Simulación y Optimización de Procesos Químicos … · Simulación y Optimización de Procesos Químicos. José A. Caballero Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No

Simulación y Optimización de Procesos Químicos

Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso

Transparencias 1.

Octubre de 2009. José A. Caballero

Matrices de IncidenciaMatrices Booleanas de Relación (Adyacencia)Matriz de alcanzabilidadDescomposición Matricial

Secuencias de cálculoRedes cíclicas máximas

Localización de redes cíclicas máximasAlgoritmo de Sargent y WesterbergAlgoritmo de Tarjan (sólo ejemplo para demostración interactiva)

Localización de Conjuntos de corrientes de corteAlgoritmo general de Pho y LapidusRegla de reemplazamientoAlgoritmo de Barkley y Motard Algoritmo de Updahe y Grens

Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.

José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.

Matriz de Incidencia

V1

V2 V3

V4

V5

1 2

3

4 56

115

14

1113

11112

111

654321

+++

−−+−−−+

+−

V

V

V

V

V

Vértices

Aristas

V1

V2 V3

V4

V5

1 2

3

4 56


Matriz Booleana de Relación

1 2

3

4 5

6 7 ·······7

·······6

1······5

·1·····4

··11···3

····1··2

····1··1

7654321

=R



1 2

3

4 5

6 7 ·······7

·······6

·······5

·······4

11·····3

··11···2

··11···1

7654321

2 =R



1 2

3

4 5

6 7·······7

·······6

·······5

·······4

·······3

11·····2

11·····1

7654321

3 =R



1 2

3

4 5

6 7

4 0R =

Sistema acíclico

0N mR + =N = camino más largo del dígrafo

m ≥1



1 2 3 4

1 2 3 4

1 · 1 · ·

2 · · 1 ·

3 · 1 · 1

4 · · · ·

R = 2

1 2 3 4

1 · · 1 ·

2 · 1 · 1

3 · · 1 ·

4 · · · ·

R =


3

1 2 3 4

1 · 1 · 1

2 · · 1 ·

3 · 1 · 1

4 · · · ·

R = 4

1 2 3 4

1 · · 1 ·

2 · 1 · 1

3 · · 1 ·

4 · · · ·

R =


1 2 3 4



1 2 3 4

Sistema cíclico:

Aparecerán unos en la diagonal principal de la matriz booleana de relación para:

NpRN = longitud del ciclo

p = Número entero positivo


Matriz de Alcanzabilidad

1 2 3 4

* 2 3

1 2 3 4

1 · 1 1 1

... 2 · 1 1 1

3 · 1 1 1

4 · · · ·

NR R R R R= ∪ ∪ ∪ ∪ =

Aparecerá un 1 en la posición (i,j) si el nodo j es alcanzable a partir del nodo i. Es decir existe un camino dirigido desde el nodo i hasta el nodo j.


Ciclos Máximos

1 2 3 4

*

1 2 3 4

1 · 1 1 1

2 · 1 1 1

3 · 1 1 1

4 · · · ·

R =

( )*

1 2 3 4

1 · · · ·

2 1 1 1 ·

3 1 1 1 ·

4 1 1 1 ·

TR =

( )* *

1 2 3 4

1 · · · ·

2 · 1 1 ·

3 · 1 1 ·

4 · · · ·

TR R∩ =

Redes cíclicas máximas. Componentes fuertes del dígrafo


Algoritmo de descomposición matricial

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

··········10

··········9

··1···1·····8

1·1·······7

···1······6

·····1·····5

·····1····4

····1···1·3

········1··2

·······11·1

10987654321

=R

1.- Búsqueda de columnas sin incidencias: eliminación de columna y fila correspondientes

LISTA: 4, 1 (ó 1,4)



2

35

6

7

8

9

10

········10

········9

·1··1···8

1·1·····7

···1····6

····1···5

····1··13

······1·2

109876532

Repetir búsqueda de columnas de ceros tantas veces como sea necesario

LISTA: 4, 1, 5


2

3

6

7

8

9

10

·······10

·······9

·1··1··8

1·1····7

···1···6

····1·13

·····1·2

10987632


2.- Búsqueda de filas sin incidencias: eliminación de fila y columna correspondientes

LISTA: 4, 1, 5… …9, 10



2

3

6

7

8

2 3 6 7 8

2 · 1 · · ·

3 1 · 1 · ·

6 · · · 1 ·

7 · · · · 1

8 · · 1 · ·

R=

3.- Localización de ciclos máximos:Matriz de alcanzabilidad e intersección con la traspuesta

111··8

111··7

111··6

111113

111112

87632

* =R( )

111··8

111··7

111··6

···113

···112

87632

** =∩T

RR

Ciclo 1 (C1) = Nodos 2,3; Ciclo 2 (C2) = Nodos 6,7,8



3.- Condensación de ciclos:

2

3

6

7

8

C1

C2

C1

C2


4.- Repetir paso 1 hasta que toda la matriz desaparezca

··)8,7,6(2

1·)3.2(1)8,7,6(

2

)3,2(

1

C

C

CC


C1

C2

2(6,7,8)

2(6,7,8) ·

C

C

4

15, C1(2,3), C2(6,7,8)

9

10

Orden de Cálculo


Localización de redes cíclicas máximas

Algoritmo de Sargent y Westerberg

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 121314

Secuencia 14 – 13 – 9 – 5 – 3 – 2 – 13 Criterio de parada II




1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 121314

Condensación de ciclo


1 4

6 7 8

10 11 1214

C1



Secuencia 14 – C1 – 1 Criterio de parada I

Eliminar 14 último en la secuencia de cálculoEliminar 1 primero en la secuencia de cálculo

Condensación del ciclo localizado


4

6 7 8

10 11 12

C1



Secuencia 4 – C1 – 8 – 7 – 6 – C1 Criterio de parada II




4

10 11 12

C2Condensación de ciclo

Secuencia 4 – C2 – 11 – 10 – C2 Criterio de parada II




Condensación de ciclo4

12C3

Secuencia 4 – C3 – 12 Criterio de parada I

Orden de Cálculo: 1, 12, C3, 4, 14



1 2 3 4 5

67

121

321

4321

73

4321

743

321

5743

321

64,7

5743

321

654,7

743

321

65743, 4

321

657433

21

21 1

Ciclo Máximo6, 5, 7, 4, 3

Algoritmo de Tarjan



Algoritmo de Tarjan

1 2 4 5 7

63

8

121

421

5421

75421

875421

75421

64

75421

6

74

5421

6

754

421

6

7544

21

21

31

21

3

21

1

3

211

Ciclo máximo6, 7, 5, 4Ciclos Máximos:

6, 7, 5, 43, 2, 1

Ciclo Máximo3, 2, 1



Algoritmo de Tarjan (para demostración interactiva)

1 2 3 4 5

6 7 8 109


A B

C D E F

G H I J K

L NM

O P


Demostración del Algoritmo de Tarjan


Corrientes de Corte

12

3

4

5 6

7

8

K L

O

S

M

K L M S K1 2 7 8

L3

O S K4 6 8

K5

Ciclos menores {2,3}; {1,2,7,8}, {1,4,5}, {1,4,6,8}

Algoritmo de Pho y Lapidus

1. Localización de todos los ciclos menores del sistema


12

3

4

5 6

7

8

K L

O

S

M

12

3

4

5 6

7

8

K L

O

S

M

12

3

4

5 6

7

8

K L

O

S

M

12

3

4

5 6

7

8

K L

O

S

M

Objetivo:

Localizar un conjunto de corrientes de corte (corrientes que se debensuponer) de tal forma que se ‘corten’ todos los ciclos menores del sistema:

Localizar el conjunto mínimo de corrientes de corteLocalizar conjuntos de corrientes no redundantesLocalizar conjuntos con menos número total de variables…

Corrientes de Corte



1. Ejemplo de conjunto redundante de corrientes de corte

12

3

4

5 6

7

8

K L

O

S

M

Corrientes de Corte



2. Matriz de ciclos

Corrientes de Corte

12

3

4

5 6

7

8

K L

O

S

M

Ciclos menores {2,3}; {1,2,7,8}, {1,4,5}, {1,4,6,8}

1 2 3 4 5 6 7 8

C1 1 1

C2 1 1 1 1

C3 1 1 1

C4 1 1 1 1

Corrientes

Ciclos



3. Problema de Cobertura de Conjunto (Set Covering Problem)

Corrientes de Corte

,

1

j i ji

j Conjunto mínimow a Conjunto no redundante

∀=∑

, ,i ja elemento i j de la matriz=

,

min :

. . 1

j jj J

i j jj J

Z w y

s a a y i C

∈

∈

=

≥ ∀ ∈

∑

∑

1

0j

Se selecciona la corriente jy

No se selecciona la corriente j

=

{ }{ }

| es una corriente

| es un ciclo

J j j

C i i

=

=

Conjuntos Parámetros (datos)

Variables



Reglas de reducción de Garfinkel y Nemhauser

Corrientes de Corte

Si la fila ri tiene un único elemento distinto de cero

Si la fila k domina a la fila l

Columna k domina a columna j y wk ≤ wj

O bienUn conjunto de columnas k dominan a la columna j y ∑wk ≤ wj

Eliminar columna j

Eliminar la fila k

Seleccionar dicha fila



Localización de un conjunto mínimo (Reglas de Garfinkel y Nemhauser)

Corrientes de Corte

1 2 3 4 5 6 7 8

C1 1 1

C2 1 1 1 1

C3 1 1 1

C4 1 1 1 1

1.- No hay autolazos.

2.- No hay filas dominantes

3.- Columna 1 domina a columnas 4, 5, 6, 7, 8Columna 2 domina a columnas 3, 7, 8



Localización de un conjunto mínimo (Reglas de Garfinkel y Nemhauser)

Corrientes de Corte

1 2

C1 1

C2 1 1

C3 1

C4 1

Fila 2 domina a filas 1, 3, 4Fila 4 domina a fila 3

1 2

C1 1

C3 1

Corrientes de corte 1, 2



Localización de un conjunto no redundante (Reglas de Garfinkel y Nemhauser)

Corrientes de Corte

3 2 1 2 1 1 1 2

1 2 3 4 5 6 7 8

C1 1 1

C2 1 1 1 1

C3 1 1 1

C4 1 1 1 1

w

1.- No hay autolazos.

2.- No hay filas dominantes

3.- Columnas 3 y 7 dominan a columna 2Columnas 6 y 7 dominan a columna 8Columnas 6, 5 y 7 dominan a columna 1Columnas 5 y 6 dominan a columna 4


12

3

4

5 6

7

8

K L

O

S

M

Regla de reemplazamiento

Corrientes de Corte

(3, 5, 6, 7)

{3,7}

(2, 5, 6)

{5,6}

(3, 4, 7)

{5,6}

(2, 4)

(1, 3)

{2,4}

{1}

(5, 8, 3)

{8}

(5,6,7,3)*

{3,7}

(2, 4)*

Conjuntos no redundantes:

(3,5,6,7), (2,5,6), (2,4), (1,3), (5,8,3), (3,4,7)

Conjunto inicial de corrientes de corte no

redundante


Corrientes de Corte

Algoritmo de Barkley y Motard

A

C

B

D E

1 2

3

4

6

7

8

5

Dígrafo Primal

1 2 3 4

5 6 7 8

AA

C

CB

BC

DE

C

DE

Dígrafo Dual


Corrientes de Corte


Nodos Precursores

2, 4

1

1

3,8

2,4

7

5, 6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

5 6 7 8

AA

C

CB

BC

DE

C

DE

1 2 3 4

5 6 7 8

AA

C

CB

BC

DE

C

DE


Corrientes de Corte


Nodos Precursores Intervalos

2, 4

1

1

3,8

2,4

7

5, 6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1 (2, 3)

4 ( )

5 ( )

7 (6, 8)

1

5 7

4

Dígrafo Dual Reducido


Corrientes de Corte



2, 4

1

1

3,8

2,4

7

5, 6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1 (2, 3)

4 ( )

5 ( )

7 (6, 8)

Precursores

1, 4

1, 7

1, 4

5, 7

Autolazo

Autolazo

1, 7Corrientes de Corte


Corrientes de Corte



2, 4

1

1

3,8

2,4

7

5, 6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1 (2, 3)

4 ( )

5 ( )

7 (6, 8)

Precursores

1, 4

1, 7

1, 4

5, 7

-----

-----

-----

-----

Nodo 4 se queda sin precursores


Corrientes de Corte



2, 4

1

1

3,8

2,4

7

5, 6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1 (2, 3)

4 ( )

5 ( )

7 (6, 8)

Precursores

1, 4

1, 7

1, 4

5, 7

-----

-----

-----

-----

No quedan nodosFIN

Corrientes de Corte que forman conjunto mínimo

1, 7


A B C

D E F G

H I J K L M

N O P Q R S

1 2

3

45

6

7

8

9 10 11 12

13

14

15 16 17

18 19

20 21

22

23

2425

26

27

28

29

30

31

Corrientes de Corte



Corrientes de CorteAlgoritmo de Barkley y Motard

123456

78910111213141516

171819202122232425262728

2930

31

Nodos NodosPrec.

515567, 18

8, 202, 3, 9108, 208, 20118, 2041415

Prec.

22, 2516, 1722, 25198, 20212122, 2524, 2724, 2728(12, 13, 23, 26, 31)28(12, 13, 2326, 31)30, 29

Intervalos

6(5, 1, 2, 3, 4,14, 15, 16)

7 ( )8 ( )

10(9)11(12)

13( )

Intervalos

17( )18( )19(20)

21(22, 23)

24( )25( )26( )

28(27, 29)

30( )

31( )

Prec.

7, 18

8, 196, 10

8, 198, 19

8, 19

Prec.

21, 256, 1721, 25

8, 19

21, 2524, 2824, 28

(11, 13, 2126, 31)

(11, 13, 2126, 31)30, 28


Corrientes de Corte


Intervalos

6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)24 ( )25 ( )26 ( )28 (27, 29)30 ( )31 ( )

Precursores

7, 188, 196, 108, 198, 198, 1921, 256, 1721, 258, 1921, 2524, 2824, 2811, 13, 21, 26, 3111, 13, 21, 26, 3130, 28

1

1

22

33

44

55 6

677

Pares


Corrientes de Corte


Intervalos

6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)24 ( )25 ( )26 ( )28 (27, 29)30 ( )31 ( )

Precursores

7, 188, 196, 108, 198, 198, 1921, 256, 1721, 258, 1921, 2524, 2824, 2811, 13, 21, 26, 3111, 13, 21, 26, 3130, 28

1

1

22

33

44

55 6

677

Pares

Entre la corriente 28 y la 31Se selecciona aquella queaparece más veces entre losprecursores:

28 aparece 3 veces31 aparece 2 veces

Se selecciona como primeracorriente de corte la 28


Corrientes de Corte


Intervalos

6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)24 ( )25 ( )26 ( )

30 ( )31 ( )

Precursores

7, 188, 196, 108, 198, 198, 1921, 256, 1721, 258, 1921, 252424

11, 13, 21, 26, 3130

Intervalos

6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)24 (25, 26)

30 ( 31)

Precursores

7, 188, 196, 108, 198, 198, 1921, 246, 1721, 248, 1921, 24

11, 13, 21, 24, 30

Autolazo

Autolazo

Las corrientes 24 y 30 son corrientes de corte.

Corrientes de corte hasta el momento 28, 24, 30


Corrientes de Corte


Intervalos

6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)

Precursores

7, 188, 196, 108, 198, 198, 19216, 17218, 19

Intervalos

6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )

18 ( )

21 (22, 23,17, 19, 20)

Precursores

7, 188, 216, 108, 218, 218, 21

6, 21

8, 21

Lista de corrientes de corte hasta el momento: 28, 24, 30, 21


Corrientes de Corte


Intervalos

6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )

18 ( )

Precursores

7, 1886, 10888

6

Intervalos

6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16,18)

8 (7, 10, 9, 11, 12, 13)

Precursores

8, 6

6, 8

Lista de final corrientes de corte : 28, 24, 30, 21, 6, 8


Corrientes de Corte


21 3 4

5 6

7

8

9

10

AB C D E

CorrientesEntrada

1, 9, 7

8, 10

2, 5

3

4, 6

Unidad(Nodo)

A

B

C

D

E

CorrientesSalida

2

5, 1

3, 6

4, 7, 8

9, 10

3 4, 7, 8D6 9, 10

E B 5, 1A

2C

3, 6


Corrientes de Corte

A

C

D

E

B

1

3 4

5

6 7

8

13

3, 7, 13

1, 4, 7, 13

(3)

3, 6, 8, 13

(7)

1, 4, 6, 8, 13

(7)

4, 7, 13, 13

(1)

4, 6, 8, 13

(7)

3, 7

(5, 6, 13)

5, 6, 13

(4, 8)

1, 4, 7

(3)

3, 6, 8

(7)

4, 7, 13

(1)1, 4, 6, 8

(7)

4, 6, 8, 13

(1)

1, 5, 6

(4, 8)

5, 6, 13

(1) 1, 4, 6, 8

(3)

Redundancia.Eliminar resto ramas abiertas y se continúa

desde aquí.

Algoritmo de Upadhye y Grens

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Simulación y Optimización de Procesos Químicos … · Simulación y Optimización de Procesos Químicos. José A. Caballero Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No