sigma delta bestagini - Intranet DEIBhome.deib.polimi.it/bestagini/_Slides/fens/sigma_delta.pdf · aumentare notevolmente il rapporto segnale rumore di un ... delta-sig due: oversam

Paolo Bestagini Ph.D. Student [email protected] http://home.deib.polimi.it/bestagini

CONVERTITORE SIGMA-DELTA

http://home.deib.polimi.it/bestagini

Fondamenti di elaborazione numerica dei segnali

Introduzione

!• I convertitori analogico-digitale sigma-delta sono tra i più diffusi

convertitori ad elevata risoluzione disponibili sul mercato. !

• Il meccanismo attraverso il quale si aumenta la risoluzione del convertitore rispetto ai convertitori classici è quello di complicare notevolmente la parte digitale (che può essere complessa eppure occupare molto poco spazio con le tecnologie moderne) e ridurre invece al massimo la complessità dei componenti analogici. !

• I concetti fondamentali per comprendere il principio di funzionamento dei delta-sigma sono due: oversampling e noise-shaping. Attraverso questi due concetti combinati è possibile aumentare notevolmente il rapporto segnale rumore di un convertitore a bassa risoluzione (al limite ad un solo bit) fino ad ottenerne uno equivalente con molti più bit di risoluzione.

!2


Modello del segnale !3

(�fm, fm)v(t)

v(nT )fc =

1

T> 2fm

vq(nT ) = v(nT ) + eq(nT )

Introduzione ai Convertitori A/D Delta-Sigma

Lucidi delle lezioni di MicroelettronicaParte 9Parte 9

Università di CagliariDipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica

Laboratorio di Elettronica (EOLAB)Laboratorio di Elettronica (EOLAB)

Convertitori '6

I convertitori analogico-digitale delta-sigma (detti anche sigma-delta) sono ipiù diffusi convertitori ad elevata risoluzione (fino a 20 bit) disponibili sulpiù diffusi convertitori ad elevata risoluzione (fino a 20 bit) disponibili sulmercato.Il meccanismo attraverso il quale si aumenta la risoluzione del convertitorerispetto ai convertitori classici è quello di complicare notevolmente la parterispetto ai convertitori classici è quello di complicare notevolmente la partedigitale (che può essere complessa eppure occupare molto poco spazio conle tecnologie moderne) e ridurre invece al massimo la complessità deicomponenti analogici.p g

I concetti fondamentali per comprendere il principio di funzionamento deidelta-sigma sono due: oversampling e noise-shaping. Attraverso questi dueg p g p g qconcetti combinati è possibile aumentare notevolmente lo SNR di unconvertitore a bassa risoluzione (al limite ad un solo bit) fino ad ottenerneuno equivalente con molti più bit di risoluzione.

22/05/2007 UE - AD Delta-Sigma Massimo Barbaro 2

'6: QuantizerIn un modello lineare un quantizzatore a N bit (un convertitore analogico/digitale seguitoda un convertitore digitale/analogico) può essere considerato come un sistema lineareche introduce il rumore (additivo) di quantizzazione Tale modello è corretto se siche introduce il rumore (additivo) di quantizzazione. Tale modello è corretto se siriconosce che il rumore può dipendere dall’ingresso. Il modello è invece approssimato sesi considerano il segnale ed il rumore come segnali indipendenti. Questa è unaapprossimazione perché non è detto che che il rumore di quantizzazione possa essereconsiderato scorrelato dall’ingresso; questa ipotesi è valida solo se il segnale in ingressoè sufficientemente “attivo”.


'6: OversamplingSe l’ingresso è abbastanza attivo si può considerare il rumore di quantizzazione come unavariabile aleatoria con densità di potenza uniforme (rumore bianco).

Abbiamo già calcolato la potenza dell’errore di quantizzazione pari a V2LSB / 12.

Tale potenza è distribuita uniformemente su una banda pari fS (frequenza dicampionamento).)

L’integrale del quadrato della densità di potenza è sempre pari a V2LSB / 12


vq(nT ) = v(nT ) + eq(nT )v(nT ) vq(nT ) = v(nT ) + eq(nT )

vq(nT ) = v(nT ) + eq(nT )

v(nT )

• Consideriamo il segnale a banda limitata in !

• Campioniamolo con frequenza di campionamento e otteniamo !

• Quantizziamo il segnale con un quantizzatore uniforme e otteniamo


Quantizzatore !4

1

ANALISI STATISTICA DELL'ERRORE DI QUANTIZZAZIONE

CONVERTITORI SIGMA-DELTA

Consideriamo un segnale v(t) a banda limitata (-fm fm). Esso potrà essere campionato rispettando il teorema del campionamento se per la frequenza di campionamento vale la

relazione mc fT

f 21>= . Attraverso l'operazione di campionamento passiamo da un segnale

continuo all'insieme dei suoi campioni: )()( nTvtv →

Se quantizzaziamo i campioni ottenuti abbiamo: )()()( nTenTvnTv qq +=

dove gli )(nTeq rappresentano i campioni dell'errore di quantizzazione. Assumiamo di utilizzare un quantizzatore uniforme. T T T T T T T T Gli r1r8 rappresentano i livelli di restituzione del quantizzatore. Vogliamo studiare le caratteristiche statistiche dell'insieme dei campioni dell'errore di quantizzazione e del segnale (processo) che può essere ricostruito da tali campioni. Per fare questo è comodo rendere stazionario il processo stocastico in analisi. In particolare consideriamo il processo rappresentante l'insieme degli errori di quantizzazione definito nel modo seguente:

∑∞

−∞=

−−⋅⋅+=n

q nTtTnTetx )()()( γδγ

dove γ è una variabile aleatoria uniformemente distribuita fra 0T. Ciò equivale ad assumere di non conoscere quale sia la fase del "pettine" di campionamento, non è una limitazione molto stringente. Il fattore T è introdotto per mantenere congruenza con quanto sempre fatto nella rappresentazione delle operazioni di campionamento. Poiché nell'operazione di campionamento rispettiamo la condizione mc ff 2> possiamo anche scrivere, senza cambiare il problema:

∑∞

−∞=

−−⋅⋅=n

q nTtTnTetx )()()( γδ (1)

L’informazione dell’insieme dei campioni )( γ+nTeq è la stessa di quella contenuta nei

campioni )(nTeq .

r8 r7 r6 r5 r4 r3 r2 r1

v(t) vq(nT)

Segnale continuo e campioni del segnale campionato e quantizzato


Ipotesi sul rumore

• Assumiamo che il segnale interessi intervalli di quantizzazione diversi in istanti di tempo diversi e che la distribuzione sia uniforme in ogni intervallo di quantizzazione (e.g., segnale molto variabile, molti livelli di quantizzazione) !

• Campioni incorrelati !!

• Errore a media nulla !!

• Errore uniforme nell’intervallo di quantizzazione

!5

E[eq(nT )] = 0

Req = E[eq(nT )eq((n� k)T )] = �2q se k = 0

Req = E[eq(nT )eq((n� k)T )] = 0 se k 6= 0

�2q =

�

12

con � passo di quantizzazione

�2q =

�

12

con � passo di quantizzazione


Analisi del rumore di quantizzazione

• Vogliamo studiare le caratteristiche statistiche dell’errore di quantizzazione e del processo ricostruito. !

• Consideriamo il processo stazionario !!!!!!

• Se rispettiamo il teorema del campionamento, possiamo considerare senza cambiare il problema il processo

!6

variabile aleatoria uniformemente distribuita in [0,T]

x(t) =+1X

n=�1eq(nT )T �(t� nT � �)

x(t) =+1X

n=�1eq(nT + �)T �(t� nT � �)



• L’autocorrelazione di risulta essere:

!7

x(t) =+1X

n=�1eq(nT )T �(t� nT � �)

2

Assumiamo come ragionevole:

[ ]

( )[ ]

ionequantizzaz di passocon 12

0kper 00kper )()()(

0)(

22

2

=∆∆

=

≠

==−=

=

q

qqqe

q

TknenTeEkR

nTeE

q

σ

σ

Come possiamo giustificare queste ipotesi? Se i livelli del quantizzatore sono molti è ragionevole assumere che il segnale, per istanti di campionamento diversi, interessi intervalli di quantizzazione diversi, i valori dell’errore di quantizzazione sono quindi ragionevolmente incorrelati fra loro ed il loro valor medio sarà nullo (la densità di probabilità del segnale di ingresso, condizionata al fatto di ricadere in uno specifico intervallo di quantizzazione, è sostanzialmente costante). Il processo rappresentato in (1) è come già detto stazionario e carraterizzato dalla seguente funzione di autocorrelazione (attenzione a non dimenticare il fattore T presente nella definizione del processo x(t)):

TfSTTT

R qXF

qqX ⋅=→←⋅⋅=⋅⋅= 2222 )( )( )(1)( στδστδστ

dove SX(f) rappresenta la densità spettrale di potenza del potenza del processo in analisi. Il segnale (v(t)) è assunto come un processo stazionario avente densità di probabilità delle ampiezzze uniforme fra –V e V. Quindi i campioni del segnale saranno associabili a variabili casuali con la stessa densità di probabilità delle ampiezze. La potenza del segnale (e dei suoi campioni) sarà quindi data da V2/3. Nel seguito viene indicata con S la potenza di segnale ed Nq la potenza dell’errore di quantizzazione.

NNS

NS

V

dBq

N

q

N

62

2312

2

222

2

≈=

⋅=∆

= −σ

Sx (f) Tq ⋅σ2

f

T21

− T21

Area pari a 2qσ = potenza media del

processo ricostruito dai campioni dell’errore di quantizzazione.

+ V - V escursione segnale N = numero bit quantizzatore

densità spettrale di potenza

2

Assumiamo come ragionevole:

[ ]

( )[ ]

ionequantizzaz di passocon 12

0kper 00kper )()()(

0)(

22

2

=∆∆

=

≠

==−=

=

q

qqqe

q

TknenTeEkR

nTeE

q

σ

σ

Come possiamo giustificare queste ipotesi? Se i livelli del quantizzatore sono molti è ragionevole assumere che il segnale, per istanti di campionamento diversi, interessi intervalli di quantizzazione diversi, i valori dell’errore di quantizzazione sono quindi ragionevolmente incorrelati fra loro ed il loro valor medio sarà nullo (la densità di probabilità del segnale di ingresso, condizionata al fatto di ricadere in uno specifico intervallo di quantizzazione, è sostanzialmente costante). Il processo rappresentato in (1) è come già detto stazionario e carraterizzato dalla seguente funzione di autocorrelazione (attenzione a non dimenticare il fattore T presente nella definizione del processo x(t)):

TfSTTT

R qXF

qqX ⋅=→←⋅⋅=⋅⋅= 2222 )( )( )(1)( στδστδστ

dove SX(f) rappresenta la densità spettrale di potenza del potenza del processo in analisi. Il segnale (v(t)) è assunto come un processo stazionario avente densità di probabilità delle ampiezzze uniforme fra –V e V. Quindi i campioni del segnale saranno associabili a variabili casuali con la stessa densità di probabilità delle ampiezze. La potenza del segnale (e dei suoi campioni) sarà quindi data da V2/3. Nel seguito viene indicata con S la potenza di segnale ed Nq la potenza dell’errore di quantizzazione.

NNS

NS

V

dBq

N

q

N

62

2312

2

222

2

≈=

⋅=∆

= −σ

Sx (f) Tq ⋅σ2

f

T21

− T21

Area pari a 2qσ = potenza media del

processo ricostruito dai campioni dell’errore di quantizzazione.

+ V - V escursione segnale N = numero bit quantizzatore


Analisi del SNR

• Consideriamo b bit • il numero di livelli è !

• Consideriamo il segnale con ampiezza uniformemente distribuita in [-V,V] !

• !

• potenza di segnale !

• La potenza di rumore risulta essere: !!

• Il rapporto segnale rumore è:

!8

�2q =

�2

12=

4V 2

12 · 4b =V 2

3 · 4b

SNR =�2v

�2q

= 4b

2b

� =2V

2b

�2v =

(2V )2

12=

V 2

3

1 bit mi da un fattore 4



Osservazioni: !

• La potenza di rumore non dipende dalla frequenza di campionamento (posso variare la frequenza di campionamento e la potenza di rumore resta costante) !

• Stiamo considerando un segnale a banda limitate !

• Cosa succede se cambio la frequenza di campionamento (aumentandola)?

!9


Analisi del rumore di quantizzazione !10

3

Va notato come 12

22 ∆=qσ non dipenda dalla frequenza di campionamento. Posso variare fc,

ma la potenza del rumore di quantizzazione rimane costante. Ricordiamo inoltre come 2

qσ corrisponda sia al valore quadratico medio dei campioni dell’errore di quantizzazione, sia alla potenza media del segnale continuo ricostruito dagli stessi campioni (dell’errore di quantizzazione) attraverso un filtro ideale di banda

[2

cf− ,

2cf ].

Assumiamo che per T=1 il segnale sia ben campionato, se T<1 ancora meglio. Cosa succede se sovracampiono? Ad esempio in che situazione ci troviamo se usiamo una frequenza di campionamento caratterizzata da T’=1/4 (al posto di T=1)? Il risultato è illustrato nella figura seguente.

1

2

12 =⋅

∆T

T

In altre parole se quadruplico la frequenza di campionamento, a parità di livelli di quantizzazione, guadagno un fattore 4 sull’S/Nq (se ricostruisco il segnale nella banda minima). È come se guadagnassi un bit nel quantizzatore (cioè è come se si avesse un quantizzatore con un bit in più). A partire da un quantizzatore a pochi bit è quindi possibile realizzarne uno con caratteristiche migliori (con più bit) sovracampionando il segnale. È una operazione molto costosa: per guadagnare un bit devo sovracampionare di un fattore 4 (e per guadagnare 4 bit devo sovracampionare di un fattore 44.=256). Si può fare di meglio?

Sx (f)

-2 21

−

21

Area = 12

2∆

11con 2

==T

ffc

c

2

41con 2/ =T

fcfc

f

41

2

12 =⋅

∆T

T

Area = 41

12

2

⋅∆ (come filtro di ricostruzione prendo solo il

range di freq. 21

21

− necessario per il segnale)

• Per ricostruire il segnale mi è sufficiente T=1 • Se uso T=1/4, la potenza di rumore è abbattuta di un fattore 4


Schema di convertitore con sovracampionamento

!11

10.6. QUANTIZZATORI SIGMA-DELTA 203

f cf /2Mc

B f /2c B f /2c B f /2c

Q M 1

B f /2Mc

f /Mc

Figura 10.6.2. Schema di decimazione.

f /2Mcf c

−1z

B f /2ce (n)q

M 1

B f /2Mc

f /Mc

+

++

−

x(t) x (n)Σ∆

B f /2c B f /2c

Figura 10.6.3. Schema di quantizzatore sigma-delta di tipo 1.

Per valutare le prestazioni del sistema in esame conviene partire dal valutare quantoun iniziale sovracampionamento può produrre in termini di aumento del numero di bitdi quantizzazione. Con riferimento alla figura 10.6.2 ed a quanto detto nella prima partedel corso a proposito del rumore di quantizzazione: il campionamento del segnale pro-duce la periodicizzazione dello spettro del segnale all’ingresso del quantizzatore, mentrela quantizzazione aggiunge disturbo bianco con varianza �2

e

q

. La varianza del rumore diquantizzazione a valle del filtro con banda f

c

/2M varrà �2

e

q

/M , corrispondente ad un passodi quantizzazione più piccolo di un fattore 1/

pM , cioè ad un incremento nel numero di bit

pari a 1

2

log

2

M . Per un bit in più bisogna usare una frequenza di campionamento quadru-pla; per aumentare i bit da 1 a 8 ci vorrebbe una frequenza di campionamento 2

2⇥8

= 65536

volte più alta (se B = 20 kHz, fc

� 2

2⇥8 ⇥ 40 kHz ' 2, 62 GHz!).Se, invece di un quantizzatore si usa un modulatore sigma-delta, la situazione cambia.

Con riferimento alla figura 10.6.1, come già osservato, è possibile spostare gli integratori(tempo discreti: ricordarsi che il sistema è tempo discreto) oltre il nodo sommatore, otte-nendo per tutta la catena elaborativa sigma-delta il circuito equivalente riportato in figura10.6.3, dove sono aggiunti, però, lo stadio di filtraggio e successiva decimazione della figura10.6.2. Il quantizzatore ad 1 bit (comparatore) viene schematizzato mediante l’aggiunta alsegnale in ingresso del rumore di quantizzazione e

q

(n). Il segnale all’uscita del modulatoresigma-delta si può esprimere, usando le trasformate z come:(10.6.1)X

⌃�

(z) = z�1 ·X (z) +�

1� z�1

�

Eq

(z) �! x⌃�

(n) = x (n� 1) + eq

(n)� eq

(n� 1)

L’interposizione del modulatore sigma-delta, perciò, non ha modificato il segnale, limi-tandosi a ritardarlo di un passo di campionamento. In compenso ha sagomato spettral-mente il rumore di quantizzazione, che risulta filtrato passa-alto e con densità spettrale

he

q

(f) · 4 sin2

(⇡f/fc

)

Problema: !• Per ottenere l’effetto di 1 bit (abbattere di 1/4 la potenza di rumore),

devo moltiplicare per 4 la frequenza di campionamento!


Convertitore sigma-delta

• Consideriamo la seguente struttura: !!!!!

• Se ci disinteressiamo del passaggio livello/codice e codice/livello operato da A/D e D/A, la strutture equivalente è: !!!!

• Consideriamo H(z) un integratore:

!12

4

Consideriamo la seguente struttura (assumiamo per semplicità T=1). Dove per H(z) svolge la funzione di integratore per i segnali campionati, si ha quindi:

( )1

1

1 −

−

−=

ZZZH

Il blocco A/D contiene oltre al quantizzatore, anche un codificatore livello → codice numerico. Il blocco inverso codice numerico → livello è il D/A. Possiamo, per i nostri scopi, lasciar perdere i blocchi di codifica e decodifica. Lo schema a blocchi del sistema diventa Il blocco di quantizzazione può essere visto come un nodo di somma nel quale si aggiunge, al segnale utile, il rumore di quantizzazione. Analizziamo, prima, la funzione di trasferimento fra v(n) ed v'(n), e poi quella fra eq(n) e eq'(n).

v’ (n)

+ H (z) + +

eq (n)

( ) ( ) ( )nenvnv qq'' +=v (n) +

-

H (z) + v (n) +

-

+ H(z) A/D

D/A

v(n)

-

vq(n)

+ z-1

+

vq (n) v (n) +

- H (z) Q +

4


( )1

1

1 −

−

−=

ZZZH


v’ (n)

+ H (z) + +

eq (n)

( ) ( ) ( )nenvnv qq'' +=v (n) +

-

H (z) + v (n) +

-

+ H(z) A/D

D/A

v(n)

-

vq(n)

+ z-1

+

vq (n) v (n) +

- H (z) Q +

4


( )1

1

1 −

−

−=

ZZZH


v’ (n)

+ H (z) + +

eq (n)

( ) ( ) ( )nenvnv qq'' +=v (n) +

-

H (z) + v (n) +

-

+ H(z) A/D

D/A

v(n)

-

vq(n)

+ z-1

+

vq (n) v (n) +

- H (z) Q +


Convertitore sigma-delta

• Modellizziamo il quantizzatore con l’aggiunta di rumore • Studiamo separatamente cosa accade al segnale e al rumore

!13

4


( )1

1

1 −

−

−=

ZZZH


v’ (n)

+ H (z) + +

eq (n)

( ) ( ) ( )nenvnv qq'' +=v (n) +

-

H (z) + v (n) +

-

+ H(z) A/D

D/A

v(n)

-

vq(n)

+ z-1

+

vq (n) v (n) +

- H (z) Q +

4


( )1

1

1 −

−

−=

ZZZH


v’ (n)

+ H (z) + +

eq (n)

( ) ( ) ( )nenvnv qq'' +=v (n) +

-

H (z) + v (n) +

-

+ H(z) A/D

D/A

v(n)

-

vq(n)

+ z-1

+

vq (n) v (n) +

- H (z) Q +

4


( )1

1

1 −

−

−=

ZZZH


v’ (n)

+ H (z) + +

eq (n)

( ) ( ) ( )nenvnv qq'' +=v (n) +

-

H (z) + v (n) +

-

+ H(z) A/D

D/A

v(n)

-

vq(n)

+ z-1

+

vq (n) v (n) +

- H (z) Q +

5

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

fjVV efHz

zVzVzHzVz

zHzHzVzV π211 )( ;')( ;

1' −−− ===⋅=

+⋅=

Se consideriamo tempi non normalizzati ( 1≠T ) abbiamo fTj

V efH π2' )( −= . In ogni caso il

rapporto fra v’(n) ed v(n) è un semplice ritardo. Per quanto riguarda l'errore di quantizzazione si ha:

( )( ) ( )

( )

( )( )fTfH

TfejeefH

zzH

zzHzHzE

zE

N

TfjTfjjwTN

N

Nq

q

π=

π⋅=−=−=

−=

−==+

=

π−π−−

−

−

sin2)(sin211)(

1)(

1)(1

1'

22

2

1

1

eq (n)

+ -

eq'(n) +

H (Z)

- 1

+ +

eq (n)

eq’(n) H (z) +


Convertitore sigma-delta: segnale

• L’effetto di questo sistema sul segnale è quello di un semplice ritardo

!14

4


( )1

1

1 −

−

−=

ZZZH


v’ (n)

+ H (z) + +

eq (n)

( ) ( ) ( )nenvnv qq'' +=v (n) +

-

H (z) + v (n) +

-

+ H(z) A/D

D/A

v(n)

-

vq(n)

+ z-1

+

vq (n) v (n) +

- H (z) Q +

5

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

fjVV efHz

zVzVzHzVz

zHzHzVzV π211 )( ;')( ;

1' −−− ===⋅=

+⋅=




( )( ) ( )

( )

( )( )fTfH

TfejeefH

zzH

zzHzHzE

zE

N

TfjTfjjwTN

N

Nq

q

π=

π⋅=−=−=

−=

−==+

=

π−π−−

−

−

sin2)(sin211)(

1)(

1)(1

1'

22

2

1

1

eq (n)

+ -

eq'(n) +

H (Z)

- 1

+ +

eq (n)

eq’(n) H (z) +


Convertitore sigma-delta: rumore

• L’effetto di questo sistema sul rumore è quello di un passa-alto

!15

5

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

fjVV efHz

zVzVzHzVz

zHzHzVzV π211 )( ;')( ;

1' −−− ===⋅=

+⋅=




( )( ) ( )

( )

( )( )fTfH

TfejeefH

zzH

zzHzHzE

zE

N

TfjTfjjwTN

N

Nq

q

π=

π⋅=−=−=

−=

−==+

=

π−π−−

−

−

sin2)(sin211)(

1)(

1)(1

1'

22

2

1

1

eq (n)

+ -

eq'(n) +

H (Z)

- 1

+ +

eq (n)

eq’(n) H (z) +

5

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

fjVV efHz

zVzVzHzVz

zHzHzVzV π211 )( ;')( ;

1' −−− ===⋅=

+⋅=




( )( ) ( )

( )

( )( )fTfH

TfejeefH

zzH

zzHzHzE

zE

N

TfjTfjjwTN

N

Nq

q

π=

π⋅=−=−=

−=

−==+

=

π−π−−

−

−

sin2)(sin211)(

1)(

1)(1

1'

22

2

1

1

eq (n)

+ -

eq'(n) +

H (Z)

- 1

+ +

eq (n)

eq’(n) H (z) +

5

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

fjVV efHz

zVzVzHzVz

zHzHzVzV π211 )( ;')( ;

1' −−− ===⋅=

+⋅=




( )( ) ( )

( )

( )( )fTfH

TfejeefH

zzH

zzHzHzE

zE

N

TfjTfjjwTN

N

Nq

q

π=

π⋅=−=−=

−=

−==+

=

π−π−−

−

−

sin2)(sin211)(

1)(

1)(1

1'

22

2

1

1

eq (n)

+ -

eq'(n) +

H (Z)

- 1

+ +

eq (n)

eq’(n) H (z) +

6

HN(f) tende a concentrare il rumore di quantizzazione alle alte frequenze. Sq (ƒ) = densità spettrale di potenza rumore generato dal quantizzatore = Tq ⋅

2σ . La densità spettrale del processo eq'(nT) sarà invece data da:

( ) ( )TfTfSq πσ 22' sin4 ⋅⋅⋅= Mentre la potenza del processo sarà:

( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−

dove ƒm è la reale frequenza massima del segnale che interessa campionare e quantizzare. Se come accade nella realtà ƒm << 1/T abbiamo

( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ

con R = fattore di sovracampionamento =

m

C

ff 12

2

'

q

qPσ

rappresenta il rapporto fra rumore di quantizzazione ottenuto da strutture come quella

analizzata e da quantizzatori “classici”. Nel caso analizzato si ha 32

' 3.3R

P

q

q =σ

.

Quindi per ridurre il rumore di quantizzazione di un fattore 22M con M = 4 (guadagnare 4 bit sul quantizzatore) bisogna considerare un fattore di sovracampionamento R≈9.5, da confrontarsi con un R=256 che si ottiene nel caso di semplice sovracampionamento.

2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc


Convertitore sigma-delta: potenza di rumore

• La densità spettrale di potenza del rumore di quantizzazione è !!

• La densità spettrale di potenza del rumore in uscita al sistema è !!

• La potenza del rumore in uscita risulta !!

• Se la freq massima del segnale , si può approssimare con

!16

6




( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−


( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ


m

C

ff 12

2

'

q

qPσ



' 3.3R

P

q

q =σ

.


2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc

6




( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−


( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ


m

C

ff 12

2

'

q

qPσ



' 3.3R

P

q

q =σ

.


2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc

6




( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−


( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ


m

C

ff 12

2

'

q

qPσ



' 3.3R

P

q

q =σ

.


2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc

6




( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−


( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ


m

C

ff 12

2

'

q

qPσ



' 3.3R

P

q

q =σ

.


2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc

6




( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−


( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ


m

C

ff 12

2

'

q

qPσ



' 3.3R

P

q

q =σ

.


2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc

6




( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−


( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ


m

C

ff 12

2

'

q

qPσ



' 3.3R

P

q

q =σ

.


2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc

fattore di sovracampionamento

6




( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−


( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ


m

C

ff 12

2

'

q

qPσ



' 3.3R

P

q

q =σ

.


2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc


Schema di convertitore sigma-delta !17

10.6. QUANTIZZATORI SIGMA-DELTA 203

f cf /2Mc

B f /2c B f /2c B f /2c

Q M 1

B f /2Mc

f /Mc

Figura 10.6.2. Schema di decimazione.

f /2Mcf c

−1z

B f /2ce (n)q

M 1

B f /2Mc

f /Mc

+

++

−

x(t) x (n)Σ∆

B f /2c B f /2c

Figura 10.6.3. Schema di quantizzatore sigma-delta di tipo 1.

Per valutare le prestazioni del sistema in esame conviene partire dal valutare quantoun iniziale sovracampionamento può produrre in termini di aumento del numero di bitdi quantizzazione. Con riferimento alla figura 10.6.2 ed a quanto detto nella prima partedel corso a proposito del rumore di quantizzazione: il campionamento del segnale pro-duce la periodicizzazione dello spettro del segnale all’ingresso del quantizzatore, mentrela quantizzazione aggiunge disturbo bianco con varianza �2

e

q

. La varianza del rumore diquantizzazione a valle del filtro con banda f

c

/2M varrà �2

e

q

/M , corrispondente ad un passodi quantizzazione più piccolo di un fattore 1/

pM , cioè ad un incremento nel numero di bit

pari a 1

2

log

2

M . Per un bit in più bisogna usare una frequenza di campionamento quadru-pla; per aumentare i bit da 1 a 8 ci vorrebbe una frequenza di campionamento 2

2⇥8

= 65536

volte più alta (se B = 20 kHz, fc

� 2

2⇥8 ⇥ 40 kHz ' 2, 62 GHz!).Se, invece di un quantizzatore si usa un modulatore sigma-delta, la situazione cambia.

Con riferimento alla figura 10.6.1, come già osservato, è possibile spostare gli integratori(tempo discreti: ricordarsi che il sistema è tempo discreto) oltre il nodo sommatore, otte-nendo per tutta la catena elaborativa sigma-delta il circuito equivalente riportato in figura10.6.3, dove sono aggiunti, però, lo stadio di filtraggio e successiva decimazione della figura10.6.2. Il quantizzatore ad 1 bit (comparatore) viene schematizzato mediante l’aggiunta alsegnale in ingresso del rumore di quantizzazione e

q

(n). Il segnale all’uscita del modulatoresigma-delta si può esprimere, usando le trasformate z come:(10.6.1)X

⌃�

(z) = z�1 ·X (z) +�

1� z�1

�

Eq

(z) �! x⌃�

(n) = x (n� 1) + eq

(n)� eq

(n� 1)

L’interposizione del modulatore sigma-delta, perciò, non ha modificato il segnale, limi-tandosi a ritardarlo di un passo di campionamento. In compenso ha sagomato spettral-mente il rumore di quantizzazione, che risulta filtrato passa-alto e con densità spettrale

he

q

(f) · 4 sin2

(⇡f/fc

)


Convertitore sigma-delta: conclusioni

• Rispetto a un quantizzatore classico si guadagna sulla potenza di rumore un fattore: !!!!

• Per guadagnare 4 bit (fattore 4^4), ottengo un fattore di sovracampionamento di circa 9.5 (e non 256 come nel caso di solo sovracampionamento) !!

• Con queste strutture è possibile utilizzare convertitori a 1 bit con l’effetto di convertitori a 16 bit

!18

6




( ) ( )dfTfTdffSPfm

fm

fm

fm qq πσ 22'' sin4⋅⋅== ∫∫ −−


( )

323

22

3

22

3232

323222'

3,3231

138

38

344

−

−−

⋅⋅=

=

=

==

=⋅⋅≅ ∫

Rff

T

f

fTfTdfTfTP

qC

mq

mq

mq

f

f

fm

fm qqq

m

m

σπσπσ

πσπσπσ


m

C

ff 12

2

'

q

qPσ



' 3.3R

P

q

q =σ

.


2

|HN|

21

−

21 ƒ/ƒc

Documents

sigma delta bestagini - Intranet DEIBhome.deib.polimi.it/bestagini/_Slides/fens/sigma_delta.pdf · aumentare notevolmente il rapporto segnale rumore di un ... delta-sig due: oversam