Signali i sustavi - predavanje 13

Signali isustavi

skolska godina2014/2015Cjelina 13.

ProfesorBranko Jeren

Frekvencijskakarakteristikasustava

Signali i sustavi


2. lipnja 2015.

1

Signali isustavi




Odziv diskretnogsustava napobudueksponencijalom

Prijenosnafunkcija

Frekvencijskakarakteristikavremenskidiskretnihsustava

Odziv diskretnog sustava na pobudu eksponencijalom Uzn

• pokazano je kako je y(t) = H(s)Uest , odziv linearnogvremenski stalnog kontinuiranog sustava na pobudusvevremenskom eksponencijalom u(t) = Uest ,

• razmotrimo odziv diskretnog sustava na svevremenskueksponencijalu

u(n) = Uzn, n ∈ Z, z ∈ C,

• odziv mirnog sustava odredujemo konvolucijom pa je

y(n) = h(n) ∗ u(n) = h(n) ∗ Uzn = U∞∑

m=−∞h(m)zn−m =

= Uzn∞∑

m=−∞h(m)z−m︸︷︷︸H(z)

= H(z)Uzn

2

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Odziv diskretnog sustava na pobudu eksponencijalom

• prema tome, odziv mirnog, linearnog, vremenski diskretnogsustava, na svevremensku eksponencijalu Uzn, je

y(n) = H(z)Uzn

gdje je1

H(z) =∞∑

m=−∞h(m)z−m

• za konkretnu kompleksnu frekvenciju pobude z , daklekompleksan broj, H(z) je takoder, u opcem slucaju,kompleksan broj pa vrijedi

• za pobudu kompleksnom eksponencijalom odziv je istogoblika i rezultat je mnozenja pobude s konstantom

• kompleksnu eksponencijalu nazivamo karakteristicnom ilivlastitom funkcijom sustava

1Za z ∈ C, H(z) nazivamo prijenosnom funkcijom definiranom spreslikavanjem H : C→ C

3

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Odziv diskretnog sustava na pobudu eksponencijalomU(e jΩ)n

• razmatra se slucaj odziva linearnog vremenski stalnogdiskretnog sustava na svevremensku eksponencijalufrekvencije z = e jΩ, dakle,

u(n) = Uzn = U · (e jΩ)n, U ∈ R+

y(n) = h(n) ∗ u(n) = h(n) ∗ U(e jΩ)n =

= U∑∞

m=−∞ h(m)e jΩ(n−m) =

= Ue jΩn∞∑

m=−∞h(m)e−jΩm

︸︷︷︸H(e jΩ)

= H(e jΩ)Ue jΩn

• za Ω ∈ R, H(e jΩ) je kompleksna funkcija i naziva sefrekvencijska karakteristika diskretnog sustava

H(e jΩ) =∞∑

m=−∞h(m)e−jΩm

4

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Frekvencijska karakteristika diskretnog sustava

• ocigledno je kako vrijedi veza frekvencijske karakteristikediskretnog sustava2, H(e jΩ), i prijenosne funkcije H(z)

H(e jΩ) = H(z)|z=e jΩ

• za realni impulsni odziv h(n) vrijedi

H(e jΩ) =∞∑

m=−∞h(m) cos(Ωm)︸︷︷︸Re[H(e jΩ)]

−j∞∑

m=−∞h(m) sin(Ωm)︸︷︷︸−Im[H(e jΩ)]

H(e jΩ) = Re[H(e jΩ)] + jIm[H(e jΩ)]

• ocigledno je kako je• Re[H(e jΩ)] parna funkcija od Ω a• Im[H(e jΩ)] neparna funkcija od Ω

2Frekvencijska karak. definirana je kao H : R→ C, a prijenosna funkcija kaofunkcija H : C→ C

5

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• kako je H(e jΩ) kompleksna funkcija vrijedi

H(e jΩ) = Re[H(e jΩ)] + jIm[H(e jΩ)] = |H(e jΩ)|e j∠H(e jΩ)

pri cemu je amplitudna frekvencijska karakteristika,

|H(e jΩ)| =√

(Re[H(e jΩ)])2 + (Im[H(e jΩ)])2,

a fazna frekvencijska karakteristika,

∠H(e jΩ) = arctan

(Im[H(e jΩ)]

Re[H(e jΩ)]

)• iz parnosti Re[H(e jΩ)] i neparnosti Im[H(e jΩ)], slijedi kako

je• |H(e jΩ)| parna funkcija od Ω i• ∠H(e jΩ) neparna funkcija od Ω

6

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• iz parnosti i neparnosti realnog i imaginarnog dijelafrekvencijske karakteristike slijedi H(e−jΩ) = H∗(e jΩ)

• izH(e jΩ) = Re[H(e jΩ)] + jIm[H(e jΩ)]

iH(e−jΩ) = Re[H(e−jΩ)] + jIm[H(e−jΩ)]

uz parni Re[H(e jΩ)] i neparni Im[H(e jΩ)] slijedi

H(e−jΩ) = Re[H(e jΩ)]− jIm[H(e jΩ)] = H∗(e jΩ)

7

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Periodicnost frekvencijske karakteristike diskretnog sustava

• frekvencijska karakteristika diskretnog sustava jeperiodicna s periodom 2π

H(e j(Ω+2πk)) =∞∑

m=−∞h(m)e−j(Ω+2πk)m =

=∞∑

m=−∞h(m)e−jΩm e−j2πkm︸︷︷︸

1

= H(e jΩ)

8

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Odziv diskretnog sustava na realnu sinusoidu

• pokazano je kako je za pobuduu(n) = Uzn = U · (e jΩ)n,U ∈ R+, odziv linearnogdiskretnog sustava

y(n) = Yzn = (H(z)Uzn)z=e jΩ = H(e jΩ)Ue jΩn

• odziv na pobudu u(n) = Uzn = U(e−jΩ)n,U ∈ R+, je

y(n) = Yzn = (H(z)Uzn)z=e−jΩ = H(e−jΩ)Ue−jΩn

• iz ovoga zakljucujemo o odzivu na svevremensku pobuduu(n) = Ucos(Ωn) = 0.5Ue jΩn + 0.5Ue−jΩn

y(n) = 0.5UH(e jΩ)e jΩn + 0.5UH(e−jΩ)e−jΩn

9

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Odziv diskretnog sustava na realnu sinusoidu

y(n) = 0.5UH(e jΩ)e jΩn + 0.5UH(e−jΩ)e−jΩn

• pisemo kao

y(n) = 0.5UH(e jΩ)e jΩn +(0.5UH(e jΩ)e jΩn

)∗odnosno

y(n) = 2Re(0.5UH(e jΩ)e jΩn

)= Re

(|H(e jΩ)|Ue j∠H(e jΩ)e jΩn

)i finalno

y(n) = |H(e jΩ)|U cos(

Ωn + ∠H(e jΩ)), −∞ < n <∞

• zakljucujemo kako je problem odredivanja odziva sustava,u vremenskoj domeni, transformiran u frekvencijskudomenu i svodi se na odredivanje vrijednosti H(e jΩ)

10

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Operatorski zapis jednadzbe diferencija

• linearni, vremenski stalni, diskretan sustav N–tog reda,opisan je jednadzbom diferencija

y(n) + a1y(n− 1) + . . .+ aN−1y(n−N + 1) + aNy(n−N) =

= b0u(n)+b1u(n−1)+ . . .+bN−1u(n−N+1)+bNu(n−N)

• jednadzbu zapisujemo pomocu operatora pomakadefiniranog kao

za n ∈ ZE−1w(n) = w(n − 1) – pomak za jedan korakE−Kw(n) = w(n − K ) – pomak za K koraka

[1 + a1E−1 + . . .+ aN−1E

−N+1 + aNE−N ]︸︷︷︸

A(E)

y(n) =

= [b0 + b1E−1 + . . .+ bN−1E

−N+1 + bNE−N ]︸︷︷︸

B(E)

u(n)

11

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Operatorski zapis jednadzbe diferencija

• dakle, skraceni, operatorski zapis jednadzbe diferencijazapisujemo kao

A(E )y(n) = B(E )u(n)

gdje su A(E ) i B(E ) slozeni operatori

A(E ) = 1 + a1E−1 + . . .+ aN−1E

−N+1 + aNE−N

B(E ) = b0 + b1E−1 + . . .+ bN−1E

−N+1 + bNE−N

odnosno

y(n) =

(B(E )

A(E )

)u(n) ⇒ y(n) = H(E )u(n)

• slozeni operator H(E ) pridruzuje vremenskoj funkciji y(n)funkciju u(n) i predstavlja formalni, operatorski, zapispolazne jednadzbe diferencija

12

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Odziv sustava na pobudu eksponencijalom

• sustav pobudujemo svevremenskom kompleksnomeksponencijalom

n ∈ Z, z ∈ Cu(n) = Uzn

U – kompleksna amplituda pobude,z – neka konkretna kompleksna frekvencija

• buduci da pobuda starta u −∞, za stabilni su sustavpocetni uvjeti, koji su eventualno postojali u −∞, istitrali,nema prijelaznog odziva, i totalno je rjesenje jednakopartikularnom rjesenju jednadzbe diferencija

• totalni odziv je zato

y(n) = yp(n) = Yzn

13

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Odziv sustava na pobudu eksponencijalom

• kompleksnu amplitudu odziva Y odredujemo iz polaznejednadzbe metodom neodredenih koeficijenata pa,uvrstenjem u polaznu jednadzbu, slijedi

(1 + a1z−1 + . . .+ aN−1z

−N+1 + aNz−N)︸︷︷︸

A(z)

Yzn =

= (b0 + b1z−1 + . . .+ bN−1z

−N+1 + bNz−N)︸︷︷︸

B(z)

Uzn

• kompleksna je amplituda odziva Y

Y =b0 + b1z

−1 + . . .+ bN−1z−N+1 + bNz

−N

1 + a1z−1 + . . .+ aN−1z−N+1 + aNz−N︸︷︷︸H(z)

U = H(z)U

• amplituda partikularnog rjesenja Y odredena jeamplitudom pobude, svojstvima sustava, te konkretnomkompleksnom frekvencijom z

14

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Prijenosna funkcija

• H(z) je velicina koja odreduje odnos kompleksne amplitudeprisilnog odziva Yzn i kompleksne amplitude pobude Uzn

H(z) =b0 + b1z

−1 + . . .+ bN−1z−N+1 + bNz

−N

1 + a1z−1 + . . .+ aN−1z−N+1 + aNz−N=

Y

U

• za konkretnu frekvenciju z , H(z) ima znacenje faktorakojim treba mnoziti kompleksnu amplitudu ulaza da sedobije amplituda izlaza

Y = H(z)U

• H(z) mozemo formalno zapisati iz slozenog operatoraH(E ), zamjenom operatora E−1 s kompleksnomfrekvencijom z−1

15

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Prijenosna funkcija

• H(z), za z ∈ C, nazivamo prijenosna funkcija ili transferfunkcija diskretnog sustava i mozemo je definirati kao

n ∈ Z, z ∈ CH(z) =

yp(n)u(n)

∣∣∣u(n)=Uzn

= Yzn

Uzn = YU

• prijenosna ili transfer funkcija sustava H(z) racionalna jefunkcija koju mozemo prikazati kao

H(z) =b0 + b1z

−1 + . . .+ bNz−N

1 + a1z−1 + . . .+ aNz−N=

∑Nj=0 bjz

−j

1 +∑N

j=1 ajz−j

odnosno

H(z) =b0z

N + b1zN−1 + . . .+ bN

zN + a1zN−1 + . . .+ aN=

∑Nj=0 bjz

N−j

zN +∑N

j=1 ajzN−j

16

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Prijenosna funkcija

• prijenosnu funkciju mozemo pisati uz pomoc produktakorijenih faktora:

H(z) =

∑Nj=0 bjz

−j

1 +∑N

j=1 ajz−j

= b0

∏Nj=1(1− zjz

−1)∏Nj=1(1− pjz−1)

odnosno u obliku

H(z) =

∑Nj=0 bjz

N−j

zn +∑N

j=1 ajzN−j

= b0

∏Nj=1(z − zj)∏Nj=1(z − pj)

z1, z2, . . . , zN su nule prijenosne funkcijep1, p2, . . . , pN su polovi3 prijenosne funkcije

3dolazi od engleske rijeci tent-pole17

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Prijenosna funkcija

• prijenosnu funkciju mozemo pisati kao produkt i kvocijentvektora

H(z) = b0|z − z1|e j∠(z−z1)|z − z2|e j∠(z−z2) · · · |z − zN |e j∠(z−zN)

|z − p1|e j∠(z−p1)|z − p2|e j∠(z−p2) · · · |z − pN |e j∠(z−pN)

• prijenosnu funkciju H(z) mozemo pisati i kao

H(z) = |H(z)|e j∠H(z)

pri cemu su4

|H(z)| = |b0||z − z1||z − z2| · · · |z − zN ||z − p1||z − p2| · · · |z − pN |

∠H(z) = ∠(b0) + [∠(z − z1) + ∠(z − z2) + · · ·+ ∠(z − zN)]−− [∠(z − p1) + ∠(z − p2) + · · ·+ ∠(z − pN)]

4Za realne sustave je b0 ∈ R, pa je ∠b0 = 0 za b0 ≥ 0, odnosno ∠b0 = π zab0 < 0

18

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Prijenosna funkcija diskretnog sustava – primjer

• za prije razmatrani diskretni sustav, opisan jednadzbomdiferencija,

y(n)− 0.8√

2y(n − 1) + 0.64y(n − 2) = u(n)

prijenosnu funkciju mozemo formalno pisati zamjenjujucioperator E−1 sa z−1, pa slijedi

H(z) =1

1− 0.8√

2z−1 + 0.64z−2=

z2

z2 − 0.8√

2z + 0.64

19

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Prisilni odziv sustava

• totalni je odziv vremenski diskretnog sustava, na pobuduu(n) = cos(Ωn) · µ(n), dan kao5

y(n) =N∑j=1

ciqni + yp(n)

• pri cemu je prisilni odziv, uz danu pobudu,

yp(n) = |H(e jΩ)| cos(

Ωn + ∠H(e jΩ)), n ≥ 0

5ovdje su pretpostavljene jednostruke karakteristicne frekvencije20

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Prisilni odziv diskretnog sustava – primjer

• prije razmatrani diskretni sustav, opisan jednadzbomdiferencija,

y(n)− 0.8√

2y(n − 1) + 0.64y(n − 2) = u(n)

sustav je pobuden s

u(n) = −0.2cos(π

8n) · µ(n)

• za ovaj sustav odredujemo, prisilni odziv, prijenosnufunkciju i frekvencijsku karakteristiku

• prisilni odziv, na pobudu u(n) = Ucos(Ω0n) je, kako jeprije pokazano,

yp(n) = |H(e jΩ0)|U cos(

Ω0n + ∠H(e jΩ0))

21

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• iz jednadzbe diferencija,

y(n)− 0.8√

2y(n − 1) + 0.64y(n − 2) = u(n)

odnosno

(1− 0.8√

2E−1 + 0.64E−2)y(n) = u(n)

prije je vec izvedena prijenosna funkcija

H(z) =1

1− 0.8√

2z−1 + 0.64z−2

a frekvencijsku karakteristiku izracunavamo za z = e jΩ

H(e jΩ) =1

1− 0.8√

2e−jΩ + 0.64e−j2Ω

22

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• za konkretnu frekvenciju pobude Ω0 = π8 omjer

kompleksne amplitude odziva i pobude je

H(e jΩ0) = H(e jπ8 ) =

1

1− 0.8√

2e−jπ8 + 0.64e−j2

π8

H(e jπ8 ) = 2.4495 + j0.1178 = 2.4524e j0.0481

• pa je partikularno rjesenje

yp(n) = |H(e jΩ0)|U cos(

Ω0n + ∠H(e jΩ0))

=

= 2.4524(−0.2) cos(π

8n + 0.0481

)=

= −0.49048 cos(π

8n + 0.0481

)n ≥ 0

23

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• prije je odreden prisilni odziv diskretnog sustava, zadanogjednadzbom diferencija,

y(n)− 0.8√

2y(n − 1) + 0.64y(n − 2) = u(n),

na pobudu u(n) = −0.2cos(π8n) · µ(n)

• pokazano je kako je partikularno rjesenje jednadzbediferencija jednako prisilnom odzivu sustava

• ovdje ce biti ponovljen postupak odredivanja partikularnogrjesenja u vremenskoj domeni, kako bi se ukazalo najednostavnost netom prikazanog postupka odredivanjapartikularnog rjesenja u frekvencijskoj domeni

24

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• kako je pobuda u(n) = −0.2cos(π8n) · µ(n) partikularnorjesenje je oblika

yp(n) = K1cos(π

8n) + K2sin(

π

8n)

• koeficijente K1 i K2 odredujemo metodom neodredenogkoeficijenta

• uvrstenjem yp(n) u polaznu jednadzbu slijedi

yp(n)− 0.8√

2yp(n − 1) + 0.64yp(n − 2) = −0.2cos(π

8n);

K1cos(π8n) + K2sin(π8n)− 0.8√

2K1cos[π8 (n − 1)]−−0.8

√2K2sin[π8 (n − 1)] + 0.64K1cos[π8 (n − 2)]+

+0.64K2sin[π8 (n − 2)] = −0.2cos(π8n)

25

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• primjenom trigonometrijskih transformacija slijedi

K1cos(π8n) + K2sin(π8n)−−0.8

√2K1[cos(π8n)cos(π8 ) + sin(π8n)sin(π8 )]−

−0.8√

2K2[sin(π8n)cos(π8 )− cos(π8n)sin(π8 )]++0.64K1[cos(π8n)cos(π4 ) + sin(π8n)sin(π4 )]++0.64K2[sin(π8n)cos(π4 )− cos(π8n)sin(π4 )] = −0.2cos(π8n)

• razvrstavanjem slijedi

[1− 0.8√

2cos(π8 ) + 0.64cos(π4 )]K1+

+[0.8√

2sin(π8 )− 0.64sin(π4 )]K2cos(π8n)+

−[0.8√

2sin(π8 )− 0.64sin(π4 )]K1+

+[1− 0.8√

2cos(π8 ) + 0.64cos(π4 )]K2sin(π8n) = −0.2cos(π8n)

26

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• usporedbom lijeve i desne strane pisemo

[1− 0.8√

2cos(π8 ) + 0.64cos(π4 )]K1+

+[0.8√

2sin(π8 )− 0.64sin(π4 )]K2 = −0.2

−[0.8√

2sin(π8 )− 0.64sin(π4 )]K1+

+[1− 0.8√

2cos(π8 ) + 0.64cos(π4 )]K2 = 0

• rjesenjem ovih jednadzbi izracunavamo K1 i K2

K1 = −0.4899, K2 = 0.0236

• pa je partikularno rjesenje

yp(n) = −0.4899cos(π8n) + 0.0236sin(π8n) == −0.49048cos(π8n + 0.0481)

27

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija


Frekvencijska karakteristika diskretnog sustava – primjer

• iz izracunatih H(z)

H(z) =1

1− 0.8√

2z−1 + 0.64z−2=

z2

z2 − 0.8√

2z + 0.64

i H(e jΩ)

H(e jΩ) =1

1− 0.8√

2e−jΩ + 0.64e−j2Ω=

e j2Ω

e j2Ω − 0.8√

2e jΩ + 0.64

mozemo crtati, kao i u slucaju kontinuiranih sustava, plohe kojeprikazuju |H(z)| i ∠H(z), odnosno krivulje, |H(e jΩ)| i ∠H(e jΩ)

28

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



0 π 2π 3π-π-2π-3π Ω →

( )jH e Ω

( )jH e Ω∠

0 π 2π 3π-π-2π Ω →

2π

- 2π

0

0

1

2

3

4

29

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• frekvencijska karakteristika se moze odrediti graficki iz

H(z) = b0

∏Nj=1(z − zj)∏Nj=1(z − pj)

,

pracenjem |H(z)| i ∠H(z) na jedinicnoj kruznici, dakle, zaz = e jΩ

|H(e jΩ)| = |b0|∏N

j=1 |(e jΩ − zj)|∏Nj=1 |(e jΩ − pj)|

,

∠H(e jΩ) = ∠(b0)︸︷︷︸0 za b0≥0π za b0<0

+N∑j=1

∠(e jΩ − zj

)−

N∑j=1

∠(e jΩ − pj

)

• svaki korijeni faktor prijenosne funkcije daje svojindividualni doprinos modulu (multiplikativno) i fazi(aditivno)

30

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• svaki od clanova(e jΩ − zj

)ili(e jΩ − pj

)mozemo

prikazati kao vektore u kompleksnoj ravnini

0je Ω

0je Ω

0( ) kj jk ke p d e ψΩ − =

1kd

0( )jk ke pψ Ω= ∠ −Re

kp

Im

kp

• napomena: visestruke nule ili visestruke poloveoznacujemo oznakama , odnosno ×, i uz njih upisujemoarapski broj koji oznacuje red njihove visestrukosti

31

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



H(z) =z2

z2 − 0.8√

2z + 0.64=

z2

(z − p1)(z − p2)

H(e jΩ) =e j2Ω

(e jΩ − 0.8e jπ4 )(e jΩ − 0.8e−j

π4 )

za konkretnu frekvencijuz = e jΩ0 ,i za l1 = l2 = 1,

|H(e jΩ0)| =l1l2d1d2

=1

d1d2

∠H(e jΩ0) = ϕ1 +ϕ2−ψ1−ψ2

2ψ

2d

1d

1 2,l l

1 2,ϕ ϕ 12

1ψ

Re

Im

0je Ω

32

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• slijede primjeri koji ukazuju kako polozaj polova i nulaodreduje frekvencijsku karakteristiku

• polozaj polova i nula odreden je sustavnim postupcima zaprojektiranje sustava

• prikazani su primjeri cetiri tipa tzv. Butterworth-ovihfiltara:• niskopropusni (NP)• visokopropusni (VP)• pojasna brana (PB)• pojasno propusni (PP)

33

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



−1 0 1−1

0

1

imag

. os

polovi

0 0

0.5

1

|H(ejΩ)|

−1 0 1−1

0

1

imag

. os

polovi

0 0

0.5

1

|H(ejΩ)|

−1 0 1−1

0

1

imag

. os

polovi

0 0

0.5

1

|H(ejΩ)|

−1 0 1−1

0

1

imag

. os

polovi

0 0

0.5

1

|H(ejΩ)|

π.9ππ.1π

.6π.6π π π

4 4

44

4

4

34

Signali isustavi





Prijenosnafunkcija



• slijedi primjer koji pokazuje kako mali pomak polova imaizravni utjecaj na frekvencijsku karakteristiku ⇒ potrebnisustavni postupci projektiranja

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Im(z

)

Re(z)

polovi

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|H(ejΩ)|

Ω

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Im(z

)

Re(z)

polovi

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|H(ejΩ)|

Ωπ0.2π0.2π π

4 4

p1,2 = 0.7498± j0.5348, p′1,2 = 0.7700± j0.5348p3,4 = 0.7774± j0.2120, p′3,4 = 0.7774± j0.2120

35

Documents

Signali i sustavi - predavanje 13