Upload
dothuy
View
248
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Company
LOGO
www.company.com
SIFAT DAN ESTIMASI PARAMETER DARIDISTRIBUSI WEIBULL YANG
DIPANGKATKAN
Oleh:
YOGA SETIAWAN
NRP : 1203 109 017
Pembimbing:
Dra. Laksmi Prita W, M.Si
Drs. Komar Baihaqi, M.si
Company
LOGO
www.company.com
Latar Belakang
• Belakangan ini sering dijumpai permasalahan yang tidak dapat diselesaikan
dengan menggunakan distribusi-distribusi yang telah ada.
• Oleh karena itu, diperlukan perluasan dari distribusi yang sudah ada. Perluasan
tersebut sering kali memiliki kesamaan sifat dengan distribusi Gamma dan
distribusi Weibull
• Distribusi yang memiliki peranan luas dalam uji reliabilitas adalah distribusi
Gamma, akan tetapi bentuk survival functionnya tidak dapat ditentukan
bentuk khususnya terkecuali parameter bentuknya berupa bilangan natural.
Company
LOGO
www.company.com
Latar Belakang• Tugas Akhir ini membahas mengenai salah satu perluasan dari distribusi weibull
yang dinamakan exponentiated weibull distribution (EWD) atau
distribusi weibull yang dipangkatkan.
• pembahasan dari Tugas Akhir ini meliputi, sifat-sifat dari EWD yang
dibandingkan dengan distribusi Gamma dan distribusi Weibull melalui fungsi
rasio kegagalan. Dan juga akan dilakukan estimasi parameter dengan
menggunakan MLE (maximum likelihood estimation).
Company
LOGO
www.company.com
Perumusan Masalah
• Bagaimana sifat-sifat dari Exponentiated Weibull Distribution (EW)?
• Membandingkan sifat-sifat Exponentiated Weibull Distribution (EW)
dengan sifat-sifat dari distibusi Gamma dan distribusi Weibull.
• Mengestimasi parameter-parameter dari Exponentiated Weibull
Distribution (EW).
• Percobaan dari estimasi parameter Exponentiated Weibull Distribution
(EW) pada data hasil pembangkitan metode acceptance and rejection.
.
Company
LOGO
www.company.com
Batasan Masalah
• Dalam Proposal Tugas Akhir ini, estimasi parameter dilakukan pada data
hasil pembangkitan metode acceptance and rejection.
Company
LOGO
www.company.com
Tujuan
Tugas akhir ini bertujuan untuk :
• Mengkaji sifat-sifat dari Exponentiated Weibull Distribution (EW).
• Membandingkan kemiripan Exponentiated Weibull Distribution (EW)
dengan distibusi Gamma dan distribusi Weibull melalui fungsi kegagalan.
• Mendapatkan estimasi parameter dari Exponentiated Weibull Distribution
(EW).
• Mencoba hasil estimasi parameter dari Exponentiated Weibull Distribution
(EW).
Company
LOGO
www.company.com
Manfaat
Manfaat Penelitian :
• Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah agar pengolahan data nyata (real)
dapat memberikan hasil yang lebih tepat dengan menggunakan
Exponentiated Weibull Distribution (EWD).
Company
LOGO
www.company.com
TINJUAN PUSTAKA
• Reliabilitas (reliability), fungsi ketahanan dan
fungsi kegagalan [2]
• Uji ketahanan hidup atau reliabilitas merupakan
salah satu teknik dalam statistika yang berguna
untuk melakukan pengujian tentang tahan hidup
atau keandalan suatu komponen ataupun
pengukuran lamanya tahan hidup seorang
pasien dalam pengobatan suatu penyakit
Company
LOGO
www.company.com
TINJUAN PUSTAKA
• Dalam aplikasinya reliabilitas dapat
direprentasikan ke dalam beberapa fungsi
diantaranya:
• Fungsi ketahanan (survival function) :
• Fungsi ratio kegagalan (failurate function)
Company
LOGO
www.company.com
TINJUAN PUSTAKA
• Distribusi Weibull
Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi Weibull adalah salah satu distribusi
kontinu. Distribusi ini dinamai oleh Waloddi Weibull pada tahun 1951. Suatu
peubah acak x berdistribusi Weibull, dengan parameter 𝛼 dan β jika fungsi
padatnya berbentuk:
Dan fungsi rasio kegagalannya (failure rate function) diberikan oleh :
Sedangkan fungsi ketahanan (survival function)
Company
LOGO
www.company.com
TINJUAN PUSTAKA
• Distribusi Gamma
Distribusi Gamma adalah salah satu keluarga distribusi probabilitas
kontinu. model probabilitas distribusi gamma sering digunakan untuk
memodelkan waktu tunggu, misalkan pengujian hidup, dengan parameter
𝛼 dan β, bila fungsi padatnya berbentuk
Dengan
• dan fungsi rasio kegagalan diberikan oleh:
Company
LOGO
www.company.com
TINJUAN PUSTAKA
• dari fungsi rasio kegagalan tersebut didapatkan plot-plot dibawah ini:Gambar 2.2 plot fungsi ratio kegagalan distribusi Gamma
Gambar 2.2 plot fungsi ratio kegagalan distribusi Gamma
Company
LOGO
www.company.com
TINJAUAN PUSTAKA
• Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Maximum likelihood estimation (MLE) Maximum likelihood estimation(MLE) adalah metode statistik yang populer digunakan untukpemasangan model statistik untuk data, dan estimasi menyediakanparameter model. Estimasi MLE dikembangkan oleh R.A.Fisher.pencarian nilai parameter ini dilakukan dengan memaksimalkan fungsilog-likelihood.
Misalkan f adalah PDF dan diasumsikan fungsi memenuhipersaman berikut:
f(x,
)
f(x,
)
f(x,
Company
LOGO
www.company.com
TINJAUAN PUSTAKA
• Exponentiated Weibull Distribution (EW)
Exponentiated Weibull Distribution (EW) merupakan sebuah keluarga
distribusi baru yang memiliki dua parameter dan hampir mirip dengan
weibull maupun gamma.
Dimana :
(𝛼,γ) adalah notasi dari parameter bentuk.
𝜆 adalah notasi dari parameter skala.
Fungsi ketahanan (Survival function) dari EWD dituliskan sebagai berikut
Fungsi ratio kegagalan (failure rate function) dari EWD dituliskan senagai
berikut:
Company
LOGO
www.company.com
TINJAUAN PUSTAKA
• Metode Acceptance and Rejection
Metode acceptance and rejection merupakan suatu satu cara untuk
membangkitkan data dalam sebuah penelitian tentang sebuah
distrubusi. Ide dasar dari metode ini adalah menemukan sebuah
alternatif probabilitas distribusi G, dengan fungsi kepadatan g(x), dan
juga pendekatan g(x) terhadap f(x).
Algoritma Acceptance and rejection untuk variabel random kontinu
adalah sebagai berikut:
Bangkitkan Y yang didistribusikan sebagai G.
Bangkitkan U (independen dari Y).
Jika
maka X = Y (terima); sebaliknya kembali ke langkah 1 (tolak)
,
Company
LOGO
www.company.com
TINJAUAN PUSTAKA
• Metode Newton-RaphsonMetode Newton-Raphson adalah metode pendekatan yang
menggunakan satu titik awal dan mendekati dengan memperhatikan
gradien pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan:
Company
LOGO
www.company.com
TINJAUAN PUSTAKA
• Konsep Fungsi naik, fungsi turun dan fungsi konstan
Untuk mendapatkan fungsi naik, turun dan konstan suatu fungsi
harus diturunkan ke bentuk turunan pertama . Tujuan dari
penurunan fungsi adalah untuk mendapatkan titik kritisnya.
berikut definisi fungsi konstan, naik dan turun:
• Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik
pada [a,b].
• Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik
pada [a,b].
• Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik
pada [a,b]
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
Definisi Permasalahan
bab ini akan dijelaskan sifat-sifat dari EW yang akan dibandingkan
dengan dua distribusi lain, yaitu distribusi Weibull dan distribusi Gamma
melalui turunan pertama dari fungsi rasio kegagalannya (failure rate
functionnya). Artinya, akan dicari suatu kondisi bilamana fungsi rasio
kegagalan dari Distribusi Weibull yang dipangkatkan(Exponentiated
Weibull Distribution) merupakan suatu fungsi naik, turun atau konstan.
Selain itu, dalam Tugas Akhir ini juga akan dilakukan estimasi terhadap
parameter-parameter dari EW.
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
• Sifat-sifat dari distribusi weibull yang dipangkatkan(EWD)
Seperti yang telah ditunjukkan sebelumnya bahwa distribusi weibull di
pangkatkan (exponentiated weibull distribution) mempunyai
commulative density function sebagai berikut:
Dengan probabilitas density function:
Sehingga diperoleh fungsi ketahanan (survival function) dari EWD
adalah:
= 𝛼𝛾= 𝛼𝛾= =
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
• dimana adalah parameter bentuk dan 𝜆 adalah parameter skala berikut
adalah gambar grafik dari commulative density function, probabilitas
density function, fungsi ketahanan fungsi ketahanan(survival function)
dan rasio kegagalan(failure rate) dari EWD:
Gambar 3.1 Grafik Cumulative density function (CDF) dari distribusi
Exponentiated Weibull Distribution dengan nilai
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• Selanjutnya, akan diberikan gambar grafik yang menunjukkan variasi
nilai PDF dari exponentiated Weibull distribution.
Gambar 3.2 Grafik Probability Density Function dari Exponentiated Weibull Distribution dengan
nilai
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
• Berikut merupakan gambar dari grafik failure rate function.
• Gambar 3.3 Grafik fungsi rasio kegagalan (failure rate function) dari
exponentiated Weibull distribution dengan nilai parameter
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• berikut ini akan diberikan gambar grafik fungsi ketahanan (survival
function) dari exponentiated Weibull distribution.
Grafik fungsi ketahanan (survival function) dari exponentiated Weibull
distribution dengan nilai parameter
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• Selanjutnya, akan dicari syarat cukup bagi sifat-sifat fungsi rasio
kegagalan (failure rate function) dari exponentiated Weibull distribution,
yaitu bilamana fungsi rasio kegagalannya merupakan suatu fungsi naik,
turun atau konstan. Pencarian syarat ini dilakukan melalui turunan
pertama dari fungsi ketahanan (failure rate function). Berikut ini adalah
penurunan dari fungsi rasio kegagalan (failure rate function):
• Diperoleh:
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• Fungsi rasio kegagalan akan bersifat konstan jika dan juga
apabila 𝛾 = 0 , 𝛾 = 1 dan 𝛼 = 0 , 𝛼 = 1. dari uraian
Tersebut didapatkan sifat-sifat EWD sebagai berikut:
• exponentiated Weibull distribution merupakan suatu fungsi konstan jika
• Jika maka fungsi ratio kegagalan dari exponentiated Weibull
distribution merupakan suatu fungsi naik jika
• Jika maka fungsi rasio kegagalan dari exponentiated Weibull
distribution merupakan suatu fungsi naik jika dan merupakan suatu
fungsi turun jika
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
• Sifat-sifat distribusi gamma• Fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan suatu fungsi
konstan jika dan sehingga untuk termasuk didalamnya
• Jika , fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan fungsi
naik untuk dan merupakan fungsi turun untuk
• Jika , fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan
suatu fungsi naik untuk dan merupakan suatu fungsi turun untuk
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
• Sifat-Sifat Distribusi Weibull• Fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu fungsi
konstan jika atau dan hal ini dipenuhi untuk
• Jika , fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu
fungsi naik jika dan merupakan suatu fungsi turun jika
• Jika , fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu
fungsi naik jika dan merupakan suatu fungsi turun jika
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
• Perbandingan Sifat-Sifat EWD Dengan Distribusi
Weibull Dan Gamma
Parameter EWD Gamma Weibull
𝛼 = 𝛾 = 1 konstan konstan
dengan 𝜆= 0
Konstan
𝛼 = 1 naik untuk
𝛾 >1
turun untuk
𝛾 < 1
naik untuk
𝛾 >1
turun
untuk
𝛾 < 1
Naik
untuk
𝛾 >1
Turun
untuk
𝛾 < 1
𝛾 = 1 naik untuk
𝛼 > 1
turun untuk
𝛼 < 1
Naik
untuk
𝛼 > 1
Turun
untuk
𝛼 < 1
Naik
untuk
𝛼 > 1
Turun
untuk
𝛼 < 1
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
• Estimasi parameter dari distribusi weibull di
pangkatkan (EWD) dengan MLEfungsi likelihood dari distrbusi Weibull di pangkatkan (EWD) didefinisikan
oleh
di peroleh fungsi log likelihood sebagai berikut:
Selanjutnya dicari turunan fungsi log likelihood terhadap masing-masing
parameternya.
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• Agar nilai maksimum dapat dicapai persamaan tadi harus di sama
dengankan nol (= 0), sehingga didapat:
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• selanjutnya akan digunakan untuk mencari nilai estimasi dari parameter ,
yaitu dan karena persamaan yang diperoleh adalah persamaan non
linier, maka akan digunakan metode numerik untuk menyelesaikannya.
Dalam hal ini akan digunakan metode newton raphson dalam perhitungan
numeriknya
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• Dengan menggunakan motede Newton-Raphson adapun urutan
langkahnya adalah sebagai berikut:• Menentukan nilai pendekatan awal dari 𝜆 dan 𝛾 yaitu dan dengan
adalah nilai koreksi untuk 𝜆 sehingga k adalah nilai koreksi untuk 𝛾sehingga
• Menentukan persamaan fungsi dan turunan pertama dari
dan , yaitu dan
Fungsi-fungsi didapat adalah sebagai berikut:
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• Subtitusi dengan pendekatan awal pada persamaan langkah 2
• Subtitusikan nilai yang diperoleh dari langkah 3 pada persamaan berikut
untuk mencari h dan k:
• Subtitusi nilai h dan k dari langkah 2 pada kedua persamaan dalam
langkah 1
• Ulangi langkah 3-5 hingga diperoleh akar fungsi dengan eror yang
diinginkan. Eror tersebut dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:
eror_λ
eror_
λ
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
• Estimasi Parameter DataTahap ini diawali dengan membangkitkan sejumlah data dengan
menggunakan metode acceptance rejection. Parameter-parameter data
yang dibangkitakan ditentukan terlebih dahulu, yaitu: . Sehingga untuk
diperoleh data sebagai berikut:
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN
PEMBAHASAN
No.Data
bangkitanNo.
Data
bangkitan
1. 0.030521255 20. 0.713703495
2. 0.16614578 21. 0.912942694
3. 0.183260909 22. 1.067304982
4. 0.189526856 23. 1.091005013
5. 0.205011519 24. 1.111150459
6. 0.217725022 25. 1.114117225
7. 0.256758972 26. 1.1710559
8. 0.264035001 27. 1.190896272
9. 0.349884876 28. 1.234413482
10. 0.366761382 29. 1.267928864
11. 0.383215002 30. 1.290991144
12. 0.39968253 31. 1.300618164
13. 0.460033178 32. 1.313941001
14. 0.47661275 33. 1.58976148
15. 0.563185436 34. 1.903027462
16. 0.636915907 35. 2.025366556
17. 0.648921402 36. 2.515741854
18. 0.690979123 37. 2.564417396
19. 0.69764434
Company
LOGO
www.company.com
PEMBAHASAN• Sehingga didapatkan , dan lalu didapatkan
juga Sehingga diperoleh RMSE yang kecil, yaitu 0.014213.
Company
LOGO
www.company.com
KESIMPULAN • Kesimpulan yang diperoleh dari hasil dan pembahasan adalah :
Parameter EWD Gamma Weibull
𝛼 = 𝛾 = 1 konstan konstan dengan
𝜆 = 0
Konstan
𝛼 = 1 naik untuk
𝛾 >1
turun untuk
𝛾 < 1
naik untuk
𝛾 >1
turun untuk
𝛾 < 1
Naik untuk
𝛾 >1
Turun untuk
𝛾 < 1
𝛾 = 1 naik untuk
𝛼 > 1
turun untuk
𝛼 < 1
Naik untuk
𝛼 > 1
Turun untuk 𝛼< 1
Naik untuk
𝛼 > 1
Turun untuk 𝛼 <
1
Dari tabel tersebut tampak bahwa EWD mirip dengan kedua
distribusi gamma dan Weibull,namun dapat diambil kesimpulan
bahwa lebih mirip dengan distribusi Weibull
Company
LOGO
www.company.com
KESIMPULAN • Dari hasil estimasi parameter dari EWD dengan menggunakan MLE
didapatkan parameter-parameter dari EWD yang berupa persamaan-
persamaan non linier sebagai berikut:
• Untuk parameter
• Untuk parameter
• Untuk parameter
Company
LOGO
www.company.com
SARAN• Pada tugas akhir ini data yang digunakan adalah data hasil bangkitan
sehingga belum teruji untuk pengolahan data menggunakan data riil. Jadi
belum dapat dipastikan apakah EWD memberikan informasi yang baik
jika digunakan untuk mengolah data yang riil, di harapkan pada tugas
akhir selanjutnya EWD dapat diterapkan pada data yang riil.