tako možemo dodamo broj σ, pa ćemo imati

+ o ≤ + o. To zapravo predstavlja neku novu funkciju korisnosti koju možemo označiti sa Uʹ za koju važi da je ʹ ≤ ʹ. ∎

Ova teorema znači da je pozitivna linearna transformacija funkcije korisnosti je opet funkcija korisnosti. Ako funkciji korisnosti dodamo neku konstantu, ona ostaje funkcija korisnosti. Ako funkciju korisnosti pomnožimo pozitivnom konstantom, ona ostaje funkcija korisnosti. Dakle, ako postoji funkcija korisnosti, onda će postojati sigurno više od te jedne funkcije korisnosti, jer bismo uvek mogli da konstruišemo novu na osnovu postojeće.

Teorema 3.3.3 Ako su U i Uʹ funkcije korisnosti, onda postoje realni brojevi ρ i σ takvi da je Uʹ = ρ U + σ, pri čemu je ρ > 0.

Dokaz. Pretpostavimo da su U i Uʹ dve funkcije korisnosti i f, g, h posledice iz skupa posledica F. Treba pokazati da postoje realni brojevi ρ i σ takvi da je Uʹ = ρ U + σ, pri čemu je ρ > 0.

Bez gubljenja opštosti pretpostavimo da za posledice važi odnos da je f

• 41

1=ρ1 + (1-ρ)1

(l) = o($) + (1 − o)(ℎ) ʹ(l) = oʹ($) + (1 − o)ʹ(ℎ).

Odnosno taj sistem se svodi na

(1) 1 1 1($) (l) (ℎ)ʹ($) ʹ(l) ʹ(ℎ) = 0, uz pretpostavku da posledice f, g i h nisu ekvivalentne u parovima.

Jednačinu (2) možemo zapisati na sledeći način

(2) 1(l)ʹ(ℎ) − (ℎ)ʹ(l) − ($)ʹ(ℎ) − ʹ(l) + ʹ($)(ℎ) − (l) = 0. Ako prethodnu jednakost podelimo sa (ℎ) − (l), pri čemu mora da važi da je (ℎ) −(l) ≠ 0, dobićemo sledeću jednakost. Međutim, da bismo to uradili, primetimo da zbog datog odnosa između posledica gde važi da je g 0, dakle sada smo sigurni da možemo podeliti sa (ℎ) − (l). Tako dobijamo da je

(l)ʹ(ℎ) − (ℎ)ʹ(l)(ℎ) − (l) − ($) ʹ(ℎ) − ʹ(l)(ℎ) − (l) + ʹ($) (ℎ) − (l)(ℎ) − (l) = 0,

(l)ʹ(ℎ) − (ℎ)ʹ(l)(ℎ) − (l) − ($) ʹ(ℎ) − ʹ(l)(ℎ) − (l) + ʹ($) = 0,

ʹ($) = ʹ(ℎ) − ʹ(l)(ℎ) − (l) ($) − (l)ʹ(ℎ) − (ℎ)ʹ(l)(ℎ) − (l) .

Ako bismo stavili da je

ʹ(ℎ) − ʹ(l)(ℎ) − (l) = o i

− (l)ʹ(ℎ) − (ℎ)ʹ(l)(ℎ) − (l) = ,

• 42

dobijamo da je

ʹ($) = o ($) + , odakle sledi da postoje realni brojevi o i takvi da je Uʹ = o U + σ, što je trebalo i pokazati. Kako važi da je (ℎ) − (l) > 0, iz istog razloga važiće i da je ʹ(ℎ) − ʹ(l) > 0, dakle o je zaista pozitivan broj. ∎

Postoji razlika između teoreme 3.3.2 i teoreme 3.3.3. Razlika je u tome što teorema 3.3.2 tvrdi da je pozitivna linearna transformacija funkcije korisnosti jedna funkcija korisnosti. Dok teorema 3.3.3 tvrdi da se dve funkcije korisnosti mogu povezati pozitivnom linearnom transformacijom. Dakle, ako postoji funkcija korisnosti, onda sigurno postoji više funkcija korisnosti od jedne. Međutim, ovde se nameće sledeće pitanje, da li uopšte postoji funkcija korisnosti? Odgovor je pozitivan i to tvrdi sledeća teorema.

Teorema 3.3.4 Postoji funkcija korisnosti.

3.4 Funkcija korisnosti na uopštene akcije

Do sada se posmatrao uslov kada akcija ima samo konačan broj posledica. Zato se nameću sledeća pitanja: da li nas taj uslov ograničava? Da li možda propuštamo neke informacije posmatrajući samo konačan broj posledica? Ako bismo gledali sa praktične strane gledišta, možemo smatrati da i ne predstavlja uslov uopšte, odnosno da nas uopšte ne ograničava, nismo uskraćeni za neke informacije koje bi nam bile od značaja. Razmotrimo sledeći primer. Posmatrajmo interval trajanja ljudskog života. Logično je pretpostaviti da je taj interval konačan. Ne bi imalo smisla posmatrati pretpostavku da je interval trajanja ljudskog života beskonačan skup. Najmanju jedinicu koju možemo posmatrati može biti minut, sekunda ili čak mikrosekunda. Međutim, posmatrajući skup predviđenih posledica, svaku posledicu možemo identifikovati nekim elementom, prikladno izabranim, možda čak i ogromnim podskupom, jer bismo sve posledice koje su iste posmatrali kao jednu posledicu, ne bismo pravili razliku među njima. Ovim primerom pokazala se beskorisnost uvođenja beskonačnog skupa posledica, pa bi se moglo zaključiti da nema nikakve važnosti da se koncept korisnosti akcije proširi na beskonačan broj posledica. Ako bismo pretpostavili da taj argument važi, mogli bismo izvesti zaključak da su

• 43

beskonačni skupovi beznačajni za praktične stvari. Ovu pretpostavku možemo i uopštiti, naime možemo reći da su beskonačni skupovi beznačajni kada se posmatra njihova primena, da nemaju svrhu. Dakle, pokazalo se da beskonačnost u ovom slučaju ništa nije donela, odnosno da ništa ne znači.

Međutim, postoje i izvesne prednosti. Ne možemo zanemariti značaj koji imaju beskonačni skupovi u odnosu na konačne, u smislu da možemo lakše pojednostaviti situaciju. Na primer, posmatrajmo godišnji prihod pojedinca ili firme. Taj prihod možemo označiti kao slučajnu promenljivu sa neograničenim brojem mogućih vrednosti. A možemo i označiti kao slučajnu promenljivu diskretnog tipa, koja uzima konačan broj mogućih vrednosti. Generalno je pogodnije posmatrati promenljivu sa neograničenim brojem mogučnosti, nego kao promenljivu ograničenu na veliki konačan broj vrednosti, čak iako se zna na primer da će prihod biti sigurno manji od 1010. Pogodnost se ogleda u lakšem radu sa promenljivama. U ovom primeru se pokazalo da je olakšavajuća okolnost posmatrati beskonačne skupove, što predstavlja izvesnu suprotnost u odnosu na prvi primer.

Koncept funkcije korisnosti možemo proširiti na akcije sa beskonačnim brojem posledica na sledeći način: ako postoje funkcije korisnosti U" i U*, pri čemu je moguće da korisnosti uzmu beskonačne vrednosti, važiće odnos f ≤ g između akcija ako i samo ako važi odnos

U" ≤ U* između funkcija korisnosti.

Vidimo da ima sličnosti sa tvrđenjem iz prethodnog dela, samo što se sada posmatraju akcije sa beskonačnim brojem posledica.

Sada navodimo aksiomu koja je u skladu sa do sada uvedenim aksiomama P1-6.

P7 Ako za dve akcije f i g iz skupa svih akcija F i za posledicu g važi da je f ≤ ( ≥ ) g (&) pod uslovom da se realizovao događaj B za svako stanje s ∈ B, onda f ≤ ( ≥ ) g pod uslovom da se realizovao događaj B.

Za skup aksioma P1-6 važi da se one odnose na relaciju ≤ . Međutim, možemo i proširiti njihov koncept na bilo koju relaciju ≤ pod uslovom da se realizovao događaj B, pri čemu je B ≠ ∅. Očigledno je da ista stvar važi i za aksiome P1-7. Dakle, skup aksioma P1-7 možemo proširiti na koncept relacije ≤ pod uslovom da se realizovao događaj B. Iz aksiome P7 sledi da relaciju ≤ možemo zameniti sa relacijom ≥, i naravno obrnuto, da relaciju ≥ možemo zameniti sa relacijom ≤ , što predstavlja veliku pogodnost prilikom primene.

• 44

Lema 3.4.1 Ako je f ≤ h i g ≤ h, za svaku posledicu h iz skupa posledica F i bilo koje dve akcije f i g iz skupa akcija F, tada je " = *. Dokaz. Dokaz direktno sledi iz aksiome P7. Uzmimo da za akcije f i g i za posledicu h važi da je

f ≤ h( s ) pod uslovom da se realizovao događaj B,

za s ∈ B. Kako važi za svako stanje s ∈ B važiće i za stanje s za koje je h( s ) = g( s ). Odnosno, imaćemo da je f ≤ g( s ) pod uslovom da se realizovao događaj B. Iz aksiome P7 sledi da je f ≤ g pod uslovom da se realizovao događaj B. S druge strane imaćemo da je

g ≤ h( s ) pod uslovom da se realizivao događaj B,

za s ∈ B. Isto ćemo imati da je h( s ) = f ( s ) tj. da je g ≤ f ( s ) pod uslovom da se realizovao događaj B. Iz aksiome P7 sledi da je g ≤ f pod uslovom da se realizovao događaj B. Očigledno sledi da je " = *. ∎

Lema 3.4.2 Ako je f akcija i ako postoji posledica f0 takva da važi f ≤ f0 i ako je U( f ( s )) ≤ U0 za svako stanje s, onda postoji lutrijski loz takav da je f ≤ i U ≤ }. Dokaz. Pretpostavimo da je f akcija i f0 posledica za koju važi da je f ≤ f0 i da je U( f ( s )) ≤ U0 za svako stanje s. Ako bi ($}) ≤ } onda se za lutrijski loz može uzeti da sadrži samo posledicu$}. U suprotnom, pretpostavimo da je f1 bilo koja posledica takva da ($�) ≤ }, tada bi lutrijski loz morao biti jedinstvena mešavina posledica f0 i f1, takva da je ≤ }. ∎ Lema 3.4.3 Pretpostavimo da važe sledeće tri pretpostavke: 1. ���, ��, … , ��� predstavlja razbijanje skupa B i Ui su odgovarajući realni brojevi, za � ∈ �1, 2, … , ��, 2. " je akcija iz skupa F takva da važi da je U( f ( s )) ≤ Ui za & ∈ ��, 3. je lutrijski loz za koji važi da je ≤ ", tada će važiti ≤ A �;( ��).t • 45 Dokaz. Pretpostavimo da važe sve tri pretpostavke. Iz aksiome P6 i leme 3.4.1 možemo uzeti da za svako � ∈ �1, 2, … , �� postoji posledica fi takva da je f ≤ fi pod uslovom da se realizovao događaj Bi. Kako važi da je f ≤ fi i pretpostavka da je U( f ( s )) ≤ Ui za & ∈ ��, iz leme 3.4.2 sledi da postoji lutrijski loz �, za svako i, pri čemu važi da je f ≤ � i U� ≤ �. Označimo sada sa novi lutrijski loz takav da je = A ;( ��)l�� . Uočimo da iz pretpostavke (2) ove leme važi da je ≤ ", dok imamo da iz leme 3.4.2 važi da je " ≤ , zato će biti ≤ " ≤ . Imaćemo da važi da je ≤ = A ;( ��)�� = A ;(��)(�),� kako je U� ≤ �, kada smenimo u prethodnu nejednakost biće ≤ A ;(��)� .� Što je i trebalo pokazati. ∎ Akciju ćemo zvati ograničenom, ako je njena funkcija korisnosti ograničena slučajna promenljiva. Definicija 3.4.1 Ograničena akcija je akcija f takva da za neka dva broja U0 i U1, važi P} ≤ B$(s)C ≤ � = 1.

Iz prethodne definicije zaklučujemo da ona ne zavisi od izbora funkcije korisnosti U.

Teorema 3.4.1 Ako su akcije f i g iz skupa akcija F ograničene, tada je f ≤ g ako i samo ako je " ≤ *. Dokaz. Pretpostavimo da su akcije f i g iz skupa akcija F ograničene. Pretpostavimo i da postoje posledice g i h takve da važi da je za neko stanje s

g (s)≤ f ≤ h(s).

• 46

Ovo je moguće jer posmatramo netrivijalni slučaj.

Iz teoreme 3.2.4 imamo da postoji mešavina posledica g i h takva da postoji lutrijski loz , pri čemu je = f. Napravimo razbijanje ���, ��, … , ��� sa sledećim uslovom

& ∈ �� ako i samo ako je  �!� ≤ B$(&)C ≤ �, za � ∈ �1, 2, … , ��, pri čemu je � = ¡1 − ��¢ } + �� �, gde je � ∈ �0, 1, … , ��. Iz leme 3.4.3 imaćemo da je A �!�;(��) ≤ ���� ≤ A �;(��)� ��� , tj. za odgovarajuću akciju f imaćemo da je A �!�;(��) ≤ "���� ≤ A �;(��)� ��� . Iz poslednje dve nejednakosti biće |" − | ≤ A( � − �!�);(��).� ��� Kako je � > �!�, za � ∈ �1, 2, … , ��, ne koristimo | � − �!�|. Sredimo sada desnu stranu poslednje nejednakosti. A ;(��)( � − �!�) = A £¤¡1 − ��¢ } + �� �¥ − ¤¡1 − � − 1� ¢ } + � − 1� �¥¦� ��� ���= = A ;(��) £} ¤1 − �� − ¡1 − � − 1� ¢¥ + � ¡ �� − � − 1� ¢¦� ���= • 47 = A ;(��) ¡} −� + � − 1� + � � − � + 1� ¢ =� ��� = A ;(��) � − }�� ��� . Kada prethodni rezultat zamenimo u nejednakost biće |" − | ≤ A ;(��) � − }�� ���. Osim toga, iz činjenice da je A ;(��) � − }�� ���= � − }� A ;(��) = � − }� · 1 = ���� − }� , važiće |" − | ≤ � − }� . Odakle je " = . Ako bismo sada pretpostavili da postoji posledica koja “prevazilazi” akciju f, u smislu leme 3.4.1, znači da je ta posledica pozeljnija u odnosu na akciju f, imaćemo da su sve akcije ekvivalentne jedna sa drugom. Sada pokazujemo prvi deo teoreme. Pretpostavimo da je f ≤ g, na osnovu prethodnog dokaza možemo napraviti odgovarajuće lutrijske lozove ekvivalentne datim akcijama. Kako važi da je f ≤ g, onda će na osnovu prethodnog, jer je " = i * = , biti " ≤ *. Za drugi deo teoreme, dokaz je isti kao prethodni. ∎ • 48 Definicija 3.4.2 Akcija f ima beskonačnu ( negativnu beskonačnu) funkciju korisnosti ako i samo ako za neke posledice g i h, za koje važi da je g < (>) ℎ i za svako § > 0, postoji događaj B, sa osobinom da je P( B ) ≤ § i postoji takva akcija jednaka sa f na događaju B i dok na događaju Bc posledice zadržavaju odnos g < (>) ℎ. Definicija 3.4.3 Za lutrijski loz ili posledicu kažemo da ima beskonačnu ( negativnu beskonačnu) funkciju korisnosti ako jedna od odgovarajućih akcija ima beskonačnu ( negativnu beskonačnu) funkciju korisnosti. Uključivanjem ograničenih akcija i proširenjem funkcije korisnosti na uopštene akcije, relacija preferencije se može objasniti sledećom rečenicom. R Za akcije f i g i događaj B važiće f ≤ g pod uslovom da se realizovao događaj B ako i samo ako važi P( B ) = 0 ili važi da je E( f | B ) - E( g | B ) ≤ 0. Prethodni rezultat nije formulisan kao aksioma, međutim on će važiti u svakom slučaju kada očekivane vrednosti za akcije f i g postoje i kada su one konačne. Prilikom donošenja odluke za koju akciju se odlučiti iz skupa akcija F, logično je da će se osoba verovatno odlučiti za onu akciju koja ima najveću očekivanu vrednost, odnosno za onu akciju za koju je v( F ) takvo da važi da je v( F )= &¨©ª("), gde je " ∈ ¬ . 3.5 Komentari i primeri vezani za funkciju korisnosti Osnovni pojam u teoriji verovatnoće je statistički eksperiment u kome posmatramo kada se neki događaj realizuje prilikom ponavljanja eksperimenta. Dakle, verovatnoća opisuje relativnu učestanost nekog događaja usled ponavljanja eksperimenta. Možemo povezati pojam • 49 verovatnoće i funkcije korisnosti. Posmatra se događaj da se ostvarila neka novčana dobit. Postavlja se sledeće pitanje, kojoj novčanoj dobiti dati prednost, ako ih postoji više, odnosno za koju se odlučiti? Logično je da će se dati prednost onde gde se očekuje najveći mogući dobitak. Zato se i koristi pojam matematičkog očekivanja. Bernuli je jedan od prvih koji je predstavio ideju o korisnosti. Dakle, verovatnoća je ovde usmerena na dobit. Posmatrajmo posledice koje predstavljaju neku količinu novca. Funkcija korisnosti U( f ), za neku posledicu f, menja se sa promenom posledice f . Što je novčana dobit veća, veća je i korisnost. Pretpostavimo da je kapital neke osobe f0 . Ukoliko ona namerava da potroši deo kapitala, funkcija korisnosti bi mogla da se aproksimira tangentom u f0 , odnosno imali bismo da je (1) U( f ) ≅ U( f0 ) + (f – f0 ) U ʹ ( f 0 ), što bi bila linearna funkcija po f . U okolini tačke f0, krivu U( f ) aproksimiramo tangentom u toj tački. Da bismo došli do izraza (1), krećemo od toga da je ʹ($}) = j�® ($} + ∆$) − ($})∆$ , ʹ($}) ≅ ($} + ∆$) − ($})∆$, pri čemu je ∆$ = $−$}. Odatle sledi da je ʹ($})($ − $}) ≅ ($} + ∆$) − ($}),

odnosno, imamo da važi da je

( $) ≅ ($} ) + ($–$} )ʹ( \$} ).

Jedan od najpoznatijih primera u kome je predstavljena korisnost novčanih dobiti (opcija) je primer ʹʹ Paradoks Sankt Peterburgaʹʹ , koji navodi Bernuli. Naime, posmatra se igra koja se sastoji u bacanju pravilnog novčića (novčić kod koga su jednake verovatnoće događaja da padne grb i da padne pismo). Novčić se baca sve dok ne padne grb i kada padne grb igra se završava. Inače, originalan primer pokazuje dobit na dukatima, ali ovde koristimo dobit u dinarima. Ako je pao grb prvi put u prvom bacanju novčića, tada se dobija 21 dinara i igra se završava. Ako je prilikom prvog bacanja novčića palo pismo, novčić se ponovo baca. Ako bi sada u drugom bacanju pao grb, ishod bi se završio i dobilo bi se 22 dinara. Ukoliko prvi put padne grb u n-tom bacanju, dobijamo 2n dinara. Postavlja se sledeće pitanje: koliko smo spremni da platimo za učešće u igri da bismo imali dobit? Ako bismo na primer dali 100 dinara, mora da bude 2n > 100, što bi značilo da mora da bude n ≥ 7. Znači, da bi se isplatilo mora da padne grb tek u sedmom bacanju. U tom slučaju imamo da je verovatnoća događaja da je pao grb u n-tom bacanju

• 50

P( ʹʹ pao je grb u n-tom bacanju ʹʹ ) = ��±,

dok korisnost istog događaja bi bila

U( ʹʹ pao je grb u n-tom bacanju ʹʹ ) = 2n.

U tom slučaju očekivani dobitak bi bio

A 2�²���12� = A 1

²��� = ∞.

Dakle, očekivani dobitak je beskonačna količina novca.

Ako bismo za učešće u igri dali 100 dinara, verovatnoća da se realizuje događaj da dobijemo više

od 100 dinara, na osnovu prethodnog je ��³, što je veoma mala verovatnoća. Dakle, zaključak je

da su verovatnoće dobitaka većih iznosa vrlo male.

Međutim u ovoj igri nije bitan samo iznos koji će dobiti potencijalni igrač, već je bitno i koliko taj novac igraču zapravo znači. To bi značilo da dobitak od 100 dinara ne znači isto osobi koja ima 0 dinara i osobi koja ima 10 000 dinara. Logično je da bi taj dobitak imao veću vrednost igraču

Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents