Simulación Numérica de Yacimientosmmc2.geofisica.unam.mx/cursos//sny/SNY_Cap4.pdf · 2 4. Simulación Numérica de Flujo Monofásico Unidimensional 4.1 Considerar: • Flujo lineal

1

Simulación Numérica de Yacimientos

Dr. Fernando Rodríguez de la Garza

e-mail: [email protected]: 55508712, 5622 3017 al 19

Capítulo 4.

Simulación Numérica de Flujo Multifásico Unidimensional

2

4. Simulación Numérica de Flujo Monofásico Unidimensional

4.1

Considerar:• Flujo lineal en coordenadas cartesianas• Un sólo fluido compresible• La distribución de presiones al tiempo cero, �� obedece a condiciones de equilibrio gravitacional• El yacimiento produce a un gasto en �� y la frontera ubicada en x = L es impermeable

Matemáticamente el problema se expresa como:

��

��

�∂∂=+�

�

�

��

��

�∂∂−

∂∂

∂∂

��

�

�

�

�

φγλ �

��

��

4. Simulación Numérica de Flujo Monofásico

4.3

Las condiciones iniciales y de frontera se expresan como:

��

��

−=��

��

�∂∂−

∂∂

=

��

�

�

�

�

�

µγ

�� =��

��

�∂∂−

∂∂

=

��

�

�

��

γ 4.4

Nótese que:

�

�

µλ =

3

4.1 Aproximación de las Ecs. en Diferencias Finitas

Se comienza con definir el esquema de aproximación para el término de acumulación de la ecuación 4.1, así como el tipo de aproximación para el término de flujo.

De interés a la SNY son los esquemas de aproximación que generen algoritmos numéricos con la mayor estabilidad posible y con el menor error de truncamiento, conciliando a la vez los requerimientos de trabajo computacional.

Considerando estos aspectos, en la SNY se emplea el esquema de aproximación Implícito en tiempo (diferencias regresivas) y diferencias centrales en espacio y se aproxima la ecuación 4.1 en cada una de las celdas de la malla de cálculo que discretiza el domino en espacio de nuestro problema, esto es:

4.1 Aproximación de las Ecuaciones...

4.5

��

4.6

{ }

�

++

+

��

��

��

��

�∂∂=+

��

��

��

�

��

��

�∂∂−

∂∂

∂∂

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

φγλ

La aproximación del término de flujo mediante diferencias finitas centrales, ver Ec. 3.25, es:

( )

( )��

��

��

�� ∆−−�

�

��

�∆

−

��

��

��

�� ∆−−�

�

��

�∆∆

≈��

��

��

�

��

��

�∂∂−

∂∂

∂∂

+

−−

+

−

+

++

+

+

+

�

�

�

�

�

��

�

�

�

��

�

��

�

�

��

��

�

�

�

γλ

γλγλ

4

4.1 Aproximación de las Ecuaciones…

4.7

4.8

La aproximación del término de acumulación, ver Ec. 3.26, es:

��

�

��

��

�−��

��

�∆

≈��

��

��

��

�∂∂ ++ �

�

�

�

�

��

φφφ

Sustituyendo las Ecs. 4.6 y 4.7 en la Ec. 4.5 y multiplicando por el volumen de roca de la celda �� ∆��, se obtiene:

( ) ( )

��

�

��

��

�−��

��

�∆

=+

��

�� ∆−−−

��

�� ∆−−

++

+

−−+

−

+

+++

+

�

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

��

��

φφ

γγ

�

�

�

�

��

��


4.9

4.10

�

��

�� +

++

+

++��

��

�∆

== �

�

��

�

��

�� λ

T es la transmisibilidad del fluido:

La Ec. 4.8 se expresa en términos de operadores de diferencias, Ecs. 3.29 y 3.32, como sigue:

[ ] [ ]�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

� ��

��

�

��

�∆∆

=+∆−∆−∆−∆ ++−

+−

++

++

φγγ

�

�

�

�

...(4.11)

�

��

�� +

−−

+

−−��

��

�∆

== �

�

��

�

��

�� λ

5


4.12

O bien,

( )[ ]�

�

��

�

�

��

��

�

��

�∆∆

=+∆−∆∆ ++ φγ

��

��

4.2 Acoplamiento de las Condiciones Iniciales

4.12a

Desarrollando el término de acumulación en 4.12 y fijando ��:

( )[ ]��

��

��

��

��

��

�−��

��

�∆

=+∆−∆∆�

��

��

��

��

φφγ

��

En 4.12a vemos que para resolver la distribución de presiones en��, (��

��

�), se requiere la distribución de presiones en el nivel de tiempo cero, o inicial, (��

��

�): Se acoplan, o emplean, en entonces las condiciones iniciales del problema.

Nótese luego que la solución de (��

��) requiere de

(��

��). La solución de �� se apoya en la solución de �

6

4.3 Acoplamiento de Condiciones de Frontera…

Aplica en las ecuaciones de las celdas en las fronteras, �� e ��

Con el acoplamiento resultan formas particulares de las ecuaciones de diferencias de las celdas � e �.

Considerar la porción de la malla de cálculo en la frontera en ��

�� !��"��"��

Celda � es ficticia


Aproximando la C.F., ec. 4.3, en �� ó ��!�, mediante diferencias finitas centrales se obtiene:

( )( )

�

�

�

�

++

∆−−∆

≈��

��

��

�

��

��

�∂∂−

∂∂

∂∂ �

�

��

�

�

�γγλ

( )

�

�

�

�+

+

∆−−��

��

�−= �

�

��

�� γ

µy,

O bien,

( )

�

�

++ ∆−∆−= �

��

�

�� γ

4.13

4.14

7


El acoplamiento de la CF en �� es similar.

Considerar ahora la porción de la malla en la frontera en ��

��#��

�#�!� ��!�

$��

%�&��'�(

�)�'�)'(*+'

Celda �� es ficticia


Aproximando la C.F., ec. 4.4, en �� ó ��!�, mediante diferencias finitas centrales se obtiene:

Por lo tanto,

4.15

4.16

( )[ ] �

�

�

�

=∆−−∆

≈��

��

��

�

��

��

�∂∂−

∂∂

∂∂ +

+++

+

+

�

��

�

�

�

��

�

�

�γγλ

( )( ) �

�

� =∆−− +

+++

+�

��

�

� �� γ

8


Ahora bien, 4.8 escrita en ��considerando ��:

4.17

4.18

[ ] [ ]�

�

�

��

��

��

�

��

��

�

��

�∆∆

=∆−∆−∆−∆ ++++ φγγ

��

�

��

Acoplando la aproximación de la C.F. 4.14 en 4.17, se obtiene para la celda ��:

( )[ ]

��

� ��

��

�∆∆

=+∆−− ++

��

��

�� φγ


Similarmente, 4.8 escrita en ��considerando ��:

4.19

4.20

[ ] [ ]�

�

�

��

�

�

�

��

�

� ��

��

�

��

�∆∆

=∆−∆−∆−∆ +−

+−

++

++

φγγ

�

�

�

�

Acoplando 4.16 en 4.19, se obtiene para la celda ��:

[ ]�

�

�

��

�

� ��

��

�

��

�∆∆

=∆−∆− +−

+−

φγ

�

�

Las Ecs. 4.18 para ��, 4.8 para �� #� y 4.20 ��, forman un sistema de ��ecuaciones algebraicas no linealesecuaciones algebraicas no lineales con � incógnitas, ��.

9


Note que considerando una frontera cerrada en �� y una fuente en ��

��, se obtiene una ecuación idéntica a 4.18.

Esto indica que no es posible confinar un pozo, o gasto, en alguna posición de una celda de la malla de cálculo, y que en una celda“productora”, el gasto se distribuye uniformemente en toda la celda.

Por el otro lado, la solución para las presiones de los nodos corresponde a la posición de los nodos. Sin embargo, la presión calculada en las celdas productoras no corresponde a la presión de fondo fluyendo del pozo como se verá posteriormente


Nótese que el problema de flujo, expresado por la ecuación diferencial 4.1 y las condiciones iniciales y de frontera 4.2, 4.3 y 4.4, fue reemplazado por las ecuaciones en diferencias. 4.8, 4.18 y 4.20.

Se tiene entonces, en cada nivel de tiempo, un sistema de � ecuaciones algebraicas no lineales, en las incógnitas (��)

Anotaciones para concluir la sección

10

4.4 Cálculo de Transmisibilidades

Las Ecs. 4.9 y 4.10 indican que ��!� y ��#�!� deben evaluarse en las fronteras de las celdas.

Puesto que las presiones se resuelven en la posición de los nodos de las celdas, ��, se tiene en principio que:

��!��

y

��#�!��#��

Las transmisibilidades deberán calcularse por lo tanto de tal forma que se obtenga la mejor representación posible del flujo entre nodos vecinos.

4.4 Cálculo de Transmisibilidades…

Si el yacimiento es heterogéneo: ��

∆��

� ��#�

��!��#�!�

∆��!�

��

( ) ( )�

�

�

+++

++ −��

��

�=−��

��

�=��

�

��

�

��

�

��

�

� λ

δλ

δ

Se puede expresar entonces el gasto a través de ��!� como:

4.22

11


Donde:

( )��

�

��

�

� −�

�

��

�∆

= ++

+

�

� λ

δ�� , ��!�

δ��!� , ��

Ahora bien, en las ecuaciones de flujo en diferencias se tiene que el gasto en ��!� es:

4.24( )��

�

��

�

� −+−�

�

��

�∆

= −−++

+�

�

�

� λ

4.23

ó,

4.4 Cálculo de las Transmisibilidades…

Despejando �� , ��#�!� y ��#�!� , ��de 4.22 y substituyendo en 4.24, se obtiene:

4.25

�

�

+

++

��

��

�−��

��

�

∆=

��

�

� ��

�

λδ

λδ

λ

Esto indica que λι+1/2 debe calcularse como el promedio armónico de las mobilidades de los nodos vecinos, �� e �.

Por otro lado, la solución numérica del problema de Buckley y Leverett (desplazamiento frontal de aceite por agua) indica que la mejor reproducción del frente de desplazamiento se obtiene cuando las movilidades se calculan corriente arriba.

12


Solución exacta

Solución con λ ��!� corriente arribaOtras opciones

λ ��!� =λ �� : Flujo de �� a �

λ � : Flujo de � a ��

� �

-�

�#-&�

- &&

�

�

�


Con estos antecedentes, en la práctica se ha encontrado como mejor opción evaluar la permeabilidad absoluta entre celdas mediante un promedio armónico,

4.25

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

+

++

��

��

�−��

��

�=

δδ∆

y en el caso de flujo monofásico,

(µB) ��!� =(µB) �� : Flujo de �� a �

(µB) � : Flujo de � a ��

13


En el caso de flujo radial esférico, el promedio armónico de la permeabilidad de las celdas � e �� es:

4.26( )

��

��

�

�

�

+

+++

++

��

�

�

��

�

�−

��

�

�

��

�

�=

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

��

4.5 Solución del Sistema de Ecuaciones Algebraicas no Lineales: Ecs. de Flujo en Diferencias Finitas

La solución del sistema algebraico de ecuaciones no lineales, que describen numéricamente el problema de flujo unidimensional de un fluido compresible en un yacimiento, ecs. 4.8, 4.18 y 4.20, pueden resolverse mediante los siguientes métodos:

1. Totalmente Implícito, TI, (…Newton-Raphson, NR) 2. Linealización directa, LD3. Semi-implícito linealizado, SL4. Aproximaciones sucesivas, AS

Los tres últimos métodos pueden obtenerse como casos particulares del método TI, que resulta de aplicar el NR para resolver las ecuaciones en diferencias que se obtienen mediante el Esquema Implícito de aproximación en tiempo.

El método TI puede entonces considerarse como el Método General.

14

4.5.1 Antecedentes del Método de Newton-Raphson

.

�

��

��

�.�.

−=

El NR es un método iterativo para resolver ecuaciones no lineales. Una interpretación geométrica simple existe para el siguiente problema:

Sea /�.�� no lineal en ��Deseamos obtener ��, tal que .��

.��

�

ε

��

�.

1. Se parte de un estimado de la solución, ��, y se calcula .��

2. Se calcula .0��

3. Pero,

4. O sea:

��

��

��

�.

�.�� −=

4.5.1 Antecedentes del Método de NR…

5. Una vez obtenido ��, se verifica la convergencia de la solución:� | ��#��| < ε �

6. Si no se cumple, se calcula .0�� y se procede iterando,

��

�

ν

ννν

�.

�.�� −=+

hasta alcanzar la convergencia, esto es:

| �ν+1#�ν | < ε ,es decir hasta que se encuentre la raíz de la ecuación

15


�� =+′+= ++ νννν δ �.��.�.

En donde, δ�ν�� ν+1#�ν

es el cambio iterativo de la solución en la iteración incógnita, ν+1, y ν se refiere al nivel de iteración previo, o conocido.

Entonces se obtiene la solución en términos de valores conocidos de la función y su primera derivada, esto es:

El algoritmo iterativo del Método de Newton se establece formalmente si se considera la expansión de .��ν+1��mediante la siguiente Serie truncada de Taylor :

�

�

ν

ννδ

�.

�.�

′−=+


Se procede luego a calcular el valor de la incógnita en la iteración ν+1, como se describió previamente y a verificar la convergencia de la solución. Este proceso se repite hasta que la solución converge.

16

4.5.2 Método Totalmente Implícito: El Método General.

La aplicación del NR en el Método TI, comienza con definir, a partir de la Ec. 4.8, la siguiente función de residuos:

( ) ( )[ ]( )[ ] �

��

�

�

�

�

=��

��

�∆∆

−+∆−−

−∆−−=+

++−−

+−

+++

++

++−

�

�

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

��

��

��

��%

φγ

γ

��

��

Notar que la función de residuos del nodo � depende de las incógnitas ��#��

4.27

4.5.2 Método Totalmente Implícito…

El proceso iterativo para resolver ��, se establece

expandiendo 4.27 mediante una Serie de Taylor truncada, alrededor del nivel de iteración (ν), de la que sólo se conservan los términos de menor orden:

��

ν ��

4.28( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) �

��

=��

��

�

∂∂+��

�

��

�

∂∂+��

�

��

�

∂∂+

≈

++

+

++−

−

+−+

νν

νν

νν

ν

ν

δδδ �

�

��

�

��

�

��

��

��

%�

�

%�

�

%%

��%

17

4.5.2 Método Totalmente Implícito...

De aquí que:

��

ν ��

4.29

( )( )

( )( )

( )( ) ( )νν

νν

νν

ν

δδδ ��

�

��

�

��

�

� %��

%�

�

%�

�

%−=��

�

��

�

∂∂

+��

��

�

∂∂

+��

��

�

∂∂ +

++

++−

−

donde,

( ) ( ) ( )νννδ �� −= ++ 4.30

Son los cambios iterativos de las incógnitas


La forma que adopta la Ec. 4.27 en los nodos �� e ��, debido al acoplamiento de las condiciones de frontera, es respectivamente:

4.31

4.32

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ��

�

�

�

=��

��

�

∂∂

+��

��

�

∂∂

+≈ +++ νν

νν

νν δδ ��

%�

�

%%��%

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ��

=��

��

�

∂∂

+��

��

�

∂∂

+≈ ++−

−−

+ νν

νν

νν δδ �

�

��

�

��

�

%�

�

%%��%

y,

18


Se tiene así, el siguiente sistema algebraico de ecuaciones lineales: Para ��

4.33

4.34y para ��,

( )( )

( )( ) ( )νν

νν

ν

δδ

�

�

%��

%�

�

%−=��

�

��

�

∂∂

+��

��

�

∂∂ ++

( )( )

( )( ) ( )νν

νν

ν

δδ ��

�

��

�

� %��

%�

�

%−=��

�

��

�

∂∂

+��

��

�

∂∂ ++

−−

Para �� #�,

( )( )

( )( )

( )( ) ( )νν

νν

νν

ν

δδδ ��

�

��

�

��

�

� %��

%�

�

%�

�

%−=��

�

��

�

∂∂

+��

��

�

∂∂

+��

��

�

∂∂ +

++

++−

−

4.35


El proceso iterativo de solución inicia con el siguiente estimado:

4.36

4.37

y se verifica el criterio de convergencia,

Una vez resueltos los cambios iterativos δ��ν�� se calculan las presiones en la iteración ν��

4.38

( ) ��

�� ==

( ) ( ) ( ) ++ += ννν δ ��

( )�� εδ ν �+ ( )

%�% εν �+o,

19

4.5.2.1 Estructura Matricial del Sistema de Ecuaciones

La estructura matricial del sistema de Ecs. 4.33 a 4.35, se muestra a continuación

4.39

( ) ( ) ( )ννν

δ

δδδ

��

�

�

�

−=

��

�

�

�

��

�

�

�+

�� %

%

%

%

�

�

�

�

(1

*(1

*(1

*(

�

�

�

�

�

�

��

��

��

�

�

�

�

��

��

4.5.2.1 Estructura Matricial del Sistema…

Como se observarse, el problema de flujo unidimensional genera un sistema tridiagonal de ecuaciones que se escribe en forma compacta como:

4.40 [ ]( ) ( ) ( )ννν δ %�2 −=+

donde 324es la matriz de derivadas o Matriz Jacobiana, cuyos elementos (… eliminando los términos gravitacionales para simplificar el ejemplo) son:

�

�

�

−

−

−−− ∂

∂∆−=��

�

��

�

∂∂

=�

�

��

5

��

�

��

�

%1 4.41

20

4.5.2.1 Estructura Matricial del Sistema…

4.42

4.43

( )

��

�

�

�

��

�

�

��

5

��

��

��

�

��

�

��

�

%(

��

��

�∂∂

∆−

∂

∂∆−

−∂

∂∆++−=��

�

��

�

∂∂=

−−

++−+

φ�

�

�

�

�

�

y,

�

�

�

+

+

+++ ∂

∂∆+=��

�

��

�

∂∂

=�

�

��

5

��

�

��

�

%*

4.5.3 Casos Particulares del Método de NR

Los métodos de Linealización Directa, LD, Aproximaciones Sucesivas, AS, y Semi-implícito Linealizado, SL, son casos particulares del método de Newton-Raphson, NR. La relación entre los métodos SL y el NR la presentan Aziz y Settari.

Se presenta a continuación una metodología para derivar estos métodos a partir del NR. Tal metodología es una simplificación del Método General presentado para el caso de flujo multifásico por 6&7�89:';�/��&�'� en 1994.

Antes de presentar la manera de obtener los varios métodos como casos particulares del Método General, revisaremos algunos antecedentes

�� !�"#$�%��&�� '��(��!'��'�� '��)� *��+��+��'��

��+��,�'��-'&�� '��.' *�$//�'0� '��+� ��$��/ ',��1&/�'0' �)� *��+�#�$� �0��-23�4� ��

-<=��7>(�1'7��'1?�&+&9/�-'��'@��&+��A��B&��C(/&��DDE��E"#�F�

21

4.5.3.1 Antecedentes

4.44 ( ) ( )�� 111 �+=

Primeramente, nótese que los elementos (�* y 1 de la Matriz Jacobiana están compuestos por tres tipos de términos:

• Transmisibilidades,

• Derivadas de las transmisibilidades

• Derivadas del término de acumulación.

De aquí que se pueden escribir como sigue:

( ) ( ) ( )��G�� (((( �� ++= 4.45

4.5.3.1 Antecedentes…

( ) ( )�� *** �+= 4.46

y,

( )�

−=�� 1

( )

��

�

−

−

− ∂

∂∆−=

�

�

��

��1

Donde,

y,

4.47

4.48

Los términos �*��*�H��(�� (�H�� se definen de manera similar

22


4.49

El término �(�G0 )��se define como:

Con estos antecedentes, la matriz Jacobiana se escribe como:

4.50

( )��

�

��G��

��( �

�

��

�∂∂

∆−= φ

�

526 ��5�6 ��5�H6 ��5�φ/�H6

Donde:5�6"� Matriz tridiagonal con elementos �1��(�� *��5�H6"� Matriz tridiagonal con elementos �1�H��(�H��*�H�5�φ/�H6"��Matriz diagonal con elementos �(�G�


��

�

�

�

+++++++++

=��

�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

1*1*1*

1*1*1*

1*1*1*

(((

(((

(((

��

�

�

�+

��

�

�

�=

��

��

��

��

��

��

111

111

111

***

***

***

O bien,

5(6�7 5* 8�16�7 5*6�8�516

Esto se basa en la siguiente propiedad (… álgebra de matrices):

23


Habiendo presentado el Método de Newton-Raphson, es ahora posible derivar el resto de los métodos de linealización de las ecuaciones de flujo en diferencias, LD, AS y SL, como casos particulares de éste. Esto es posible aplicando los siguientes dos pasos:

1. Prelinealizar parcialmente la función de residuos, Fi del NR, (… de acuerdo al tratamiento dado a las no linealidades por el método en cuestión).

2. Controlando el número de iteraciones del proceso de solución

4.5.3.2 Método de Linealización Directa

(4.51)

Considere en la función de residuos, Ec. 4.27, la siguiente aproximación,

�� ≈+

( ) [ ] � =��

��

�∆∆

−+∆∆= ++

�

�

��

��

��

��

��%

φ

La función de residuos del método LD se escribe luego:

(4.52)

Puesto que � se evalúa explícitamente al nivel de tiempo �, se tiene que:

526� ��5�6 ��5�φ!�H6 (4.53)

24

4.5.3.2 Método de Linealización Directa…

(4.54)

Note que 526� es un caso particular de la matriz Jacobiana del método de Newton, 526��, que se obtiene al eliminar la submatrizde derivadas de transmisibilidad, 5�H6�

Dados %� y 526� , se puede verificar que el método LD se obtiene aceptando la solución de la primera iteración, es decir:,

(4.55)

[ ] ( ) �

�

��

� %�2 −=+δ

( ) [ ] � =+∆∆= +��

��

�� %

Note que,

4.5.3.3 Método Semi-Implícito Linealizado

(4.56)

Aziz y Settari demuestran que el método SL corresponde a la solución que se obtiene en la primera iteración del método NR:

(4.57)

(4.58)

[ ] ( ) �

-�

��

-� %�2 −=+δ

( ) ( )��

�

�-� %% =Donde:

[ ] [ ]��

-� 22 =y,

25

4.5.3.4 Método de Aproximaciones Sucesivas

(4.59)

Considere en la función de residuos, Ec. 4.27, la siguiente aproximación,

ν�� ≈+

( ) [ ] � =��

��

�∆∆

−+∆∆= ++

�

��

��-��

��%

φνν

La función de residuos del método LD se escribe luego:

(4.60)

Puesto que � se evalúa explícitamente al nivel de iteración ν, se tiene que:

526�- ��5�6 ��5�φ!�H6 (4.61)

4.5.3.4 Método de Aproximaciones Sucesivas…

(4.62)

Como en el caso del método LD, 526�- es un caso particular de 526��, que se obtiene al eliminar la submatriz de derivadas de transmisibilidad, 5�H6�

El proceso iterativo de solución del método AS es entonces:

[ ] ( ) ννν δ �-�- %�2 −=+

El proceso iterativo concluye cuando se cumple el criterio de convergencia de la solución, ec. 4.38.

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Simulación Numérica de Yacimientosmmc2.geofisica.unam.mx/cursos//sny/SNY_Cap4.pdf · 2 4. Simulación Numérica de Flujo Monofásico Unidimensional 4.1 Considerar: • Flujo lineal