DERIVATA di una funzioneDERIVATA di una funzione

Sia e x*Sia e x*∈∈AA

punto di accumulazione punto di accumulazione

di Adi A

RAf →:

**)()(

xxxfxf

xf

−−

=∆∆

èè il il RAPPORTO INCREMENTALERAPPORTO INCREMENTALE

Il rapporto incrementalerapporto incrementale di f calcolato in x* rappresenta il coefficiente angolarecoefficiente angolare della secante passante per i punti P0 e P

Se Se esisteesiste ed ed èè finitofinito ilil

**)()(

lim* xx

xfxfxx −

−→

alloraallora f f èè derivabile in x*derivabile in x*; ;

il valore finito del limite si chiama il valore finito del limite si chiama DERIVATA DERIVATA di f in x* e si indica condi f in x* e si indica con

*

o *)(xdx

dfxf ′

Significato Significato GEOMETRICOGEOMETRICO della derivatadella derivataf derivabile in x*f derivabile in x*

xx→→x* x* ⇒⇒ ss→→tt⇓⇓

xx→→x*x*⇓⇓

ts mmxx

xfxf→=

−−

**)()( *)(

**)()( xf

xxxfxf ′→

−−

tmxf =′⇓*)(

Sia e x* Sia e x* ∈∈ AARAf →:

*)*)((*)( xxxfxfy −′+=

SeSe f f èè derivabilederivabile in x*, la curva y=f(x) in x*, la curva y=f(x)

èè dotata didotata di retta tangenteretta tangente nel punto nel punto

P*=(x*,f(x*)) eP*=(x*,f(x*)) e ll’’equazione di tale rettaequazione di tale retta èè

La La derivataderivata di f in x* rappresenta di f in x* rappresenta il il coefficiente angolare coefficiente angolare della della

retta tangente alla curvaretta tangente alla curva nel nel punto P*=(x*,f(x*))punto P*=(x*,f(x*))

ESEMPIOESEMPIO

C=C(q)C=C(q) Costo che unCosto che un’’impresa deve sostenere impresa deve sostenere per produrre una certa quantitper produrre una certa quantitàà q di q di merce (merce (costo in funzione della quantitcosto in funzione della quantitàà))

**)()(

qqqCqC

−− Rapporto incrementale di C(q) cioRapporto incrementale di C(q) cioèè

rapporto tra la variazione del costo di rapporto tra la variazione del costo di produzione e la variazione della produzione e la variazione della quantitquantitàà prodotta, quando lprodotta, quando l’’impresa impresa passa da una produzione q* ad una passa da una produzione q* ad una produzione q (produzione q (tasso di variazione dei tasso di variazione dei costicosti))

**)()(lim

*)(

* qqqCqC

qC

qq −−

=

=′

→

Variazione di C relativa ad una Variazione di C relativa ad una variazione variazione ““infinitesimainfinitesima”” di q di q ((costo marginale in q*costo marginale in q*))

Sia e x*Sia e x*∈∈ AA punto di accumulazione punto di accumulazione di Adi A

RAf →:

Si dice cheSi dice che f f èè differenziabiledifferenziabile in x* in x*

se se ∃∃aa∈∈R:R: 0*

*)(*)()(lim*

=−

−−−

→ xxxxaxfxf

xx

a(xa(x--x*)x*) si chiama si chiama DIFFERENZIALEDIFFERENZIALE di f in x*di f in x*

[ ]

[ ] 0*)(*)()(

0*)(*)()(abiledifferenzif:NB

limlimlim

**

*

=−=−⇒

⇒=−−−⇒

⇒

→→

→

xxaxfxf

xxaxfxf

xxxx

xx

f differenziabile f differenziabile ⇒⇒ f continuaf continua

a(x*)f e *x in derivabile f*

*)()(0*

*)()(

0*

*)(*)()(

: *xinabiledifferenzi f

limlim

lim

**

*

=′⇒

⇒=−−

⇒=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

⇒

⇒=−

−−−∈∃⇒

→→

→

axx

xfxfaxx

xfxfxx

xxaxfxfRa

xxxx

xx

f differenziabile in x* f differenziabile in x* ⇔⇔ f derivabile in x*f derivabile in x*⇒⇒

(x*)fa e *x in abiledifferenzi f

0*

*)*)((*)()(

0***)(

**)()(

*xinderivabilef

lim

lim

*

*

′=⇒

⇒=−

−′−−⇒

⇒=−−′−

−−

⇒

→

→

xxxxxfxfxf

xxxxxf

xxxfxf

xx

xx

⇐⇐

{ } 0*

*)*)((*)()( lim*

=−

−′+−→ xx

xxxfxfxfxx

Se f Se f èè differenziabile in x*differenziabile in x*

⇓⇓

Da un punto di vista geometrico questo significa Da un punto di vista geometrico questo significa che se f che se f èè differenziabile in x*, nei punti differenziabile in x*, nei punti ““vicinivicini””ad x*, la curva ad x*, la curva èè ben approssimata dalla retta ad ben approssimata dalla retta ad essa tangente in (x*,f(x*))essa tangente in (x*,f(x*))

Sia e x* Sia e x* ∈∈ AARAf →:

f derivabile in x*f derivabile in x*

NB:NB: f continua in x*f continua in x*⇒⇒f derivabile in x*f derivabile in x*

f differenziabile in x*f differenziabile in x*

⇓f continua in x*f continua in x*

ESEMPIO 1ESEMPIO 1

0x* in continua è xf(x)0xlim0x

==⇒=→

f(x)=f(x)=⏐⏐xx⏐⏐

1 x

lim1 x

lim0x 1-0x 1

xx

infatti 00x

limlim

0x0x

0x0

−=≠=⇒⎩⎨⎧

<>

=

∃−−

=∆∆

−+ →→

→→Λ

xx

xxf

x

f(x)=f(x)=⏐⏐xx⏐⏐ èè continuacontinua in x*=0 ma in x*=0 ma non non èè derivabilederivabilein quel puntoin quel punto

Il punto x*=0 si chiama Il punto x*=0 si chiama punto angolosopunto angoloso

ESEMPIO 2ESEMPIO 2

0x* in continua è f(x)0lim 3 23 2

0x==⇒=

→xx

−∞=≠+∞=

∃=−−

=∆∆

−+ →→

→→→Λ

1lim 1lim

infatti 1lim0

0limlim

30x30x

30x

3 2

0x0

xx

xxx

xf

x

èè continuacontinua in x*=0 ma in x*=0 ma non non èèderivabilederivabile in quel puntoin quel punto

Il punto x*=0 si chiamaIl punto x*=0 si chiama cuspidecuspide

3 2)( xxf =

3 2)( xxf =

Calcolo della derivata di alcune funzioni Calcolo della derivata di alcune funzioni elementarielementari

1)1) Sia Sia f(x)=cf(x)=cf:f:ℜ→ℜℜ→ℜ

0*

0lim

*lim

**)()(lim ,*

*

**

=−

=

=−−

=−−

∈∀

→

→→

xx

xxcc

xxxfxfRx

xx

xxxx

f f èè derivabilederivabile ∀∀x*x*∈∈R e la sua derivata R e la sua derivata èè zerozero∀∀x*x*∈∈R; resta quindi definita unaR; resta quindi definita una nuova nuova funzionefunzione ff’’::ℜ→ℜℜ→ℜ, derivata di f : f, derivata di f : f’’(x)=0 (x)=0 ∀∀xx∈∈RR

2)2) Sia Sia f(x)=xf(x)=xf:f:ℜ→ℜℜ→ℜ

11lim**lim

**)()(lim ,*

*

**

==

=−−

=−−

∈∀

→

→→

xx

xxxx xxxx

xxxfxfRx

f f èè derivabilederivabile ∀∀x*x*∈∈R R La funzioneLa funzione ff’’::ℜ→ℜℜ→ℜ, derivata di f , derivata di f èè ff’’(x)=1 (x)=1 ∀∀xx∈∈RR

3)3) SiaSiaf:f:ℜ→ℜℜ→ℜ

( )

1121

*

**

*)(*

)*)(...**)((lim

**lim

**)()(lim ,*

−−−−

→

→→

=−

+++−=

=−−

=−−

∈∀

nnnn

xx

nn

xxxx

xnxx

xxxxxxxxxx

xxxfxfRx

f f èè derivabilederivabile ∀∀x*x*∈∈R R La funzioneLa funzione ff’’::ℜ→ℜℜ→ℜ, derivata di f , derivata di f èè

∀∀xx∈∈RR

nxxf =)(

1)( −=′ nnxxf

NB:NB: una funzione f:Auna funzione f:A→→R si diceR si dice

derivabilederivabile (differenziabile) (differenziabile) in Ain A

sese èè derivabilederivabile (differenziabile) (differenziabile) ∀∀x*x*∈∈AA

In maniera analoga alla precedente,In maniera analoga alla precedente,

in base a definizionein base a definizione,,

si possono calcolare le derivate delle si possono calcolare le derivate delle altre funzioni elementari altre funzioni elementari e compilare la seguente e compilare la seguente

tabella riepilogativa tabella riepilogativa delle derivate di delle derivate di

funzioni elementarifunzioni elementari

TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARIFUNZIONI ELEMENTARI

f(x)f(x) ff’’(x)(x)

tgxxx

eaxxc

x

x

c

n

cossen

xx

xe

aacxnx

x

x

c

n

2

1

1

cos1sen

cos

ln

0

−

−

− { }{ }{ }

{ }ZkkRxRxRxRx

RaRxRcRx

ZnRxRx

∈+−∈∈∈∈

−∈∈

−∈∈

−∈∈∈

+

+

,2

1,0,

0,

*

*

ππ

Siano f,g:ASiano f,g:A→→R e derivabili in x*R e derivabili in x*

REGOLE di derivazioneREGOLE di derivazione (ricavate (ricavate utilizzando la definizione di derivata)utilizzando la definizione di derivata)

*)('*)('*)()'( e *xinderivabile è

xgxfxgfgf

±=±±•

*)('*)(*)(*)('*)()'( e *xinderivabile è

xgxfxgxfxgfgf

+=⋅⋅•

( )[ ]2**)('*)(*)(*)('*)(

e *x in derivabile è ,0*)( inoltre se

xgxgxfxgxfx

g(x)f(x)

g(x)f(x)xg

−=

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

≠•

ESEMPIOESEMPIO

cos

1cos

sencoscossen

2

2

22

x

xxxxx

dxdtgx

dxd

=

=+

=

==

Sia Sia ff:I:I→→R, R, ff invertibile e continua in I. invertibile e continua in I.

DERIVATADERIVATA di funzione inversadi funzione inversa

( ) 11

f'(x*) (y*)f - =

′

SeSe f f èè derivabile in derivabile in xx** e e ff’’((xx*)*)≠≠00, , allora allora

la sua inversa la sua inversa èè derivabile inderivabile inyy*=*=ff((xx*) *) ee

ESEMPIOESEMPIO

y

e

edxd

ydyd

y

yx

x

1

1

1log

log

log

=

==

==

=

In maniera analoga alla precedente,In maniera analoga alla precedente,

utilizzando la regola di utilizzando la regola di derivazione della funzione derivazione della funzione

inversainversa,,

si possono si possono aggiungereaggiungere alla tabella alla tabella delle derivate di funzioni elementari le delle derivate di funzioni elementari le

seguenti derivateseguenti derivate

TABELLA DELLE DERIVATE DI ALTRE FUNZIONI TABELLA DELLE DERIVATE DI ALTRE FUNZIONI ELEMENTARIELEMENTARI

f(x)f(x) ff’’(x)(x)

x

x

x

x

xa

arctg

arccos

arcsen

log

log

2

2

2

11

11

11

1log1

x

x

x

x

ax

+

−−

−

{ }

Rx

x

x

Rx

RaRx

∈

<

<

∈

−∈∈ +

1

1

1,

*

**

Sia definita la funzione Sia definita la funzione ffoogg:I:I→→R R e sia e sia xx**∈∈I.I.

DERIVATADERIVATA di funzione compostadi funzione composta

( ) *)('*))((' xgxgf(x*)gf =′

SeSe g g èè derivabile in derivabile in xx** e e f f èèderivabile inderivabile in y*=gy*=g((x*x*)), allora , allora

ffoogg èè derivabile inderivabile in xx* * ee

ESEMPIOESEMPIO

))(()(sen)( e )(

sen)(

xgfxhxxgyyf

xxhSia

=

==⇒

=

xx

xgxgfxdxd

cossen21

)('))(('sen

=

==

ELASTICITAELASTICITA’’

In molti modelli economici, per esempio quando si studia la quantitquantitàà di merce di merce domandata in funzione del prezzodomandata in funzione del prezzo, è piùsignificativo considerare, piuttosto che gli incrementi assoluti delle variabili dipendente e indipendente, gli incrementi incrementi relativirelativi (o percentuali) di queste:

per due motividue motivi:

f(x*)f(x*)f(x)

xxx −− e *

*

1)1) ll’’incremento percentuale evidenzia incremento percentuale evidenzia meglio lmeglio l’’importanza delle variazioni importanza delle variazioni considerate. considerate. Per es. se x rappresenta un prezzo, una Per es. se x rappresenta un prezzo, una aumento xaumento x--x*=100 ha un significato molto diverso a x*=100 ha un significato molto diverso a seconda che il prezzo iniziale sia x*=500 o x*=10000 seconda che il prezzo iniziale sia x*=500 o x*=10000 (aumento del 20 % nel primo caso e del 1% nel secondo)(aumento del 20 % nel primo caso e del 1% nel secondo)2) 2) gli incrementi relativi sono numeri puri gli incrementi relativi sono numeri puri ciocioèè non dipendono dalle unitnon dipendono dalle unitàà di misura di misura usate. usate. Per es. se si considera la variazione del prezzo Per es. se si considera la variazione del prezzo xx--x*=100, il significato di tale incremento x*=100, il significato di tale incremento èè diverso a diverso a seconda che tale prezzo sia calcolato in lire oppure in seconda che tale prezzo sia calcolato in lire oppure in dollari mentre non importa quale sia ldollari mentre non importa quale sia l’’unitunitàà di misura di misura usata se consideriamo lusata se consideriamo l’’incremento relativo (il prezzo incremento relativo (il prezzo èèaumentato del 10%)aumentato del 10%)

Si chiama ELASTICITAELASTICITA’’ DD’’ARCOARCO per una funzione f in un punto x*, il rapporto tra rapporto tra gli incrementi relativigli incrementi relativi

*)(*

**)()(

**

*)(*)()(

xfx

xxxfxf

xxx

xfxfxf

−−

=−

−

Se xSe x→→x*x* ⇒⇒ elasticitelasticitàà puntualepuntuale di f in x*di f in x*

**)(*)('

*)(**)('*)(

xxfxf

xfxxfxE f ==

ESEMPIOESEMPIO

Sia q=q(p)q=q(p) la funzione di domanda di un bene rispetto al prezzo p

•• Se Se EEqq(p)=(p)=--22 significa che significa che in corrispondenza in corrispondenza di un aumento del prezzo del 10% si ha una di un aumento del prezzo del 10% si ha una diminuzione della domanda del 20%diminuzione della domanda del 20%•• Se Se EEqq(p)=(p)=--1/51/5 significa che significa che in in corrispondenza di un aumento del prezzo corrispondenza di un aumento del prezzo del 10% si ha una diminuzione della del 10% si ha una diminuzione della domanda del 2%domanda del 2%

)()(')(

pqppqpE q =

DERIVATA E PUNTI DI MAX E DI MINDERIVATA E PUNTI DI MAX E DI MIN

Sia f:I→R, x* punto interno di max (o min) relativo, f derivabile in x*

0*)(' =⇓

xf

NB:NB: x* punto interno di I significa, per definizione, x* punto interno di I significa, per definizione, che che ∃∃ I(x*,r)I(x*,r)⊂⊂ II

DimostrazioneDimostrazione

x* punto di x* punto di max rel.max rel. ⇒⇒ ∃∃ I(x*,r)I(x*,r)⊂⊂ I I tctc ∀∀xx∈∈ I(x*,r) I(x*,r) f(x)f(x)≤≤f(x*)f(x*)

PoichPoichéé f f derivabile in x*derivabile in x*⇒⇒

( *) ( *)

0

0

lim 0 e lim 0x x x x

f(x) - f(x*)se x x* e x I(x*,r) x x*

f(x) - f(x*)se x x* e x I(x*,r) x x*

f(x) - f(x*) f(x) - f(x*)x x* x x*+ −→ →

> ∈ ≤−

< ∈ ≥−

⇒ ≤ ≥− −

( *) ( *)lim lim

x x x x

f(x) - f(x*) f(x) - f(x*)x x* x x*+ −→ →

=− −

*lim 0x x

f(x) - f(x*)x x*→

⇒ =−

NB: NB: LL’’annullarsi della derivata primaannullarsi della derivata prima in un in un punto interno di massimo o minimo relativo punto interno di massimo o minimo relativo èè condizione necessaria ma non sufficientecondizione necessaria ma non sufficiente

Come si vede dal grafico x* non x* non èè nnéé di di massimo nmassimo néé di minimo relativodi minimo relativo

0)0(' 3)(' : )(:

2

3

==

→=

fxxfRRfxxfEs

Alla luce del precedente risultato,Alla luce del precedente risultato,

i punti di massimo o minimo relativo si i punti di massimo o minimo relativo si possono trovarepossono trovare: :

•• in corrispondenza di punti interni in cui in corrispondenza di punti interni in cui si annulla la derivata primasi annulla la derivata prima

•• in corrispondenza di punti di non in corrispondenza di punti di non derivabilitderivabilitàà

•• in corrispondenza degli estremi in corrispondenza degli estremi delldell’’intervallo di definizioneintervallo di definizione

543210 ,,,,, xxxxxx sono sono possibilipossibili massimi e massimi e minimi relativiminimi relativi

0

1

2 2

3

4

p.to di max rel (estremo dell'intervallo) p.to di min rel (p.to di non derivabilità) p.to di max rel (in cui ( ) 0) nè di max nè di min rel nè di max nè di min rel (p.to di non derivabi

xxx f' xxx

=

5

lità) p.to di min rel (estremo dell'intervallo)x

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTIMASSIMI E MINIMI ASSOLUTI

PoichPoichéé un punto diun punto di massimomassimo (minimo)(minimo)assolutoassoluto èè ancheanche punto dipunto di massimomassimo(minimo)(minimo) relativorelativo,,

i punti di massimo (minimo) i punti di massimo (minimo) assoluto,se esistono, si possono assoluto,se esistono, si possono trovare facendo untrovare facendo un confronto fra i confronto fra i valori assunti dalla funzione in valori assunti dalla funzione in corrispondenza dei possibili punti corrispondenza dei possibili punti di massimodi massimo (minimo)(minimo) relativorelativo

Tornando al grafico precedente:Tornando al grafico precedente:

confrontando i valoriconfrontando i valori

si vede che si vede che èè il il massimo massimo assolutoassoluto ee

èè il il minimo assolutominimo assoluto di fdi f

{ })(),......,(),( 510 xfxfxf

)( 2xf

)( 5xf

Sia Sia ff:[a,b]:[a,b]→→RR, , ff continua in continua in [a,b][a,b]e e derivabile in (a,b)derivabile in (a,b) con con

f(a)=f(b)f(a)=f(b)

TEOREMATEOREMA di di RolleRolle

0)(':),( =∈∃⇓

cfbac

DimostrazioneDimostrazionePer il Per il T. diT. di WeierstrassWeierstrass ⇒⇒ f dotata di massimo e f dotata di massimo e di minimodi minimoI caso:I caso: il max M e il il max M e il minmin m si hanno in m si hanno in corrispondenza degli estremi dellcorrispondenza degli estremi dell’’intervallo intervallo PoichPoichéé f(a)=f(b)f(a)=f(b)⇒⇒m=Mm=M⇒⇒f(x)f(x)costantecostante⇒⇒ff’’(x)=0(x)=0 ∀∀xx∈∈(a,b);(a,b);

II caso:II caso: almeno uno dei due tra il max M e almeno uno dei due tra il max M e il il minmin m si ha in corrispondenza di un m si ha in corrispondenza di un punto interno. punto interno. Per fissare le idee sia Per fissare le idee sia x*x* p.top.todi max interno di [di max interno di [a,ba,b]. Poich]. Poichéé la funzione la funzione èèderivabile in derivabile in (a,b)(a,b) lo lo èè in in x*x* ⇒⇒ff’’(x*)=0(x*)=0

SiaSia ff:[a,b]:[a,b]→→RR, , ff continua in continua in [a,b][a,b]e e derivabile in (a,b)derivabile in (a,b)

TEOREMATEOREMA di di LagrangeLagrange

)(')()(:),( cfab

afbfbac =−−

∈∃

⇓

SianoSiano f,gf,g:[a,b]:[a,b]→→RR, , f,gf,g continue in continue in [a,b][a,b] ee derivabili in (a,b).derivabili in (a,b). Se Se

gg’’(x)(x)≠≠0 0 ∀∀xx∈∈(a,b)(a,b)

TEOREMA TEOREMA di di CauchyCauchy

)(')('

)()()()(:),(

cgcf

agbgafbfbac =

−−

∈∃

⇓

DERIVATA E CRESCENZA E DECRESCENZADERIVATA E CRESCENZA E DECRESCENZA

Sia f:(a,b)→R, f derivabile in (a,b)

f f crescentecrescente in (a,b) in (a,b) ⇔⇔ff’’(x)(x)≥≥00 ∀∀xx∈∈(a,b)(a,b)

f f decrescentedecrescente in (a,b) in (a,b) ⇔⇔ff’’(x)(x)≤≤00 ∀∀xx∈∈(a,b)(a,b)

DimostrazioneDimostrazione

⇒⇒

0)('0)()(lim

0)()( ),,(,

increscente f

00

0

01

0110

0

≥⇒≥−−

⇒

⇒≥−−

∈∀

⇒

→xf

xxxfxf

xxxfxfbaxx

(a,b)

xx

⇐⇐

(a,b)xx

xfxfcfbax f'(x)

cfxx

xfxfxxbaxx

in crescente f0)()(0)('),( 0Poichè

)(')()(:),(c ),,(,

0

01

01

01

1010

⇒≥−−

⇒

⇒≥⇒∈∀≥

=−−

∈∃∈∀

Dato un Dato un p.top.to x* che x* che potrebbe potrebbe essereessere di max o di di max o di minmin relativorelativo, ,

((ff’’(x*)=(x*)=0 o 0 o x*x* p.top.to di non di non derivabilitderivabilitàà o o x*x* estremo estremo

delldell’’intervallointervallo) come si fa a ) come si fa a stabilire se esso è veramente di massimo o di minimo relativo?

Si analizza il comportamento Si analizza il comportamento di f nelldi f nell’’intorno del puntointorno del punto

⇓⎩⎨⎧

*x di destro intornonell' (positiva) negativa (x)f'*x di sinistro intornonell' (negativa) positiva (x)f'

Se f Se f èè derivabile nellderivabile nell’’intorno di x*intorno di x*--{{x*x*}}

x*

f’ ++++++++++ - - - - - - - - - -x*

f’ - - - - ++++( )

⇓⇓

x* x* p.top.to di max (di max (minmin) relativo) relativo

⇓

ff’’ positiva (negativa) nellpositiva (negativa) nell’’intorno di x*intorno di x*--{{x*x*}}

x*

f’ +++++++++ +++++++++

x*

f’ - - - - - - - - - - -( )

⇓⇓

x* x* p.top.to di crescenza di crescenza (decrescenza)(decrescenza)

Se Se ff’’(x*)=0(x*)=0 ⇒⇒ x* x* p.top.to di di flesso flesso a tangente a tangente orizzontaleorizzontale

NB:NB: Se Se x* x* èè un estremoun estremo (ad es. quello (ad es. quello inferiore), inferiore), il segno della derivata nellil segno della derivata nell’’intorno intorno destrodestro permette di stabilire se il punto permette di stabilire se il punto èè di di max (o di max (o di minmin) relativo) relativo

f’ x* +++++++++++++++++++ f’ x* - - - - - - - - - - -( )

⇓⇓

x* x* p.top.to di minimo (massimo) di minimo (massimo) relativorelativo

Sia , f dotata di derivata prima e Sia , f dotata di derivata prima e seconda continue in I .seconda continue in I . Si dimostra Si dimostra che:che:

RIf →:

f f convessaconvessa (concava) in I (concava) in I ⇔⇔ ff’’’’(x)(x)≥≥00 ((≤≤0) 0) ∀∀xx∈∈ll

La derivata secondaderivata seconda fornisce informazioni determinanti per stabilire se un punto di f, x*, in cui f’(x*)=0 sia un punto di max o di max o di minmin relativorelativo

( ))(2 ICf ∈

⇔⇔ ff’’ crescente crescente

(decrescente)(decrescente)∀∀xx∈∈ll

Se f Se f èè dotata di derivata prima e seconda dotata di derivata prima e seconda continue nel punto x*continue nel punto x*

Se fSe f’’’’(x*)=0?(x*)=0?

⇒⎩⎨⎧

>=

0(x*)'f' 0(x*)f'

⇒⎩⎨⎧

<=

0(x*)'f' 0(x*)f'

x* x* p.top.todi di minminrelativorelativo

x* x* p.top.todi max di max relativorelativo

Sia , f dotata in x* di derivate Sia , f dotata in x* di derivate continue fino allcontinue fino all’’ordine n. ordine n.

RIf →:

• se se n n èè paripari, x* , x* p.top.to di di minmin (max) relativo(max) relativo

•• se se n n èè disparidispari, x*p.to di crescenza , x*p.to di crescenza (decrescenza), x* (decrescenza), x* p.top.to di di flessoflesso a tangente a tangente orizzontaleorizzontale

⇓

<>

===

)0( 0 01

(x*)fe(x*)ff''(x*)Sia f'(x*)

n

)(n-

EsempioEsempio

02)0('' 0)0('0* )( )1 2

>====

ffxxxf

06)0(''' 0)0('' 0)0('

0* )( )2 3

>=====

fff

xxxf

024)0( 0)0(''' 0)0('' 0)0('

0* )( )3

4

4

<−==

===−=

ffff

xxxf

DefinizioneDefinizione

Un Un p.top.to x*x*∈∈I in cui f sia derivabile I in cui f sia derivabile si dice si dice p.top.to di flessodi flesso se in corrispondenza se in corrispondenza di esso la funzione cambia la sua di esso la funzione cambia la sua convessitconvessitàà (a sinistra concava e a destra (a sinistra concava e a destra convessa o viceversa)convessa o viceversa)

RIf →:

La tangente alla curva in La tangente alla curva in

un un p.top.to di flesso si chiama di flesso si chiama

tangente di flessotangente di flesso

In base a definizioneIn base a definizione,,èè evidente che evidente che se x* se x* èè di flessodi flesso

ed ed f f èè dotata di derivata seconda in x*dotata di derivata seconda in x*alloraallora

ff’’’’(x*)=0(x*)=0NB:NB: non vale il viceversa. non vale il viceversa. Esempio:Esempio:

flessodiènonxma

fhasixxfper

0*

0)0('' )( 4

==

=

x*

f’’ +++++++++ - - - - - - - - - -

x*

f’’ - - - - ++++( )

⇓⇓x* x* p.top.to di flessodi flesso

)(,: 2 ICfRIfSia ∈→

Come stabilire se Come stabilire se x*x*∈∈II

in corrispondenza del quale in corrispondenza del quale ff’’’’(x*)=0(x*)=0

sia un sia un p.top.to di flesso?di flesso?

( )x*

f’’ ++++++++++ +++++++++

⇒⇒ x* non x* non èè p.top.to di flessodi flesso

x*

f’’ - - - - - - - -

EsempioEsempio

La funzioneLa funzione

rappresenta il rappresenta il costo totalecosto totale di una certa merce di una certa merce in funzione della quantitin funzione della quantitàà prodotta x.prodotta x.

040050100

)(2

>++= , xxxxf

1)1)Scrivere lScrivere l’’espressione delespressione del costo medio costo medio

2)2)Calcolare ilCalcolare il minimominimo e tracciare une tracciare un grafico grafico qualitativo di gqualitativo di g..

3)3)Calcolare poiCalcolare poi ll’’elasticitelasticitàà di f e controllare che nel di f e controllare che nel p.top.to didi minmin essa essa èè uguale ad 1uguale ad 1..

xxfxg )()( =

0 ,400501

100)()( >++== x

xx

xxfxg1)1)

2)2) { }0:om * >∈== + xRxRgD+∞=+∞=

+∞→→ +)(lim ;)(lim

0xgxg

xx

2

2

2 10040000400

1001)('

xx

xxg −

=−= 2000)(' ±== xperxg

3

800)(''x

xg =

gg’’ -- -- -- -- -- -- 00 ++++++ ++++++ ⇒⇒ 200 di 200 di minmin0 2000 200

0 2000 200

gg’’’’ ++++++++++++++++++++++++

3)3)

xx

x

xxfxfxE f 400

501

100

501

50)()(')(

++

+==

12

5012

5014

)200( =++

+=fE In x*=200 il In x*=200 il costo costo

marginale coincide marginale coincide con il costo mediocon il costo medio. .

Questo significa che se si ha un Questo significa che se si ha un aumento della aumento della quantitquantitàà del 10%,del 10%, ad esempio, si avrad esempio, si avràà un un aumento del costo pari anchaumento del costo pari anch’’esso al 10%esso al 10%

Sia Sia ff:R:R→→RR

ASINTOTIASINTOTI

⇓

±∞=→

)(lim*

xfxx

x=x*x=x* èè

ASINTOTO VERTICALEASINTOTO VERTICALE

Sia Sia ff:R:R→→RR

( )⇓

=

=

−∞→

+∞→

'')(lim

')(lim

Lxf

Lxf

x

x

y=Ly=L’’ (L(L’’’’)) èè ASINTOTO ASINTOTO ORIZZONTALE destro (sinistro)ORIZZONTALE destro (sinistro)

Una Una retta y=mx+nretta y=mx+n si definiscesi definisce asintoto asintoto obliquoobliquo destro (sinistro) di f sedestro (sinistro) di f se

[ ]{ }[ ]{ }( )⇓

=+−

=+−

−∞→

+∞→

0)(lim

0)(lim

nmxxf

nmxxf

x

x

y=mx+ny=mx+nèè asintoto obliquoasintoto obliquo destro (sinistro) di destro (sinistro) di f(x) f(x)

[ ]

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =−=

=−=

−∞→−∞→

+∞→+∞→

nmxxfemxxf

nmxxfemxxf

xx

xx

)(lim )(lim

)(lim )(lim

EsempioEsempio

Vediamo se la funzione ,Vediamo se la funzione ,

precedentemente considerata, precedentemente considerata, èè dotata di dotata di asintoto obliquo destro.asintoto obliquo destro.

xxxg 400

501

100)( ++=

1001400

501

1001lim)(lim 2 =++=

+∞→+∞→ xxxxg

xx

501

100400

501

100lim

1001)(lim =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=−

+∞→+∞→

xx

xxxgxx

⇒⇒ La funzioneLa funzione èè dotata di asintoto dotata di asintoto obliquo obliquo y=(1/100)x+(1/50)y=(1/100)x+(1/50)

Teorema 1Teorema 1

SianoSiano f,gf,g:(a,b):(a,b)→→RR, , x*x*∈∈(a,b).(a,b). SiaSia1) 1) f,gf,g derivabili in (a,b)derivabili in (a,b)--{{x*x*},},2)2)3)3) gg’’(x) (x) ≠≠0 0 ∀∀xx∈∈(a,b)(a,b)--{{x*x*},},4)4)

TEOREMA TEOREMA di de ldi de l’’HopitalHopital

0)(lim)(lim**

==→→

xgxfxxxx

)(')('lim

* xgxf

xx→∃

)(')('lim

)()(lim

** xgxf

xgxf

xxxx →→=⇒

Teorema 2Teorema 2

SianoSiano f,gf,g:(a,b):(a,b)--{{x*x*},}, →→RR, , 1) 1) f,gf,g derivabili in (a,b)derivabili in (a,b)--{{x*x*},},2)2)3)3) gg’’(x) (x) ≠≠0 0 ∀∀xx∈∈(a,b)(a,b)--{{x*x*},},4)4)

±∞=±∞=→→

)(lim )(lim**

xgexfxxxx

)(')('lim

* xgxf

xx→∃

)(')('lim

)()(lim

** xgxf

xgxf

xxxx →→=⇒

NB:NB: per i Teoremi di de lper i Teoremi di de l’’HopitalHopital non vale il non vale il viceversaviceversa

xxxgexxxfmoConsideria

sen2)( sen2)( −=+=+∞==

+∞→+∞→)(lim )(lim xgxf

xx

∃−+

=+∞→+∞→

cos2cos2lim

)(')('lim

xx

xgxf

ederivabilisonogef

xx

?)()(lim di dire può si Cosa

xgxf

x +∞→

1sen2

sen2lim

sen2sen2lim Infatti

prioriaNulla

=−

+=

−+

+∞→+∞→

xx

xx

xxxx

xx

Esempio: Esempio: CalcolareCalcolare

00

)1(1lim

111lim

00=

−+−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

→→ x

x

xxx exxe

ex

xx

x

xeee

xgxf

−−+−

=1

1 )(')('

21

21lim

0x=

+→ xxxeeee

xgxf

xxx

x

−−−

=−−−

−=

21

)('')(''

00

11lim

0x=

−−+−

→ xx

x

xeee

21

)('')(''lim

)(')('lim

)()(lim

0x0x0x===

→→→ xgxf

xgxf

xgxf