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Signaux et Systèmes. Intervenants: Hugues BENOIT-CATTIN Chantal MULLER. Département Télécommunications, Services et Usages Année 2002-2003. Plan du cours. I. Signaux et Systèmes II. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants SLTI III. Séries de Fourier - PowerPoint PPT Presentation
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Signaux et SystèmesSignaux et Systèmes
Intervenants:
Hugues BENOIT-CATTIN
Chantal MULLER
Département Télécommunications, Services et Usages Année 2002-2003
2
Plan du coursPlan du cours
I. Signaux et SystèmesII. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants SLTIIII. Séries de FourierIV. Transformée de Fourier en Temps ContinuV. Transformée de Fourier en Temps DiscretVI.Caractérisation en Temps et Fréquence des signaux et des systèmesVII. Transformée de Laplace VIII. Transformée en ZIX . Echantillonnage
3
I. Signaux et SystèmesI. Signaux et Systèmes
1 - Signaux Temps Continu et Temps Discret
2 - Transformation de la variable indépendante
3 - Signaux exponentiel et sinusoïdaux
4 - Impulsion unité et fonction échelon unité
5 - Systèmes Temps Continu et Temps Discret
6 - Propriétés de bases des systèmes
4
I.1. Signaux Temps Continu et Temps DiscretI.1. Signaux Temps Continu et Temps Discret
A) Exemples de signaux et représentation mathématique
signal = toute entité qui véhicule une information
Exemples:onde acoustique Musique,
parole,...
onde lumineuse source lumineuse(étoile, gaz, …)
...
courant électrique délivré par un microphone
courant électrique délivré par un spectromètre
suite de nombres Mesures physiques
Photographie ...
5
Signaux Temps Continu:
Signal = fonction d ’une ou plusieurs variables indépendantes:
ex: (Voix) Pression Acoustique = f(temps)
(Image) Luminosité= f(x,y:variables spatiales)
par la suite: 1 seule variable indépendante = temps
Représentation mathématique:
La variable indépendante est continue t
ex: la voix en fonction du temps,
la pression atmosphérique en fonction de l ’altitude
Signaux Temps Discret:
Définis seulement pour des temps discrets
La variable indépendante est un ensemble discret de valeurs n
ex: indice Dow-Jones du marché boursier
études démographiques ...
6
Remarques:
Exemples: a) d ’un signal continu x(t) b) d ’un signal discret x[n]:
x[n] n ’est défini que pour des valeurs entières de n. x[n] : signal Temps Discret ou séquence Temps Discret.
2 types de signaux discrets:
a) Signaux représentant un phénomène dont la variable indépendante est discrète
b) Signaux provenant d ’une opération d ’échantillonnage:
x[n] représente les échantillons successifs d ’un phénomène pour lequel la
variable indépendante est continue (niveau quantifié ou non...)
7
3 Classes de signaux:
B) Energie et puissance d ’un signal
Définition: par analogie avec les signaux électriques
Energie
dttxEx
2
Puissance moyenne
T
TT
x dttxT
P2
2
1lim
Temps Continu Temps Discret
2nxEx
N
NnN
x nxN
P2
12
1lim
- Signaux à Energie finie
- Signaux à Puissance moyenne finie
- Signaux à Energie et Puissance moyenne infinies
8
- Signaux à Energie finie
- Signaux à Energie et Puissance Moyenne infinies
t0 1
1
- Signaux à Puissance moyenne finie
0
... ...
4
n
t
1
1
0 xx PE
xx EP
xx EP
9
I.2. Transformation de la variable indépendanteI.2. Transformation de la variable indépendante
A) Exemples de transformations
Décalage temporel
t 0 < 0 : AVANCE n 0 > 0 : RETARD
10
Changement d ’échelle
Inversion temporelle
11
B) Signaux périodiques
)()( Ttxtx
xx EP
Remarques:
Nnxnx
T0 = période fondamentale = plus petite valeur possible de T
12
C) Signaux Pairs et Impairs
Pairs Impairs
nxnx
txtx
)()(
nxnx
txtx
)()(
Propriété:
Tout signal se décompose en la somme:
- d ’un signal pair xpair(t) et
- d ’un signal impair ximpair(t)
txtxtx
txtxtx
impair
pair
2
12
1
)()()( txtxtx impairpair
13
I.3. Signaux exponentiels et sinusoïdauxI.3. Signaux exponentiels et sinusoïdaux
A) En Temps Continu
Signaux à exponentielle réelle:
Signaux à exponentielle complexe périodiques et signaux sinusoïdaux:
réelsaetCavecatCetx )(
tjetx 0)(
TjtjTtjtj eeee 0000 )( 10 Tje
000
22
Tf
tjjtjj
tje
eeA
eeA
tA
eAtAtx
00
0
22cos
cos
0
)(0
xE
phénomènes physiques
0a 0a
14
Remarques :
- Signaux à exponentielle complexe périodiques appelés aussi signaux
harmoniques
- Ensemble d ’exponentielles harmoniquement reliées =
Ensemble d ’exponentielles périodiques ayant en commun la période T0 :
,...2,1,0,0 ket tjkk
Signaux à exponentielle réelle et complexe : jat eCetx CCetjraavec 0)(
0r 0r
15
B) En Temps Discret
Signaux à exponentielle réelle: réelsetCavecnCnx
1 10
01 1
16
Signaux à exponentielle complexe et sinusoïdaux: )cos( 00 nAnxenx nj
Propriétés liées au Temps Discret:
njnjnjnj eeee 000 22
njnjnj eee 42 000
0 < 0 < 2
0 < f0 < 1
1)
même signal pour des
pulsations différentes!...
nje 0Le taux d ’oscillations de n ’augmente pas en fonction de 0 !…
Basses fréquences k20
Hautes fréquences 120 k
17
Sinusoïdes Temps Discret à différentes fréquences
18
2) Périodicité: Pas toujours!...
10
00 )(
Nj
njTnj
eSi
ee
N
m
2
0
Alors m
0 Fréquence fondamentale
Signal périodique si 0 / 2 est un entier
ou une fraction rationnelle
6/cos nnx Non périodique!
périodique périodique non périodique
19
Signaux à exponentielle réelle et complexe : jjn eeCnx CCetavec 0
3) Exponentielles reliées harmoniquement
,...1,0
2
kn
Njk
k en
neeen knj
nN
jknN
Nkj
Nk
2
22)(
seulement N exponentielles distinctes...
1 1
20
I.4. Impulsion unité et fonction échelon unitéI.4. Impulsion unité et fonction échelon unité
A) En Temps Discret
0,1
0,0
n
nn
Impulsion Unité:
0
1
n
Echelon Unité:
0,1
0,0
n
nnu
n
1
0 n
...
nu
Relations:
1 nunun
0k
knnu
nxnnx 0
000 nnnxnnnx
21
B) En Temps Continu
Impulsion Unité ou Dirac:
Echelon Unité:
0,1
0,0
t
ttu
u(t)
t
dt
tdut On veut: Problème!...
tt
0lim
Signal Pulse
Impulsion de Dirac
t
22
Propriétés du Dirac:
Modélisation mathématique issue de la théorie des Distributions (Laurent Schwarzt)...
- (t) n ’a pas de durée, sa hauteur est infinie et son aire est égale à l ’unité
1
dtt
- (t) peut être pondéré par un scalaire
- représentation de (t): (t)
t
1
k.(t) a une aire de k
fonction singulière
Besoin des physiciens:
(t) modélise par exemple le courant i(t) d ’un filtre RC lors de la charge d ’un condensateur...
23
txttx 0
0xdtttx
dttu
0
000 tttxtttx
00 txdttttx
dt
tdut
24
I.5. Systèmes Temps Continu et Temps DiscretI.5. Systèmes Temps Continu et Temps Discret
Système
Temps
Continux(t) y(t)
Système
Temps
Discretx[n] y[n]
x(t) y(t) x[n] y[n]
Exemples:
- Relation entre la tension aux bornes d ’un condensateur et la tension d ’entrée
- Relation entre la vitesse d ’un véhicule et la force appliquée
- Evolution d ’un compte bancaire
équations différentielles linéaires du 1er ordre: tbxtay
dt
tdy
nxnyny 101.1
25
Interconnexions de systèmes
Idée: des systèmes complexes peuvent être construits en interconnectant
des sous ensembles plus simples...
Interconnexion Série Interconnexion Parallèle
Interconnexion Rétro-actionnée
Système 1 Système 2E S
Système 1
Système 2
+E S
Système 1
Système 2
+E S
26
I.6. Propriétés de base des systèmesI.6. Propriétés de base des systèmes
Système sans mémoire:
La sortie y à l ’instant t ou n ne dépend que de l ’entrée x à ce même instant
Système inversible:
Des entrées distinctes conduisent à des sorties distinctes
SystèmeSystème
inversex[n]
y[n]w[n]=x[n]
Système causal:
La sortie à n ’importe quel instant ne dépend que des valeurs de l ’entrée
aux instants présent et passés
n
nxny ][][ ]1[][][ nxnxny ][][ nxny
27
Système stable:
A une entrée bornée: |x(t)| M t correspond une sortie bornée |y(t)| N t
Système temporellement invariant :
n
nxny ][][)1()()( txtxty
Systèmex[n-n0] y[n-n0] Systèmex(t-t0) y(t-t0)
Système linéaire: Propriété de superposition
)()(
)()(
22
11
tytx
tytx
Soit
nynx
nynx
22
11
Alors )(.)(.)(.)(. 2121 tybtyatxbtxa
][.][.][.][. 2121 nybnyanxbnxa
Un décalage temporel sur le signal d ’entrée entraîne le même décalage temporel sur
le signal de sortie
28
II. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants SLTIII. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants SLTI
1 - SLTI Temps Discret: Somme de Convolution
2 - SLTI Temps Continu: Intégrale de Convolution
3 - Propriétés des SLTI
4 - SLTI causaux décrits par des équations différentielles et par des équations aux différences
29
II.1 SLTI Temps Discret: Somme de ConvolutionII.1 SLTI Temps Discret: Somme de Convolution
Etude d ’un sous-ensemble de systèmes:
Systèmes Linéaires Temporellement Invariants
Nb Propriétés
Outils puissants
A) Représentation d ’un signal Temps Discret à l ’aide des signaux impulsions
Somme pondérée d ’impulsions décalées temporellement knkxnx
30
B) Réponse d ’un SLTI Temps Discret
knkxnx
Si nhkn k
a) Réponse d ’un système linéaire (pas forcément T.I.)
Alors: nhkxny kk
Principe de superposition
Signal d ’entrée
31
Interprétation graphique de la réponse d ’un système linéaire Temps Discret
La réponse au signal x[n] est une combinaison linéaire
des réponses associées à chaque impulsion décalée temporellement n
32
b) Réponse d ’un SLTI
Il suffit de connaître la réponse h0[n] à [n] ...
knhnhkn k 0Invariance Temporelle
Définition: Réponse impulsionnelle = Réponse d ’un SLTI à l ’impulsion unité
nhnh 0SLTI[n] h[n]
On obtient:
Somme de convolution
SLTI entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle
nhn 0
nhnxny
knhkxnyk
33
C) Exemple de calcul de l ’opération de convolution
Inversion de h[k] en h[-k]
Décalage temporel h[n-k]
Résultat de la convolution y[n]
34
II.2 SLTI Temps Continu: Intégrale de ConvolutionII.2 SLTI Temps Continu: Intégrale de Convolution
A) Représentation d ’un signal Temps Continu à l ’aide des impulsions de Dirac
ailleurs
tt0
10
ktkxtx
k
ˆ
35
dtxtx
ktkxtx
k
0
lim
« Somme » pondérée d ’impulsions de Diracdécalées temporellement
B) Réponse d ’un SLTI Temps Continu
ktkxtx
k
ˆ
thkxty k
k
ˆˆ
Signal d ’entrée:
nhkn kSi:
Alors: Principe de superposition
a) Réponse d ’un système linéaire (pas forcément T.I.)
36
Interprétation graphique de la réponse d ’un système linéaire Temps Continu
La réponse au signal est une combinaison linéaire
des réponses associées à chaque pulse décalé temporellement
tx̂
t
dthxthkxty kk
ˆlim0
thavec tréponse à
37
b) Réponse d ’un SLTI
dthxty
dtxtx
Signal d ’entrée:
Invariance Temporelle
Signal de sortie:
ththt 0 tht 0
Définition: Réponse impulsionnelle = Réponse d ’un SLTI à l ’impulsion de Dirac
thth 0SLTI(t) h(t)
On obtient: Intégrale de convolution
thtxty SLTI entièrement caractérisé
par sa réponse impulsionnelle
dthxty
38
Exemples:
C) Exemple de calcul de l ’intégrale de convolution
Simon Fraser University (Vancouver): http://www.sfu.ca/index2.htm
John Hopkins University: « Joy of convolution » http://www.jhu.edu/~signals
39
40
II.3 Propriétés des SLTIII.3 Propriétés des SLTI
thtxdthxty
nhnxknhkxnyk
Systèmes entièrement caractérisés
par leur réponse impulsionnelle
Commutativité
nxnhnhnx
kk
knxkhknhkx
dtxhdthx
txththtx
h[n]x[n] y[n] x[n]h[n] y[n]
41
Distributivité
nhnxnhnxnhnhnx 2121
Une combinaison parallèle de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont
la réponse impulsionnelle est la somme des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés
(IDEM T.C.)
42
Associativité
nhnhnxnhnhnxnhnhnx 212121 (IDEM T.C.)
Une combinaison série de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont la réponse
impulsionnelle est la convolution des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés
La réponse impulsionnelle d ’un SLTI résultant de l ’interconnexion série de plusieurs
SLTI ne dépend pas de l ’ordre dans lequel ils ont été cascadés
43
Multiplication par un scalaire
][][][][][][ nynxnynxnynx (IDEM T.C.)
][][][][ 000 nnhnxnhnnxnny (IDEM T.C.)
DyxyDxyxD
Décalage temporel:
Dérivation:
dt
tdxtDx 1 nxnxnDx
Elément neutre: txttx nxnnx
00 ttxtttx 00 nnxnnnx Très important
44
SLTI sans mémoire 00 npournh
SLTI inversible nnhnh i
(IDEM T.C.)
tthth i
SLTI causal 00 npournh
00 tpourth
SLTI stable Sa réponse impulsionnelle est
absolument sommable
k
kh
dtth Sa réponse impulsionnelle est
absolument intégrable
45
Réponse d ’un SLTI à l ’échelon unité
Réponse indicielle: nunhni ][
1][ nininh
tuthti
dt
tdith
Réponse indicielle utilisée aussi pour caractériser un SLTI
46
II.4 SLTI causaux décrits par II.4 SLTI causaux décrits par des équations différentielles et des équations aux différencesdes équations différentielles et des équations aux différences
A) Equations différentielles linéaires à coefficients constants
Description de phénomènes physiques TC:
Réponse d ’un circuit RC, vitesse d ’un véhicule soumis à une accélération et des forces de frottement ...
Exemple (1)txtydt
tdy 2
Spécification implicite du système relation ou contrainte entre l ’entrée et la sortie
a) Pour avoir une expression explicite résoudre l ’équation, trouver y(t) génerale
b) Pour trouver une solution unique Informations complémentaires, appliquer les conditions initiales
Rappels: Résolution d ’une équation différentielle à coefficients constants
tytyty hompartgén
tuketxavec t3
02 tydt
tdy
ty part : solution particulière vérifiant (1) de même forme que l ’entrée
tyhom : solution de l ’équation homogène
k
kM
kkk
kN
kk
dt
txdb
dt
tyda
00CausalSystèmeNM
47
D ’où: 0,5
3 tek
ty tpart 0,2 tAety t
hom
0,5
32 tek
Aety ttgen infinité de solutions
Application des Conditions Initiales
Cas particulier SLTI CAUSAL + CI de SIAR: Système Initialement Au Repos
Définition:
Un système causal est initialement au repos, si sa sortie est nulle tant que son entrée est nulle
00 0,0 ttpourtyalorsttpourtx
D ’où: 0000,00 genyettpourtyalorstpourtx
0,5
23 teek
ty ttIAR
48
Propriété 1
Un système, régi par une équation différentielle à coefficients constants, initialement au repos,
est un SLTI IAR autrement dit un système convolutif
Propriété 2
La solution yIAR(t) d’un système régi par une équation différentielle à coefficients constants et
initialement au repos, est égale au produit de convolution de la réponse impulsionnelle h(t) du SLTI
par l ’entrée x(t) appliqué au système
txthtyIAR
Propriété 3
Dans le cas général, la solution y (t) d’un système régi par une équation différentielle à coefficients
constants et non initialement au repos, peut se décomposer en la somme de yIAR (t) solution du
système initialement au repos et de yZI(t) solution du système avec une entrée nulle et les conditions
initiales réelles réellesCIréellesCI
tytyty ZIIAR
réellesCIréellesCI
tytxthty hom
49
B) Equations aux différences linéaires à coefficients constants knxbknyaM
kk
N
kk
00
Même méthode de résolution que pour les équations différentielles à coefficients constants
Mêmes propriétés 1, 2 et 3 ...
Cas particulier: SLTI CAUSAL , Système Initialement au Repos nxnhnyIAR
knyaknxba
nyknxbknyaN
kk
M
kk
M
kk
N
kk
10000
1
Si N=0 knxa
bny
M
k
k
0 0
Éq. récursive
ailleurs
Mna
bn
nh,
,
0
00
Éq. non récursive
SLTI
Système FIR
Si N 1Équation récursive Réponse impulsionnelle du SLTI initialement au repos,
de durée infini
Système IIR
50
III. Séries de FourierIII. Séries de Fourier
1 - Réponse d ’un SLTI à des exponentielles complexes
2 - Représentation en Série de Fourier des Signaux périodiques en Temps Continu
3 - Représentation en Série de Fourier des Signaux périodiques en Temps Discret
4 - Séries de Fourier et SLTI
5 - Filtrage
51
III. Séries de FourierIII. Séries de Fourier
Avant propos
Merci M. Fourier!...
21/03/1768 (Auxerre) - 16/05/1830
Jean-Baptiste Joseph Fourier
52
Idées :
1- Rechercher des signaux de base pouvant construire une grande classe de
signaux par simple combinaison linéaire
2- Réponses du SLTI à ces signaux suffisamment simples pour pouvoir déduire la
réponse à n ’importe quel signal d ’entrée construit à partir de ces signaux de base
Analyse de Fourier montre que les exponentielles complexes en TC et TD
vérifient ces propriétés :tjrst ee )(
njn rez
En temps continu:
En temps discret:
Propriété 1: un peu plus tard…
III.1 Réponse d ’un SLTI aux exponentielles complexesIII.1 Réponse d ’un SLTI aux exponentielles complexes
53
Propriété 2:
La réponse d ’un SLTI à une exponentielle complexe n ’est autre que
la même exponentielle complexe multipliée par une amplitude complexe
stst esHe
nn zzHz
En temps continu:
En temps discret:
vecteurs
propres
valeur propre
valeur propre
On démontre que:
dehsH s
)(
k
k
zkhzH
En temps continu:
En temps discret:
Exercices: tststs eaeaeatx 321
321 nk
kk zanx
H(s) et H(z)
fonctions de transfert
du système
54
Quelques exemples de signaux périodiques
Sinusoïde
Rectangle périodique
Triangle périodique
Dent de scie
55
tjte tj00 sincos0
2)cos(
00
0
tjktjk eetk
T
f
/2
2
0
00
j
eetk
tjktjk
2)sin(
00
0
T/1f0
Tout signal périodique de puissance finie peut se représenter sous la forme
d ’une combinaison linéaire d ’exponentielles complexes reliées harmoniquement
k
tjkkeXtx 0)(
2/
2/
0)(1 T
T
tjkk dtetx
TX
tjeRet 00cos
tjeImt 00sin
Euler:
coefficient de Fourier ou coefficient spectral
III.2 Représentation des signaux périodiques T.C. en série de FourierIII.2 Représentation des signaux périodiques T.C. en série de Fourier
Synthèse
Analyse
56
Composante continue:
dttxT
XT
10
Valeur moyenne du signal sur une période T
Composante fondamentale ou 1er harmonique:
tjtjharmlfondamenta eXeXtxtx 00
111
Signal de même fréquence que le signal périodique f0 = 1/T
kième harmonique:
tt jkk
jkkkharm eXeXtx 00
Signal de fréquence f = kf0 Tk=T/k
Exercices:
Trouver les développements en série de Fourier complexe de:
ttx 0sin
42coscos2sin1 000
ttttx
57
Tout signal périodique réel de puissance finie peut être représenté par une combinaison linéaire de sinus et de cosinus
1
000 )sin()cos(
2)(
kkk tkBtkA
Atx
2/
2/
0 ,...2,1,0 )cos().(2 T
T
k kdttktxT
A
2/
2/
0 ...3,2,1 )sin().(2 T
T
k kdttktxT
B
Fréquence fondamentale:
Tf
22 00
1(4/)
1+ 3 (4/3)
Ak=0
1+ 3+5 (4/5)
1+ 3+ 5 + 7 (4/7)
(signal impaire)
Rapport cyclique =1/2 B2k=0
(fondamentale)
Composante
continue:2
0A
Forme trigonométrique:
kkk jBAX 2
1
Lien avec la série exponentielle:
00 AX kkk jBAX 2
1
Ak et Bk : Coefficients de Fourier réels
12
412 k
B k
58
T=5
Regraduons l ’axe des nen fréquence ...
Exemples de Coefficients de Fourier
Pour ça ?
2/
)2/sin(
0
0
n
n
T
AX n
Le spectre du signal
0
0 )(sin
fn
fn
T
AX n
59
Propriétés des Séries de Fourier en Temps Continu
Linéarité kkk
FS
YXZtytxtz
Décalage temporel 000
tjkk
FS
eXttx
Inversion temporelle k
FS
Xtx x(t) paire Xk paire
x(t) impaire Xk impaire
Changement d ’échelle x(t) : T, 0 x(t) : T/, 0 ktj
kk eXtx 0
Xn inchangé, mais représentation de la
série de Fourier modifiée
Multiplication
llklk
FS
YXZtytxtz Convolution discrète
tztytx ,, de même période T
60
Relation de Parseval
k
k
T
moy XdttxT
P221
22
01
k
T
tjkkkharmmoy XdteX
TP
La puissance moyenne d ’un signal périodique est égale à la somme des
puissances moyennes de toutes ses composantes harmoniques
Conjugaison
k
FS
Xtx
x(t) réel
x(t) réel et paire Xk réel et paire
impaireXimpaireXIm
paireXpaireXRe
XX
kk
kk
kk
::
::
x(t) réel et impaire Xk imaginaire et impaire
Symétrie conjuguée
61
Problème:
Nnxnx Période NSignal périodique
,...1,0
2
kn
Njk
k en
Fréquence fondamentale: 0= 2/N
neeen knrj
nN
jknN
rNkj
rNk
2
22)(
Seulement N exponentielles distinctes
nN
jnj eenx
2
0
Ensemble des signaux périodiques avec la période N:
Prenons:
Représentation d ’un signal périodique avec les séquences :nk
nN
jk
kk
njk
kkk
kk eXeXnXnx
2
0
nkSeulement N distinctes
nN
jk
Nkk
njk
Nkkk
Nkk eXeXnXnx
2
0
Série de Fourier
Temps Discret
Série Finie
III.3 Représentation des signaux périodiques T.D. en série de FourierIII.3 Représentation des signaux périodiques T.D. en série de Fourier
62
Décomposition en Série de Fourier d’un signal périodique discret
Tout signal discret périodique (période N) peut être représenté par une combinaison linéaire de N
exponentielles complexes discrètes reliées harmoniquement
nN
jk
Nkk
njk
Nkk eXeXnx
2
0
nN
jk
Nn
njk
Nnk enx
Nenx
NX
2110
Coefficient de Fourier
ou Coefficient spectral
Remarque nXnXnXnx NN 111100 ...
nXnXnXnx NN ...2211
NXX 0
Donc:
Nkk XX ...
Les coefficient Xk sont périodiques de période N
La représentation en Série de Fourier Temps Discret est une série FINIE de N termes
Synthèse
Analyse
63
Propriétés des Séries de Fourier en Temps Discret
Multiplication
Nl
lklk
FS
YXZnynxnz Convolution discrète
périodique
Différenciation
z[n] périodique N Zk périodique N
kN
jkFS
Xenxnx
2
11
Décalage temporelle 00
2
0
nN
jk
k
FS
eXnnx
Parseval 221
Nk
kNn
moy XnxN
P
La puissance moyenne d ’un signal périodique est égale à la somme des
puissances moyennes de ses N composantes harmoniques
64
Fonctions de Transfert:
stst esHe
nn zzHz
T.C. :
T.D. :
Avec h() , h[k]
réponses impulsionnelles
des SLTI
dehsH s
)(
k
k
zkhzH
Réponses fréquentielles:
T.C. :
T.D. :
js dtethjH tj
)(
nj
n
j enheH
jez
Réponse d ’un SLTI à une
exponentielle complexe tjtj ejHe 00
0 njjnj eeHe 000
njj eeHRen 000cos tjejHRet 0
00cos
0000 coscos jHtjHt 0000 coscos jj eneHn H
Réponse d ’un SLTI
à un signal sinusoïdal
III.4 Séries de Fourier et SLTIIII.4 Séries de Fourier et SLTI
65
Réponse d’un SLTI à une entrée périodique
Principe de superposition
La réponse d ’un SLTI à une combinaison de plusieurs signaux d ’entrée peut se déterminer en
faisant la somme des réponses individuelles à chacun de ces signaux
Réponse du SLTI
au signal périodique
Signal d ’entrée
périodique
Réponse fréquentielle
du SLTI
Temps Continu Temps Discret
tkj
kk eXtx 0
dtethjH tj
)(
n
Nkj
Nkk eXnx
2
nj
n
j enheH
tkj
kk ekjHXty 0
0
0kjHXY kk Coefficient de Fourier
de la sortie périodique
nN
kjN
kj
Nkk eeHXny
22
N
kj
kk eHXY2
66
Réponse d ’un SLTI à un signal périodiqueSLTIx(t) y(t)
1
2
3
4
67
Intérêt:
Changer la forme d ’un spectre, laisser passer certaines fréquences et en atténuer ou éliminer d ’autres
Filtres sélectifs
Filtres idéaux Temps Continu Filtres idéaux Temps Discret
Périodicité 2 :
HF pour = (2k+1)
Passe Bas
Passe Haut
Passe Bande
III.5 FiltrageIII.5 Filtrage
njnj ee 2
68
Résolution des équations différentielles à coefficients constants
Systèmes décrits par des équations différentielles à coefficients constants et initialement au repos sont
des SLTI
R
CVS(t) VC(t)
Exemple: Filtre Passe-Bas RC
tVtVdt
tdVRC SC
C
tjC
tjS ejHtVetV
RCj
jH
1
1
Exemples de filtres Temps Continu
Exemple: Filtre Passe-Haut RC
R
C
VS(t) VR(t)
+
-
+
-
69
Exemples de filtres Temps Discret
Résolution des équations aux différences à coefficients constants
Systèmes décrits par des équations aux différences à coefficients constants et initialement au repos sont
des SLTI
Filtre récursif du 1er ordre (IIR: Infinite Impulse Response)
Filtre non récursif (FIR: Finite Impulse Response)
11 anxnayny
njjnj eeHnyenx
jj
aeeH
1
1
113
1 nxnxnxny Filtre à moyenne glissante
113
1 nnnnh
cos213
11
3
1 jjj eeeH
70
IV. Transformée de Fourier en Temps ContinuIV. Transformée de Fourier en Temps Continu
1 - Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier Temps Continu
2 - Paires de Transformées de Fourier en Temps Continu
3 - Propriétés de la TF Temps Continu
4 - Propriété de la convolution
5 - Propriété de la multiplication
6 - Signaux Périodiques et Transformée de Fourier
7 - Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations différentielles linéaires à coefficients constants
71
2/
)2/sin(
0
0
n
n
T
AX n
2/
)2/sin(
AjX Enveloppe des échantillons
nXTnXT
nXT
nXT
20/A
20/A
20/A
jX
jX
jX
0 5 10
0 10 20
0 20 40
5T
10T
20T
72
Rappels: Signaux périodiques (T) à puissance finie - Série de Fourier
Somme infinie d ’exponentielles complexes reliées harmoniquement - Spectre discret
Intégrale
de Fourier
tjk
kkeXtx 0~
dtetxT
XT
T
tjkk
2/
2/
0~1
dtetxT
dtetxT
Xtkj
T
T
tkjk
00 11 2/
2/
dtetxjX tj
Enveloppe des échantillons T.Xk
t-T1 T10 T 2T-T
......
tx~
x(t)
t-T1 T1
0
1 kjXT
X k
Soit:
00000
2
11~
tjk
k
tjk
k
ejkXejkXT
tx
T txtx ~Si
d0
dejXtx
tj
2
1
Or:
IV.1 Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier T.C.IV.1 Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier T.C.
T/20
73Transformée de Fourier Directe (Analyse)
Signaux apériodiques
Période T
Energie Finie
Spectre continu apériodique
Transformée de Fourier
Intégrale infinie
d ’exponentielles complexes
Transformée de Fourier Inverse
(Synthèse)
dtetxjX tj
dejXtx
tj
2
1
X(j)x(t)
0 T t
Série de Fourier
Somme infinie d ’exponentielles
complexes reliées harmoniquement
Spectre discret apériodique
tjk
kkeXtx 0
dtetxT
XT
T
tjkk
2/
2/
01
1 k20
Xk
2T0 T
tx
t
Signaux périodiques
Période T
Puissance Finie
T/20
74
Transformée de Fourier en Temps Continu pour des Signaux Apériodiques
dtetxjX tj
dejXtx
tj
2
1
dtetxfX tfj
2
dfefXtxtfj
2
Pulsation Fréquence
75
IV.2 Paires de Transformées de Fourier en TCIV.2 Paires de Transformées de Fourier en TC
Peigne de Dirac
Signaux TF fréquence TF pulsation
ttf 00 sin2sin 002
1ffff
j 00
j
ttf 00 cos2cos 002
1ffff 00
t 1 1
1 f 2
k
T kTttP
kT T
kf
TfP
T11
1
kT Tk
TjP
T
2222
2/,0
2/,1
at
attx fasinca
asinca2
tu fj
f
2
1
2
1
j
1
76
Principales paires
de la
Transformée de
Fourier Temps
Continu
77
IV.3 Propriétés de la TF Temps ContinuIV.3 Propriétés de la TF Temps Continu
Linéarité jYjXtytxTF
Dualité
Dérivation jXjdt
tdx TF
Décalage
0
0
0
0
tjXjTF
tjTF
ejXttx
ejXttx
00 jXetx
TFtj
d
jdXtxjt
TF
Changement d ’échelle
jXtx
TF 1 jXtxTF
Contraction Temporelle ( >1) Dilatation Fréquentielle
78
Relation de Parseval
dffXdjXdttxE
222
2
1
Energie total d ’un signal = Energie par unité de temps intégrée sur tous les temps
= Densité spectrale d ’énergie intégrée sur toutes les fréquences
Conjugaison jXtxTF
x(t) réel et paire X(j) réel et paire
impairejXimpairejXIm
pairejXpairejXRe
::
::
x(t) réel et impaire X (j) imaginaire et impaire
Cas particulier: x(t) réel Symétrie conjuguée: jXjX
2jX
Densité Spectrale d’Energie
du signal x(t)
79
IV.4 Propriété de la convolutionIV.4 Propriété de la convolution
dthxty
Recherchons la TF de y(t)=x(t)*h(t)
jHjXjYthtxtyTF
dtedthxjY tj
)( ddtethx tj
dejHxjY j
)()( )()()( jXjHdexjH j
h(t)x(t) y(t) = x(t) * h(t)
H(f)X(f) Y(f) = X(f) . H(f)
TF TF TF
h(t): réponse impulsionnelle du SLTI
H(j): réponse fréquentielle du SLTI
dtethjH tj
)(
Rappel: vrai si SLTI Stable
dtth
80
IV.5 Propriété de la multiplicationIV.5 Propriété de la multiplication
fPfSfRtptstrTF
Modulation d ’amplitude
signal modulant porteuse
signal modulé
ExempleS(f)
-f1 f1 f
P(f)
-f0f0
1/2 1/2
-f0-f1 -f0 +f1 f0 -f1 f0 +f1
-f0 f0
f
f
R(f)
tftp 02cos
002
1fffffP
002
1ffSffSfR
Porteuse:
A/2 A/2
A
81
Exemple: Démodulation d ’amplitude
P(f)
-f0f0
1/2 1/2
tftp 02cos
002
1fffffP
002
1ffSffSfR
Porteuse:
G(f)
-2f02f0
A/4 A/4
-f0 f0
A/2
-f0-f1 -f0 +f1 f0 -f1 f0 +f1
-f0 f0
f
R(f)A/2 A/2
Y(f) = G(f) H(f)H(0) A/2
H(f)
f
f
f
-fc fc
tptrtg
Y(f) = G(f) H(f)
y(t) ~ s(t)
H(f) Filtre Passe-Bas
82
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
Continu
83
IV.6 Signaux Périodiques et Transformée de FourierIV.6 Signaux Périodiques et Transformée de Fourier
0fffX Considérons l ’impulsion tfjtfj edfefftx 0220
Un signal périodique se décompose en Série de Fourier
tfjk
kkp eXtx 02
dfekffXtx ftjk
kkp
20
TF
dfekffXtx ftjk
kkp
20
Par identification 0kffXfXk
kp
Train d ’impulsions de Dirac pondérées
par les coefficients de Fourier Xk et
situées aux fréquences f = kf0
signaldupériodeTf
0
1
......
f0 f0 2f0 3f0-f0-2f0
k
kff 0
A/ Extension de la TF en Temps Continu
84
Comparaison entre la décomposition en Série de Fourier d ’un signal
périodique et sa Transformée de Fourier
xp(t)
0 T1 T-TT= 4 T1
X k
k
jX p
85
B/ Expression simple de la TF d ’un signal périodique en TC
......
t0 T 2T 3T-T
k
T kTttP
T t0
tx
Tout signal périodique xp(t) peut être représenté comme la somme d ’une suite infinie de translatées de x(t)
motif élémentaire sur [0, T] xp(t)
2T0 T t
Ttx tx Ttx Ttx 2
3T
......
k
p kTtxtx
tPtxkTttxtx Tk
p
Or: kTttxkTtx
D ’où:
Propriété de la convolution
T
kf
T
kX
TT
kffX
TfX
kkp 11
1/T f2/T0
fX p
3/T
TX
T
11
TX
T
21
TX
T
11
fX
1/T 2/T0 3/T
TX
1
TX
2
TX
1
f
0
11fkX
TT
kX
TX k
La TF permet d ’obtenir
directement les coefficients de Fourier!
fPT
fXfXT
p 1
1.
Tf
10
86
IV.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations IV.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations différentielles linéaires à coefficients constantsdifférentielles linéaires à coefficients constants
k
kM
kkk
kN
kk dt
txdb
dt
tyda
00
jXjHjY Propriété des SLTI: jX
jYjH
k
kM
kkk
kN
kk dt
txdbTF
dt
tydaTF
00
Or:
jXjbYja kM
kk
kN
kk
00
kN
kk
kM
kk
ja
jbjH
0
0
Hypothèse:
H(j) existe (converge)
87
V. Transformée de Fourier en Temps DiscretV. Transformée de Fourier en Temps Discret
1 - Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier Temps Discret
2 - Propriétés de la TF Temps Discret
3 - Propriété de la convolution
4 - Propriété de la multiplication
5 - Signaux périodiques et Transformée de Fourier Temps Discret
6 - Calcul de la Transformée de Fourier d’une suite numérique
7 - Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux différences linéaires à coefficients constants
Résumé Séries de Fourier - Transformées de Fourier
88
V.1 Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier T.D.V.1 Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier T.D.
Signaux périodiques
Période N
Puissance Finie
Série de FourierSomme finie de N exponentielles
complexes reliées harmoniquement
Signaux apériodiques
Période N
Energie Finie
Spectre continu et périodique
Transformée de Fourier
Spectre discret et périodique
Intégrale sur une période
d ’exponentielles complexes
Transformée de Fourier Inverse(Synthèse)
Transformée de Fourier Directe (Analyse)
Nk
nN
kj
k eXnx
2
nN
kj
Nnk enx
NX
21
deeXnxnjj
22
1
njenxeXn
j
X(ej)
20
...
x[n]
0 N 2N
...
x[n]
0 N n
k10
X k
N
89
Principales paires de
la Transformée de
Fourier Temps
Discret
90
V.4 Propriétés de la TF Temps DiscretV.4 Propriétés de la TF Temps Discret
Linéarité jjTF
eYeXnynx
Décalage 00
njjTF
eeXnnx 00 jTF
nj eXenx
Périodicité jj eXeX 2
Inversion temporelle jTF
eXnx
Dérivation jjTF
eXenxnx 11
d
edXnxjn
jTF
91
Changement d ’échelle
kj
r
rkj
r
rkjk
n
njk
jk eXerxerkxenxeX
sinon
kdemultiplensi
0
/
knx
nx kSoit: xk: « version ralentie » de x[n]
92
Relation de Parseval
dffXdeXnxE j
n
1
0
2
2
22
2
1
Energie total d ’un signal = Energie par unité de temps sommée sur tous les temps
= Densité spectrale d ’énergie intégrée sur une période
Conjugaison jTF
eXnx
x[n] réel et paire X(e j) réel et paire
impaireeXimpaireeXIm
paireeXpaireeXRejj
jj
::
::
x[n] réel et impaire X (e j) imaginaire et impaire
Cas particulier: x[n] réel Symétrie conjuguée: jj eXeX
2jeX
Densité Spectrale
d’Energie
du signal x(t)
93
V.5 Propriété de la convolutionV.5 Propriété de la convolution
jjjTF
eHeXeYnhnxny
h [n]x[n] y [n] = x [n] * h [n]
H(f)X(f) Y(f) = X(f) . H(f)
TF TF TF
h[n]: réponse impulsionnelle du SLTI
H(e j): réponse fréquentielle du SLTI
n
njj enheH
Rappel: vrai si SLTI Stable
n
nh
94
V.6 Propriété de la multiplicationV.6 Propriété de la multiplication
fXfXfYnxnxnyTF
2121
Attention: Convolution périodique
deeXeXdfXXfY jjj 2
2
12
1
0
1 2
1
95
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
Discret
96
V.2V.2 Signaux périodiques : Extension de la TF Temps DiscretSignaux périodiques : Extension de la TF Temps Discret
Un signal périodique se décompose en Série de Fourier nN
jk
Nkkp eXnx
2
dfelN
kfXnx nfj
lNkkp
21
0
dfeN
kfXnx nfj
lkp
21
0
Par identification
N
kfXfX
lkp
Train d ’impulsions de Dirac
pondérées par les coefficients de
Fourier périodiques et
situées aux fréquences f = k/N
k
kfffX 0Soit le peigne
de Dirac:
nfjnfjnfj
nfj
k
nfj
edfeffdfeffnx
dfekffdfefXnx
00 220
1
0
20
1
0
20
1
0
21
0
k
TFnfj kffe 0
2 0 Montrons que:
......
f0
f0 f0+1 f0+2f0-1f0-2
k
kff 0
(Hypothèse 0<f0<1 )
dfeN
kfXnx nfj
Nkkp
21
0
A/ Extension de la TF en Temps Discret
97
0 2N
B/ Expression simple de la TF d ’un signal périodique en TD
......
t0 N 2N 3N-N
k
N kNnnP
Tout signal périodique xp(t) peut être représenté comme la somme d ’une suite infinie de translatées de
x[n] motif élémentaire sur [0, N] xp[n]
N n
Nnx nx Nnx Nnx 2
3N
......
k
p kNnxnx
nPnxkNnnxnx Nk
p
Or: kNnnxkNnx
D ’où:
Propriété de la convolution
N
kf
N
kX
NN
kffX
NfX
kkp 11
N
kX
NN
kX
NX k
11 La TF permet d ’obtenir
directement les coefficients de Fourier!
fPN
fXfXN
p 1
1.
x[n]
0 N n
f
X(f)
10
f1/N0
Xp (f)
1
NX
N
11
NX
1
... ...
... ...
98
V.3 Calcul de la Transformée de Fourier d’une suite numériqueV.3 Calcul de la Transformée de Fourier d’une suite numérique
Pour calculer la Transformée de Fourier d ’un signal numérique fini de N points (TFD ou DFT),
- on périodise implicitement le signal et
- on rajoute éventuellement des 0 (Nz), pour avoir une TFD sur (N+Nz) points.
Généralement le calcul se fait avec N+Nz = 2n points, grâce à l ’algorithme de Transformée de
Fourier Rapide (TFR ou FFT) mis au point par Cooley et Tukey (1965)
Nk
nN
kjekXnx
2
nN
kjN
n
enxN
kX21
0
1
Remarque: kXkX
99
V.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux V.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux différences linéaires à coefficients constantsdifférences linéaires à coefficients constants
knxbknyaM
kk
N
kk
00
jjj eXeHeY Propriété des SLTI:
j
jj
eX
eYeH
Or: linéarite + décalage temporelle
jkjM
kk
jkjN
kk eXebeYea
00
kj
N
kk
kjM
kk
j
ea
eb
eH
0
0
Hypothèse:
H(e j) existe (converge)
100
Résumé Séries de Fourier - Transformées de FourierRésumé Séries de Fourier - Transformées de Fourier
Signaux périodiques
Signaux apériodiques Spectre continu périodique
Spectre discret périodique
Nk
nN
kj
k eXnx
2
nN
kj
Nnk enx
NX
21
deeXnxnjj
22
1 njenxeXn
j
X(e j)
20
x[n]
0 N 2N
...
k
x[n]
0 N n
10
X k
N
Signaux apériodiques Spectre continu apériodique
dtetxjX tj
dejXtx
tj
2
1
X(j)x(t)
0 T t
Spectre discret apériodique
tjk
kkeXtx 0
dtetxT
XT
T
tjkk
2/
2/
01
1 k20
Xk
2T0 T
tx
t
Signaux périodiques
T/20
101
VI. Caractérisation en Temps et FréquenceVI. Caractérisation en Temps et Fréquence des Signaux et Systèmes des Signaux et Systèmes
1 - Représentation en Amplitude et en Phase de la Transformée de Fourier
2 - Représentation en Amplitude et en Phase de la réponse fréquentielle des SLTI
3 - Filtres non idéaux- Aspects dans les domaines Temporel et Fréquentiel
4 - Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en Temps Continu5 - Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en Temps Discret6 - Filtres non-récursifs en Temps Discret - Filtres FIR
102
VI.1 Représentation en Amplitude et en Phase de la VI.1 Représentation en Amplitude et en Phase de la Transformée de FourierTransformée de Fourier
jeXjj eeXeX jXejXjX Amplitude et Phase de la TF:
Amplitude Contenu fréquentiel du signal
2jX Densité spectrale d ’énergie de x(t)
Phase Information sur la phase des différentes fréquences composant le signal
Des signaux qui ont 1 TF avec amplitude = mais 1 phase peuvent être très différents
Exemple: 31 6cos3
224cos2cos
2
11 ttttx
103
VI.2 Représentation en amplitude et en phase de la la réponse VI.2 Représentation en amplitude et en phase de la la réponse fréquentielle d’un SLTIfréquentielle d’un SLTI
SLTI jXjHjY jjj eXeHeY
D ’où: jXjHjY jXjHjY
GAIN du système DECALAGE DE PHASE du système
Si effets négatifs: Distorsion d ’Amplitude et Distorsion de Phase...
Phase Linéaire et Phase Non Linéaire
0tjejH 0njj eeH
1jH 1jeH 0tjH 0neH j
Phase linéaire avec Phase linéaire avec
0ttxty 0nnxny
Le signal d’entrée est simplement décalé temporellement (décalage = pente de la phase),
il n’est pas déformé
104
Exemple
Retard de Groupe
jHd
d
Cas particulier: Phase linéaire 0t 0nou
Le retard de groupe à une fréquence
est égal à l ’opposé de la pente de la
phase à cette fréquence
105
Exemple Etude d ’un système passe-tout, dont le retard de groupe varie en fonction de la fréquence
3
1ii jHjH
iii
iiii
jj
jjjH
/2/1
/2/12
2
avec
f1= 50Hz
f1= 150Hz
f1= 300Hz
066.01
033.02
058.03
1jH
2/1
/2arctan2
i
iii jH
3
1ii jHjH
jHd
d
unwrapped phase
Ré
pon
se im
puls
ion
nelle
106
Amplitude Logarithmique - Diagramme de Bode
Intérêt de l ’échelle logarithmique jXjHjY logloglog
jHjHjH 21 logloglog Les amplitudes
s ’ajoutent ...
Unité: le décibel (dB): jH10log20 0dB |H(j)| = 1-3dB |H(j)| = 1/2
6dB |H(j)| = 220dB |H(j)| = 10
Diagramme de Bode: jH10log20 jH f10loget en fonction de
Pour les systèmes Temps Continu
Exemple: Système du 2nd ordre
107
Bande passante et Largeur de bande
• Bande passanteBande passante– Caractérise un système– Module de la réponse en fréquence– Définie à -3dB (1/2) (Pm/2)
• Largeur de bandeLargeur de bande– Caractérise un signal– Densité Spectrale– Espace des fréquences utiles !
108
VI.3 Filtres non idéaux- Aspects dans les domaines Temporel et VI.3 Filtres non idéaux- Aspects dans les domaines Temporel et FréquentielFréquentiel
Rappel: Filtres idéaux non réalisables car non causaux ...H(j)
- c c -
c
c
H(e j)
Précision, sélectivité Coût, Complexité compromis
Flexibilité pour le comportement du filtre : - dans la Bande Passante
- dans la Bande Coupée
- dans la zone de transition
109
VI.4 Systèmes du 1VI.4 Systèmes du 1erer ordre et du 2 ordre et du 2nd nd ordre en Temps Continuordre en Temps Continu
Système du 1er ordre0
1
1
jjH
tuetht
1
txtydt
tdy
R
Cx(t) y(t)
txtyst
tdyRC
Ex:
tuetuthtst
1
Constante de temps
Réponse impulsionnelle
Réponse indicielle
Rapidité de réponse du
système+
-
110
Diagramme de Bode
1log10log20 21010 jH
0log201 10 jH
10101010 log20log20log20log20/11 jHou
Asymptote en HF: Pente de 20 dB / décade
dBjH 31
log20/1 10
Fréquence de coupure à 3dB
ArctanjH
01 jH
2/1 jH
4/1
/1
jH
FIG 6.20 449
111
Système du 2nd ordre
22
2
2 nn
n
jjjH
tueeMth tctc 21
txtydt
tdy
dt
tydnnn
22
2
2
2
21
2
cjcjjH n
1
12
2
21
nn
nn
c
c
21 cj
M
cj
MjH
12 2
nM
n : Fréquence propre
01 21 etréelscetch(t) = différence de 2 exponentielles réelles décroissantes
Régime Amorti
211 cc Régime Critique
complexescetc 2110 Régime Pseudo-Périodique
tutjtjj
eth nn
tn
n22
21exp1exp
12
: Facteur d ’amortissement
tuetth tn
n 2
112
2
2
22
1010 41log10log20nn
jH
12
12
nn
jj
jH
n
n
n pour
pourjH
101010 log40log40
0log20
2/1
/2
n
nArctanjH
n
njH
0
2
1Q Facteur de qualité
Amplification pour < 0.7
113
VI.5 Systèmes du 1VI.5 Systèmes du 1erer ordre et du 2 ordre et du 2nd nd ordre en Temps Discretordre en Temps Discret
Système du 1er ordre nxnayny 1 1a
jj
aeeH
1
1
nuanh n
Rapidité de réponse du système
nua
anunhns
n
1
1 1
Fig 6.26 6.27 p 462
114
2/12 cos21
1
aaeH j
cos1
sin
a
aArctanjH
115
Système du 2nd ordre
22cos21
1jj
j
erereH
nxnyrnyrny 21cos2 2
jjjj
j
ereere
eH
11
1
Équivalent au système du 2nd ordre en Temps
Continu en régime pseudo-périodique
Pour =0 régime critique
jjjjj
ere
B
ere
AeH
11
sin2sin2 j
eB
j
eA
jj
nun
rnureBreAnh nnjnj
sin
1sin
ou0
0
21
1
j
j
ereH
nurnnh n1
nurnnh n 1 21
1
j
j
ereH
r : taux de décroissance
: fréquence d ’oscillation
116
Réponse
impulsionnelle
d ’un système
du 2nd ordre
117
Réponse fréquentielle d ’un système du 2nd ordre
118
VI.6 Systèmes non récursifs en Temps Discret - Filtres FIRVI.6 Systèmes non récursifs en Temps Discret - Filtres FIR
IIR (récursif)
Flexibilité
Filtres IIR = connexion de système du 1er et 2nd ordre
Implantation efficace et facile
Ajustement des caractéristiques = réglage des paramètres
Phase linéaire impossible
FIR (non récursif)
Phase linéaire
Complexité + grande pour les mêmes
spécifications que IIR
Compromis entre sélectivité du filtre et durée
de la réponse impulsionnelle (nb. coeff )
Filtres non-récursifs de type Moyenne-Glissante (Moving Average Filter)
M
Nk
knxMN
ny1
1
n0 M-N
nh
2/sin
2/1sin
1
1 2/
MN
eMN
eH MNjj
119
Longueur de la réponse impulsionnelle , largeur du lobe principal de la réponse fréquentielle
( lobe principal BP du filtre)
Filtres non-récursifs - Forme générale
M
Nkk knxbny Choix des bk , fonction des spécifications du filtre
(ex: raideur de la transition BP BC...)
M+N+1 = 33 M+N+1 = 65
120
Comparaison entre les réponses fréquentielles d ’un filtre à moyenne
glissante et un filtre de réponse impulsionnelle h[n]
32
32
,
,
0
/33/2sin
n
nnnnh
Réponse impulsionnelle d ’un filtre idéal de fréquence de
coupure c= 2 /33
Réponse impulsionnelle Réelle et Paire Réponse fréquentielle Réelle et Paire (Phase nulle)
Filtre causal décalage temporel de la réponse impulsionnelle Filtre à Phase Linéaire
121
VII. Signaux Temps Continu: Transformée de LaplaceVII. Signaux Temps Continu: Transformée de Laplace
1 - Transformée de Laplace (TL)
2 - Transformée de Laplace et Transformée de Fourier
3 - Propriétés de la Transformée de Laplace
4 - Causalité et Stabilité des SLTI
5 - Evaluation géométrique de la Transformée de Fourier à partir de la représentation des Pôles et de Zéros de la TL
6 - Principales paires de Transformée de Laplace
7 - Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations différentielles linéaires à coefficients constants
8 - Transformée de Laplace inverse
9 - Transformée de Laplace Unilatérale (TLU)
122
VII.1 Transformée de Laplace VII.1 Transformée de Laplace
A) Intérêt de la Transformée de Laplace
- Une grande partie des signaux peuvent se représenter comme une combinaison d ’exponentielles
complexes périodiques e st = e jt , fonctions propres des SLTI, MAIS PAS TOUS ….
Transformée de Laplace = Généralisation de la Transformée de Fourier en Temps
Continu avec s = + j
- Permet l ’étude de la stabilité des systèmes et la résolution des équations différentielles à
coefficients constants
B) Définition de la Transformée de Laplace Bilatérale
Rappel:
dtetxsX st
js avec
txLTsXtxLT
stesHty avec dtethsH st
Fonction de transfert du système
Réponse d ’un SLTI de réponse impulsionnelle h(t) à un signal d ’entrée exponentiel complexe est
123
VII.2 Transformée de Laplace et Transformée de Fourier VII.2 Transformée de Laplace et Transformée de Fourier
Quand: js
txTFdtetxjXsX tjjs
Transformée de Laplace = Transformée de Fourier de x(t)
Remarque:
dtetxdtetxsX tjtsjs
ttjt etxTFdteetxsX
Transformée de Laplace = Transformée de Fourier du signal x(t) multiplié par une exponentielle réelle
te = exponentielle réelle croissante ou décroissante dans le temps selon si est positif ou négatif
Im
Re
Plan-sjs
124
A) Exemple tuetx ta
Transformée de Fourier: jX
Transformée de Laplace: jXsX
Région de convergence de la transformée de Laplace
a>0 a<0Im
Re
Im
Re
Plan-s Plan-s
- a - a
125
Conclusion :
- La transformée de Fourier ne converge pas pour tous les signaux
- La transformée de Laplace converge pour certaines valeurs de Re(s) [Re(s) >-a ] et pas pour d ’autres
- Si a est négatif, X(s) ne peut être évalué en = 0, la TF de x(t) n ’existe pas alors que la TL existe
- Si a est positif, X(s) peut être évalué en = 0, la TF et la TL de x(t) existent
B) Exemple tuetx ta
126
Conclusion :
- Transformées de Laplace identiques pour Exemples A et B, mais régions de convergence différentes
Région de convergence de la transformée de Laplace
a>0 a<0Im
Re
Im
Re
Plan-s Plan-s
- a - a
La Région de Convergence de la Transformée de Laplace correspond aux valeurs de js
pour lesquelles la Transformée de Fourier de tetx converge
127
VII.3 Propriétés de la Transformée de LaplaceVII.3 Propriétés de la Transformée de Laplace
Linéarité sYsXtytxTL
Dérivation sXsdt
tdx TL
Décalage 00 ssXetx
TLts
ds
sdXtxt
TL
Changement d ’échelle
sXtx
TL 1
00
tsTL
esXttx
Conjugaison sXtxTL
si x(t) réel sXsXSi pôles et zéros complexes paires complexes conjuguées
Convolution sYsXtytxTL
128
Propriétés de la transformée de Laplace
129
VII.4 Causalité et Stabilité des SLTIVII.4 Causalité et Stabilité des SLTI
Fonction de Transfert d ’un SLTI: sXsHsY
Généralement, H(s) peut s ’exprimer sous la forme d ’une fonction rationnelle, c ’est à dire sous la forme
d ’un rapport de deux polynômes en s :
N
ii
M
jj
ps
zs
KsD
sNsH
1
1
thTLsH avec
Pour un système est réel, donc causal, la fonction de transfert H(s) est telle que: NM
Cas des fonctions de transfert H(s) rationnelles
Propriété 1
Propriété 2
Région de Convergence de H(s) fonction rationnelle,=
1/2 plan droit, à droite du pôle le plus à droite
SLTI
CAUSAL
transfertdefonctionladeordreN
Pôles et zéros
réels ou paires complexes conjuguées
130
Propriété 3
Un SLTI CAUSAL possédant une fonction de transfert H(s) rationnelle est STABLE,
si et seulement si tous les pôles de H(s) sont situés dans le demi-plan gauche [Re(s)<0]
du plan de Laplace, axe imaginaire exclu
Exemple: )2)(1(
12
sssHtueeth
TLtt
Région de convergence de la transformée de Laplace de H(s)Im
Re
Plan-s
- 2 - 1
causalth
131
Un SLTI est STABLE si est seulement si l ’axe (j ) ( c ’est à dire Re(s) = 0)
est inclus dans la Région de Convergence de sa fonction de transfert H(s) (quelconque)
Exemples:
)2(
11
21
ssHtueth
TLt
)2(
122
2
ssHtueth
TLt
SLTI CAUSAL SLTI CAUSAL
Im
Re
Plan-s
- 2
Im
Re
Plan-s
2
STABLE INSTABLE
Propriété générale
132
VII.5 Evaluation géométrique de la Transformée de FourierVII.5 Evaluation géométrique de la Transformée de Fourier
Diagramme des pôles et des zéros de H(s) représenté dans le plan-s permet d ’estimer graphiquement
la réponse fréquentielle du système (quand elle existe)
Exemple: 0)(
1
a
assHtueth
TLat
Im
Re
Plan-s
- a
s = j
v = s + aSoit le nombre complexe :
v = e i
aj
jH
1
1jH jHArg
= as Réponse fréquentielle :
133
N
ii
M
jj
ps
zs
sD
sNsH
1
1Cas général
Le module de la réponse fréquentielle est égal au produit des longueurs des vecteurs reliant les zéros
au point s = j de l ’axe imaginaire divisé par le produit des longueurs des vecteurs reliant les pôles à
ce même point s
La phase de la réponse fréquentielle est égale à la somme des arguments des vecteurs correspondant
aux zéros moins la somme des arguments des vecteurs correspondant aux pôles
Remarque:
Un vecteur correspondant à un pôle situé près de l ’axe imaginaire aura une longueur faible et donc
entraînera une valeur importante de la réponse fréquentielle (phénomène de résonance)
22
1
ajH
ajHArg
tan
jH jHArg
134
VII.6 Principales paires de Transformée de LaplaceVII.6 Principales paires de Transformée de Laplace
135
VII.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations VII.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations différentielles linéaires à coefficients constantsdifférentielles linéaires à coefficients constants
k
kM
kkk
kN
kk dt
txdb
dt
tyda
00
sXsHsY Propriété des SLTI:
sX
sYsH
k
kM
kkk
kN
kk dt
txdbTL
dt
tydaTL
00Linéarité + dérivation:
sXsbsYsa kM
kk
kN
kk
00
k
N
kk
kM
kk
sa
sb
sH
0
0Fonction de Transfert
136
Exemple 1:
lllllllR L
x(t) y(t)C
+ +
-
txtydt
tdyRC
dt
tydLC
2
2
LCsLRs
LCsH
/1/
/12
A.N. R=1k C=1F L=0.01H
p1 = -9.9 E4 p2 = -0.1 E4
Système causal et Re(p1) et Re(p2) <0 Système STABLE
R=10 C=100F L=0.1H
p1 = 1 E2 * (-0.5000 + 3.1225i) p2 = 1 E2 * (-0.5000 - 3.1225i)
Système causal et Re(p1) et Re(p2) <0 Système STABLE
137
Exemple 2:
On connaît l ’entrée d ’un SLTI initialement au repos:
3)()3(
13
sRes
sXtuetxTL
t
On connaît la sortie d ’un SLTI initialement au repos: :
1)()2)(1(
12
sRess
sYtueetyTL
tt
La fonction de transfert est: 23
3
)2)(1(
)3(2
ss
s
ss
ssH
Le système est causal, Re(p1) et Re(p2)<0 donc le système est STABLE
L ’équation différentielle régissant le système est:
txdt
tdxty
dt
tdy
dt
tyd3)(23
2
2
138
VII.8 Transformée de Laplace inverseVII.8 Transformée de Laplace inverse
dsesXj
tx stj
j
2
1
x(t) peut être représenté comme une intégrale pondérée d ’exponentielles complexes
Généralement, la Transformée de Laplace inverse sera déterminée à partir des tables,
après une décomposition en fractions partielles de X(s)
Utilisation d ’un contour
d ’intégration dans le plan
complexe...
139
VII.9 Transformée de Laplace Unilatérale (TLU)VII.9 Transformée de Laplace Unilatérale (TLU)
Définition
TLU utilisée pour l ’étude des systèmes causaux spécifiés généralement par des équations
différentielles à coefficients constants avec des conditions initiales non nulles
Système IAR, SLTI ...
dtetxsX st
0
txTLUsXtxTLU
Si x(t) = 0 pour t<0 TL {x(t)} = TLU {x(t)}
Région de Convergence de TLU toujours = 1/2 plan de droite (à droite du pôle le + à droite si rationnelle)
Propriété importante: )0( xsXsdt
tdx TLU
Possibilité de tenir compte de conditions initiales non nulles (système non IAR)Intérêt:
140
VIII. Signaux Temps Discrets : Transformée en ZVIII. Signaux Temps Discrets : Transformée en Z
1 - Transformée en Z (TZ)2 - Transformée en Z et Transformée de Fourier 3 - Propriétés de la TZ4 - Causalité et Stabilité des SLTI 5 - Evaluation géométrique de la transformée de Fourier à partir
de la représentation des Pôles et de Zéros de la TZ6 - Principales paires de Transformée en Z7 - Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux
différences linéaires à coefficients constants8 - Représentation en diagramme bloc de SLTI causaux décrits
par des équations aux différences à coefficients constants 9 - Transformée en Z inverse10 - Transformée en Z Unilatérale (TZU)
141
A) Intérêt de la Transformée en Z
- Transformée en Z pour les signaux TD Transformée de Laplace pour les signaux TC
- TZ peut être appliquée à une + grande classe de signaux que la TF TD
Transformée en Z = Généralisation de la Transformée de Fourier en Temps Continu
avec
- Permet l ’étude de la stabilité des systèmes et la résolution des équations aux différences à
coefficients constants
B) Définition de la Transformée en Z
n
n
znxzX
jerz avec
nxZTzXnxZT
nzzHny avec n
n
znhzH
Fonction de transfert du système
VIII.1 Transformée en ZVIII.1 Transformée en Z
jerz
Rappel: Réponse d ’un SLTI de réponse impulsionnelle h[n] à un signal d ’entrée exponentiel complexe zn
142
VIII.2 Transformée en Z et Transformée de Fourier VIII.2 Transformée en Z et Transformée de Fourier
Quand:jez
nxTFenxeXzX nj
n
j
ez j
Transformée en Z = Transformée de Fourier de x[n]
Remarque:
n
njn
n
nj
rezernxrenxzX j
nnj
n
n rnxTFernxzX
Transformée en Z = Transformée de Fourier du signal x[n] multiplié par une exponentielle réelle
nr = exponentielle réelle croissante ou décroissante avec n selon si r >1 ou r<1
c ’est à dire 1z
Re
Imjez
1
Plan-z
143
A) Exemple nuanx n
Transformée en z:
0
1
n
nn
n
n azznuazX
Région de convergence de la transformée en Z
Converge si azaz 11
az
z
azzX
11
1
1a 1a
Re
Im
1
Plan-z
a
Re
Im
1
Plan-z
a
La région de convergence
contient le cercle unité,
TF{x[n]} converge
La région de convergence ne
contient pas le cercle unité,
TF{x[n]} ne converge pas
144
Conclusion :
- La transformée de Fourier ne converge pas pour tous les signaux
- La transformée en Z converge pour certaines valeurs de z , |z| >a et pas pour d ’autres
- Si a >1, X(z) ne peut être évalué en z = ej, la TF de x[n] n ’existe pas alors que la TZ existe
- Si a <1, X(z) peut être évalué en z = ej, la TF et la TZ de x[n] existent
B) Exemple 1 nuanx n
n
n
nn
n
n zaznuazX
1
1
0
1
1
1n
nn
n
n zaza Converge si azza 11
1a1a
Re
Im
1
Plan-z
a
Im
Re1
Plan-z
a
La région de convergence
contient le cercle unité, TF{x[n]} converge
La région de convergence ne
contient pas le cercle unité,TF{x[n]} ne converge pas
az
z
azzazX
11 1
1
1
11
145
Conclusion :
- Transformées en Z identiques (même zéro et même pôle) pour Exemples A et B,
mais régions de convergence différentes
La Région de Convergence de la Transformée en Z correspond aux valeurs de jerz
pour lesquelles la Transformée de Fourier de nrnx converge
n
n
rnx
La Région de Convergence de la Transformée en Z consiste en une couronne dans le plan-z centré
sur l’origine r1 < |z| < r2
Im
Re
Plan-z
Cas particuliers:
r1=0 ou r2 = r1
r2
146
VIII.3 Propriétés de la Transformée en ZVIII.3 Propriétés de la Transformée en Z
Linéarité zYzXnynxTZ
Dérivation dans Z
Décalage temporel
00 z
zXznx
TZn
dz
zdXznxn
TZ
Changement d ’échelle dans Z
00
nTZ
zzXnnx
Conjugaison zXnxTZ
si x[n] réel zXzX
pôle (ou zéro) en z=z0 pôle (ou zéro) en z = z*0
Convolution zYzXnynxTZ
Inversion temporelle 1 zXnxTZ
Im
Re
C1
Im
Re
C1
0
00
jez
z-1 Opérateur retard unité
147
148
VIII.4 Causalité et Stabilité des SLTIVIII.4 Causalité et Stabilité des SLTI
Fonction de Transfert d ’un SLTI: zXzHzY
Généralement, H(z) peut s ’exprimer sous la forme d ’une fonction rationnelle, c ’est à dire sous la forme
d ’un rapport de deux polynômes en z :
N
ii
M
jj
pz
zz
KzD
zNzH
1
1
nhTZzH avec
NM
Cas des fonctions de transfert H(z) rationnelles
Propriété 1
2) Région de Convergence de H(z) fonction rationnelle =
Région strictement extérieure au cercle associé au pôle le plus éloigné du centre
SLTI
CAUSAL
transfertdefonctionladeordreN
Pôles et zéros
réels ou paires complexes conjuguées
1)
149
Propriété 2
Un SLTI CAUSAL possédant une fonction de transfert H(z) rationnelle est STABLE,
si et seulement si tous les pôles de H(z) sont situés à l’intérieur strictement du cercle unité
du plan Z c ’est à dire | pi |< 1 i
Exemple 1: 12.025.0
22
23
zz
zzzzH SLTI non causal, M>N
Exemple 2: 221
1
5.01
111
zzz
zH
215.2
5.222
2
z
zz
zzzH
1) RC à l ’extérieur du pôle le + éloigné
2) M=N
Donc le système est causal
Vérification: calcul de la réponse impulsionnelle en utilisant les tables:
nunh nn
2
2
1
150
Un SLTI est STABLE si est seulement si le cercle unité |z| =1
est inclus dans la Région de Convergence de sa fonction de transfert H(z) (quelconque)
Exemples:
221cos21
1
zrzr
zH
Hypothèse SLTI CAUSAL Hypothèse SLTI CAUSAL
STABLE INSTABLE
Propriété générale
2 pôles:jrez 1
jrez 2
Re
Im
1
Plan-z
Re
Im
1
Plan-z
r
r
151
VIII.5 Evaluation géométrique de la Transformée de FourierVIII.5 Evaluation géométrique de la Transformée de Fourier
Diagramme des pôles et des zéros de H(z) représenté dans le plan-z permet d ’estimer graphiquement
la réponse fréquentielle du système (quand elle existe)
Exemple: azaz
z
azzHnuanh
TZn
11
1
Im
Re
Plan-z
a
v1
v2 = z - aSoit les vecteurs :
v1 = z = e j
jj
aeeH
1
1
1jH jHArg
Réponse fréquentielle :
azv2
v2
jez C1
1 11 v
152
N
ii
M
jj
pz
zz
zD
zNzH
1
1Cas général
Le module de la réponse fréquentielle est égal au produit des modules des vecteurs reliant les zéros au
point z =e j du cercle unité divisé par le produit des modules des vecteurs reliant les pôles à ce même
point z
La phase de la réponse fréquentielle est égale à la somme des arguments des vecteurs correspondant
aux zéros moins la somme des arguments des vecteurs correspondant aux pôles
Un vecteur correspondant à un pôle situé près du cercle unité aura un module faible et donc entraînera
une valeur importante de la réponse fréquentielle (phénomène de résonance)
153
VIII.6 Principales paires de Transformée en ZVIII.6 Principales paires de Transformée en Z
154
VIII.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux VIII.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux différences linéaires à coefficients constantsdifférences linéaires à coefficients constants
knxbknyaM
kk
N
kk
00
zXzHzY Propriété des SLTI:
zX
zYzH
knxbTZknyaTZM
kk
N
kk
00
Linéarité +
décalage temporel:
zXzbzYza kM
kk
kN
kk
00
k
N
kk
kM
kk
za
zb
zH
0
0Fonction de Transfert
155
Exemple : Déterminer la réponse impulsionnelle du SLTI causal caractérisé
par l ’équation suivante: 13
11
2
1 nxnxnyny
zXzzXzYzzY 11
3
1
2
1
1
1
21
1
31
1
z
zzXzY
1
1
21
1
31
1
z
z
zX
zYzH
Pôle en zp = 1/2,
Zéro en zz = -1/3 Re
Im
1
Plan-z
1
1
1
21
13
1
21
1
1
z
z
zzH
Table + linéarité+ décalage temporel
12
1
3
1
2
11
nununhnn
|zp| < 1 SLTI STABLE
156
VIII.8 Représentation en diagramme bloc de SLTI causaux décrits par VIII.8 Représentation en diagramme bloc de SLTI causaux décrits par des équations aux différences à coefficients constantsdes équations aux différences à coefficients constants
Utilisation de l ’opérateur retard z-1
Exemple 1: SLTI du 1er ordre 1
41
1
1
zzH
Trouver l ’équation aux différences caractérisant le SLTI causal et donner le diagramme bloc du système:
nxnyny 14
1
nxnyny 14
1
++
+
z-1
1/4
x[n] y[n]
Forme directe, forme cascade et forme parallèle
157
Exemple 2: 2111
81
41
1
1
41
121
1
1
zzzz
zH
Trouver l ’équation aux différences caractérisant le SLTI causal et 3 diagrammes-bloc possibles du système:
nxnynyny 28
11
4
1
nxnynyny 28
11
4
11)
11
41
1
1
21
1
1
zzzH
Forme directe
2)
Forme cascade
11
41
1
3/1
21
1
3/2
zzzH
3)
Forme parallèle
158
VIII.9 Transformée en Z inverseVIII.9 Transformée en Z inverse
dzzzXj
nx n 1
2
1
Généralement, la Transformée en Z inverse sera déterminée à partir des tables,
après une décomposition en fractions partielles de X(z)
Utilisation d ’un contour
d ’intégration dans le plan
complexe...
Théorème des Résidus
159
VIII.10 Transformée en Z Unilatérale (TZU)VIII.10 Transformée en Z Unilatérale (TZU)
Définition
TZU utilisée pour l ’étude des systèmes causaux spécifiés généralement par des équations
aux différences à coefficients constants avec des conditions initiales non nulles
SLTI IAR ...
n
n
znxzX
0
nxTZUzXnxTZU
Si x[n] = 0 pour n<0 TZ {x[n]} = TZU {x[n])}
Région de Convergence de TZU toujours extérieure à un cercle (correspt au pôle le + éloigné si rationnelle)
Propriété importante:
1]1[ 1 xzXznxTZU
Possibilité de tenir compte de conditions initiales non nulles (système non IAR)Intérêt:
160
IX. EchantillonnageIX. Echantillonnage
1 - Représentation d ’un signal Temps Continu par ses échantillons - Théorème de l ’échantillonnage
2 - Reconstruction d ’un signal à partir de ses échantillons en utilisant l ’interpolation
3 - Effet du sous-échantillonnage: « Repliement de spectre » ou « aliasing »
4 - Echantillonnage de signaux Temps Discret (décimation-interpolation)
161
IX.1 Représentation d ’un signal Temps Continu par ses IX.1 Représentation d ’un signal Temps Continu par ses échantillons - Théorème de l ’échantillonnageéchantillons - Théorème de l ’échantillonnage
Sous certaines conditions, un signal Temps Continu peut être reconstitué parfaitement en ne
connaissant ses valeurs qu’ en certains points espacés régulièrement dans le temps (échantillons):
Théorème de l ’échantillonnage
Représentation d ’un signal TC par ses échantillons
En général, une séquence d ’échantillons, ne peut définir de manière unique un signal TC
Nécessité de prendre en compte des contraintes supplémentaires:
- largeur de bande du signal
- période d ’échantillonnage
162
Opération d ’échantillonnage
n
T nTttp
tptxtx Te .
ne nTtnTxtx
djPjXjX Te
2
1Produit en Temps Convolution en Fréquence
k
sT kT
jP 2Or
Donc
kse kjX
TjX 1 Spectre périodique, superposition des répliques
de X(j) décalées tous les s et pondérées par 1/T
x e (t)
x e (t)
Ts 2
163
Exemple 1
Si MsM
Ms 2 Pas de recouvrement
Ms 2 Recouvrement
x(t) peut être parfaitement reconstitué à partir de xe(t)
au moyen d ’un filtre passe-bas de gain T de fréquence de
coupure supérieure à M et inférieure à s -M
Si MsM
Xe(j)
Xe(j)
164
Théorème de l ’échantillonnage
Soit x(t) un signal de bande limitée telle que: MpourjX 0
Alors x(t) est déterminé de manière unique par ses échantillons x(nT), n=0, 1, 2, … si:
Ms 2
où
Ts 2
A partir de ces échantillons, il est possible de reconstruire x(t) en générant un train d ’impulsions
dont les impulsions successives ont pour amplitude la valeur des échantillons. Ce train
d ’impulsions est alors filtré par un filtre passe-bas idéal de gain T et de fréquence de coupure
supérieure à M et inférieure à s -M . Le signal résultant sera alors exactement égal à x(t)
( Théorème de Shannon ou Théorème de Nyquist)
165
Exemple 2 Reconstruction d ’un signal TC à partir de ses échantillons
en utilisant un filtre passe-bas idéal
Système d ’échantillonnage
et de reconstruction
Spectre de x(t)
Spectre de xe(t)
Filtre Passe-Bas idéal pour
reconstruire X(j) à partir de Xe(j)
Spectre de xr(t)
Xe(j)
x e (t)
Xe(j)
166
IX.2 Reconstruction d’un signal à partir de ses échantillons IX.2 Reconstruction d’un signal à partir de ses échantillons en utilisant l’ interpolationen utilisant l’ interpolation
Interpolation: Ajustement d ’un signal continu à un ensemble d ’échantillons pour reconstruire une
fonction soit de manière approximative, soit de manière exacte
t
Interpolation linéaire
Interpolation: Effet du filtre passe-bas dans le domaine temporel thtxtx er
nTthnTxtxn
r
1) Interpolation exact
Réponse impulsionnelle d ’un filtre idéal : tsincT
t
tTth c
c
c
cc
sin
nTtsincT
nTxtx cc
nr
Formule d ’interpolation exacte :
(gain de T)
167
2) Interpolation avec un bloqueur d ’ordre 0
Interpolation exacte basée sur le sinus cardinal
x e (t)
x e (t)
x e (t)
168
3) Interpolation avec un bloqueur d ’ordre 1 : interpolation linéaire
x e (t)
x e (t)
169
IX.3 Effet du sous-échantillonnage: AliasingIX.3 Effet du sous-échantillonnage: Aliasing
Ms 2Si • X(j) ne peut pas être restitué par filtrage passe-bas ALIASING
• Le signal reconstruit xr(t) n ’est plus égal à x(t)
1) Effet de l ’aliasing sur un signal sinusoïdal
ALIASINGSous-échantillonnage correct
170
2) Effet de l ’aliasing dans le domaine fréquentiel
171
IX.4 Echantillonnage de signaux Temps Discret IX.4 Echantillonnage de signaux Temps Discret
1) Echantillonnage d ’un signal discret
autrement
Ndemultiplensinxnxe ,0
,
k
Ne kNnkNxnpnxnx
x
k
kNnnp
nx nxe
deXePeX jjje
2
2
1
ks
j kN
eP 2
11 N
k
kjje
seXN
eX
x e [n]Xe(e j)
Xe(e j)
Ns
2
Spectre périodique, superposition
des répliques de X(e j) décalées
tous les s et pondérées par 1/T
Ms 2
172
Restitution exact d ’un signal temps discret à partir de ses échantillons
x
np
nx
nxe
H(e j) nxr
je eX
jeX
jeH
jr eX
173
2) Décimation ou sous-échantillonnage
xe [n] est nul entre les instants d ’échantillonnage séquence inefficace pour la transmission ou le stockage
Solution: créer une nouvelle séquence xd [n] identique à xe [n] aux instants d ’échantillonnage
Décimation nNxnxnNxnx ded
Relation entre x[n], xe [n] échantillonnage et xd [n] décimation ou sous-échantillonnage
kj
ke
jd ekNxeX
kj
kd
jd ekxeX
N
nj
Ndemultiplene
jd enxeX
N
j
eN
nj
ne
jd eXenxeX
x e [n]
x d [n]
174
N
j
ej
d eXeX
Relation entre échantillonnage et décimation
Remarque:
Si x[n] obtenu par échantillonnage d ’un signal continu, la décimation peut être interprétée comme une
réduction du taux d ’échantillonnage par un facteur de N
je eX
jd eX
175
xu[n]
xd[n]
3) Sur-échantillonnage ou interpolation
Opération inverse de la décimation:
introduire N-1 points d ’amplitude 0 entre chaque valeur de la séquence initiale
obtenir une séquence à un taux d ’échantillonnage plus élevé
La séquence interpolée x[n] est obtenue par filtrage passe-bas de xu[n]
jd eX
je eX
176
4) Exemple
Combinaison du sur-échantillonnage et de la décimation - Sous-échantillonnage maximum
jd eX
ju eX
jud eX
177
Propriétés des
Séries de
Fourier Temps
Continu
178
Propriétés des
Séries de
Fourier Temps
Discret
179
Principales paires
de la
Transformée de
Fourier Temps
Continu
180
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
Continu
181
Principales paires de
la Transformée de
Fourier Temps
Discret
182
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
Discret
183
Propriétés de la transformée de Laplace
184
Principales paires de Transformée de Laplace
185
Propriétés de la transformée en Z
186
Principales paires de Transformée en Z
