SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA - ttl.masfak.ni.ac.rsttl.masfak.ni.ac.rs/LS/Predavanje 2 LOGISTICKE SIMULACIJE 2011.pdf · funkcija verovatnoće gustine raspodele f(t), b. funkcija raspodele

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - SIMULACIJA 2010/2011

dr Miomir Jovanović

1

Education and Culture

Predavanje 2

SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA

Simulacija, principi i područja primene

Simulacija je postupak predstavljanja jednog sistema sa njegovim dinamiĉkim procesom pomoću

eksperimentalnog modela da bi se došlo do saznanja koja se mogu preneti na realni sistem.

U širem smislu pod simulacijom se podrazumeva priprema, sprovoĊenje i raĉunska obrada

eksperimenata sa jednim simulacionim modelom.

Sl. 1.1 Sprovođenje ciljnog eksperimenta sa simulacionim modelom

Sl. 1.2 TU Dresden 2008 Labolatorija za simulaciju



2

Sl. 1.2 Simulacije u praksi

TU Dresden 2008 Labolatorija za simulaciju



3

Sl. 1.4 Komjuterske simulacije sistema toka materijala

Simulacija na računaru – principi

Simulacija diskretnih događaja, koristi model fiziĉkog sistema koji u

diskretnim vremenskim taĉkama menja svoje stanje. Vrsta i vremenska taĉka promene

stanja mogu se uvek egzaktno odrediti.

Kontinualna simulacija, koristi jednaĉine koje sistem opisuju u formi intenziteta

promena.

Monte-Carlo simulacija odslikava stohastiĉke procese, kod kojih vreme ne igra

ulogu. Ona se oznaĉava i kao metoda ponovljenih pokušaja.

Kombinovana simulacija, primenjuje simulaciju diskretnih dogaĊaja na jedan

kontinualni model.

Hibridna simulacija, koristi kontinualne sub-modele u okviru modela diskretnih

dogaĊaja.

Kompjuterske igre su po pravilu kombinacija svih ovde naznaĉenih simulacija.

Stanje sistema, promena stanja i prelazna stanja

Stanje sistema je skup i konkretno formiranje svih promenljivih, koje su potrebne

da bi se model odnosno sistem opisao u odreĊenom vremenskom trenutku.

Promenu stanja sistema predstavlja promena najmanje jedne promenljive u

procesu rada sistema. Postoje kontinualna ili diskretna prelazna stanja.



4

Kontinualna prelazna stanja opisuju se diferencijalnim jednaĉinama, a diskretna

prelazna stanja odreĊena su dogaĊajima.

Primena simulacija

Primena na procesima. Kod ispitivanih postupaka radi se o:

slučajnim procesima kod kojih se može razlikovati:

- nanošenje opterećenja

- redosled i dodela,

- raspoloživost, otkaz komponenata.

usko spojenim, kompleksnim sistemima sa zastojima i blokadama

Primena na sistemima. Ispitivanja na realnim sistemima mogu biti:

nemoguća:

- kad sistem još ne egzistira,

- kad je verovatno oštećenje ili razaranje sistema.

neekonomiĉna:

- kada je vreme ispitivanja dugo ili

- kada ometa regularni rad sistema.

Polja primene simulacije

Novo planiranje. Ovde se primenjuje simulacija da bi se ostvarii sledeći

ciljevi:

provera funkcionalnosti,

odreĊivanje uĉinka,

minimiziranje troškova s obzirom na: dimenzionisanje postrojenja, strategiju

upravljanja, utvrĊivanje uskih grla, odreĊivanje vremena protoka, formiranje zaliha.

Modifikacija postojećih postrojenj,. Ciljevi:

odreĊivanje graniĉnih kapaciteta,

analiza slabih mesta i uskih grla,

ocena nastalih promena s obzirom na: kapacitet, proizvodnju, proizvodne planove, strukturu

sistema, organizaciju i strategiju rada (npr. proizvodnje).

U fazi realizacije može se uraditi sledeće:

test uĉinka postrojenja pri postepenom puštanju postrojenja u rad,

preispitivanje odziva (ponašanja) na bazi zahtevanih promena,

proba i testiranje upravljaĉkog softvera,

školovanje saradnika.

U toku normalnog rada može da se analizira

operativno poreĊenje varijanti dispozicionih alternativa za: raspored mašina, utvrĊivanje

redosleda, odreĊivanje veliĉine prostora, primenu personala.

Prednosti, nedostaci i granice primene simulacije Prednosti

1. Sigurni dobitak

smanjenje rizika,



5

funkcionalnost sistema,

funkcionalnost upravljanja,

kvalitet obaveza.

2. Ušteda troškova

jednostavan sistem i upravljanje,

optimizacija meĊuskladišta, zaliha i odvijanja rada.

3. Poboljšano razumevanje sistema

osetljivost parametara,

zasnovanost izabranih rešenja,

obuka personala,

dinamiĉka analiza i predstavljanje.

4. Povoljno vođenje procesa

podrška odluka pri pojavi problema u radu (proizvodnji),

optimizacija procesa prema proizvoljnim funkcijama cilja,

optimizacija upravljanja,

smanjenje troškova smetnji,

skraćenje faze uhodavanja.

Nedostaci

1. Modeliranje i simulacija zahtevaju specijalno obrazovanje

obrazovanje u modeliranju i simulaciji postaje dodatni sastavni deo inženjerskog obrazovanja,

softveri simulacija nude uvek bolju podršku pri definisanju - uspostavljanju simulacionog

modela i njegovoj validnosti.

2. Simulacioni modeli zahtevaju interpretaciju

softveri simulacija nude uvek bolju podršku pri analizi rezultata simulacije.

3. Simulaciona ispitivanja su vremenski obimna i skupa

sposobnost racunanja postaje sve povoljnija,

produktivnost simulacije se povećava poboljšanjem softvera i obrazovanja.

Granice i lista uputstava

simulacije sprovoditi uvek pre investicija,

simulacija uvek predpostavlja jasnu definiciju cilja i procenu obima,

pre simulacije treba iskoristiti analitiĉke metode,

simulacija nije zamena za planiranje,

kvalitet rezultata simulacije ne može biti bolji nego što dozvoljavaju podaci sa kojima je

simulacija izvedena,

simulacija je onoliko dobra koliko i saradnja osoblja koji radi studiju.

Istorijat simulacije diskretnih događaja Istorijat

Računarska

simulaciona

tehnika

Jezik

simulacije

Računska

tehnika

Tehnika toka materijala

1955 Analogna Poĉeci traženja Veliki raĉunar kao industrijsko



6

simulacija rešenja postrojenje

60-65 Istovremena po-

java više simu-

lacionih jezika

GPSS, GASP/SLAM,

Simscript,

Simula

Prve radne stanice i digitalni

raĉunari sa programiranjem u

simulacionoj primeni

Prvi visokoskladišni regal

u Nemaĉkoj

65-80 Uska povezanost

hardverske baze

i jezika imulacije

Diversifikacija jezika

simulacije (npr. 14 GPSS

diskete)

IBM veliki raĉunar-Dominanz,

tržište radnih stanica

Rasĉlanjavanje skladišta u

proizvodnom procesu,

tehnika raspodele

1980 Ozbiljna kompjuterska grafika,

prvi PC

Spajanje transportnih i

informacionih tokova

1985 Prve

vizuelizacije

AutoMod,GPSS,

Simple++, SimFactoryll5

Prodor PC Usaglašenost transportnih

sredstava i baukasten sis.

1990 Paketi imulacija,

orjentacija na

objekte

AutoMod II, Witness,

ProModel, SimanArena

PC su u potpunosti potisli

velike raĉunare

KanBan, Just-in-Time,

inteligentna tehnika

transpotnih tokova

2000 Integrisana

simulacija

Zamena radnih stanica sa PC Virtuelno preduzeće,

e-comerce, kompleksna

postrojenja traži simul.

Sadašnje stanje

AutoMod

Brooks Automation

(AutoSimulations)

eM-Plant

Tecnomatrix

(Simple ++)

Enterprise Dynamik

Enterprise Dynamik

kombinacija opštih

simulacionih jezika i

modeliranje orijentisano

ugradne komponente, bazirana

na Layout

prava razmera 3D okruženja

baziran na Compiler-u

okruženje modeliranja

orjentisano na ugradne

komponente i objekte

2DVizualiziranje

(3D per Add-on)

model okruženja orjentisan na

objekt

2D modeliranje, razmera 3D

simulacije

Auto-kompilacija

Dalji softveri: Arena, Witness, Dosimis, SimFactoriyll 5,

ProModel, AIM, SimPRO, Quest, Flexsim

Dalji izgledi

dalji razvoj softvera za simulaciju:

- poboljšanje korisniĉkih mesta,

- proširenje softverskih preseka: ODBC, TCP/IP, ActiveX, Apls,

- poboljšanje alata za analizu: genetsko optimiranje,

- automatska proizvodnja modela.

zatvaranje novih oblasti primene:

- povezivanje simulacija: test upravljaĉkih softvera; operativno nalaženje odluka;

podeljena simulacija,

- formiranje raĉunskog modela,

- integracija u menadžment podataka preduzeća.



7

2. STATISTIKA

Slučajne promenjive: neprekidne i diskretne Slučajna promenljiva je ona koja dobija vrednosti kao rezultat sluĉajnog procesa.

Neprekidne slučajne promenljive mogu uzeti beskonaĉno mnogo vrednosti, npr. vreme

ĉekanja.

Diskretne slučajne promenljive mogu uzeti samo konaĉne vrednosti, npr. broj zahteva

Statistički brojevi: srednja vrednost, varijanca, kvantili

Srednja vrednost predstavlja aritmetiĉku sredinu vrednosti niza merenja, kao:

n

1iin21X

n

1X......XX

n

1X .

Srednja vrednost se oznaĉava i kao oĉekivana vrednost EX, pa važi:

EYEXYXE .

Varijanca predstavlja meru rasipanja vrednosti jednog niza merenja

2

i

2

iEXX

n

1XX

n

1VX .

Standardno odstupanje je kvadratni koren varijance: VXs .

Raspodele: neprekidna i diskretna raspodela Funkcija gustine i funkcija raspodele pri neprekidnoj raspodeli

Definicija: Funkcija gustine jedne neprekidne raspodele je pozitivna funkcija za koju važi:

dxxfbXaP

b

a

Grafik predstavlja verovatnoću, da vrednost x leži u intervalu izmeĊu a i b. U oblasti meĊuvremena dolazaka, gustina verovatnoće može uzeti vrednosti:

tf0 (2.7)

Pri tome mora biti ispunjen uslov normiranja (2.8), da je površina ispod krive na slici 2.1-a, jednaka 1.

1dt tf0

(2.8)

VEROVATNOĆA: nastajanja meĊuvremena dolaska, sa vrednostima ktt0 , odgovara

integralu funkcije verovatnoće gustine od 0t do ktt . Verovatnoća P (Probability) je:

kt

0

k tFdt tftt0Pk

(2.9)



8

Sl. 2.1 Funkcija gustine kod neprekidne (kontinualne) raspodele

a. funkcija verovatnoće gustine raspodele f(t), b. funkcija raspodele F(t)

FUNKCIJA RASPODELE: Ĉešće se umesto funkcije gustine raspodele, koristi funkcija raspodele

F(t) sa kojom se raspodela meĊuvremena dolazaka još jednostavnije odreĊuje (vrednuje). Funkcija

raspodele F(t) nastaje integracijom funkcije verovatnosne gustine. Moguća oblast njene vrednosti je:

1tF0 (2.10.)

Vrednost funkcije ktF na sl.2.1-b, odgovara integralu prema jednaĉini (2.9). Uz pomoć funkcije

raspodele, verovatnoća da nastupi meĊuvreme dolaska u oblasti k1 ttt , može se dati

jednostavno kao razlika vrednosti funkcije 1tF i ktF . Za verovatnoću se piše:

1kk1 tFtFtttP (2.11)

Iz jednaĉine (2.11) postaje jasno da verovatnoća za nastanak meĊuvremena dolazaka za 0it je

0tFtFtP iii . Ovakav sluĉaj (stanje) važi za sve neprekidne sluĉajne promenljive (npr.

merenje puta i vremena). Nasuprot tome može se za svako pojašnjenje jedne diskretne sluĉajne

promenljive (npr. broj komada) dati jedna konkretna verovatnoća. MeĊuvreme dolaska je po svojoj

prirodi neprekidna veličina.

Oĉekivana vrednost neprekidne raspodele (prolazno vreme): Koja se srednja vrednost meĊuvremena dolazaka može oĉekivati ? Očekivana vrednost E(t) može

se odrediti iz funkcije verovatnoće gustine f(t), prema izrazu (2.12). Oĉekivana vrednost kao

izbalansirana vrednost svih mogućih meĊuvremena dolazaka odgovara težištu površine izmeĊu apcise

i krive f(t). Oĉekivana vrednost:

f(t)



9

dttfttE0

Primer: Radni vek jednog lasera iznosi u proseku 2 godine. Statistiĉka raspodela

veka trajanja poseduje funkciju gustine datu izrazom i grafikom:

inace0

0xe2

1xf

2

x

Sl.2.3 Grafik neprekidne raspodele

Verovatnoća da će vek trajanja lasera iznositi izmeĊu 2 i 3 godine je:

%5.14145.0145.0368.0eee2

13X2P 2

3

2

2

2

x3

2

.

Funkcija raspodele radnog veka lasera je

2

xx

0

2

t

e1dte2

1xF

.

Verovatnoća daće vek trajanja lasera biti izmeĊu 2 i 3 godine je:

%5.14145.00368223.0eee1e12F3F3X2P 2

3

112

3

Verovatnoća da vek trajanja lasera bude ispod 2 godine iznosi:

%2.63632.0e12F2XP 1

Funkcija gustine pri diskretnoj raspodeli

Klasa i=1(1)n t=constant

t

H i

H 2

H 1

0 t 1 t 2 t 3 t n t i

Slika 2.7. Histogram apsolutne uĉestalosti izmerenih meĊuvremena dolaska i vremenskih klasa širine t

U PRAKSI: Funkcija verovatnoće gustine f(t) i funkcija raspodele F(t) meĊuvremena dolaska u

svojoj matematiĉkoj formi za izvedene sisteme materijalnih tokova u normalnim sluĉajevima unapred



1

0

nisu poznate. Merenjem se može odrediti sa kojom učestalošću se javljaju meĊuvremena dolazaka u

unapred zadatom vremenskom intervalu. Kao približenje, dobija se diskretna raspodela koja je u

stvarnosti neprekidna raspodela meĊuvremena dolazaka. Kao rezultat, može se apsolutna uĉestalost

iH predstaviti, na primer, u formi histograma prema slici 2.7. Pri tome, za relativnu uĉestalost važi:

n

1i

i

ii

H

Hh

za 1h0 (2.13)

Pod pretpostavkom da je rezultat merenja (sl.2.7) reprezentativan za sva meĊuvremena dolazaka,

tada se empirijski može izjednaĉiti relativna uĉestalost ih sa nepoznatom verovatnoćom ip :

ii hp za 1p0 i (2.14)

pri tome: i1ii tttPp (2.15)

0

0

p 1

t 1

t 1

p 2

t 2

t 2

t k

t k

p k

t n

t n

t i

t i

p i

P k

P

1,0

a.

b.

Slika 2.8. Diskretne raspodele meĊuvremena dolazaka pomoću: a. elemenata vektora verovatnoće, b.

funkcija raspodele

Kumulativna funkcija diskretne raspodele Definicija: Funkcija raspodele diskretnih veliĉina predstavlja kumulativnu funkciju gustine:

Vrednosti ip su elementi vektora verovatnoće sa sumom jedan:

n

1ii 1p (2.16)

KOLIKA JE VEROVATNOĆA DISKRETNE RASPODELE: Verovatnoća za nastajanje

meĊuvremena dolazaka sa vrednošću ktt0 , odreĊuje model diskretne raspodele, analogno

integraciji, procedurom sumiranja. Sada se verovatnoća može napisati:

k

1iik ptt0P (2.17)

OĈEKIVANA VREDNOST DISKRETNE RASPODELE: Verovatnoća nastanka meĊuvremena

dolazaka u oblasti k1 ttt , može se odrediti takoĊe za diskretnu raspodelu, kao razlika vrednosti

funkcije F(t). Oĉekivana vrednost diskretne raspodele analogna je jednaĉini (2.12).



1

1

n

1i

ii pttE (2.18)

U ovom odeljku, uvedene su diskretne raspodele meĊuvremena dolazaka kao u praksi merljiva

približenja neprekidne raspodele. Kad se vrednosti meĊuvremena dolazaka u stvarnost menjaju

skokovito, na primer ako se daju kao cele vremenske jedinice dan, sedmica ili mesec.

Rasipanje vrednosti meĊuvremena dolazaka

Potreba za velikim stepenom iskorišćenja nameće potrebu da se rasipanje meĊuvremena

dolazaka vrednuje. Za to je pogodna tzv. varijanca ili disperzija kao najpoznatiji parametar

rasipanja u statistici. Varijanca je oĉekivana vrednost kvadrata odstupanja od srednje

vrednosti. Za neprekidnu (kontinualnu) raspodelu varijanca se definiše izrazom:

dttftEttVar

0

2

(2.20)

Za diskretnu raspodelu varijanca se raĉuna prema:

n

1ii

2ptEttVar (2.21)

Ĉesto se kao parametar rasipanja daje standardno odstupanje : tVart (2.22)

Da bi se raspodele sa razliĉitim vrednostima oĉekivanja (rasipanja) mogle uporeĊivati, pogodno je

relativno standardno odstupanje poznato kao koeficijent varijacije v:

tE

ttv (2.23)

Ostale važne raspodele: neprekidne i diskretne raspodele

Neprekidna exponencijalna raspodela:

0

0xexf

e

0

0xe1xF

x

Sl. 2.4 Exponencijalna raspodela



1

2

Oĉekivana vrednost i varijanca:

1

XE , 2

1XV

Primena:

za vremena izmeĊu nezavisnih dogaĊaja, npr. meĊuvremena dolaska za sluĉajno nastale

zahteve (materijal, proizvodi, ljudi),

za modeliranje veka trajanja komponenata koje iznenada otkazuju (npr. sijalice),

pogodna, kada meĊuvremena dolaska jako osciliraju, kada vrednosti nemaju meĊusobni uticaj,

kada procenjena srednja vrednost nije suviše velika,

nepogodna za predstavljanje vremena usporavanja.

Neprekidna normalna raspodela:

FORMULACIJA: Normalna raspodela pogodna je za modeliranje kod procesa kod kojih postoji vrlo

mnogo pojedinaĉnih u znatnoj meri nezavisnih uticaja koji deluju na sistem. Funkcija gustine:

2x

2

1

e2

1)x(f

-≤x≤+: (3.70)

Gde je: - (nepoznata) stvarna srednja vrednost,

- (nepoznato) stvarno standardno odstupanje.

Ako su vrednosti X normalno raspodeljene, prema jednaĉini (3.70) iz normalne raspodele N(,),

supstitucijom vrednosti u=(x-)/, dobija se normalna raspodela sa =0 i =1. Funkcija gustine ove

standardne normalne raspodele, koja je oznaĉena kao normirana normalna raspodela N(0,1) je:

2

2

u

e4.0e2

1)u(f

2

2

u

(3.71)

Gustina njene verovatnoće predstavljena je na slici 3.36.

Slika 3.36 Verovatnoća gustine standardne normalne raspodele N(0,1).

OSOBINA: Izmedju granica -1≤u≤1 leži oko 2/3 svih vrednosti jedne normalne raspodele sluĉajne

veliĉine a izmedju -2≤u≤2, oko 95 %. Vrednost funkcije f(u) nalazi se u tabelama svih

standardnih knjiga statistike (recimo HARTUNG 1993.).

0 1 -1 -2 2

f(u)

u



1

3

Logaritamska normalna raspodela

2

2

2

xlnexp

2

1

x

1xf ,

Sl. 2.6 Grafik logaritamske normalne raspodele

Oĉekivana vrednost i varijanca: 2

2

eXE

,

1eeXV

222

Primena:

pri mnogostrukom prenošenju velikog broja nezavisnih sluĉajnih veliĉina,

za aproksimaciju kose raspodele,

za modeliranje veka trajanja i ostvarenja vremena ĉekanja.

Jednaka (ravnomerna) raspodela

inace0

0xaab

1

xf

xb0

0xaab

ax

ax0

xF



1

4

Sl. 2.7 Gustina i funkcija raspodele


baXE

,

12

abXV

2 .

Primena: pogodna, kada proces nije dovoljno poznat, ali se minimum i maksimum mogu proceniti,

generatori sluĉajnih brojeva proizvode uglavnom jednako raspodeljene sluĉajne brojeve u intervalu (0,1).

Raspodela oblika trougla

inace0

ac

2hsacxb

bc

xch

bxaab

axh

xf

xc1

cxbbcac

xc1

bxabcab

ax

xa0

xF2

2

Sl. 2.8 Grafik trougaone raspodele


cbaXE

,

18

bcacabcbaXV

222

Primena:

kada taĉna forma raspodele nije poznata, ali minimum, maksimum i uspešno oĉekivane vrednosti

stoje na raspolaganju,

lako primenljiva i razumljiva, taĉno ograniĉena oblast vrednosti, gruba sluĉajna procena pri

asimetriĉnoj raspodeli,

suviše netaĉna za korektno modeliranje.

Bernulijeva raspodela

inace0

1ip

0ip1

pi

x11

1x0p1

ax0

xF



1

5

Sl. 2.9 Grafik Bernulijeve raspodele

Oĉekivana vrednost i varijanca: pXE , p1pXV .

Primena: Bernulijeva raspodela odgovara jednoj sluĉajnoj probi sa dva moguća rezultata:

uspeh sa verovatnoćom p i

neuspeh sa verovatnoćom (1- p).

Binomna raspodela

inace0

p1qsan....,,1,0xqpi

n

xf

1ni

,

xn1

1x0qpi

n

0x0

xF 1nix

0i.

Oĉekivana vrednost i varijanca: pnXE , qpnXV .

Primena:

za broj grešaka pri ispitivanju n komponenata,

za broj ĉlanova u grupama sluĉajnih veliĉina, npr. ljudi, zahtevi-nalozi.

Poasonova diskretna raspodela:

FORMULACIJA: Binomna raspodela prelazi za vrlo malo p i veliko n u Poasonovu

(Poisson) raspodelu. To izražava relacija:

n

e!x

p1px

nlim

xxnx

(3.46)

Proces važi kada proizvod np teži konaĉnoj vrednosti .

Za Poasonovu verovatnoću piše se:

0(1)n xza ,e!x

)xX(Px

(3.47)

Funkcija raspodele dobija se postepenom simulacijom:

,e!x

)xX(P)xX(P)x(Fx

0xixxii

i

ix

ni

(3.48)



1

6

Oĉekivana vrednost i varijanca Poasonove raspodele imaju istu vrednost:

pn)X(Var)X(E

(3.49)

Poasonova raspodela zove se i raspodelom retkih dogadjaja. Ona se koristi za opisivanje

dogadjaja sa malom verovatnoćom nastajanja (malo p) ali za koju postoji veliki broj mogućnosti

(veliko n). U transportnim tokovima Poasonova raspodela nalazi veliku mogućnost primene.

PRIMER: Tehniĉki odeljak kontrole, sa slike 3.28, ima propisanu moć (protok) A+B==60 [h-1

]

gotovih proizvoda. U proseku je 95 % ispravno a 5 % proizvoda traži naknadnu doradu

za koju su predvidjeni kapaciteti (prostor, mašine, personal) koji obezbedjuju graniĉni

protok od =4 [h-1

] proizvoda. Postavlja se pitanje verovatnoće povremenog

preopterećenja odelenja naknadne dorade kao i potreba za odredjivanjem površine koja

obezbedjuje odlaganje (ĉekanje) na doradu. Slika 3.30 situacije sa vrednostima:

Ispitivanje A B

Cekanje ?Dorada

Montaža (A+B)

FTS

WA-L.WA

Slika 3.30 Primer odredjivanja prostora za doradu neispravnih proizvoda

Odelenje naknadne dorade nije preopterećeno, što se utvrdjuje stepenom iskorišćenja:

14

3

2

22

(3.50)

Iz ove relacije se još ne može utvrditi da li povremeno ne dolazi do preopterećenja P(X>4).

Za raspodelu proizvoda sa greškom, može se uzeti Poasonova raspodela jer je p=0.05,

n=60, np=3. Verovatnoća nastajanja preopterećenja P(X>4) raĉuna se kao komplementarna

vrednost jednaĉini (3.48):

e

!x1)4X(P1)4X(P4

0x

x

(3.51)

Za =2=3, zamenom u jednaĉini dobija se:

18.08

27

2

9

2

93105.01

!4

3

!3

3

!2

3

!1

3

!0

3e1)4X(P

432103

Iz ovoga sledi da za oko 18 % svih radnih sati u posmatranom vremenskom intervalu, može

biti preopterećenja u odelenju dorade a to znaĉi da pitanje odredjivanja neophodne površine

kao medjuskladišta ispred dorade mora ozbiljno da se razmatra. Ovo može da se sprovede

samo uz pomoć teorije verovatnoće (videti taĉku 4) ili simulacije (taĉka 6.6). Na slici 3.31,

predstavljena je funkcija raspodele za navedeni primer.



1

7

0

1,0

0,5

P(X=0)

P(X=4)

P(X>4)=0,18P(X<4)

P(X<x)

21

Bild 3.31Poisson-Verteilungsfunktion derfehlerhaften Produkte im Nacharbeitsbereich( t=1 h)3 4 5 6 x

Slika 3.31 Poasonova funkcija raspodele proizvoda sa greškom u odelenju dorade (t=1 h).

Primena: Poasonova raspodela se dobija za veliki broj n iz binomne raspodele, u sluĉaju da je verovatnoća pojave

jednog od dva dogaĊaja vrlo mala i kada je broj proba relativno veliki,

broj nezgoda (povrdeda, udesa i sl.) po danu (odnosno meseĉno ili godišnje) na jednoj deonici

autoputa ili broj zahteva (pitanja, interesovanja) za jednim vrlo retko upotrebljavanim rezervnim

delom u odreĊenom vremenskom periodu imaju raspodelu Poasona.

Documents

SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA - ttl.masfak.ni.ac.rsttl.masfak.ni.ac.rs/LS/Predavanje 2 LOGISTICKE SIMULACIJE 2011.pdf · funkcija verovatnoće gustine raspodele f(t), b. funkcija raspodele