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Trabajo práctico de Laboratorio Nº3
SIMULACIÓN DE MODELOS DE SISTMAS DE CONTROL MEDIANTE
MATLAB Y SIMULINK
Simulación del comportamiento de un sistema de control de Posición y Velocidad angular basado en un motor de C.C
Alumno: (100536-4)Peppe Pardini, Alexis.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
ALUMNO: Peppe Pardini, Alexis A. Materia: Sistemas de Control AUTOR DEL INFORME: Peppe Pardini, Aexis A. CATEDRA: Martes. TM Realización del Tp: _7/11/06_ Presentación del Original: _______ Firma del original: _____________ Firma de 1ºa copia: _____________ TRABAJO PRACTICO DE LABORATORIO Nº2 TITULO: SIMULACIÓN DE MODELOS DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE MATLAB Y SIMULINK
{Fecha de
Nota de Concepto: VºBº(original):________________
VºBº(original): ________________
Observaciones: (a) son____ Hojas:____
b)______________________________
UTN FRBA
Índice: SIMULACION DE MODELOS DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE MATLAB Y SIMULINK
Objetivos……………………………………………………………………………………………………………… 1
Control de posición angular sin realimentación de
velocidad. ………………………………………………………………………………………………………… 1
Diagrama en bloques…………………………………………………………………………… 1
Lugar de Raíces……………………………………………………………………………………… 1
Respuesta en frecuencia………………………………………………………………… 2
Respuesta dinámica……………………………………………………………………………… 4
Agregado de una red RC……………………………………………………………………………… 5
Lugar de Raíces con un polo adicional…………………………… 6
Respuesta dinámica……………………………………………………………………………… 7
Agregado de un Rozamiento viscoso adicional…………………… 8
Lugar de Raices con un rozamiento adicional…………… 8
Diagrama en bloques ………………………………………………………………………… 9
Respuesta dinámica……………………………………………………………………………… 9
Control de Posición angular con realimentación de Velocidad. ………………… 11
Lugar de raíces…………………………………………………………………………………………………… 11.
Respuesta en frecuencia y ancho de Banda………………………………………………… 12
Efectos de la variación de parámetros en la respuesta en frecuencia………… 13
Diagrama en bloques para la simulación………………………………………………………… 13
Respuesta dinámica…………………………………………………………………………………………… 14
Control de velocidad angular………………………………………………………………………………… 15
Diagrama en bloques………………………………………………………………………………………… 15
Lugar de Raíces…………………………………………………………………………………………………… 16
Respuesta en frecuencia y Ancho de Banda………………………………………………… 17
Diagrama en bloques para la simulación……………………………………………………… 18
Respuesta dinámica…………………………………………………………………………………………… 18
Efectos de la zona muerta……………………………………………………………………………………… 20
Diagrama en bloques………………………………………………………………………………………… 20
Respuesta dinámica…………………………………………………………………………………………… 20
Conclusiones………………………………………………………………………………………………………………… 22
1
TRABAJO PRACTICO Nº3. SIMULACION DE MODELOS DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE MATLAB Y SIMULINK Objetivo: Incentivar en los alumnos la importancia de la simulación de modelos. Asimismo se pretende que los alumnos obtengan conclusiones al comparar los resultados logrados experimentalmente en el laboratorio con un sistema real, con los obtenidos en base a la simulación del modelo. Problema 1.- Control de posición angular sin realimentación de velocidad. 1 a) Utilizando la información obtenida en los TP Nº1 Y Nº2, se simulo el modelo indicado en el diagrama en bloques.
LUGAR DE RAICES:
( ) ( ) ( )( )2
1 1T
T
Kp K K AG S H S
S Ra Bm S a S m K Kbτ τ• • •
• =• + • + • + •
>> GH=tf(kp2*kT*A,conv([1 0],conv(Ra*Bm*[ta 1],[tm 1]))+kT*Kb); >> rlocus(GH)
2
Del lugar de raíces se extrae: Sistema en Régimen de Amortiguamiento Crítico: 0.001k = Sistema Sobreamortiguado: 0 0.001k< < Sistema en Régimen Subamortiguado: 0.001 0.713k< < Sistema Inestable: 0.713 k< Respuesta en frecuencia: Para hallar la respuesta en frecuencia analizamos el diagrama de Bode a lazo cerrado, con k=0.5 : >> M=tf(kp1*A*kT*k,conv([1 0],conv(Ra*Bm*[ta 1],[tm 1])+kT*Kb)+kp2*kT*k*A) Transfer function: 0.002565 -------------------------------------------------- 0.002642 s^3 + 0.002783 s^2 + 0.002707 s + 0.00264 >> bode(M)
3
El ancho de Banda para k=0,5 según el diagrama de Bode a lazo cerrado es 2 1.19 7.47rBw Hzsπ= • = .
Además se observa que en la frecuencia de cruce de la asintota de baja y alta frecuencia se produce un Ganancia elevada a la frecuencia de 2 1 6.28rad Hzsegπ • =
4
Respuesta dinámica para diferentes valores de Ganancia de Cadena directa: Se construye el siguiente modelo en Simulink:
para distintos valores de Ganancia de Cadena directa obtuvimos: k=0.1
5
k=0.4
k=0.7
La principal diferencia que observamos con respecto a la respuesta experimental, es que, la frecuencia amortiguada dω aumenta de un periodo a otro como consecuencia de algunas alinealidades no consideradas en el modelo matemático, como ser, la zona neutra, los rozamientos despreciados, las perdidas omitidas, y otros misceláneos. 1 b) Al agregar al control de posición una red RC (polo), del Tp de laboratorio Nº2, volvimos a trazar el Lugar de Raíces en función de k:
6
Lugar de Raíces con Polo Adicional:
El lugar de raíces se mueve hacia la derecha lo que significa, que para un valor de Ganancia de Cadena directa constante, los márgenes de Ganancia y de fase disminuyen haciendo al sistema menos estable relativamente.
7
Respuesta Dinámica: Se construyo el siguiente circuito en Simulink para su análisis:
para distintos valores de Ganancia de Cadena Directa obtuvimos: k=0.05 k=0.1
Como vemos el sistema se vuelve inestable a valores más pequeños de k que en el caso anterior, es decir, que corrobora lo visto en el lugar de raíces en donde los márgenes de ganancia y de fase disminuían como consecuencia del agregado del polo adicional. Una vez más, la diferencia principal con los datos experimentales, radica en la variación en la respuesta de la pulsación subamortiguada de un periodo a otro.
8
Problema 1.c) Variando el rozamiento viscoso Bm, mediante el agregado de un rozamiento adicional llegamos al siguiente Lugar de Raíces:
Como se desprende del gráfico anterior vemos que el Lugar de raíces se movió hacia la derecha como consecuencia del agregado de un rozamiento viscoso adicional. Esto significa que para un valor de Ganancia de cadena directa constante aumenta el coeficiente de amortiguamiento y los márgenes de fase y de ganancia lo que implica un sistema más estable. Esta estabilidad se gana a costa de un mayor consumo.
9
Para hallar la respuesta dinámica se construyo el siguiente diagrama en bloques en Simulink, con un rozamiento viscoso de 10Bm:
para distintos valores de ganancia de cadena directa la respuesta dinámica al escalón es: k=0.1
mB 10 mB•
10
k=0.4
mB 10 mB•
k=1
mB 10 mB•
Como se observa los gráficos de la derecha son más estables relativamente que los de la izquierda como consecuencia del agregado de un rozamiento viscoso adicional. Además, al poseer un rozamiento viscoso más elevado, la salida en estacionario llega más rápido a su valor final, lo que es debido al mayor amortiguamiento del sistema, por esta razón, la respuesta sigue mejor a la excitación. También podemos inducir que por la mayor altura de los picos en el transitorio, en el sistema con mayor amortiguamiento el consumo instantáneo de corriente es más elevado. Esta situación se revierte con el tiempo, ya que por la gran duración del transitorio, en el sistema de menor amortiguamiento, el consumo neto de energía Total será más elevado. La principal diferencia con las mediciones experimentales radica en que la pulsación angular amortiguada aumenta con el tiempo en consecuencia de distintas alinealidades, y la exponencial envolvente es más pronunciada por las mismas causas.
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Problema 2. Control de Posición angular con realimentación de Velocidad. Se agrego un lazo de realimentación de velocidad, mediante la tensión proveniente de la generatriz tacométrica integrada al motor de CC. El agregado de dicho instrumento sensor, se analizo sobre la base del diagrama en bloques indicado a continuación.
El Lugar de raíces del control de posición con el lazo taquimétrico nos queda:
Como vemos el Lugar de raíces se ha movido hacia la izquierda por el agregado del cero. Como en el caso anterior mejora la estabilidad relativa y el amortiguamiento del sistema a costa del agregado de una etapa adicional.
Sistema con Realimentación taquimétrica
12
Ancho de Banda El sistema a lazo cerrado con generatriz taquimétrica nos queda:
( )( ) ( )3 2
12 2
T
T T taq T
k A kp kM S
a m Ra Bm S a m Ra Bm S Ra Bm k kb K A K K k S K A kp kτ τ τ τ• • •
=• • • • + + • • + • + • + • • • • • + • • •
Numéricamente, para k=0.4 y k2=1 >> M2=tf(kT*k*A*kp1,[Ra*Bm*ta*tm Ra*Bm*(ta+tm) Ra*Bm+kT*Kb+kT*k*A*k2*ktaq kT*k*A*kp2]) Transfer function: 0.0021 --------------------------------------------------------------------- 8.803e-007 s^3 + 0.0001419 s^2 + 7.483e-005 s + 0.0021 >> bode(M) y el diagrama de Bode a lazo cerrado es:
Lo que arroja un ancho de Banda de 2 6 38rBw Hzsπ= • ≈ .
Experimentalmente, para k=0.75 y k2=1 obtuvimos un ancho de banda de 30Bw Hz=
13
También podemos advertir a continuación como el aumento de k y kt, producen un aumento del ancho de banda del sistema:
100
101
102
103
104
-405
-360
-315
-270
-225
-180
Pha
se (
deg)
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Para estudiar la respuesta dinámica armamos el siguiente diagrama en Simulink:
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El efecto de variar k es movernos sobre el Lugar de Raíces, mientras que si variamos kt variamos la posición sobre el eje real de un cero de lazo cerrado y corremos el Lugar de raíces más o menos hacia la izquierda. Dinámicamente tenemos: K=0.1 kt
K=0.1 10kt K=0.4 10kt
El aumento de la Ganancia de cadena directa o de la realimentación taquimétrica deriva en un mayor amortiguamiento del sistema y un mejor seguimiento de la respuesta a la excitación.
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Problema 3.- Control de velocidad angular Se procede a simular el sistema de control indicado a continuación
del cual trazamos el lugar de raíces siguiente: >> GH=tf(kT*A*ktaq*k2,Ra*Bm*[ta*tm ta+tm 1]+[0 0 kT*Kb]) Transfer function: 0.0006325 ----------------------------------------- 8.803e-007 s^2 + 0.0001419 s + 6.673e-005 >>rlocus(GH)
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lo cual genera el siguiente Lugar de raíces para el Control de velocidad angular:
Al variar k o ktaq nos movemos sobre el Lugar de raíces. Como se desprende del análisis de este grafico el sistema es absolutamente estable ya que los márgenes de ganancia y de fase tienden a infinito. Experimentalmente trabajamos en la zona sobreamortiguada por la limitación del potenciometro que varia la ganancia de cadena directa. En esta zona, hay un polo dominante, por lo tanto, el sistema se comporta como de primero orden.
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Ancho de Banda: La respuesta en frecuencia del diagrama de Bode a lazo
cerrado es, k=0.5, 323 10t
Vk
rad seg−= • :
10-1
100
101
102
103
104
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
-60
-40
-20
0
20
40
60
System: M Frequency (rad/sec): 0.108 Magnitude (dB): 47.2
System: M Frequency (rad/sec): 5.11 Magnitude (dB): 44.2
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
El ancho de banda es de 2 5 31.5rad Hzsegπ • = . Por tratarse de
un sistema equivalente de primer orden, el polo dominante esta sobre el eje real, y en la frecuencia de cruce hay un error de 3 db.
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para hallar la respuesta dinámica construimos en simulink:
tk k•
El sistema de velocidad se trabaja en régimen sobreamortiguado y la respuesta, ya que existe un polo dominante, es aproximada a un sistema de primer orden equivalente. El error en estacionario es elevado para el valor de tk k• original.
19
100tk k•
Si tk k• se reduce cien veces, el error en estacionario, también se reduce. El sistema sigue comportándose como uno de primer orden por la condición de dominancia.
100 tk k• •
Si tk k• se incrementa 10 veces, pasamos al régimen subamortiguado. El amortiguamiento es elevado, y la respuesta tiene buen sigue a la excitación. Aumenta el error verdadero en estacionario.
20
Problema Nº4.- Efecto de la zona muerta Con el objeto de analizar el efecto de la ganancia sobre la presencia de una zona muerta comprendida en el motor, utilizamos la simulación para verificar sus efectos sobre el sistema. El análisis lo realizamos sobre el control de posición angular sin realimentación taquimétrica, como se indica a continuación:
Con un valor de k=0.1, la excitación queda dentro de la zona muerta y el sistema no responde.
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Se aumento el valor de “k” a 0.5. La respuesta es subamortiguada y el sobreerror grande como consecuencia del aumento del valor de cadena directa. Luego de un transitorio la excitación entra en la zona muerta y el sistema deja de responder, lo que queda atestiguado por la rápida extinción de la respuesta subamortiguada.
Se elevo el valor de “k” aun más ( k=1). El sistema deja de ser estable. La zona muerta no influye.
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Conclusiones: Se vislumbro la importancia de la simulación de modelos y los alcances de las herramientas de simulación como Matlab y Simulink. Gracias a estas herramientas de simulación se trazaron diagramas de lugar de raíces, se estudio la estabilidad del sistema mediante diagramas de bode a lazo abierto, respuesta en frecuencia mediante diagramas de bode a lazo cerrado, la respuesta dinámica del sistema ante la excitación, etc. Al comparar las predicciones hechas por la simulación de modelos y las mediciones experimentales se observo principalmente:
- Las simulación de modelos responde a las observaciones experimentales.
- Hay factores que no se han podido tomar en cuenta, como rozamientos, perdidas, etc. , que derivan en pequeñas diferencias con los modelos idealizados.
- En la simulación se pudo incorporar algunas alinealidades, como ser, la zona muerta, y de esta forma mejorar la predicción del comportamiento de un sistema real.
- Al alejarnos del punto de operación, a través, por ejemplo, del aumento de la ganancia de cadena directa, las predicciones de los modelos de simulación se alejan de las experimentales. Para subsanar este inconveniente se puede realizar una linealización en un nuevo punto de operación o trabajar con modelos alineales de gran complejidad.
Se simuló en un sistema de posición y de velocidad angular, las consecuencias del agregado de un polo adicional, un cero, una realimentación de velocidad y la incidencia de la zona muerta.
