Shrnutí P2

2V

VBV

FMFBC

VF

V

VBV eFMFrosyrovnicevektorová 2

00

IFV

osa existuje

iV FF

iiiBVB FBAMM

Silové soustavy podle statických charakteristik

- nejednoduší reprezentanti typů silových soustav P

n=0

n=1

rovnovážná P

P s osou

n=2a) společná nositelka b) různoběžné nositelky

b) rovnoběžné nositelky d) mimoběžné nositelky

P bez osoutočivá silová soustava <=

Pravidla pro volbu souřadného systému

- počátek v průsečíku co největšího počtu sil (nositelek)- souřadnicové osy volit ve směru co největšího počtu sil- je-li několik sil v rovině => volíme jako souřadnicovou rovinu- protíná-li několik sil jedinou přímku => volit tuto přímku jako souřadnicovou osu

Statické charakteristiky

Název P Nejjednodušší reprezentant

schéma

Fv MvB I

≠0 obecná bez osy

dvě mimoběžné síly – „silový kříž“

=0 obecná s osou jedna síla

=0 točivá silová dvojice

=0 rovnovážná těleso bez sil

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Těžiště těles a metody jeho určení

Radek VlachÚstav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky

FSI VUT BrnoTel.: 54114 2860

e-mail: vlach.r@fme.vutbr.cz, http://www.umt.fme.vutbr.cz/~rvlach/

Tíhová síla a těžiště

Silová soustava P na rovnoběžných (rotujících ) nositelkách

GgggiV FedVgdVgdmgFdFdF

osa:

g

gi

gi

gii

i

ii

ii

iii

S dFdFr

dFdFr

FFr

FFrr

g

gi

T dFdFr

rtěžiště:

0l

0l i

g

gi

T dF

dFrr

gG FdF

g

g

T dF

dFxx

g

g

T dF

dFyy

g

g

T dF

dFzz

Výpočet těžiště a tíhové síly pro reálná tělesa - 3D tělesa

dmgFdF gG

dm

dmr

dF

dFrr

i

g

gi

T

dm

dmxxT

Ty

Tz

dVgdmgFG

dV

dVr

dV

dVrr

ii

T

dV

dVxxT

Ty

Tz

i

iiG dVgF

n

i

n

ii

T

i

i

dV

dVrr

1

1

n

ii

n

iii

T

dV

dVxx

1

1

Ty

Tz

- 2D tělesa (t=konst.) -1D tělesa (S<<l)

dStgdmgFdF gG

.konst

dS

dSr

dSt

dStrr

ii

T

.konst

dStgdmgFdF gG

dS

dSr

dSt

dStrr

ii

T

dlSgdmgFdF gG

dl

dlr

dlS

dlSrr

ii

T

dlSgdmgFdF gG

dl

dlr

dlS

dlrSr

ii

T

S

Tělesa tvořená ze základních těles (součtové vztahy)

.konst

nkonst 11.

3D – krychle – kvádr – koule – kužel – …

2D – – čtverec – obdélník – kruh – trojúhelník – …

ggiV FdFdF 0l

n

iii

n

iiiTi

T

V

Vrr

1

1

n

iiiG VgF

1

n

iiG VgF

1

n

ii

n

iiTi

T

V

Vrr

1

1

n

iiiG VgF

1

n

iiG VgF

1

n

ii

n

iiTi

T

V

Vxx

1

1

Ty

Tz

!!! Objem V3 se odečítá !!!

- 3D tělesa

- 2D tělesa (t=konst.) -1D tělesa (v rovině)

.konst

nkonst 11.

n

iiiG StgF

1

n

iii

n

iiiTi

n

iii

n

iiiTi

T

S

Sr

Stg

Srtgr

1

1

1

1

n

iiiG StgF

1

n

iiG StgF

1

n

iiG StgF

1

n

ii

n

iiTi

TS

Srr

1

1

n

ii

n

iiTi

T

S

Sxx

1

1

2tzT

Ty

n

iiiG lSgF

1

n

iiiG lSgF

1

n

iii

n

iiiTi

n

iii

n

iiiTi

Tl

lr

lSg

lrSgr

1

1

1

1

n

iiG lSgF

1

n

iiG lSgF

1

n

ii

n

iiTi

T

l

lrr

1

1

n

ii

n

iiTi

T

l

lxx

1

1

Tz

Ty

střed průřezu

Vlastnosti polohy těžiště - má-li homogenní těleso – rovinu symetrie pak těžiště leží na ní

– osu symetrie pak těžiště leží na ní

– střed symetrie pak těžiště je právě tento střed

- při rozdělení tělesa na části – 2 leží těžiště na spojnici dílčích těžišť – 3 leží v prostoru (rovině) vymezené jednotlivými těžišti – 4

- pro osově symetrická tělesa lze využít Pappus–Guldinových vět (homogení těleso)

- volba souřadnicového systému souvisí s geometrií tělesa definující dV a integracíkartézský souřadný systém – dV=dx.dy.dz cylindrický souřadný systém – dV=r.dr.dj.dzsférický souřadný systém – dV=r2.dr.dj.dy

Metody stanovení těžiště- výpočtově – viz. Výše uvedené postupy (modelové těleso)- experimentálně – zavěšením

– vážením ve dvou polohách

Výslednice spojitého zatížení

a) liniová síla

l

g

l

g

C

dF

dFrr

0

0 jFF qq

l

x

l

qq dlqdFF0

)(0

.konstq

lqdlqFl

q 0

Velikost výslednice spojitého zatížení je rovna velikosti plochy obrazce spojitého zatížení.

Poloha bodu C leží na ose spojitého silového zatížení, která prochází těžištěm obrazce.

l

dlr

dl

dlr

dlq

dlrqr

l

l

l

l

l

C

0

0

0

0

0 2lxC

byC

b) plošný tlak

dSp

dSpr

dF

dFrr

p

p

C

dlpFdF pp

konstekonstp p ,.

SpdSpFp

Velikost výslednice plošného tlaku je rovna velikosti objemu vystavěného plošným zatížením.

Poloha bodu C leží na ose plošného zatížení, která prochází těžištěm objemu plošného zatížení.

Příklad

16/15