SIMULACIÓN DE MONTECARLO

En la administración de operaciones se utilizan dos tipos de modelos:

• Modelos de Optimización• Modelos de Simulación

Modelo deOptimización

Modelo deSimulación

Responde a la pregunta¿ Cuál es la mejor decisión ?

Responde a la pregunta¿ Qué pasaría si ............ ?

MODELOS DE SIMULACIÓN

SIMULACIÓN

Es observar el comportamiento de un sistema a través de un modelo, ante diferentes situaciones que se ensayan. Esto implica experimentación

Se simulan los experimentos usando relaciones matemáticas (determinísticas o probabilísticas), para medir los resultados representativos de la realidad

Simulación no es una técnica optimizante ni busca la mejor solución o decisión, aunque al menos debe proporcionar soluciones cercanas a la óptima

MODELOS DE SIMULACIÓN

Ventajas de los modelos de simulación:

El modelo de simulación es más fácil de construir y comprender que uno de optimización

Los modelos de optimización, generalmente, no evalúan todas las soluciones subóptimas. En cambio, los modelos de simulación si las evalúan

El modelo de simulación hace experimentación en computadores, lo que le otorga:

Mayor rapidez para procesar la información Capacidad de anticipar resultados posibles en situaciones nuevas o imprevistas

MODELOS DE SIMULACIÓN

Desventajas de los modelos de simulación:

El modelo de simulación requiere personal especializado para su realización y análisis

Es imprescindible el uso de computadores

No necesariamente alcanza resultados óptimos

SIMULACIÓN DE MONTECARLO

Es una técnica de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en la que el muestreo se hace en un espacio finito a partir de la generación de números aleatorios: la población son todos los números aleatorios y el muestreo consiste en determinar valores sucesivamente a partir de los números aleatorios

X : Variable aleatoria

Que tiene un comportamiento según alguna distribución de probabilidades

SIMULACIÓN DE MONTECARLO

Se obtienen valores para X ( X1, X2, X3, ........., Xn )

X1

X2

X3

Xn

Son valores generados utilizado un

M.A.S. de los números aleatorios ri

NÚMEROS ALEATORIOS

ri Es cualquier número entre 0 y 99, con igual probabilidad de selección: todos los números tienen la misma probabilidad de ser escogidos en cualquier instante, es decir que tienen una distribución de probabilidades uniforme

ri

f (r)

0 99

ri U ( 0, 99 )

EJEMPLO DE SIMULACIÓN

Una sucursal bancaria canjea cierta cantidad de cheques cada día, según el siguiente comportamiento en un mes:

Cheques Frecuenciacanjeados Frecuencia Frecuencia Relativa

por día (miles) Absoluta Relativa Acumulada Media1 - 500 2 0.05 0.05 250,5

501 - 1000 6 0.15 0.2 750,51001 - 1500 18 0.45 0.65 1250,51501 - 2000 10 0.25 0.9 1750,52001 - 2500 4 0.1 1 2250,5

EJEMPLO DE SIMULACIÓN

Histograma de Frecuencia Relativa:

0,05

0,15

0,45

0,25

0,1

500 2000 250015001000

f i

Qcheques / día

EJEMPLO DE SIMULACIÓN

Mediante el uso de los números aleatorios es posible simular una muestra (de M.A.S.)

Frecuencia Relativa Acumulada

0,050,200,650,91

00 - 0405 - 1920 - 6465 - 8990 - 99

Número Aleatorio Clase nº

(1)(2)(3)(4)(5)

EJEMPLO DE SIMULACIÓN

Nº aleatorioPertenece a la clase nº

841831610452407589163797

(4)(2)(3)(3)(1)(3)(3)(4)(4)(2)(3)(5)

Clase fi fi / n

(1)(2)(3)(4)(5)

12531

0,080,160,420,250,08

n = 12

Esta es una corrida de 12 números aleatorios

EJEMPLO DE SIMULACIÓN

Histograma de Frecuencia Relativa:

0,08

0,16

0,42

0,25

500 2000 250015001000

f i

Qcheques / día

Al obtener el histograma de frecuencia relativa, el

comportamiento se mantiene, aunque no es

igual, debido a que se trata de una muestra

EJEMPLO DE SIMULACIÓN

Nº aleatorioPertenece a la clase nº

487019368750072478913759

(3)(4)(2)(3)(4)(3)(2)(3)(4)(5)(3)(3)

Clase fi fi / n

(1)(2)(3)(4)(5)

02631

0,000,160,500,250,08

n = 12

Esta es otra corrida de 12 números aleatorios

EJEMPLO DE SIMULACIÓNHistograma de Frecuencia Relativa:

0,08

0,16

0,50

0,25

500 2000 250015001000

f i

Qcheques / día

Al obtener el histograma de frecuencia relativa, una vez más el comportamiento se

mantiene, sin ser igual, debido a que se trata de

otra muestra

GENERACIÓN DE VALORES PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES A PARTIR

DE LOS NÚMEROS ALEATORIOS

En los modelos de simulación, cada variable de decisión tiene una distinta distribución (determinística o probabilística). Cada distribución tiene una corrida diferente de números aleatorios

Un mismo número aleatorio no puede ser usado para simular dos variables a la vez, porque las variables son independientes entre sí

Para determinar los valores simulados se utiliza la distribución de probabilidades acumulada

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA

Muchas variables de decisión no son continuas, entonces se utilizan las categorías de frecuencia relativa acumulada para generar los valores a partir de los números aleatorios, siendo muy útil para variables con distribuciones determinísticas

Ejemplo: Supongamos que para el precio de una acción existe una probabilidad del 20% de que baje, 50% de que se mantenga igual, y 30% de que suba su valor; en la siguiente transacción bursátil

Entonces, se asigna un intervalo 0, 1 proporcional a cada probabilidad

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA

FrecuenciaFrecuencia Relativa Números

Relativa Acumulada AleatoriosAcción Baja 0,2 0,2 00 - 19Acción Igual 0,5 0,7 20 - 69Acción Sube 0,3 1 70 -99

Si 00 ri 19

Si 20 ri 69

Si 70 ri 99 Se asume que el precio de la acción sube

Se asume que el precio de la acción baja

Se asume que el precio de la acción se mantiene igual

< <

<

<

<

<

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME

En el caso de una distribución uniforme en el intervalo a, b , se consideran 99 números aleatorios pertenecientes al intervalo 0, 1

X U (a,b)fi (X)

XXi

P (Xi X) ri

P (Xi X)

<

< =

=Xi - ab - a

a b

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME

riXi - ab - a=

con ri ( b - a ) Xi - a=

Xi a + ri ( b - a )= 0 ri 1<<

a + b2=E (X) V (X) =

( b - a )2

2

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

fi (X)

XiX

X exp ( ) f (X) ex-

x > 0 > 0

E (X) 1

=

1

=V (X) 2P (Xi X) ri<

=

= 0 ri 1< <

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

= con 0 ri 1

<

P (Xi X) ri< <<Distribución de

probabilidad acumulada P (Xi X) 1 - e= - x

1 - e - x= ri

e x- = 1 ri- / ln

=Xi- ln ( 1 )ri-

ln ( 1 )ri--= Xicon 0 ri 1<<

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

fi (X)

X

Su función de densidad de probabilidades es:

= 1 < 1

> 1 X W ( , )

f (X, , ) = X( - 1)

e - ( x )X 0>

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

Nótese que si 1, entonces la distribución de Weibull corresponde a la distribución exponencial

La función de densidad acumulada es:

=

P (Xi X) 1 - e=<- ( xi )

Luego, para generar valores de Xi de una variable aleatoria con distribución de Weibull, a partir de un número aleatorio

ri = 1 - e- ( xi )

e =- ( xi )

1 ri- ( Xi )

=- ln ( 1 )- ri

ri

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

Xi =1 - ( ln ( 1 ) )ri- 1 con 0 ri 1< <

Obs: La distribución de Weibull se utiliza en la descripción de las 3 etapas (rodaje, vida útil y desgaste) de la curva de fallas

t

( t ) Vida Útil = 1

< 1 > 1Rodaje Desgaste

Proba-bilidad de falla

( t )

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

fi (X)

Xi

X N ( , ) 2

La función de probabilidad acumulada

corresponde a

P (Xi X)< =x

81

2 e

12- ( )x - 2

dx

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

La función de probabilidad acumulada de la distribución normal no puede ser resuelta por métodos de integración corrientes, lo que impide tener una fórmula cómoda para despejar observaciones aleatorias simuladas de Xi a partir de los números aleatorios

No obstante, las observaciones se pueden generar mediante el siguiente razonamiento:

ri

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Los números aleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo 0 , 1

f (ri)

ri

Para un número aleatorio

E ( )ri

V ( )ri

=

=

a + b

(b - a)

2

12

=

=

2

12

1

1

0 ri 1< <

Para una muestra de “n” números aleatorios, se puede inferir su comportamiento gracias al teorema del límite central

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si X N Xi N

Por lo tanto i=1

nri

=

N ( )n n2 12

,

Válido, solo en la medida en que n es un valor bastante grande, lo que se asume cuando n 12>Entonces

ZXi -

=ri

i=1 n

- n2

12n

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Xi = +( )

i=1 n

ri - n2

n12

<0 ri 1<si n 12>

Aunque la expresión es válida para cualquier n 12, típicamente se usa n = 12 para el muestreo de las observaciones de variable con distribución normal ya que se simplifica un cálculo

>

EJEMPLO DE GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Xi = +( )

i=1 n

ri - n2

n12

X tiene distribución normal, con = 460 y = 36 Observación para X con los números aleatorios:

r1 = 0,46r2 = 0,95r3 = 0,23

r4 = 0,61r5 = 0,39

r6 = 0,74r7 = 0,26

r8 = 0,13r9 = 0,92

r10 = 0,55r11 = 0,07r12 = 0,48

Xi = 460 +36 ( 5,79 - 6 )

1 = 467,56Xi