Simple distributivité

a (c + d) = ac + ad

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Double distributivité

Simple distributivité

a (c + d) = ac + ad

La simple distributivité consiste à distribuer par multiplication un monôme sur un polynôme.

Exemple :

5

12

Dans le rectangle ci-contre, calculons le périmètre.

Formule : P = 2 (L + l)

longueur

largeur

P = 2 (12 + 5)

P = 2 (17) = 2 X 17 = 34

On aurait pu aussi procéder comme suit :

P = 2 (L + l)

P = 2 (12 + 5)

P = 2 X 12

P = 24 + 10 = 34

Ici, nous avons distribué le facteur 2

à chaque terme dans la parenthèse.

Le calcul donne la même réponse.

+ 2 X 5

P = 2 (L + l)

La simple distributivité consiste à distribuer par multiplication un monôme sur un polynôme.

P = +

P = 2L + 2l

Soit 2 fois la Longueur + 2 fois la largeur

Longueur

Longueur

largeur largeur

On distribue le facteur 2

à chaque terme dans la parenthèse.2 X L 2 X l

-2 X 3

La simple distributivité consiste à distribuer par multiplication un monôme sur un polynôme.

a (c + d) =

3 (x + y) =

a X c ac + ad

3 X x 3x + 3y

4 (x - 3) = 4 X x 4x - 12

2 (x + 3y) = 2 X x 2x + 6y

-2 (x - 3) = -2 X x -2x - 6

3x (x2 + 5x - 6) = 3x X x2 + 3x X 5x - 3x X 6 = 3x3 + 15x2 – 18x

Attention aux signes

(x + 5) 7x = 7x X x + 7x X 5 = 7x2 + 35x

Remarque : Que le facteur soit avant ou après la parenthèse ne change rien.

7x (x + 5) =

+ a X d =

3 X y+ =

- =4 X 3

=

2 X 3y+ =

- = -2x + 6-

La simple distributivité consiste à distribuer par multiplication un monôme sur un polynôme.

a (c + d) =

3 (x + y) =

ac + ad

3x + 3y

4 (x - 3) = 4x - 12

2 (x + 3y) = 2x + 6y

-2 (x - 3) =

3x (x2 + 5x - 6) = 3x3 + 15x2 – 18x

(x + 5) 7x = 7x2 + 35x

-2x + 6

Démarche exigée :

Remarque : On écrit les polynômes selon l’ordre alphabétique des termes

et en ordre décroissant d’exposant.

6x + 3

4x

Problème

Donne l’expression algébrique représentant l’aire de ce triangle.

A =2

=B X H (6x + 3) 4x2

=24x2 + 12x

2=

24x2 + 12x2

=2

12x2 + 6x

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

Double distributivité

La double distributivité consiste à distribuer par multiplication un polynôme sur un polynôme.

Prenons un exemple numérique pour démontrer l’équivalence.

10 X 15 = 150

Écrivons 10 et 15 sous forme d’addition.

(3 + 7) X (6 + 9)

La double distributivité consiste à multiplier chaque terme de la première parenthèse avec chaque terme de la deuxième parenthèse.

3 X 6 + 3 x 9 + 7 x 6 + 7 x 9

18 + 27 + 42 + 63 = 150

3 (6 + 9) + 7 (6 + 9)

La double distributivité consiste à distribuer par multiplication un polynôme sur un polynôme.

La double distributivité consiste à multiplier chaque terme de la première parenthèse avec chaque terme de la deuxième parenthèse.

(a + b) (c + d)

a (c + d ) + b ( c + d )

a X c + a X d + b X c + b X d

ac + ad + bc + bd

X

Il y a le signe de multiplication entre les deux parenthèses.

Exemples(x + 4) (y + 2)

x (y + 2) + 4 (y + 2)

x X y + x X 2 + 4 X y + 4 X 2

xy + 2x + 4y + 8

(x - 6) (y + 3)

x (y + 3) - 6 (y + 3)

x X y + x X 3 - 6 X y - 6 X 3

xy + 3x - 6y - 18

(x + 2) (x + 3)

x (x + 3) + 2 (x + 3)

x X x + x X 3 + 2 X x + 2 X 3

x2 + 3x + 2x + 6

Attention Termes semblables

x2 + 5x + 6

(2x + 1) (x + 7)

2x (x + 7) + 1 (x + 7)

2x X x + 2x X 7 + 1 X x + 1 X 7

2x2 + 14x + 1x + 7

2x2 + 15x + 7

(2a – 4) (2a + 3)

2a (2a + 3) - 4 (2a + 3)

2a X 2a + 2a X 3 - 4 X 2a - 4 X 3

4a2 + 6a - 8a - 12

4a2 - 2a - 12

Démarche exigée : (x + 1) (x + 6)

x (x + 6) + 1 (x + 6)

x2 + 6x + 1x + 6

x2 + 7x + 6

(x - 4) (x - 8)

x (x - 8) - 4 (x - 8)

x2 - 8x - 4x + 32

x2 - 12x + 32

(x + 3) (x + 3)

x (x + 3) + 3 (x + 3)

x2 + 3x + 3x + 9

x2 + 6x + 9

(x + 3)2

L’exposant indique combien de fois on doit multiplier la base par elle-même,

donc

(x + 1) (x + 6)

x (x + 6) + 1 (x + 6)

x2 + 6x + 1x + 6

x2 + 7x + 6

Problème

Donne l’expression algébrique représentant l’aire de ce rectangle.

x + 2

x - 2

A = L X l

A = (x + 2) (x – 2)

A = x (x – 2) + 2 (x – 2)

A = x2 – 2x + 2x – 4

A = x2 – 4

Problème

A = 24x2

Dans un triangle rectangle, la base et la hauteur sont représentées par les cathètes.

Donne l’expression algébrique représentant l’aire de ce triangle. 10x 8x

A

B C

1) Déterminer m BC :

(10x)2 – (8x)2

100x2 – 64x2

36x2

m BC = 6x

m BC = (m AC)2 – (m AB)2A = B X H

2

2) Déterminer l’aire du triangle ABC :

A = 6x X 8x

2

A = 48x2

2

Réponse : 24x2

Quelques chaînes d’opérations

Les priorités d’opérations avec les expressions algébriques sont les mêmes qu’avec les expressions numériques.

(3x + 5) (2x – 6) + (2x + 1) (x – 6)

Simplifie l’expression suivante :

3x (2x – 6) + 5 (2x – 6) + 2x (x – 6) + 1 (x – 6)

6x2 – 18x + 10x – 30 + 2x2 – 12x + x – 6

6x2 – 8x – 30 + 2x2 – 11x – 6

8x2 – 19x – 36

(3a – 4) (2a + 5) - (2 – a) (3 + 4a)

Simplifie l’expression suivante :

6a2 + 7a – 20 - 6 - 5a + 4a2

10a2 + 2a - 26

Pour éviter les erreurs de calculs, place des parenthèses.

6a2 + 15a – 8a – 20 - 6 + 8a -3a – 4a2

3a (2a + 5) - 4 (2a + 5) - 2 (3 + 4a) - a (3 + 4a)

Effectue l’opération à l’intérieur,

puis l’opération terminée, supprime les parenthèses.

6a2 + 15a – 8a – 20 - 6 + 5a – 4a2

Lorsqu’on effectue une simple distributivité ou une double distributivité, on développe l’expression.

(x + y) (x + y)

x (x + y) + y (x + y)

x2 + xy + xy + y2

x2 + 2xy + y2

(x + y)2