Signal Processing Applications

Frekans AnaliziLaboratuvar 3

Deney 3 : Frekans Analizi

1. Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

2. Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT)i. Hızlı Fourier Dönüşümü Kullanarak DFT

Hesaplamaii. Faz Hesaplanmasında Karşılaşılan

Problemler3. FFT Kullanarak Filtreleme4. Dairesel Konvolüsyon5. Deney Prosedürü

2009/2010 Bahar 2YHT

Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

Ayrık zamanlı aperiyodik işaretlerin izgesel gösterimiiçin kullanılır.

Ayrık zamanlı periyodik bir işaretin periyodu sonsuzolarak düşünülüp Ayrık Fourier serisinin alınmasımantığına dayanır.

Sürekli zamanlı Fourier Serilerini hatırlayalım:

2009/2010 Bahar YHT 3

( ) 2 /1 ( ) j kt

k

Tx t X k eT

π∞

=−∞

= ∑

( )/2

2 /

/2

( )T

j kt T

T

X k x t e dtπ

−

= ∫

Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

X(k)’nın -∞ ≤ k ≤ ∞ aralığında tanımlı olduğunu varsayalım.

Son denklemde ( )

k→n

X(k) →x(n)

Tx(t) →X(ejw)

-2πt/T →w ve dt →-T/2πdw dönüşümlerini yaparsak

elde ederiz. Bu ters dönüşüm formülüdür.

2009/2010 Bahar YHT 4

( ) 1 ( )2

jw jwnx n X e e dwπ

ππ −

= ∫

( )/2

2 /

/2

( )T

j kt T

T

X k x t e dtπ

−

= ∫

Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

İleri dönüşümü bulmak için yine benzer şekilde,

İlk denklemde ( )

k→n

X(k) →x(n)

Tx(t) →X(ejw)

-w →2πt/T ve dt →-T/2πdw dönüşümlerini yaparsak

elde ederiz. Bu ileri dönüşüm formülüdür.

2009/2010 Bahar YHT 5

( ) ( )jw jwn

n

X e x n e∞

−

=−∞

= ∑

( ) 2 /1 ( ) j kt

k

Tx t X k eT

π∞

=−∞

= ∑

Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT)

Pratikte ilgilendiğimiz işaretlerin çoğu sonlu uzunluklu olduğundanya da sonlu işaret örneklerinden oluştuğundan dolayı n;0≤ n ≤ N-1 seçilir.

DTFT hesaplanırken karşılanırken en büyük sorun w’ nın sürekli birfrekans olmasıdır. Sayısal olarak bunu hesaplamak oldukça zordur.Bu yüzden frekansı ayrıklaştırmak büyük kolaylık sağlar. Fouriergösteriminin dualite özelliğinden dolayı ayrıklaştırma, frekanstasürekli olan spektrumun örneklenmesiyle yapılabilir.

2009/2010 Bahar YHT 6

( ) 1 ( )2

jw jwnx n X e e dwπ

ππ −

= ∫

( ) ( )jw jwn

n

X e x n e∞

−

=−∞

= ∑

Burada x(n)=0 N≤ n ≤ L-1. Frekans domeninde örneklemenin etkisisonlu uzunluklu sinyalin pediyodik olarak tekrar etmesidir.Örnekleme teoremine göre her 2π/L raydanda bir spektrumuörneklersek eklenmiş sıfırlarla beraber x(n) her L örnekte bir tekraretmelidir. Örtüşme ya da üst üste binme olmaması için L ≥ Nkoşulu sağlanmalıdır. Spektrum düzgün örneklendiği sürece zamanve frekans gösterimi periyodik olur.

Ters Ayrık Fourier Dönüşümü (IDFT):

Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT)

2009/2010 Bahar YHT 7

( ) ( )1

2 /2 /

0

| ( )L

jw j nk Lw k L

n

X k X e x n e ππ

−−

==

= =∑

( )1

2 /

0

1 ( )L

j nk L

k

x n X k eL

π−

=

= ∑

Hızlı Fourier Dönüşümü Kullanarak DFT Hesaplama

DFT hesaplamanın en etkin yolu Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) algoritmasıdır. FFT yeni bir dönüşüm olarak düşünülmemelidir. Sadece DFT hesaplamanın hızlı bir yöntemidir. FFT kullanarak DFT aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

1. x(n) işareti N ile periyodikse devam et yoksa adım 2’ye git.

FFT uzunluğunu L=N’ e ya da daha iyi bir çözünürlük için N’ in katlarına ayarla. Bir ya da birkaç periyot için FFT hesapla. X(k) k = 0,1,⋯,L-1 genelde karmaşık

formdadır. İşaretin genlik ve faz spektrumu k = 0,1,⋯,L-1 için sırasıyla |X(k)| ve arg [X(k)]

şeklindedir. Eğer FFT hesaplanırken birden fazla pediyot kullanılmışsa, örneğin M tane, genlik değerleri M’ e bölünür.

2. Eğer işaret N uzunluklu ve aperiyodikse:

N’ den L-1’e kadar sıfır ekleyerek için L ≥ N ile periyodik bir işaret oluştur.İşaretin bir periyodu için FFT hesapla.

X(k)’ nın faz ve genlik cevabını hesaplayıp w’ ya göre çizdir.

2009/2010 Bahar YHT 8

Faz Hesaplamasındaki Problemler DFT değerleri çoğunlukla komplekstir:

X(k) reelken faz şu şekilde hesaplanır:

X(k) >0 iken arg [X(k)]=0’dır. X(k) < 0 iken de iken arg[X(k)]= π’dır. X(k) = 0 ise faz tanımsız ya da önemsizdir. Genlik ve fazspektrumları çizilirken genliğin w’ ya göre çift fazın da tek simetrikolduğu unutulmalıdır.

’in bir periyoduna ait X(z) dönüşümü birim çember üzerinde sıfır ya da kutba sahip değilse faz frekansın sürekli bir fonksiyonudur. Aksi durumda süreksizlikleri gidermek için bir takım pratik çözümler sunulmuştur. Bunlar:

2009/2010 Bahar YHT 9

( ) ( ) ( )

( )

( )

jarg X k

R I

X k X k e

X k jX k

=

= +

( ) ( )( )I

R

X karg X k arctanX k

=

( )x n

Faz Hesaplamasında Karşılaşılan Problemler

1. arctan(θ), π periyotlu ve θ’nın sürekli bir fonksiyonudur. π/2’nin katlarındasüreksizlik noktalarına sahiptir. Fonskiyonun temel değerleri (-π/2, π/2)’dir.F azdeğerleri yalnızca –π ve π arasında hesaplanabilir. Bu probleme fazın sarması(wrapping) denir. Birim çember üzerinde sıfır veya kutup yoksa faz sürekli olur.Ancak süreksizlik durumunda faz değerleri [-π, π) sınırının dışında olur ve sınıriçinde eşdeğer bir değere düşürülür. Bu faz sarma adı verilen hayali bir süreklilikyaratır .sarılmış fazdan sürekli veya sarılmamış faz elde etmek bazı durumlardakolaydır.

Örnek:

2. Faz yalnızca genlik önemli iken önemlidir. Genlik değeri çok küçük olduğundafaz değeri de önemsiz olur.

2009/2010 Bahar YHT 10

[ ]

10 10( ) , ( )arg ( ) 10

jw jwX z z X e eX k w

− −= =

= −

FFT Kullanarak Filtreleme x(n) işareti N uzunluklu bir işaret olsun ve M uzunluklu ve impuls h(n)

cevabı olan bir LTI filtrenin girişine uygulansın. Filtre çıkışı y(n)=x(n)*h(n) lineer konvolüsyondur. y(n) ‘in DFT’ si

Y(k)=X(k)H(k) ’dır. y(n) M+N-1 uzunluğundadır. Y(k) L≥M+N-1 içinhesaplanmalıdır.

Çarpma işlemi için X(k) ve H(k) ’nın boyunun L olması gereklidir,dolayısıyla x(n) ve h(n) ‘in FFT’ leri L noktalı olmalıdır. Bu kuralauyulmazsa zaman domeninde örtüşme meydana gelir.

2009/2010 Bahar YHT 11

Örnek

y(n)’in boyu 2+2-1=3’tür. Bu yüzden L≥3 için FFT’ler hesaplanacaktır.a) L=4

b) L=3

b) L=2

2009/2010 Bahar YHT 12

( ) ( )1 0 10

nx n h n

diğer≤ ≤

= =

( )

( ) ( ) ( ) ( )

23/24

023

/2 4

0

( ) ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) 1 1 2 ( )

0 1, 1 2, 2 1, 3 0

j nk j k

n

j nkk j k

n

X k x n e e H k

Y k X k H k e y n e

y y y y

ππ

ππ

− −

=

−−

=

= = + =

= = + − + =

= = = =

∑

∑

( ) ( ) ( )

222 /33

022

2 /3 2 2 /3 3

0

( ) ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) 1 2 ( )

0 1, 1 2, 2 1

j nk j k

n

j nkj k j k

n

X k x n e e H k

Y k X k H k e e y n e

y y y

ππ

ππ π

− −

=

−− −

=

= = + =

= = + + =

= = =

∑

∑

( ) ( )

212

0212

0

( ) ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) 2 2 ( )

0 1, 1 2

j nk j k

n

j nkj k

n

X k x n e e H k

Y k X k H k e y n e

y y

ππ

ππ

− −

=

−−

=

= = + =

= = + =

= =

∑

∑

Dairesel Konvolüsyon DFT’ nin yapısındaki periyodiklik nedeniyle DFT’ leri çarpılan iki

işaret, sanki işaretlerin zaman uzayında periyodik hale getirilmişşekillerinin periyodik konvolüsyonu gerçekleştiriliyormuş gibi işlemgörmektedir. Dairesel ötelemenin mantığı kullanılarak bu konvolüsyonişlemi

Şeklinde tanımlanmaktadır. İki işaretin DFT’ leri çarpımı daireselkonvolüsyonun DFT’ sine eşittir.

2009/2010 Bahar YHT 13

( ) ( ) ( )N 1

0n

y n x n h n k−

=

= −∑

1

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N

ny n x n h n k X k H k

−

=

= − ⇒∑

Dairesel Konvolüsyon İki sonlu işaretin dairesel konvolüsyonu, işaretlerin periyodik hale

getirilerek periyodik konvolüsyon alınması olarak düşünülebilir. Yada, Daire üzerine yerleştirilmiş iki işaretin konvolüsyonu olarak elealınabilir. Bu durumda birinci işaretin değerlerinin yerleştirildiğidaire sabit tutulup, ikinci işaretin değerlerinin bir diğer daireye terssırayla yerleştirilir. Her seferinde birbirine karşılık gelen değerlerçarpılarak toplanmaktadır. İkinci daire her seferinde saat yönündebir birim döndürülerek dairesel konvolüsyon değerleri sırasıylahesaplanmaktadır.

Bir önceki örnek için dairesel konvolüsyon sonucunday(0)=1,y(1)=2,y(2)=1,y(3)=0 değerlerini elde ederiz. Bu demekoluyor ki lineer konvolüsyon ile dairesel konvolüsyon sonuçlarınınaynı olması için L=M+N-1 noktalı dairesel konvolüsyonalınmalıdır.

2009/2010 Bahar YHT 14

Deney ProsedürüBölüm I: Frekans Çözünürlüğü ve Yoğunlaşma

1. Her 16 örnekte tekrarlayan, duty cycleı 1/2 ve uzunluğu 256olan bir kare dalga oluşturun. Bu işaretin periyodu 16 olanperiyodik kare dalganın bir parçası olduğunu dikkate alın.

2. Bir önceki adımdaki işaretin Fourier Dönüşümünü FFTkomutuyla bulun; genlik ve faz spektrumunu çizin. Genlikspektrumundaki tepe noktalar hangi frekans değerlerinekarşılık geliyor? Frekans ve genlik değerleri neden sonlubir frekans kümesinde ortaya çıkıyor?

3. Birinci adımdaki işaretin ilk 16 örneğini alarak yeni birişaret oluşturun. Bu işaretin periyodu 16 olan periyodikkare dalganın bir periyodu olduğunu dikkate alın.

2009/2010 Bahar YHT 15

Deney ProsedürüBölüm I: Frekans Çözünürlüğü ve Yoğunlaşma

4. Üçüncü adımdaki işaretin Fourier Dönüşümünü FFT komutuylabulun; genlik ve faz spektrumunu çizin. 2. şıktaki genlik ve fazspektrumu ile karşılaştırın. Hangisi daha iyi bir frekansçözünürlüğü veriyor belirtin.

5. Her 64 örnekte tekrarlayan, duty cycleı 1/2 ve uzunluğu 256 olanbir kare dalga oluşturun. Bu işaretin periyodu 64 olan periyodikkare dalganın bir parçası olduğunu dikkate alın. Bu işaretin FFT’sini hesaplayıp genlik ve faz spektrumunu çizdirin. Sonuçlarıikinci adımdaki spektrum değerleri ile karşılaştırın. Frekansyoğunlaşması nasıl değişiyor belirtin.

6. İki tane aperiyodik işaret oluşturun: 5 tane bir, 251 tane desıfırdan oluşan x(n) ve 5 tane bir ve 3 tane sıfırdan oluşan y(n)işaretleri. Her bir işaretin FFT’ sini hesaplayın, genlik - fazspektrumlarını karşılaştırın. x(n) ve y(n) arasındaki fark nedir,belirtin. İki işaret aynı DTFT’ ye mi sahiptir? FFT hesaplanırkenkullanılan sıfırların etkisi nedir?

2009/2010 Bahar YHT 16

Deney ProsedürüBölüm I: Frekans Çözünürlüğü ve Yoğunlaşma

Tartışma:

Periyodik bir işaretin FFT’ si hesaplanırken birden fazla periyodkullanmanın etkisi nedir, genliği ayarlamak için ne gibi birdeğişiklik yapılmalıdır ,tartışınız.

İşaretin zamandaki süresi ve frekans domenindeki yoğunlaşmasıarasındaki ilişkiyi açıklayınız.

Periyodik ve aperiyodik işaretlerin FFT’si hesaplanırken frekansçözünürlüğünü arttırmak için çeşitli yöntemler kullanılır: periyodikişaretlerde birden fazla periyotla FFT hesaplanır, aperiyodikişaretlerde de işarete sıfırlar eklenir. Periyodik işaretlerde sıfıreklemenin neden işe yaramadığını açıklayınız.

2009/2010 Bahar YHT 17

Deney ProsedürüBölüm II: Zamanda ve Fazda Öteleme

1. 5 tane bir, 251 tane de sıfırdan oluşan x(n) işaretini oluşturun. x(n) işaretini 2örnek öteleyin ve y(n) işaretini oluşturun. Her bir işaretin FFT’ sini hesaplayıngenlik- faz spektrumlarını karşılaştırın. Faz spektrumundan işaretin ötelenmişolduğunu anlayabilir misiniz? Teorik olarak faz farkı nedir belirtin.

2. 128 noktalı işaretini değerleri içinoluşturun. Sonuç olarak fazları farklı üç cosinüs işareti elde edilecektir.

3. Her üç işaretin FFT’ lerini hesaplayın ve genlik-faz spektrumlarını çizdirin.Teorik sonuçlarla faz spektrumlarını karşılaştırın. Bunun neden olduğunuaçıklayınız. (ipucu: FFT değerlerine bakıp, değerlerin harmoniklerde olmadığınabakabilirsiniz.)

4. Cosinüsün FFT’ sinin fazını temizlemek için basit bir algoritma yazın. Genlikönemli değilken faz sıfıra eşitlenebilir. 2. Adımda üretilen cosinüslerintemizlenmiş faz spektrumlarını çizin.

2009/2010 Bahar YHT 18

( ) cos( /16 )x n nπ θ= + 0, ,2πθ π =

Deney ProsedürüBölüm II: Zamanda ve Fazda Öteleme

Tartışma: Faz spektrumu çizimlerinde görülen zorluk nedir? Zorluk arctan’ın

hesaplanma yönteminden mi kaynaklamaktadır? İşaretin Z dönüşümünde birim çember üzerinde sıfır veya kutup var

mıdır? İlgili faz spektrumu süreksiz midir?

2009/2010 Bahar YHT 19

Deney ProsedürüBölüm III: Modülasyon

1. 256 noktalı x(n)=u(n)-u(n-65) işaretini oluşturup FFT kullanarakgenlik ve faz spektrumunu çizdirin.

2. x(n) işaretini 256 uzunluklu s(n)=cos(0.5πn) işareti ile çarpın.Yeni oluşan işaretin genlik faz spektrumunu FFT yardımıylahesaplayıp, çizdirin. Birinci adımdaki genlik ve faz spektrumu ileilişkisini açıklayın.

3. x(n) işaretini 256 uzunluklu s(n)= sin(0.5πn) işareti ile çarpın.Yeni oluşan işaretin genlik faz spektrumunu FFT yardımıylahesaplayıp, çizdirin. Birinci ve ikinci adımdaki genlik ve fazspektrumları ile ilişkisini açıklayın.

4. x(n) işaretini 256 uzunluklu s(n)= e(j0.5πn) işareti ile çarpın. Yenioluşan işaretin genlik faz spektrumunu FFT yardımıylahesaplayıp, çizdirin. Birinci, ikinci ve üçüncü adımdaki genlikspektrumları ile farkını yorumlayın.

2009/2010 Bahar YHT 20

Deney ProsedürüBölüm III: Modülasyon

Tartışma:

Bir işareti sinüsoidal ile çarpmak, işaretin frekans bileşenlerini nasıl etkiler,açıklayınız. Kompleks sinüsoidal kullanmak ile reel bir sinusoidalkullanmak oluşan frekans içeriğini nasıl etkiler?

Modülasyonda cosinüs yerine sinüs kullanmanın farkı nedir?

2009/2010 Bahar YHT 21

Deney ProsedürüBölüm IV: Filtreleme

1. 50 tane sıfır ve 50 tane birden oluşan x(n) işaretini oluşturun. Butemiz işareti bozmak için, x(n) işaretini 0.1 ile çarpılmış 100noktalı bir rasgele işaret işaret ile toplayın. Oluşan yeni işaretegenliği, periyodu ve fazı sırasıyla 0.3, 16 ve 0 olan bir cosinüsişareti ekleyin. Oluşan yeni işarete z(n) diyelim. İlerleyenadımlarda bozucu etkiden kurtulmak ve orijinal işaretini geri eldeetmeye çalışacağız.

2. FIR bir filtrenin cevabı h(n) ’in olduğunu varsayalım. h(n) ’ingenlik ve faz spektrumunu 256 noktalı FFT kullanarak hesaplayıpçizdirelim. Bu nasıl bir filtredir ve geçirme bandında lineer fazlımıdır?

3. Bir başka FIR filtre olan g(n) ’in impuls cevabı ise[1,0,0,0,0,0,0,0,1] ’dir. g(n) ’in genlik ve faz spektrumunu 256noktalı FFT kullanarak hesaplayıp çizdirelim. Bu filtre banddurduran bir filtredir. Durdurma frekansı nedir? geçirme bandındalineer fazlı mıdır?

2009/2010 Bahar YHT 22

Deney ProsedürüBölüm IV: Filtreleme

4. 2. Adımda verilen filtrenin giriş/çıkışlarını belirtin. z (n) işaretinibu filtreden geçirin ve y(n) işaretini elde edin. Filtrenin z (n)üzerindeki etkisini açıklayın.

5. h(n) ve z(n) ’in 256 noktalı FFT’ sini hesaplayın. FFT’leri çarpıp,filtre çıkışını elde etmek için çarpımın IFFT’ sini hesaplayın.Çıkış reel midir? Sanal kısım ihmal edilebilir düzeyde ise çıkışınreel kısmına y1(n) diyelim. y(n) ve y1(n)’ i karşılaştırın.

6. h(n), z(n) ve y1(n) ’in FFT’ lerinin genliklerini çizdirin ve frekansdomeninde filtrenin etkilerini belirtin.

2009/2010 Bahar YHT 23

Deney ProsedürüBölüm IV: Filtreleme

7. g(n) ’in 256 noktalı FFT’ sini hesaplayın. Sonucu z(n) ’in FFT’ siile çarpıp, filtre çıkışını elde etmek için çarpımın IFFT’ sinihesaplayın. Sanal kısım ihmal edilebilir düzeyde olduğundançıkışın reel kısmına y2(n) diyelim.

8. z(n), g(n) ve y2(n) ’in FFT’ lerinin genliklerini çizdirin ve frekansdomeninde filtrenin etkilerini belirtin.

9. Verilen FIR filtreleri kullanarak x(n) işaretindeki toplamsalgürültüden ve sinüsoidalden kaynaklanan bozucu etkilerdenkurtulmak için bir algoritma yazın. Ve sonucu çizdiripyorumlayın.

2009/2010 Bahar YHT 24

Deney ProsedürüBölüm IV: Filtreleme

Tartışma:

FFT kullanılarak frekans domeninde yapılan filtrelemedekonvolüsyon toplamı ve boyu arasındaki ilişkiyi tartışın.

IIR filtreler ile FFT kullanarak filtreleme yapılır mı? Açıklayınız.

2009/2010 Bahar YHT 25