SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL · PDF fileSIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN ... KATA PENGANTAR ... 4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas

SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN

MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI

VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA

SKRIPSI

Disusun Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

di Jurusan Matematika

Oleh

RISYA RADHIANTI

208700551

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

2012

HALAMAN PENGESAHAN

SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN

MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI


Oleh :

RISYA RADHIANTI

208700551

Menyetujui :

Pembimbing I,

Diny Zulkarnaen, M.Si

NIP.198212132011011008

Pembimbing II,

Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom

NIP.197206091999031003

Lulus diuji tanggal 30 Agustus 2012

Penguji I,

Siti Julaeha, M.Si

NIP.198301202006042002

Penguji II,

Rini Cahyandari, M.Si

NIP.198201152009122003

Mengetahui :

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,

Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP

NIP.1985404241985031004

Ketua Jurusan Matematika,

Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT

NIP.197301122000032001

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Saya yang bertandatangan di bawah ini :

Nama : Risya Radhianti

NIM : 208700551

Fakultas/Jurusan : Sains dan Teknologi/Matematika

Judul Penelitian : SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL

MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI


Menyatakan sebenar-benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terdapat

unsur-unsur penjiplakan karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh

orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan

dalam daftar pustaka. Apabila ternyata hasil terbukti terdapat unsur jiplakan, saya

bersedia mempertanggungjawabkannya serta diproses sesuai peraturan yang

berlaku.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.

Bandung, 30 Agustus 2012

Yang membuat pernyataan

Risya Radhianti

NIM. 208700551

“Hidup adalah soal keberanian,

menghadapi jang tanda tanja

tanpa kita bisa mengerti, tanpa kita bisa menawar

terimalah, dan hadapilah”

-Soe Hok Gie-

Setiap orang pernah melewati kesulitan,

begitupun dengan saya..

Skripsi ini dipersembahkan untukSkripsi ini dipersembahkan untukSkripsi ini dipersembahkan untukSkripsi ini dipersembahkan untuk

Mamah Mamah Mamah Mamah dan Bdan Bdan Bdan Bapak tercinta yang ada di taman Firdausapak tercinta yang ada di taman Firdausapak tercinta yang ada di taman Firdausapak tercinta yang ada di taman Firdaus

Bunda, Teh Dhita dan De AlamBunda, Teh Dhita dan De AlamBunda, Teh Dhita dan De AlamBunda, Teh Dhita dan De Alam tersayangtersayangtersayangtersayang

ABSTRAK

2007, Nuning et al membangun sebuah model matematika mengenai

proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Model ini menceritakan

tentang fenomena virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah

manusia. Dimana pada model ini, populasi sel rentan akan bertambah karena

adanya kelahiran murni dari populasi tersebut. Selain adanya kelahiran, populasi

ini juga dipengaruhi oleh kematian murni dan banyaknya virus dengue yang

menginfeksi populasinya sehingga menyebabkan populasi sel rentan ini

berkurang. Berkurangnya populasi sel rentan karena penginfeksian yang

dilakukan oleh virus dengue menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah.

Populasi sel terinfeksi ini juga dipengaruhi kematian murni yang mengakibatkan

berkurangnya populasi pada sel terinfeksi. Sedangkan virus dengue dipengaruhi

oleh duplikasi virus-virus baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi yang

menyebabkan populasi virusnya bertambah. Virus dengue juga dipengaruhi oleh

kematian murni dan kematian yang disebabkan oleh sel T yang mengakibatkan

populasinya berkurang. Virus dengue juga berkurang karena adanya partikel virus

yang menginfeksi sel rentan. Hasil dari analisis yang telah dilakukan terhadap

model ini diperoleh dua titik equilibrium yaitu pada keadaan bebas virus dan pada

keadaan terdapat virus bebas. Adapun hasil dari simulasi yang diperoleh dari

model ini dengan menggunakan metode Euler menghasilkan bahwa pada model

yang titik equilibriumnya bebas dari virus, mulai dari hari ke-26 sampai

seterusnya populasi virus dengue ini kemungkinan akan menghilang dari

peredaran darah manusia.

Kata Kunci : Model Matematika, DBD, Titik Equilibrium, Basic

Reproductive Ratio, Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz, Metode Euler.

ABSTRACT

2007, Nuning et al built the mathematical model transmission of dengue

virus in the human body. The model tell about the phenomenon of dengue virus

infects susceptible cells in the human circulatory system. Where on this model,

the susceptible cell population will increase because of the pure birth of the

population. In addition to the birth, the population is also influenced by the pure

death and the number of dengue virus that infects the population, causing

vulnerable cell population is reduced. Reduced cell populations vulnerable

because it was infected by dengue virus causes infected cell population increases.

Population of infected cells is also influenced by the pure death resulting

reduction in the population in infected cells. While dengue virus is influenced by

the duplication of new viruses are produced by cells infected with the virus that

causes the population to grow. Dengue virus is also influenced by the pure death

and death caused by T cells resulting in reduced population. Dengue virus is also

reduced because of the virus particles to infect susceptible cells. The results of the

analysis has been done on this model gained two points of equilibrium. The

results of the simulations obtained from this model using Euler's method produces

a point that the model of virus free equilibrium, from day 26 onwards dengue

virus population is likely to disappear from the human circulatory system.

Keyword : Mathematical Model, DBD, Equilibrium Points, Basic

Reproductive Ratio, Criteria Stability of Routh-Hurwitz, Euler's Method.

i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, alhamdulillahhirrobbil’alamin. Puji dan syukur penulis

panjatkan kepada Allah SWT yang selalu memberikan cinta dan kasihNya

sehingga penulis sanggup menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul :

SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA

MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH

MANUSIA.

Selesainya tugas akhir ini tak lepas dari berbagai pihak yang telah

membantu. Baik dari moril, materi, dan dorongan semangat. Untuk itu, pada

kesempatan kali ini penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada yang

terhormat :

1. Alm. M. Uu Sunarsa (bapak), Almh. Tri Sekarwati (mamah), Siti

Aisyah (bunda), Dhita Windi Wardani (kakak) dan Abdul Salam

Mutahary (adik) dan keluarga tercinta yang tidak bisa penulis sebutkan

satu persatu, terimakasih atas segala bantuan, pengorbanan dan

dorongan motivasi yang tiada terkira kepada penulis sehingga penulis

dapat merampungkan tugas akhir ini.

2. Bapak Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP, selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi.

3. Ibu Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si.,MT, selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi.

4. Ibu Siti Julaeha, M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah

memberikan arahan dan motivasi kepada penulis.

ii

5. Bapak Diny Zulkarnaen, M.Si dan Bapak Arief Fatchul Huda S.Si.,

M.Kom., selaku dosen pembimbing I dan II dalam penyelesaian tugas

akhir ini.

6. Dosen ITB, Ibu Dr. Nuning Nuraini, selaku dosen pembimbing non-

formal dalam penyelesaian tugas akhir ini.

7. Staf pengajar di Fakultas Sains dan Teknologi khususnya di

Matematika Sains, terimakasih atas ilmu yang bapak ibu sampaikan.

8. Keluarga besar di Bandung atas tempat tinggal amannya.

9. Keluarga besar Drs.Moch Arifin khususnya Ibu Rachmawati, S.Pd dan

Arif Bakti Nugraha, ST yang selalu memberikan semangat dan

motivasi untuk terus bangkit.

10. Teman-teman dari dalam dan luar universitas : Dian Nuraiman S.Si,

Riad Taufik Lazuardi, Asep Iwang, Adib Pratama, Hasanah

Nurfadillah Hani, Siti Fatimah, Lela Nurlaila, Shelvi Alfianti, Fahmi

Hasanudin, Muhamad Rauful Mizan.

11. Teman-teman Matematika Sains khususnya teman-teman seperjuangan

Matematika 2008 : Bibi Ila, Ami, Yuyu, Husnul, Karlinah, Fatimah,

Ninis, Fanny, Tinus, Jejen, Rima, Dzikri, Revi, Maman, Haqi, Ubay,

Femi, Eva, Imas, Wila, Ipah, Ade, Nesa, Rahma, Tika, Lina, Ali, Aji,

Permadi, Febrian, Asep, Lulu, Wildan, Agam. Terimakasih untuk

motivasinya.

12. Pihak-pihak lain yang telah membantu.

Mudah-mudahan segala amal baiknya dilipat gandakan oleh Allah SWT.

Jazakumullahu khairan katsira. Amiin.

Bandung, Agustus 2012

Penulis

iii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERNYATAAN

HALAMAN PERSEMBAHAN

ABSTRAK

ABSTRACT

KATA PENGANTAR …………………………………………………….

DAFTAR ISI ……………………………………………………………….

DAFTAR GAMBAR ………………………………………………….......

DAFTAR TABEL …………………………………………………………

DAFTAR SINGKATAN ………………………………………………….

DAFTAR ISTILAH ……………………………………………………….

DAFTAR LAMPIRAN ……………………………………………………

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah ……………………………………...

1.2 Rumusan Masalah …………………………………………….

1.3 Batasan Masalah ………………………...……………………

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian ………………...………..……

1.5 Metodologi Penelitian ………..……………………………….

1.6 Sistematika Penulisan ………………………………………...

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial ………………………………..

2.2 Persamaan Diferensial Autonomous …………………………

2.3 Titik Equilibrium ……………………………………………..

2.4 Pelinearan …………………………………………………….

2.5 Stabilitas ……………………………………………………...

2.6 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz …………………………..

2.7 Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial Biasa ………

i

iii

v

vii

viii

ix

xi

1

4

4

5

5

5

7

9

9

10

11

13

15

iv

2.8 Model Matematika …………………………………………...

BAB III ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE

DI DALAM TUBUH MANUSIA

3.1 Hal-Hal yang Mempengaruhi Model ………………………...

3.2 Formulasi Model ……………………………………………..

3.3 Menentukan Titik Equilibrium ……………………………….

3.4 Basic Reproductive Ratio …..……………………………...…

3.5 Kestabilan Titik Equilibrium ………………………………...

BAB IV SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE


4.1 Simulasi dalam Keadaan Bebas Virus ……………………….

4.2 Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas ……………..

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan …………………………………………………..

5.2 Saran ………………………………………………………….

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………..

RIWAYAT HIDUP

LAMPIRAN

18

20

23

24

28

29

41

46

64

67

68

v

DAFTAR GAMBAR

Halaman

3.1. Diagram Proses Transmisi Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia ....

4.1. Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat �� = 0.0546 < 1dan0 ≤ ≤ 30 …..…………………………..


Saat �� = 0.0546 < 1dan0 ≤ ≤ 755 …..…………………………

4.3. Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat �� = 0.0546 < 1dan0 ≤ ≤ 30 …..…………………………..


Saat �� = 0.0546 < 1dan0 ≤ ≤ 755 ..……………………………

4.5. Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Saat �� = 0.0546 < 1dan0 ≤ ≤ 30 ………………………………


Saat �� = 0.0546 < 1dan0 ≤ ≤ 755 ..…..……………………..…


Saat �� = 8.0220 > 1dan0 ≤ ≤ 30 …..………………………..…


Saat �� = 8.0220 > 1dan0 ≤ ≤ 3000 …..………………………..


Saat �� = 8.0220 > 1dan0 ≤ ≤ 30 ..……………………………..


Saat �� = 8.0220 > 1dan0 ≤ ≤ 3000 …………………………....


Saat �� = 8.0220 > 1dan0 ≤ ≤ 30 ………………………………


Saat �� = 8.0220 > 1dan0 ≤ ≤ 3000 …………………………....

23

42

42

43

44

45

45

47

48

49

49

50

50

vi

4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas

Dimana �� = 8.0220 > 1 ……………………………….....................


Saat �� = 35.3888 > 1dan0 ≤ ≤ 30 …..……………..…………..


Saat �� = 35.3888 > 1dan0 ≤ ≤ 3000 …..……………..……….


Saat �� = 35.3888 > 1dan0 ≤ ≤ 30 ……..…………..…………..


Saat �� = 35.3888 > 1dan0 ≤ ≤ 3000 …..…………………...…


Saat �� = 35.3888 > 1dan0 ≤ ≤ 30 …..…………………..……..


Saat �� = 35.3888 > 1dan0 ≤ ≤ 3000 …..……………..……….

4.20 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas

Dimana �� = 35.3888 > 1 ……………………………......................

4.21 Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 3000

dimana �( )� merupakan sel rentan dengan �� = 8.0220 > 1 dan

�( )� merupakan sel rentan dengan �� = 35.3888 > 1

(a) Dalam Bentuk Grafik (b) Dalam Bentuk Data ..…….....................

4.21 Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 600

dimana �( )� merupakan sel terinfeksi dengan �� = 8.0220 > 1 dan

�( )� merupakan sel terinfeksi dengan �� = 35.3888 > 1


4.23 Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 300

dimana �( )� merupakan virus dengue dengan �� = 8.0220 > 1 dan

�( )� merupakan virus dengue dengan �� = 35.3888 > 1


52

54

54

55

56

57

57

59

60

61

62

vii

DAFTAR TABEL

Halaman

2.1. Sifat Stabilitas Titik Equilibrium ……………………………………....

4.1. Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� < 1 …………………….

4.2. Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� = 8.0220 > 1 …………

4.3. Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� = 35.3888 > 1 ………..

13

41

47

53

viii

DAFTAR SINGKATAN

DEN-1

DEN-2

DEN-3

DEN-4

DSS

IVP

VFE

= Dengue-1

= Dengue-2

= Dengue-3

= Dengue-4

= Dengue Shock Syndrome

= Initial Value Problem

= Virus Free Equilibrium

ix

DAFTAR ISTILAH

Antibodi

Antigen

Enzim

Fase Viremia

Makrofag

Parasit

Sel B

Sel Inang

Sel Plasma

Sel Rentan

Sel T

= Zat yang dibentuk dalam darah untuk

memusnahkan bakteri virus atau untuk melawan

toksin yang dihasilkan oleh bakteri

= Suatu zat yang dapat menginduksi respon imun

yang dapat dideteksi bila masuk kedalam hewan

= Molekul protein yang kompleks yang dihasilkan

oleh sel hidup dan bekerja sebagai katalisator

dalam berbagai proses kimia di dalam tubuh

makhluk hidup

= Fase pada demam berdarah dimana rentang

waktunya dua hari sebelum demam timbul sampai

lima hari setelah demam timbul

= Sel besar yang amoeboid dan terdapat dalam

jaringan ikat

= Organisme yang hidup dan menghisap makanan

dari organisme lain yang ditempelinya

= Jenis limfosit yang dibentuk di bursa atau sumsum

tulang dan yang dianggap berperan pada imunitas

humoral

= Sel yang ditempati oleh virus

= Transformasi sel B, menghasilkan antibodi

terhadap antigen tertentu yang membuat sel B

tersensitisasi

= Sel yang belum diinfeksi virus

= Limfosit T, masa embrio berasal dari timus,

bekerja merespon imun seluler dan menolong sel

B tersensitisasi respon imun jumoral

x

Sel Terinfeksi

Sel T Sitotoksik

Serotype

Siklus Litik

Syok Hipovolemik

Vector

Virologi

Virulen

Virus

Virus Dengue

= Sel yang sudah diinfeksi virus

= Suatu jenis limfosit yang membunuh sel yang

terinfeksi dan sel-sel kanker

= Tipe

= Siklus reproduktif virus yang pada akhirnya

menyebabkan kematian sel inang

= Syok yang disebabkan karena banyaknya volume

plasma darah

= Perantara

= Ilmu yang mempelajari tentang virus

= Bersifat mematikan

= Mikroorganisme yang tidak dapat dilihat dengan

menggunakan mikoskop biasa, hanya dapat dilihat

dengan menggunakan mikroskop electron, yang

menyebabkan dan menularkan penyakit

= Virus yang menyebabkan penyakit demam

berdarah dengue

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A

Lampiran B

Lampiran C

Lampiran D

Lampiran E

Hasil Eksekusi Numerik �� = 0.0546 < 1 Saat ∆ = 0.1

Script Syntax �� = 0.0546 < 1 Saat ∆ = 0.1

Script Syntax �� = 8.0220 > 1 Saat ∆ = 0.05

Script Syntax �� = 35.3888 > 1 Saat ∆ = 0.05

Pengecekan Titik Equilibrium

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

¨β Î) ©!$# Ÿω ÿÄ÷∏ tGó¡ tƒ β r& z> Î�ôØ o„ WξsVtΒ $̈Β Zπ |Êθ ãè t/ $yϑ sù $ yγs% öθsù 4 $̈Β r' sù šÏ% ©!$# (#θãΨ tΒ#u

tβθ ßϑn= ÷èuŠ sù çµ̄Ρ r& ‘,ys ø9 $# ÏΒ öΝÎγÎn/ §‘ ( $̈Β r& uρ t Ï% ©!$# (#ρã�x�Ÿ2 šχθä9θà) u‹sù !#sŒ$ tΒ yŠ#u‘r& ª!$# #x‹≈yγÎ/

WξsVtΒ ¢ ‘≅ÅÒ ãƒ ÏµÎ/ #Z�#ÏVŸ2 “ Ï‰ ôγ tƒuρ ÏµÎ/ #Z�#ÏWx. 4 $ tΒuρ ‘≅ÅÒãƒ ÿÏµ Î/ �ω Î) tÉ) Å¡≈x� ø9 $# ∩⊄∉∪

“Sesungguhnya Allah tiada segan membuat perumpamaan berupa nyamuk atau

yang lebih rendah dari itu. Adapun orang-orang yang beriman, Maka mereka

yakin bahwa perumpamaan itu benar dari Tuhan mereka, tetapi mereka yang

kafir mengatakan: "Apakah maksud Allah menjadikan ini untuk perumpamaan?."

Dengan perumpamaan itu banyak orang yang disesatkan Allah, dan dengan

perumpamaan itu (pula) banyak orang yang diberi-Nya petunjuk. Dan tidak ada

yang disesatkan Allah kecuali orang-orang yang fasik” (Q.S Al-Baqarah : 26)

Sebagai hambaNya yang beriman, sudah sepatutnya meyakini bahwa

perumpamaan itu adalah benar dari Allah. Untuk lebih meyakinkannya, ternyata

pada makhluk yang sekecil nyamukpun bisa menambah keimanan seseorang

kepada Sang Khaliq. Dari sana didapatkan bahwa, sesuatu yang Allah ciptakan di

dunia ini tidaklah sia-sia. Seperti halnya pada makhluk kecil ini, yaitu nyamuk.

Ternyata, pada nyamuk yang kecil ini, Allah menitipkan virus yang dapat

menyebabkan penyakit berbahaya bagi manusia, salah satunya penyakit demam

berdarah. Lewat peranan nyamuk yang menjadi vector pembawa suatu penyakit,

ternyata hal ini dapat dijadikan kajian dalam tugas akhir. Dalam tugas akhir ini

akan dikaji mengenai bagaimana proses perpindahan virus dengue di dalam tubuh

manusia yang menyebabkan penyakit demam berdarah.

Penyakit demam berdarah dengue merupakan penyakit menular yang

ditemukan di daerah tropis dan subtropis. Penyakit ini pertama kali ditemukan di

Manila, Filipina pada tahun 1953 [8]. Untuk kasus di Indonesia sendiri, penyakit

2

ini pertama kali ditemukan di Surabaya pada tahun 1968, akan tetapi konfirmasi

virologis baru didapat pada tahun 1972. Sejak saat itu, penyakit ini mulai

menyebar ke berbagai daerah, sehingga sampai tahun 1980 seluruh provinsi di

Indonesia kecuali Timor-Timur telah terjangkit penyakit ini.

Penyakit ini disebabkan oleh virus dengue. Dimana virus ini hanya dapat

menular melalui gigitan nyamuk, oleh karenanya penyakit ini termasuk kelompok

Anthropod Borne Diseases. Virus dengue ini memiliki empat serotype berbeda,

yaitu Dengue-1 (DEN-1), Dengue-2 (DEN-2), Dengue-3 (DEN-3), dan Dengue-4

(DEN-4).

Virus dengue ini dibawa oleh vector, yaitu nyamuk Aedes Aegypti dan

nyamuk Aedes Albopictus. Namun, vector utama pembawa virus dengue ini

adalah nyamuk Aedes Aegypti. Virus berasal dari bahasa latin yang berarti racun

atau bahan yang mematikan. Virus merupakan parasit berukuran microskopik

yang tidak memiliki perlengkapan selular untuk bereproduksi sendiri. Maka untuk

melangsungkan hidupnya, virus mencari sel inang untuk ditempati. Ketika virus

mendapatkan sel inang untuk melangsungkan hidupnya, virus akan bereproduksi

dan menghasilkan virus-virus baru.

Masa inkubasi dari infeksi virus dengue ini berkisar 7 sampai 10 hari [10].

Fase viremia terjadi ketika pasien mulai demam dan terinfeksi. Setelah itu, ada

dua hal yang mungkin dialami oleh pasien. Kemungkinan pertama, pasien akan

pulih dan kemungkinan terakhir adalah pasien akan mengalami kegagalan

sirkulasi darah yang kemudian pasien jatuh dalam syok hipovolemik akibat

kebocoran plasma. Keadaan seperti ini disebut Dengue Shock Syndrome (DSS)

[9].

Untuk memperkirakan lamanya masa viremia, para peneliti

mengasumsikan viremia dimulai pada hari sebelum terserang penyakit dan

berakhir pada hari terakhir dimana virus tersebut terdeteksi. Sebagai contoh, jika

seorang anak divonis terserang penyakit pada hari ketiga dan virus terdeteksi

hingga hari kelima pada masa terjangkit, maka pada hari ketiga tersebut

sebenarnya lamanya viremia sudah terjadi selama 5 hari. Sehingga masa dari

3

viremia pada dengue berjarak dari 1 sampai 7 hari [10]. Secara sederhananya,

masa viremia terjadi saat 2 hari sebelum demam timbul dan 5 hari setelah demam

timbul.

Sebenarnya, pada saat virus masuk ke dalam tubuh, tubuh tidak akan diam

saja. Karena Allah menciptakan manusia dengan sangat sempurna dengan

diberikannya sistem imun dalam tubuh yang akan memberikan perlawanan

dengan menghancurkan antigen yang masuk atau hanya sekedar menghambat

pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya.

Maka manusia kembali disadarkan oleh firman Allah dalam Q.S Ar-

Rahman ayat 16 yang berbunyi.

Äd“r' Î6sù Ï Iω# u $yϑ ä3În/ u‘ Èβ$t/ Éj‹ s3 è? ∩⊇∉∪

“Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang kamu dustakan?”

Allah juga berfirman dalam surat Ar-Ruum ayat 21 yang berbunyi.

¨β Î) ’Îû y7Ï9≡ sŒ ;M≈tƒUψ 5Θ öθ s) Ïj9 tβρã�©3x� tGtƒ ∩⊄⊇∪

“Sesungguhnya pada yang demikian itu benar-benar terdapat tanda-tanda bagi

kaum yang berfikir.”

Dari ayat-ayat diatas, dapat disimpulkan bahwa nikmat Allah kepada

seluruh hambaNya itu memang benar-benar tiada terkira. Salah satu nikmatnya

yang membuat manusia disebut sebagai makhluk ciptaan Allah yang sempurna

ialah karena akalnya. Dari nikmat Allah yang telah diberikan yaitu akal,

sebenarnya Allah mengisyaratkan kepada manusia agar manusia mempergunakan

akalnya dengan sebaik-baiknya seperti dengan cara menuntut Ilmu Allah.

Dewasa ini, ilmu matematika merupakan salah satu jembatan atau cara

untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang ada di kehidupan sehari-hari.

Salah satu ilmu matematika yang dapat membantu mendeskripsikan fenomena-

fenomena dikehidupan nyata dalam bentuk fungsi atau persamaan adalah model

4

matematika. Dengan memodelkan kejadian sehari-hari, diharapkan dapat

memprediksi nilai dari variabel untuk masa yang akan datang.

Pada tahun 2007, Nuning Nuraini et al membangun sebuah model

matematika dari proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Dimana

pada model tersebut menceritakan fenomena virus dengue yang menginfeksi sel

rentan di peredaran darah manusia. Karena hal tersebut, penulis merasa tertarik

untuk mengkaji model tersebut dan mengetahui lebih dalam mengenai dinamika

virus dengue yang akan diinterpretasikan dalam sebuah simulasi.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam pengerjaan tugas akhir ini dapat

diuraikan sebagai berikut.

1. Bagaimana proses pemodelan matematika berkaitan dengan proses

transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia?

2. Bagaimana menganalisis kestabilan model matematika mengenai

proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia?

3. Bagaimana simulasi dari model matematika mengenai proses transmisi

virus dengue di dalam tubuh manusia?

1.3 Batasan Masalah

Pembahasan tugas akhir ini membahas mengenai pengkajian model dan

penganalisisan fenomena perpindahan virus dengue di dalam tubuh manusia.

Dimana tugas akhir ini dibatasi oleh beberapa hal yaitu sebagai berikut.

1. Terdapat 3 kompartement yaitu sel rentan, sel terinfeksi dan virus

dengue.

2. Metode yang digunakan dalam simulasi adalah metode Euler.

3. Simulasi modelnya dari data acak berupa parameter dan untuk nilai

awal yang diberikan pada simulasi ini penulis menggunakan data yang

diteliti oleh Nuning Nuraeni et al.

5

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian

Tujuan dari pengerjaan tugas akhir ini dapat diuraikan sebagai berikut.

1. Mengkaji lebih dalam proses pemodelan matematika berkaitan proses

transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia.

2. Menganalisis kestabilan model matematika mengenai proses transmisi

virus dengue di dalam tubuh manusia.

3. Mengetahui dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia yang

diinterpretasikan ke dalam sebuah simulasi.

Adapun manfaat jangka panjang dari pengerjaan tugas akhir ini adalah

semoga karya kecil ini menjadi acuan untuk para matematikawan yang ingin

membahas mengenai pemodelan matematika.

1.5 Metodologi Penelitian

Metode penelitian yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai

berikut.

a. Studi pustaka. Studi pustaka disini lebih diartikan sebagai pengkajian

dan pembelajaran lebih dalam mengenai buku-buku yang berkaitan

dengan virus dengue, penyakit demam berdarah dengue, persamaan

diferensial, penentuan titik equilibrium, pelinearan, stabilitas, kriteria

kestabilan Routh-Hurwitz, metode Euler.

b. Menganalisis. Menganalisis disini lebih diartikan sebagai

penganalisisan model.

c. Menginterpretasi model matematika mengenai proses transmisi virus

dengue di dalam tubuh manusia lewat simulasinya.

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini hanya memuat 5 bab. Dengan

perincian sebagai berikut.

6

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dipaparkan tentang latar belakang masalah,

rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian,

metodologi penelitian, serta sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini penulis akan memaparkan tentang landasan teori

yang dijadikan ukuran standarisasi dalam pembahasan yang terdiri

dari sistem persamaan diferensial, persamaan diferensial

autonomous, titik equilibrium, pelinearan, stabilitas, kriteria

kestabilan Routh-Hurwitz, metode numerik untuk persamaan

diferensial biasa, dan model matematika.

BAB III ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM

TUBUH MANUSIA

Dalam bab ini akan dipaparkan hasil kajian yang meliputi analisis

model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di

dalam tubuh manusia, yang terdiri dari hal-hal yang mempengaruhi

model, formulasi model, menentukan titik equilibrium, basic

reproductive ratio, serta kestabilan titik equilibrium.

BAB IV SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM

TUBUH MANUSIA

Dalam bab ini penulis akan memapaparkan hasil simulasi dari

model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di

dalam tubuh manusia, yang terdiri dari simulasi dalam keadaan

bebas virus dan simulasi dalam keadaan terdapat virus bebas.

BAB V PENUTUP

Dalam bab ini akan dipaparkan kesimpulan sebagai jawaban dari

rumusan permasalahan yang diajukan serta saran untuk

pengembangan tulisan yang berbeda di masa yang akan datang.

DAFTAR PUSTAKA

7

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau

lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk

merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada

interval waktu kontinu dalam suatu model matematika.

Persamaan diferensial terbagi atas persamaan diferensial biasa dan

persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu

persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang �

terhadap peubah �. Kadang persamaan ini dapat pula melibatkan � itu sendiri, �

dan konstanta [7]. Atau dengan kata lain, jika persamaan diferensial memiliki satu

peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa. Lain

halnya jika persamaan diferensial tersebut memiliki lebih dari satu peubah tak

bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial. Sebagai contoh :

1. �′ + �� = 16 (2.1)2. �′′ = (2 − �′)(�� + ��) (2.2) 3.

!" #! − !" $! = 0 (2.3)

Dalam persamaan (2.1) dan (2.2) fungsi tak diketahui yang dinyatakan

dengan � dan � dianggap sebagai satu peubah bebas, yaitu � = %(�). Lambang �′ dan �′′ dalam persamaan (2.1) dan (2.2) berturut-turut menyatakan turunan

pertama dan kedua dari fungsi �(�) terhadap �. Persamaan (2.1) dan (2.2) memuat

turunan biasa dan karenanya disebut persamaan diferensial biasa. Sedangkan

untuk persamaan (2.3) fungsi yang tidak diketahui & dianggap sebagai fungsi dua

peubah bebas dan �, yaitu & = &( , �), !" #! dan !" $! berturut-turut adalah turunan

parsial dan karenanya disebut persamaan diferensial parsial.

8

Persamaan diferensial biasa umumnya berbentuk [14]: () , �, �*, … , �(,)- = 0.(2.4) Persamaan diferensial tersebut dikatakan linear jika ( adalah linear dalam

variabel-variabel �, �*, … , �(,). Definisi tersebut juga berlaku untuk persamaan

diferensial parsial. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear orde .

berbentuk :

/�( )�, + /�( )�,0� +⋯+ /,( )� = 2( ). (2.5) Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear bila memenuhi 3 hal

berikut [5]:

1. Variabel-variabel terikat dan turunannya berderajat satu.

2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan

variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya,

atau variabel terikat dengan sebuah turunan.

3. Variabel terikatnya bukan merupakan fungsi tresenden.

Sebagai contoh, �(3) + � = 0 merupakan persamaan diferensial linear orde 3.

Selanjutnya persamaan diferensial yang bukan persamaan linear disebut

persamaan diferensial tak linear. Dengan demikian persamaan diferensial () , �, �*, … , �(,)- = 0 merupakan persamaan diferensial tak linear, jika salah satu

dari berikut dipenuhi oleh ( [5].

1. Variabel-variabel terikat dan turunannya berderajat lebih dari satu.

2. Mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan

variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya,

atau variabel terikat dengan sebuah turunan.

3. Variabel terikatnya merupakan fungsi trasenden.

Sebagai contoh, �** + 24#�* + ��* + �� = 5 merupakan persamaan diferensial tak

linear karena suku ��*dan �� [14].

Beranjak ke sistem persamaan diferensial. Jika berbicara tentang sistem,

sistem berarti sejumlah tertentu sehingga yang dimaksud dengan sistem

9

persamaan diferensial adalah sebuah sistem yang didalamnya memuat . buah

persamaan diferensial, dengan . buah fungsi yang tidak diketahui, dimana . ≥ 2.

Bentuk umum dari suatu sistem persamaan diferensial orde pertama

mempunyai bentuk sebagai berikut : 8��8 = 2�( , ��, ��, … , �,) 8��8 = 2�( , ��, ��, … , �,)(2.6) ⋮ 8�,8 = 2,( , ��, ��, … , �,) Dengan ��, ��, … , �, adalah variabel bebas dan adalah variabel terikat, sehingga

�� = ��( ), �� = ��( ), … , �, = �,( ) dimana :$;:# merupakan turunan fungsi �,

terhadap , dan 2< adalah fungsi yang tergantung pada variabel ��, ��, … , �, dan .

2.2 Persamaan Diferensial Autonomous

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut. �= = %(�), �>ℜ,(2.7) dengan % merupakan fungsi kontinu bernilai real dari � dan mempunyai turunan

parsial kontinu. Persamaan (2.7) disebut persamaan diferensial mandiri

(autonomous) karena tidak memuat secara eksplisit didalamnya [6].

2.3 Titik Equilibrium

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut. 8�8 = �= = %(�)(2.8) Titik equilibrium merupakan titik gerak dari vector keadaan konstan. Atau dengan

kata lain, titik equilibrium merupakan solusi yang tetap konstan walaupun waktu

berganti. Maka titik equilibrium dari persamaan (2.8) didapat jika :$:# = 0. Adapun

istilah lain dari titik equilibrium adalah titik tetap, titik stasioner, rest point,

singularity, critical point atau steady state [15]. Tetapi, dalam tugas akhir ini akan

10

menggunakan istilah titik equilibrium. Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di

bawah ini.

Misal %(�) = �� − � − 6, maka untuk mencari titik equilibriumnya adalah

dengan cara %(�) = 0 atau me-nol-kan turunan pertamanya, sehingga diperoleh %(�) = �� − � − 6 = 0

(� − 3)(� + 2) = 0

Sehingga diperoleh titik equilibriumnya yaitu � = 3 atau � = −2.

2.4 Pelinearan

Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan

melalui pelinearan. Untuk mencari hasil pelinearan dari sistem persamaan

diferensial tak linear digunakan matriks Jacobi.

@(�) = A BC $C BC $! …⋮ ⋮ … BD $C BD $! … BD $;⋮ BD $;

E

@(�) merupakan matriks Jacobi yang berukuran F × .. Matriks ini sering juga

ditulis sebagai matriks H BI $JK<.L. Contoh sederhananya [1], %(��, ��) = )��3 − ��3, 3��, 2��- Maka matriks Jacobinya adalah

MNNNNNOP%�P�� P%�P��P%�P�� P%�P��P%3P�� P%3P��QR

RRRRS = T 3�� −3��6�� 3��4�� 4�� U.

11

2.5 Stabilitas

Misal diberikan sistem Autonomous linear sebagai berikut. �= = /� + V�dan�= = W� + 8� (2.9) dengan /, V, W, 8 konstanta. Dari persamaan (2.9) dapat diperoleh penyelesaian

secara eksplisit sehingga tidak mengherankan bahwa sifat stabilitas dari titik

equilibrium (0,0) dari sistem di atas mudah dipelajari.

Misal, /8 − VW ≠ 0 maka titik (0,0) adalah satu-satunya titik equilibrium

dari persamaan (2.9). Bentuk penyelesaian dari sistem (2.9) adalah � = Y4Z# , � = [4Z# dimana merupakan akar dari persamaan karakteristik \� − (/ + 8)\ + /8 − VW = 0 (2.10) maka sifat stabilitas titik equilibrium (0,0) dari persamaan (2.9) hampir

seluruhnya tergantung pada akar-akar persamaan (2.10). Dengan kata lain

kestabilan suatu titik equilibrium dapat diperiksa dari nilai eigen sistem itu

sendiri.

Sifat stabilitas titik equilibrium ada 3, yaitu stabil, stabil asimtotik atau

stabil atraktif dan tidak stabil. Secara kasar, titik equilibrium dikatakan stabil jika

setiap solusi dari sistem mulai dekat dengan titik equilibrium pada waktu tertentu.

Sedangkan yang disebut stabil asimtotik adalah jika solusi didekatnya tidak hanya

dekat, tetapi juga konvergen ke titik equilibrium sampai waktu menuju tak hingga.

Dan jika titik equilibrium yang tidak memenuhi sifat stabil dan stabil asimtotik

maka disebut tidak stabil [15]. Berikut akan diperlihatkan perbedaannya secara

jelas [3]:

1. Stabil

Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan stabil, jika dan hanya

jika kedua akar dari persamaan (2.10) adalah real dan negatif atau

mempunyai bagian tak positif.

2. Stabil Asimtotik atau Stabil Atraktif

Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan stabil asimtotik atau

stabil atraktif, jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan (2.10) adalah

12

real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. Asimtotik terbagi

menjadi dua yaitu asimtotik lokal dan asimtotik global.

3. Tidak Stabil

Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan tidak stabil jika salah

satu atau kedua akar dari persamaan (2.10) real positif atau jika paling

sedikit satu akar mempunyai bagian real positif.

Untuk memudahkan pemahaman, tinjau beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1

Misal diberikan sistem �= = −� dan�= = �. Periksa kestabilan sistem

tersebut!

Penyelesaian

Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk \� + 1 = 0 karena disini nilai / = 0, V = −1, W = 1, 8 = 0. Maka akar dari

persamaan karakteristiknya adalah real yaitu ±^, maka menurut sifat stabilitas titik

equilibrium, titik equilibrium dari contoh 1 adalah stabil.

Contoh 2

Misal diberikan sistem �= = −� dan �= = −�. Periksa kestabilan sistem

tersebut!

Penyelesaian

Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk \� + 2\ + 1 = 0 karena disini nilai / = −1, V = 0, W = 0, 8 = −1. Maka akar dari

persamaan karakteristiknya adalah \� = \� = −1,karena ini mempunyai bagian

real negatif maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik equilibrium dari

contoh 2 adalah stabil asimtotik.

Contoh 3

Misal diberikan sistem �= = −3� + 4� dan �= = −2� + 3�. Periksa

kestabilan sistem tersebut!

Penyelesaian

Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk \� − 1 = 0 karena disini nilai / = −3, V = 4, W = −2, 8 = 3. Maka akar dari

13

persamaan karakteristiknya adalah \� = 1dan\� = −1,karena karena salah satu

akarnya ada yang positif, maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik

equilibrium dari contoh 3 adalah tidak stabil.

Secara praktisnya, sifat stabilitas titik equilibrium dapat dilihat dalam tabel

dibawah ini [7].

Tabel 2.1 Sifat Stabilitas Titik Equilibrium

Tipe Kestabilan _ = \� + \� ` = \�\� a. Stabil _ ≤ 0 ` > 0

b. Stabil Asimtotik atau Stabil Atraktif _ < 0 ` > 0

c. Tidak Stabil _ > 0 ` < 0

2.6 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz

Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dipakai apabila nilai eigen dari

persamaan karakteristik sistem, sulit ditentukan. Karena kriteria kestabilan Routh-

Hurwitz ini tidak melihat tanda bagian real dari nilai eigen atau akar-akar

persamaan karakteristik secara langsung melainkan melihat koefisien dari

persamaan karakteristik.

Teorema 1

Diberikan persamaan karakteristik

a(\) = \b + /�\b0� + /�\b0� +⋯+ /b = 0

Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz cL sebagai berikut [6].

cL =def /� 1 0/3/g⋮/�L0�

/�/5⋮/�L0�/�/3⋮/�L03

0 … 00/�⋮/�L05

…………00⋮/Lhij

dengan cL = (ℎlm) dan ℎlm = n/�l0m,1,0, o&. &p0 < 2q − F < p&. &p2q = F&. &p2q < F/ /&2q > p +F

14

semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang

negatif jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu 84 cr > 0,untuks = 1,2,… , p. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk p = 2,3,4, disebutkan bahwa

titik equilibrium stabil jika dan hanya jika

p = 2 /� > 0, /� > 0p = 3 /� > 0, /3 > 0, /�/� > 0p = 4 /� > 0, /3 > 0, /5 > 0, /�/�/3 > /3� + /��/5

Untuk lebih jelasnya, tinjau 2 contoh di bawah ini.

Contoh 1 a(\) = \3 + 6\� + 3\ − 6 = 0

Selidiki apakah persamaan karakteristik diatas termasuk kriteria Routh-Hurwitz.

Penyelesaian

Dari persamaan a(\) = \3 + 6\� + 3\ − 6 = 0, maka /� = 6, /� = 3, dan /3 = −6. Kemudian, nilai s dari persamaan karateristik diatas adalah 3. Maka 2s − 1 = 2(3) − 1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya sampai /g.

Akan dibuktikan semua matriks Hurwitznya adalah positif.

Untuk c� = (/�) = (6), karena 6 positif, sehingga didapat detc� = |6| > 0.

Untuk c� = x/� 1/3 /�y = z 6 1−6 3{, sehingga didapat

detc� = | 6 1−6 3| = 24 > 0.

Untuk c3 = }/� 1 0/3 /� /�/g /5 /3~ = } 6 1 0−6 3 60 0 −6~, sehingga didapat

detc3 = � 6 1 0−6 3 60 0 −6� = −144 < 0.

Karena detc3 < 0, maka persamaan karakteristik diatas tidak memenuhi kriteria

Routh-Hurwitz.

15

Contoh 2 a(\) = \3 + 6\� + 3\ + 2 = 0

Selidiki apakah persamaan karakteristik diatas termasuk kriteria Routh-Hurwitz.

Penyelesaian

Dari persamaan a(\) = \3 + 6\� + 3\ + 2 = 0, maka /� = 6, /� = 3, dan /3 = 2. Kemudian, nilai s dari persamaan karateristik diatas adalah 3. Maka 2s − 1 = 2(3) − 1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya sampai /g.

Akan dibuktikan semua matriks Hurwitznya adalah positif.

Untuk c� = (/�) = (6), karena 6 positif, sehingga didapat detc� = |6| > 0.

Untuk c� = x/� 1/3 /�y = z6 12 3{, sehingga didapat

detc� = |6 12 3| = 16 > 0.

Untuk c3 = }/� 1 0/3 /� /�/g /5 /3~ = }6 1 02 3 60 0 2~, sehingga didapat

detc3 = �6 1 02 3 60 0 2� = 32 > 0.

Karena semua matriks Hurwitznya positif, maka persamaan karakteristik diatas

memenuhi kriteria Routh-Hurwitz.

2.7 Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial Biasa

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam

berbagai disiplin ilmu, misalnya bidang fisika, kimia, teknik mesin, teknik sipil,

elektro dan lain-lain. Kadang kala, model matematika tersebut rumit dan tidak

dapat diselesaikan dengan metode analitik, dimana metode analitik adalah metode

penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah lazim.

Metode analitik disebut juga metode eksak yang menghasilkan solusi eksak

(solusi sejati). Metode analitik ini lebih unggul untuk sejumlah persoalan yang

terbatas. Padahal kenyataannya, persoalan matematika banyak yang rumit,

sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Kalau metode analitik

16

tidak dapat diterapkan, maka solusi dapat dicari dengan metode numerik. Metode

numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan

matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+,−,÷,×). Suatu persamaan diferensial mempunyai bentuk umum 8�8 = %( , �), / ≤ ≤ V, ��( �) = ��(2.11)

dimana �� merupakan nilai awal pada waktu �. Dengan kata lain, pada persamaan

ini mengandung syarat awal untuk memperoleh penyelesaiannya. Metode numerik

untuk menentukan penyelesaian dari persamaan diferensial biasa dapat dilakukan

dengan metode Euler, Metode Taylor, dan metode Rungge Kutta. Adapun metode

numerik yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode Euler. Berikut

adalah penjelasannya.

Metode Euler merupakan metode yang paling sederhana dalam

menyelesaikan initial value problem (IVP). Tahap awal solusi pendekatan

numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak yang sama di dalam

interval [/, V], yaitu dengan menerapkan < = / + ^ℎ, ^ = 0,1,2,… , � (2.12) Jarak antar point dirumuskan sebagai

ℎ = V − /� (2.13) ini disebut step size.

Metode Euler diturunkan dari daret Taylor. Misalnya fungsi �( ) adalah

fungsi yang kontinu dan memiliki turunan dalam interval [/, V]. Maka dalam deret

Taylor,

�( <��) = �( <) + ( <�� − <)�*( <) + ( <�� − <)�2 �**(�<)(2.14) Karena ℎ = ( <�� − <), maka

�( <��) = �( <) + ℎ�*( <) + ℎ�2 �**(�<)(2.15) dan karena �( ) memenuhi persamaan (2.11),

�( <��) = �( <) + ℎ%) < , �( <)- + ℎ�2 �**(�<)(2.16)

17

Metode Euler dibangun dengan pendekatan �� ≈ �( <) untuk ^ = 1,2,3,… , �,

dengan mengabaikan suku terakhir yang terdapat pada persamaan (2.19). Jadi,

metode Euler dinyatakan sebagai �<�� = �< + ℎ%( <, �<)(2.17) dimana ^ = 0,1,2,… , � − 1. [13]

Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di bawah ini [13].

Diketahui persamaan diferensial �* = � − � + 1, 0 ≤ ≤ 2, �(0) = 0.5

dimana � = 10. Sehingga

ℎ = V − /� = 2 − 010 = 0.2

dan < = / + ^ℎ = 0 + ^(0.2) = 0.2^ serta �� = 0.5

Dengan demikian persamaan Euler dapat dinyatakan sebagai �<�� = �< + ℎ%( < , �<) = �< + ℎ(�< − <� + 1) = �< + 0.2(�< − 0.4^� + 1) Dimana ^ = 0,1,… ,9. Pada saat ^ = 0 dan syarat awal diketahui �� = 0.5 maka �<�� = �< + 0.2(�< − 0.4^� + 1) �� = �� + 0.2(�� − 0.4(0�) + 1) �� = 0.8000000

Pada saat ^ = 1 maka �<�� = �< + 0.2(�< − 0.4^� + 1) �� = �� + 0.2(�� − 0.4(1�) + 1) �� = 1.1520000

Pada saat ^ = 2 maka �<�� = �< + 0.2(�< − 0.4^� + 1) �� = �� + 0.2(�� − 0.4(2�) + 1) �3 = 1.5504000

18

Demikian seterusnya hingga pada ^ = 9 �<�� = �< + 0.2(�< − 0.4^� + 1) �� = �� + 0.2(�� − 0.4(9�) + 1) �� = 4.8657845

2.8 Model Matematika

Model matematika merupakan salah satu ilmu matematika yang dapat

membantu mendeskripsikan fenomena-fenomena dalam kehidupan nyata dalam

bentuk fungsi atau persamaan. Adapun langkah-langkah dalam membangun

model [4]:

1. Identifikasi masalah. Apa masalah yang akan dikaji? Biasanya ini

merupakan langkah tersulit karena dalam kehidupan nyata tidak semudah

itu mengerjakannya dengan matematika. Biasanya, pada langkah ini

diharuskan untuk lebih memilah-milih sejumlah data besar dan

mengidentifikasi beberapa aspek tertentu dari suatu masalah untuk

dipelajari. Pemodelan harus mempunyai kemampuan yang cukup tepat

dalam menjabarkan formulasi verbal kedalam simbol matematika.

2. Membuat asumsi. Umumnya, semua faktor yang berpengaruh pada

masalah yang akan diidentifikasi tidak dapat dimodelkan dengan

matematika. Langkah ini bersifat menyederhanakan dengan mengurangi

sejumlah faktor yang didasarkan pada pertimbangan. Sehingga

kompleksitas persoalan yang diamati bisa direduksi dengan

mengasumsikan hubungan yang relatif sederhana antara variabel. Asumsi

ini terbagi menjadi dua kategori utama :

a. Klasifikasi variabel. Hal apa yang mempengaruhi perilaku dari

masalah yang diidentifikasi dalam langkah 1? Hal ini diidentifikasi

sebagai variabel. Dalam model akan dijelaskan variabel terikat dan

sisanya bebas.

b. Menentukan hubungan timbal balik antara variabel-variabel yang

dipilih. Sebelum membuat hipotesis tentang hubungan antara variabel,

biasanya pada langkah ini diharuskan untuk membuat penyederhanaan

19

tambahan. Masalah yang diidentifikasi mungkin cukup kompleks

sehingga pada mulanya tidak dapat melihat hubungan antara semua

variabel. Dalam kasus ini dimungkinkan untuk membuat submodel.

Disini, satu atau lebih variabel bebas dipelajari secara terpisah. Pada

akhirnya akan dihubungkan submodel secara bersama-sama. Perlu

diperhatikan bahwa submodel ini terintegral terhadap asumsi yang

dibuat pada model utama.

3. Memecahkan atau menginterpretasi model. Dalam langkah ini akan dilihat

hubungan dari kumpulan submodel. Selanjutnya model tersebut akan

diselesaikan secara matematika. Dalam beberapa kasus model, dapat

terdiri dari persamaan matematis atau ketidaksetaraan yang harus

dipecahkan untuk menemukan informasi yang dicari.

4. Verifikasi model. Sebelum menggunakan model dalam kehidupan nyata,

model tersebut harus diuji.

5. Mengimplementasikan model. Tentu saja model yang telah diuji tidak

dibiarkan saja tanpa adanya kegunaan tertentu. Yang diharapkan dari

model ini adalah dapat dipahami dan berguna bagi siapapun.

6. Maintain the model.

20

BAB III

ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE


Dalam tugas akhir ini, penulis akan membahas tentang proses transmisi

virus dengue di dalam tubuh manusia. Secara umum, virus merupakan parasit

berukuran mikroskopik yang tidak memiliki perlengkapan selular untuk

bereproduksi sendiri. Maka, untuk melanjutkan siklusnya, virus harus

bereproduksi di dalam material hidup dengan menginvasi dan memanfaatkan sel

makhluk hidup lain [11].

Virus dapat masuk ke dalam tubuh manusia melalui hidung, mulut, bahkan

dapat masuk melalui kulit. Setelah masuk ke dalam tubuh, virus tersebut akan

mencari sel inang untuk diinfeksi. Pada saat itu juga, tubuh akan bereaksi dan

memberikan perlawanan terhadap antigen yang masuk tersebut. Sistem imun akan

memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau

sekedar menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi

sel sehat lainnya.

3.1 Hal-Hal yang Mempengaruhi Model

Sebelum membangun model, ada baiknya memperhatikan hal-hal yang

mempengaruhi model tersebut. Dalam tugas akhir ini, penulis mengelaskan sel ke

dalam dua kelas. Yaitu sel rentan yang dinotasikan dengan �( ) dan sel terinfeksi

yang dinotasikan dengan �( ). Serta virus bebas itu sendiri yang dinotasikan

dengan �( ).

a. Sel rentan �( ) Sel rentan adalah sel sehat yang belum diinfeksi oleh virus.

Adapun hal-hal yang mempengaruhi laju sel rentan adalah sebagai berikut.

1. Kelahiran murni dengan laju yang konstan.

21

2. Jumlah sel rentan akan berkurang karena adanya interaksi sel rentan

dengan partikel virus atau dengan kata lain adanya penginfeksian

virus.

3. Kematian murni dengan laju yang konstan.

b. Sel terinfeksi �( ) Sel terinfeksi adalah sel rentan yang terinfeksi virus. Adapun hal-

hal yang mempengaruhi laju sel terinfeksi adalah sebagai berikut.

1. Jumlah sel terinfeksi akan bertambah karena adanya partikel virus

yang menginfeksi sel rentan.

2. Kematian murni akan mengurangi jumlah sel terinfeksi dengan laju

yang konstan.

c. Virus dengue �( ) Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa secara umum

virus bebas merupakan parasit yang berukuran mikroskopik yang

menginvasi dan memanfaatkan sel makhluk hidup lain untuk melanjutkan

siklus hidupnya. Virus dapat masuk ke dalam tubuh manusia melalui

hidung, mulut, bahkan kulit. Setelah virus masuk ke dalam tubuh, virus

akan mencari sel inang tanpa memperhatikan tipe sel inang untuk diinfeksi

[11]. Selanjutnya, virus akan melakukan beberapa tahapan untuk

bereproduksi.

Dalam tugas akhir ini, penulis mengasumsikan virus dengue

sebagai virus virulen. Yaitu virus yang hanya dapat bereproduksi dengan

siklus litik. Proses siklus litik adalah sebagai berikut.

1. Partikel virus menggunakan serabut ekornya untuk menempel pada sel

inang.

2. Sarung ekor tersebut berkontraksi, membuat lubang menembus

dinding sel dan membran dari sel. Lalu virus tersebut menginjeksikan

DNA-nya ke dalam sel inang.

22

3. DNA dari virus mengambil alih kerja enzim sel inang untuk membuat

bagian-bagian virus-virus baru.

4. Bagian-bagian virus baru itu berkumpul menjadi virus yang baru

dengan jumlah yang sangat banyak.

5. Karena dinding sel rusak, maka sel tersebut membesar dan akhirnya

pecah sehingga virus-virus baru itu keluar dari sel inangnya.

Pada saat virus masuk ke dalam tubuh, tubuh tidak akan diam saja.

Karena tubuh mempunyai sistem imun yang akan memberikan perlawanan

dengan menghancurkan antigen yang masuk atau hanya sekedar

menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi

sel sehat lainnya. Terdapat beberapa sel yang berperan dalam sistem imun,

yaitu sel B, sel T dan makrofag.

Saat virus masuk kedalam tubuh dan mengenai sel inang, sel T

akan menjadi aktif. Sel T sendiri terbagi menjadi tiga, yaitu sebagai

berikut.

a. Sel T sitotoksik yang berfungsi menghancurkan sel inang yang

memiliki antigen asing.

b. Sel T penolong yang berfungsi meningkatkan perkembangan

sel B aktif menjadi sel plasma, memperkuat aktivitas sel T

sitotoksik dan sel T penekan yang sesuai, dan mengaktifkan

makrofag.

c. Sel T penekan yang menekan produksi antibodi sel B dan

aktifitas sel T sitotoksik dan penolong.

Setelah sel T aktif, sel T penolong akan mengaktifasi sel B yang

kemudian terbagi menjadi dua. Yaitu menjadi plasma sel yang

menghasilkan antibodi untuk melawan virus dan sel pengingat yang siap

merespon lebih cepat agar apabila virus kembali ke dalam tubuh, sel B

bisa lebih cepat memproduksi antibodi [11].

23

Adapun hal-hal yang mempengaruhi laju virus dengue adalah

sebagai berikut.

1. Jumlah virus dengue akan bertambah dari banyaknya sel yang

terinfeksi dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus dengue baru

tersebut.

2. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya kematian murni

dengam laju yang konstan.

3. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya sel T yang

menghancurkan virus dengue tersebut.

4. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya partikel virus

dengue yang menginfeksi sel rentan.

3.2 Formulasi Model

Dari fenomena yang ada, dapat digambarkan proses transmisi virus dengue

di dalam tubuh manusia dalam sebuah diagram di bawah ini [10].

Gambar 3.1 Diagram Proses Transmisi Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Adapun dari diagram di atas dihasilkan formula untuk mengetahui

dinamika virus dengue yang disajikan dalam suatu model matematika [10].

(1)8�( )8 = � − ��( )�( ) − ��( ). (2)8�( )8 = ��( )�( ) − ��( ). (3)8�( )8 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ).

(3.1)

24

dengan � adalah kelahiran murni sel rentan

� adalah peluang perpindahan virus dengue

� adalah kematian murni sel rentan

� adalah kematian murni sel yang terinfeksi

� adalah peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue

. adalah banyaknya duplikasi virus dengue baru

�� adalah kematian murni virus dengue

�� adalah kematian virus dengue dengan sel T

dimana �, �, �, �, �, ., �1, �2 > 0dan�, �, � ≥ 0.

3.3 Menentukan Titik Equilibrium

Langkah awal untuk mengidentifikasi titik equilibrium adalah me-nol-kan

ruas kiri pada sistem (3.1) sehingga turunan pertamanya bernilai nol. Maka akan

didapat seperti yang tertera di bawah ini.

0 = � − ��( )�( ) − ��( ). 0 = ��( )�( ) − ��( ). 0 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ). Langkah kedua, lakukan proses penyederhanaan sistem (3.1) dengan

menggunakan proses substitusi.

Dari 0 = � − ��( )�( ) − ��( ), bisa didapatkan = �0�� . Adapun proses

pengerjaannya sebagai berikut.

0 = � − ��( )�( ) − ��( ) ⇔ � − ��( )�( ) − ��( ) = 0

⇔ � − �� − �� = 0

⇔ �� = � − ��

⇔ � = � − �� .(3.2)

25

Dari 0 = ��( )�( ) − ��( ), bisa didapatkan � = �0�� . Adapun proses

pengerjaannya sebagai berikut.

0 = ��( )�( ) − ��( ) ⇔ ��( )�( ) − ��( ) = 0

⇔ �� − �� = 0

⇔ �� = ��

⇔ � = �� . Substitusi persamaan (3.2) sehingga didapat

⇔ � = ��

⇔ � = x�� y x� − �� y ⇔ � = � − �� .(3.3)

Dan pada saat 0 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ), substitusi

persamaan (3.2) dan (3.3). Sehingga diperoleh

0 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ) ⇔ �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ) = 0

⇔ �.� − �� − �� − �� = 0

⇔ �.� − (�� + ��)� − �� = 0

⇔ �. x� − �� y − (�� + ��) x� − �� y − �� x� − �� y = 0

⇔ �.� (� − ��) − (�� + ��) x� − �� y − (� − ��) = 0

⇔ (� − ��) H�.� − x�� + �� y − 1K = 0

26

Saat ��,� − z�C��!�� { − 1� ≠ 0, maka (� − ��) = 0, didapat � = ��. Saat

(� − ��) ≠ 0, maka ��,� − z�C��!�� { − 1� = 0.

H�.� − x�� + �� y − 1K = 0

⇔ �.� − 1 = x�� + �� y

⇔ �� = �� + ��.� − 1

⇔ � = 1�� + ��.� − 1�

⇔ � = 1�� + ��.� − ��

⇔ � = 1�� + ��(�. − �) 1��

⇔ � = �(�� + ��)�(�. − �)

Sehingga didapat 2 titik yaitu sebagai berikut.

� = �� .(3.4) �∗ = �(�� + ��)�(�. − �) .(3.5)

Dari persamaan (3.4) dan (3.5) dapat diduga, sistem (3.1) memiliki 2 titik

equilibrium.

Untuk memperoleh titik equilibrium pertama, substitusi persamaan (3.4) ke persamaan (3.2). � =

�0�� = �0�z��{�z��{ = 0 maka didapat � = 0.

27

Substitusi pula persamaan (3.4) ke persamaan (3.3). � =

�0�� = �0�z��{� = 0 maka didapat � = 0. Sehingga, diperoleh titik equilibrium pertama dari sistem(3.1) yaitu

�� = (�, �, �) = z�� , 0,0{.(3.6) Dimana titik ini menunjukan keadaan yang bebas virus atau virus-free equilibrium

(VFE) karena pada kondisi ini tidak ada virus dan sel terinfeksi.

Selanjutnya untuk memperoleh titik equilibrium kedua, substitusi

persamaan (3.5) ke persamaan (3.2) sehingga didapat

� = � − �� . ⇔�∗ = � − � x�(�� + ��)�(�. − �)y� x�(�� + ��)�(�. − �)y

⇔�∗ = �)�(�. − �)-�(�. − �) − � x�(�� + ��)�(�. − �)yx�(�� + ��)(�. − �) y

⇔�∗ = ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �)�(�� + ��)�. − �

⇔�∗ = ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) � x �. − ��(�� + ��)y ⇔�∗ = ��(�. − �) − ��(�� + ��)� � x 1�(�� + ��)y ⇔�∗ = ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) .(3.7) Kemudian substitusi pula persamaan (3.5) ke persamaan (3.3) sehingga didapat

� = � − �� .

28

⇔ �∗ = � − � x�(�� + ��)�(�. − �)y�

⇔ �∗ = ��(�. − �)�(�. − �) − � x�(�� + ��)�(�. − �)y�

⇔ �∗ = ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �)�

⇔ �∗ = ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �) .(3.8) Sehingga diperoleh titik equilibrium kedua dari sistem (3.1) yaitu ��. Dan dapat

ditulis ulang nilai �∗, �∗, �∗ dalam �� beturut-turut adalah

��(�� + ��)�(�. − �) , ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �) , ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) �.(3.9) Dimana titik ini menunjukan keadaan terdapat virus bebas.

3.4 Basic Reproductive Ratio

Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu

parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah bilangan reproduksi

dasar (Basic Reproductive Ratio). Basic Reproductive Ratio (��) didefinisikan

sebagai angka dari banyaknya sel yang baru saja terinfeksi akibat adanya satu atau

lebih sel yang terinfeksi. Dengan menentukan nilai ��, maka akan diketahui

apakah virus tersebut akan menyebar atau tidak.

Ilustrasi dari ��, misal ada populasi manusia yang peka dan tidak ada

manusia yang terinfeksi. Kemudian ada manusia yang terinfeksi virus dan

berinteraksi dengan manusia peka. Maka, jika �� < 1, tidak akan terjadi endemic.

Dalam artian, manuisa yang peka tersebut tidak akan tertular penyakit dan

penyakit tidak menyebar, dan manusia yang sakit (yang terinfeksi virus) bisa

sembuh setelah beberapa waktu. Sedangkan jika �� > 1, akan terjadi endemic.

Dalam artian, setelah beberapa waktu, manusia yang sakit akan menularkan

penyakitnya. Sehingga, manusia yang awalnya sakit kemungkinan akan sembuh

dan manusia yang sehat akan sakit.

29

Pada model ini, didefinisikan �� = ��(�,0�)��(�C��!). Ini artinya, satu sel

terinfeksi memproduksi �(�,0�)�(�C��!) virus dengue selama periode infeksi

��.

Sedangkan satu partikel virus dengue menginfeksi ��(�,0�)�(�C��!) sel rentan selama

periode infeksi �(�C��!). Adapun �� ini akan digunakan untuk menganalisis

kestabilan sistem (3.1) [10].

3.5 Kestabilan Titik Equilibrium

Kestabilan dari suatu titik equilibrium dapat dilihat dari nilai eigennya.

Nilai eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan

determinan dari matriks Jacobi [11].

Teorema 2

Titik equilibrium yang bebas dari virus, ��, akan stabil asimtotik lokal jika �� < 1 dan tidak stabil untuk lainnya [10].

Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah pembuktian teorema 2

Langkah pertama, lakukan pelinearan dengan menggunakan matriks

Jacobian dari sistem (3.1) yang didasarkan pada VFE (virus-free equilibrium).

¡C adalah matriks Jacobian 3 × 3 dari sistem (3.1) dengan nilai �� pada

persamaan (3.6). Sistem (3.1) (1)8�( )8 = � − ��( )�( ) − ��( ). (2)8�( )8 = ��( )�( ) − ��( ). (3)8�( )8 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ).

30

¡C =deeeeefP x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP�P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP�P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP� h

iiiiij

Sehingga didapat ¡C = def−� 0 − ��0 −� ��0 �. −�� − �� − �� hi

j. Langkah kedua, cari nilai eigen dari ¡C.

) ¡C − ¢�- =deef−� 0 −��0 −� ��0 �. −�� − �� − �� h

iij − ¢ }1 0 00 1 00 0 1~

=def−� 0 − ��0 −� ��0 �. −�� − �� − �� hi

j− }¢ 0 00 ¢ 00 0 ¢~

=deef−� − ¢ 0 −��0 −� − ¢ ��0 �. −�� − �� − �� − ¢h

iij.

4 ) ¡C − ¢�- = 0. Didapat

4 ) ¡C − ¢�- = §§−� − ¢ 0 −��0 −� − ¢ ��0 �. −�� − �� − �� − ¢§

§ = 0

(−� − ¢)}(−� − ¢) x−�� − �� − �� − ¢y − (�.) x�� y~ = 0

31

(−� − ¢)}x�� + �� + �� + �¢ + ¢�� + ¢�� + ��¢� + ¢�y − �.�� ~ = 0

(−� − ¢) x¢� + x� + �� + �� + �� y ¢ + (�� + ��)� + �� − �.�� y = 0

(−� − ¢) x¢� + x� + �� + �� + �� y ¢ + �(�� + ��) − ��(�. − �)� y = 0

Maka didapat nilai eigennya – � dan persamaan karakteristiknya

_(¢) = ¢� + x� + �� + �� + �� y ¢ + �(�� + ��) − ��(�. − �)� . Langkah terakhir, cek kestabilan titik equilibrium dengan menggunakan

nilai ��.

Nilai eigen dari ¡C adalah – � dan persamaan karakteristiknya adalah

_(¢) = ¢� + x� + �� + �� + �� y ¢ + �(�� + ��) − ��(�. − �)� . Karena tujuan awal pembuktian teorema ini adalah pengecekan kestabilan �� yang

stabil asimtotik lokal ketika �� < 1, dimana dikatakan stabil asimtotik lokal jika

semua nilai eigennya negatif. Maka, untuk mengetahui _(¢) memiliki akar-akar

yang negatif, akan dibuktikan

1) ¢�. ¢� > 0

2) ¢� + ¢� < 0

Pembuktian yang pertama yaitu ¢�. ¢� > 0

Tulis �� = ��(�,0�)��(�C��!) ⇔ �(�� + ��)�� =

��(�,0�)� . ¢�. ¢� = W/ = �(�� + ��) − ��(�. − �)�1

= �(�� + ��) − �(�� + ��)��1

= �(�� + ��)(1 − ��) Karena �� < 1 maka (1 − ��) > 0 atau �(�� + ��)(1 − ��) > 0. ∎

32

Pembuktian yang terakhir yaitu ¢� + ¢� < 0.

¢� + ¢� = −V/ = −x� + �� + �� + �� y1 = −� − �� − �� − ��

Karena 0ª« = −� − �� − �� − �� , maka menghasilkan

0ª« < 0, jadi terbukti

¢� + ¢� < 0. ∎

Maka terbukti _(¢) memiliki akar-akar yang negatif sehingga �� stabil asimtotik

lokal. ∎

Analisis kestabilan equilibrium ��. Substitusi �� pada persamaan (3.9) yaitu �� = (�∗, �∗, �∗) = ��(�� + ��)�(�. − �) , ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �) , ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) �. dimana �� =

��(�,0�)��(�C��!) ⇔ �(�. − �) = z¬� { ��(�� + ��) �∗ = �(�� + ��)�(�. − �)

= �(�� + ��)z�� {��(�� + ��) = 1x�� y

= ��

�∗ = ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �)

= � − � x�(�� + ��)�(�. − �)y�

= � − ��∗�

33

= � − � x ��y�

= �� x1 − 1��y

�∗ = ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��)

= ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) � x �. − ��(�� + ��)y

= x��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) yx�(�� + ��)�. − � y

= � − � x�(�� + ��)�(�. − �)y� x�(�� + ��)�(�. − �)y

= � − ��∗��∗

= � − � x ��y� x ��y

= z�� − �� {x ��y

= x�� − �� y x�� y

= �(�� − 1) x ��y

= (�� − 1)x��y

34

Sehingga didapat �� dalam ��, dimana

}�∗ = �� , �∗ = �� x1 − 1��y , �∗ = (�� − 1) x��y~.(3.10) Dapat dilihat bahwa, �∗, �∗, �∗ pada persamaan (3.10) positif jika memenuhi �� > 1.

Lakukan pelinearan dengan menggunakan matriks Jacobian dari sistem (3.1) yang didasarkan pada ��. Dimana �� merupakan titik equilibrium yang

mengandung virus bebas.

¡! adalah matriks Jacobian 3 × 3 dari sistem (3.1) dengan nilai �� pada

persamaan (3.10). Sistem (3.1) (1)8�( )8 = � − ��( )�( ) − ��( ). (2)8�( )8 = ��( )�( ) − ��( ). (3)8�( )8 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ).

¡! =deeeeefP x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP�P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP�P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP� P x8�( )8 yP� h

iiiiij

Sehingga didapat ¡! = def −�� 0 − ��¬�(�� − 1) −� ��¬−�(�� − 1) �. −�� − �� − ��¬h

ij. Setelah itu, cari nilai eigen dari ¡!.

35

)¢�− ¡!- = ¢ }1 0 00 1 00 0 1~ − deeef −�� 0 − ��(�� − 1) −� ��−�(�� − 1) �. −�� − �� − ��h

iiij

= }¢ 0 00 ¢ 00 0 ¢~ − deeef −�� 0 − ��(�� − 1) −� ��−�(�� − 1) �. −�� − �� − ��h

iiij

=deeef ¢ + �� 0 ��−�(�� − 1) ¢ + � − ��(�� − 1) −�. ¢ + �� + �� + ��h

iiij.

4 ) ¡! − ¢�- = 0. Didapat

4 ) ¡! − ¢�- = §§ ¢ + �� 0 ��−�(�� − 1) ¢ + � − ��(�� − 1) −�. ¢ + �� + �� + ��§

§ = 0

(¢ + ��0) }(¢ + �) x¢ + �1 + �2 + ��0y − x− ��0y (−�.)~

+x ��0y z)−�(�0 − 1)-(−�.) − )�(�0 − 1)-(¢ + �){ = 0

(¢ + ��) x¢� + ¢�� + ¢�� + ��¢�� + �¢ + �� + �� + �� − ��.�� y

+x ��0y )(��0�. − ��.) − (¢��0 − �¢ + ��0 − ��)- = 0

¢3 + ¢�� + ¢�� + ��¢�� + �¢� + ��¢ + ��¢ + ��¢�� − ��.¢��

36

+��0¢� + ��0¢�� + ��0¢�� + ��¢ + ��0�¢ + ��0�� + ��0��

+�� − ��. + ��. − ��.�� − ��¢ + ��¢�� − �� + �� = 0

¢3 + ¢�� + ¢�� + ��¢�� + �¢� + ��¢ + ��¢ + ��¢�� − ��.¢�� + ��¢�

+��¢�� + ��¢�� + ��¢ + �� + �� − ��.�� + ��¢�� + �� = 0

¢3 + ¢�� + ¢�� + ��¢�� + �¢� + ��¢� + ��¢ + ��¢ + ��¢�� – ��.¢��

+��¢�� + ��¢�� + ��¢ + ��¢�� + �� + �� − ��.�� + �� = 0

¢3 + x�� + �� + �� + � + ��y ¢�

+x�� + �� + �� − ��.�� + �� + �� + �� + ��y ¢ +�� + �� − ��.�� + �� = 0

¢3 + x\ + �� + � + ��y ¢� + x�\ + �� − ��.�� + ��\ + �� + ��y ¢

+��\ − ��.�� + �� = 0

Sehingga didapat nilai eigen dari ¡! berupa persamaan karakteristik `(¢) = ¢3 + /¢� + V¢ + W(3.11) dimana

/ = \ + �� + � + ��

V = �\ + �� − ��.�� + ��\ + �� + ��

W = ��\ − ��.�� + ��

37

dan \ = (�� + ��). Dapat dilihat, nilai eigen dari `(¢) sangat sulit ditentukan. Maka kestabilan

asimtotik lokalnya akan diselidiki dengan Kriteria Routh-Hurwitz. Sebelum

menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, cek terlebih dahulu tanda real dari setiap /, V, dan W pada persamaan (3.11) jika �� > 1.

Tinjau /.

Karena / = \ + ��¬ + � + ��, dapat ditarik kesimpulan jika �� > 1, maka maka

tanda real dari / adalah positif.

Tinjau V.

Tulis �� = ��(�,0�)��(�C��!) =

0��(�,0�)0��(�C��!) = ��(�0�,)0��(�C��!) ⇔ ��(� − �.) = −��(�� + ��).

V = �\ + �� − ��.�� + ��\ + �� + ��

= �\ + �� − ��.�� + ��(\ + �) + ��

= �\ + ��(� − �.)�� + ��(\ + �) + ��

= �\ + −��(�� + ��)�� + ��(\ + �) + ��

= �\ + (−�\) + ��(\ + �) + ��

= ��(\ + �) + ��

Karena V = ��(\ + �) + ��¬ , dapat ditarik kesimpulan jika �� > 1, maka maka

tanda real dari V adalah positif.

Tinjau W. W = ��\ − ��.�� + ��

38

= ��\ + �� − ��.��

= ��\ + �� − ��.��

= ��\ + ��(� − �.)��

= ��\ + −��(�� + ��)��

= ��\ − ��\

= ��\(�� − 1) Karena W = ��\(�� − 1), dapat ditarik kesimpulan jika �� > 1, maka maka tanda

real dari W adalah positif.

Setelah itu, gunakan kriteria Routh-Hurwitz yaitu untuk semua polinomial `(¢) adalah negatif jika semua determinan dari matriks adalah positif.

cL =def /� 1 0/3/g⋮/�L0�

/�/5⋮/�L0�/�/3⋮/�L03

0 … 00/�⋮/�L05

…………00⋮/Lhij

Dimana cL adalah matriks Hurwitz dari persamaan (3.11) dengan s adalah

pangkat tertinggi dari persamaan (3.11) yaitu 3. Maka, 2s − 1 = 2(3) − 1 = 5.

Sehingga matriksnya hanya sampai /g. Dari persamaan (3.11) maka /� = /, /� = V, /3 = W.

Akan dibuktikan semua determinan dari matriks adalah positif.

Untuk c� = (/�) = (/), karena / positif, sehingga didapat detc� = |/| > 0.

Untuk c� = x/� 1/3 /�y = z/ 1W V{, karena /, V dan W positif sehingga didapat

detc� = |/ 1W V| = /V − W. Tapi karena belum tentu /V > W maka hitung dulu

detc3.

39

Untuk c3 = }/� 1 0/3 /� /�/g /5 /3~ = }/ 1 0W V /0 0 W~ karena /, V dan W positif sehingga

didapat detc3 = �/ 1 0W V /0 0 W� = /VW − W� = W(/V − W). Karena W positif, maka untuk

mendapatkan detc3 positif, maka haruslah (/V − W) positif.

/V − W > 0

x\ + �� + � + ��y x��(\ + �) + ��y − )��$�� − 1)- > 0

x\ + �� + � + ��y x��\ + �� + ��y − ��\�� + ��\ > 0

��\� + ��\ + ��\�� + ��\ + �� + �� + ��\� + �� + �� + ��\ +�� + �� − ��\�� + ��\ > 0

��3\� + ��3�\ + ��\�� + ��\�� + �� + �� + ��3\�

+��3�� + �� + �3��5\ + �3��5� + �� − ��\��3 + ��\�� > 0

(�3\ + �3�)��5 + (��\� + ��\ + ��\� + �� − ��$��3

+(��\� + �� + �� + ��\)�� + (��\� + ��)�� + �� > 0

Sehingga, untuk mendapatkan determinan matriks yang positif, haruslah

memenuhi /V > W atau

/��5 + /��3 + /3�� + /5�� + /g > 0 (3.12) dimana

/� = �3\ + �3�

/� = ��\� + ��\ + ��\� + �� − ��\

/3 = ��\� + �� + �� + ��\

/5 = ��\� + ��

40

/g = ��

Dari penjabaran di atas, dapat ditemukan Teorema untuk equilibrium ��.

Teorema 4

Titik equilibrium �� ada jika �� > 1, dan dikatakan stabil asimtotik lokal

jika dan hanya jika memenuhi kondisi (3.12) [10].

41

BAB IV

SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE


Seperti yang telah disebutkan di awal tulisan ini, salah satu tujuan

penelitian ini adalah mengetahui dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia

lewat simulasinya. Berikut ini akan dijelaskan simulasi dengan dua keadaan

berbeda, yaitu saat keadaan bebas virus dan saat keadaan terdapat virus bebas.

4.1 Simulasi dalam Keadaan Bebas Virus

Simulasi dalam keadaan ini menggunakan syarat awal bahwa terdapat

sejumlah sel rentan dan virus dengue. Nilai awal pada sel rentan �(0) = 400, sel

yang terinfeksi �(0) = 0, virus dengue �(0) = 5. Dengan melakukan pencarian

secara komputasi, diperoleh parameter yang menyebabkan �� pada model ini

tidak lebih dari satu, dimana parameter tersebut disajikan dalam tabel di bawah

ini.

Tabel 4.1 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� < 1

Simbol Definisi Parameter Nilai � Laju kelahiran murni sel rentan per hari 0.1553 � Peluang perpindahan virus dengue ke rentan 0.005 � Laju kematian murni sel rentan per hari 0.018 � Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.5 � Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue

baru

0.1

. Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari 100 �� Laju kematian murni virus dengue per hari 6 �� Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari 9

42

Dari nilai parameter tersebut menghasilkan �� = 0.0546. Dan dari

parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium yang bersesuaian

pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan bebas virus, populasi sel

rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (8.6278, 0, 0) pada

saat → ∞. Adapun asumsi mengenai simulasi pada keadaan ini, yaitu jika � < 1

maka dapat diartikan tidak terdapat virus dengue. Simulasi pada model ini

dilakukan dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik

seperti di bawah ini.

Gambar 4.1 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30


Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755

43

Pada gambar 4.1 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi sel rentan di

dalam tubuh manusia mengalami penurunan. Berkurangnya populasi ini

dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju infeksi yang menyebabkan

sel rentan ini menjadi sel terinfeksi. Dimana laju infeksi itu adalah peluang

perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel rentan dikalikan dengan

banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755,

maka pada gambar 4.2 akan terlihat lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam

tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus berkurang hingga

menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada

populasi tersebut sudah tidak terjadi lagi penambahan virus dengue yang

menginfeksi populasinya. Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada

lampiran, populasi sel rentan ini akan mencapai 8.6278 pada saat → ∞ dan

konstan pada titik tersebut.

Gambar 4.3 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30

44


Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755

Pada gambar 4.3 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi sel terinfeksi di

dalam tubuh manusia awalnya naik turun, kurang lebih sampai hari kedua.

Kemudian mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel

rentan yang menjadi sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi

bertambah. Setelah itu laju pertumbuhannya kembali mengalami penurunan

karena laju kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel

terinfeksi. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755, maka pada gambar 4.4

akan terlihat lebih jelas pergerakan sel terinfeksi di dalam tubuh manusia. Dari

sana terlihat, populasi ini akan terus berkurang hingga menuju suatu titik dan

stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah

tidak ada lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi.

Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada lampiran, populasi sel terinfeksi ini

akan mencapai 0 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga

dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini lama-lama akan habis.

45

Gambar 4.5 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30


Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755

Dari gambar 4.5 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi virus dengue di

dalam tubuh manusia awalnya naik turun, kurang lebih sampai hari kedua.

Kemudian mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue

baru yang dihasilkan dari sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue

baru tersebut. Setelah itu laju pertumbuhannya kembali mengalami penurunan

seiring dengan penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika -nya diperpanjang hingga

mencapai 755, maka pada gambar 4.6 akan terlihat lebih jelas pergerakan virus

dengue di dalam tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus

46

berkurang hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini

artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus

dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang

terpapar pada lampiran, mulai dari hari ke 26 sampai seterusnya virus dengue ini

akan menghilang dari peredaran darah manusia. Sehingga dapat disimpulkan,

populasi virus dengue ini akan mencapai 0 pada saat → ∞ dan konstan pada titik

tersebut. Atau dengan kata lain, populasi ini lama-lama akan habis.

Sehingga dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat

disimpulkan bahwa jika pada saat �� < 1 maka tidak akan terjadi endemik.

Artinya, tidak akan terjadi penyebaran virus di dalam tubuh. Kalaupun ada

kenaikan pada � dan �, kenaikan itu tidak signifikan. Kemudian � dan � tersebut

lama-lama menuju angka 0 dan konstan di angka tersebut sampai → ∞. Dengan kata

lain, populasi mereka akan habis. Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil

numerical ternyata hal tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik

equilibrium yang bebas dari virus, untuk hal ini �� = (8.6278, 0, 0), akan stabil

asimtotik lokal jika �� < 1 dan tidak stabil untuk lainnya.

4.2 Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas

Dalam simulasi ini, akan diuji dua �� berbeda. Tujuannya adalah melihat

pengaruh �� terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue itu

sendiri. Adapun nilai �� diperoleh dari parameter yang menyebabkan nilainya

akan lebih dari satu. Untuk simulasi pada keadaan ini akan digunakan syarat awal

bahwa terdapat sejumlah sel rentan, sel yang terinfeksi dan virus dengue itu

sendiri. Nilai awal pada sel rentan �(0) = 400, sel yang terinfeksi �(0) = 5, virus

dengue �(0) = 10. Adapun nilai parameter yang menyebabkan �� = 8.0220 > 1

adalah sebagai berikut.

47

Tabel 4.2 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� = 8.0220 > 1

Simbol Definisi Parameter Nilai � Laju kelahiran murni sel rentan per hari 0.1785� Peluang perpindahan virus dengue ke sel rentan 0.0018� Laju kematian murni sel rentan per hari 0.00051� Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.45 � Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue

baru

0.5


Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium

yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan terdapat virus

bebas, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (43.6300, 0.3472, 1.9896) pada saat → ∞. Simulasi pada model ini dilakukan

dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di

bawah ini.


Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30

48


Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.7, jelas terlihat laju pertumbuhan sel rentan pada mulanya

turun tajam hingga mencapai angka 0.28938 pada = 6 (lihat pada gambar 4.13).

Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju

infeksi yang menyebabkan sel rentan ini akan menjadi sel terinfeksi. Dimana laju

infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel

rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya

diperpanjang hingga mencapai 3000, maka pada gambar 4.8 akan terlihat lebih

jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh. Dapat dilihat pada gambar 4.8, laju

pertumbuhan sel rentan yang awalnya turun tajam akan kembali naik dikarenakan

berkurangnya virus dengue yang menginfeksi sel rentan. Kemudian laju

pertumbuhan populasi ini kembali mengalami penurunan dikarenakan besarnya

laju infeksi yang dilakukan oleh virus dengue. Keadaan naik turun pada laju

pertumbuhan sel rentan ini akan berjalan terus menerus hingga menuju suatu titik

dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah

tidak ada lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya.

Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi sel rentan

ini akan mencapai 43.6300 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut.

49


Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30


Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.9, terlihat bahwa laju pertumbuhan sel terinfeksi awalnya

naik tajam sampai angka teratas yaitu 265.51 pada = 2 (lihat pada gambar 4.13).

Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi sel terinfeksi

sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Kemudian laju

pertumbuhan sel terinfeksi ini perlahan mengalami penurunan karena laju

kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika

dilihat secara kasat mata pada gambar 4.10, laju sel terinfeksi ini akan terlihat

konstan di titik 0 pada saat 1200 ≤ ≤ 1500. Tetapi jika gambar itu sedikit

50

diperbesar, maka akan terlihat laju sel terinfeksi ini naik turun kemudian terlihat

konstan lalu naik turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di

titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada

lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil

numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi sel terinfeksi ini akan

mencapai 0.3472 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga

dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini masih tetap eksis di dalam tubuh.


Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30


Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

51

Pada gambar 4.11, terlihat bahwa laju pertumbuhan virus dengue awalnya

naik tajam sampai angka teratas yaitu 1519.5 pada = 2 (lihat pada gambar 4.13).

Hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari sel

terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Kemudian laju

pertumbuhan virus dengue ini perlahan mengalami penurunan seiring dengan

penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.12,

laju pertumbuhan virus dengue ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat 1500 ≤ ≤ 2000. Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat

laju pertumbuhan virus dengue ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik

turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan

duplikasi virus dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil

numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi virus dengue ini akan

mencapai 1.9896 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga

dengan kata lain, populasi virus dengue ini masih tetap eksis di dalam tubuh.

Dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa

jika pada saat �� > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran

virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai � dan �, pada hasil simulasinya

berturut-turut akan mendekati angka 0.3472 dan 1.9896. Kemudian konstan di

titik tersebut sampai → ∞. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis

di dalam tubuh. Berikut akan ditunjukan hasil perhitungan numerik dari model ini

dengan keadaan terdapat virus bebas.

52

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

Gambar 4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas

Dimana �� = 8.0220 > 1

53

Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal

tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang

terdapat virus bebas dengan parameter pada tabel 4.2 yaitu �� = (43.6300, 0.3472, 1.9896), akan stabil asimtotik lokal jika �� > 1.

Untuk nilai parameter yang menyebabkan �� = 35.3888 > 1 adalah

sebagai berikut.

Tabel 4.3 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� = 35.3888 > 1

Simbol Definisi Parameter Nilai � Laju kelahiran murni sel rentan per hari 0.1670� Peluang perpindahan virus dengue rentan 0.005� Laju kematian murni sel rentan per hari 0.00051� Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.35 � Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue

baru

0.5


Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium

yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan terdapat virus

bebas, laju sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (9.2530, 0.46366, 3.5077) pada saat → ∞. Simulasi pada model ini dilakukan

dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di

bawah ini.

54


Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30


Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.14, jelas terlihat laju pertumbuhan sel rentan pada mulanya

turun tajam hingga mencapai angka 0.017665 pada = 2 (lihat pada gambar

4.20). Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil

dari laju infeksi yang menyebabkan sel rentan ini akan menjadi sel terinfeksi.

Dimana laju infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan

banyaknya sel rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 3000, maka pada gambar 4.15 akan terlihat

55

lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh. Dapat dilihat pada gambar 4.15,

laju pertumbuhan sel rentan yang awalnya turun tajam akan mengalami kenaikan.

Hal ini dikarenakan berkurangnya virus dengue yang menginfeksi sel rentan.

Kemudian laju pertumbuhan populasi ini kembali mengalami penurunan

dikarenakan besarnya laju infeksi yang dilakukan oleh virus dengue. Keadaan laju

pertumbuhan sel rentan ini perlahan akan naik turun hingga menuju suatu titik dan

stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah

tidak ada lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya.

Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.20, populasi sel rentan

ini akan mencapai 9.2530 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut.


Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30

56


Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.16, terlihat bahwa laju pertumbuhan sel terinfeksi awalnya

naik tajam. Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi

sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Kemudian

laju pertumbuhan sel terinfeksi ini turun tajam hingga karena laju kematian sel

terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika dilihat secara

kasat mata pada gambar 4.17, laju sel terinfeksi ini akan terlihat konstan di titik 0

pada saat 100 ≤ ≤ 500. Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan

terlihat laju sel terinfeksi ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun

dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan

populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang

terdapat pada gambar 4.20, populasi sel terinfeksi ini akan mencapai 0.46366 pada

saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi sel

terinfeksi ini masih tetap eksis di dalam tubuh.

57


Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30


Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.18, terlihat bahwa laju pertumbuhan virus dengue awalnya

naik tajam, hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari

sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Kemudian

laju pertumbuhan virus dengue ini turun tajam seiring dengan penurunan jumlah

sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.19, laju pertumbuhan

virus dengue ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat 100 ≤ ≤ 500. Tetapi

jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat laju pertumbuhan virus

dengue ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi

58

hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya,

pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus dengue

baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat

pada gambar 4.20, populasi virus dengue ini akan mencapai 3.5077 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi virus

dengue ini masih tetap eksis di dalam tubuh.

Dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa

jika pada saat �� > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran

virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai � dan �, pada hasil simulasinya

berturut-turut akan mendekati angka 0.46366 dan 3.5077. Kemudian konstan di

titik tersebut sampai → ∞. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis

di dalam tubuh. Berikut akan ditunjukan hasil perhitungan numerik dari model ini

dengan keadaan terdapat virus bebas.

59

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮ ⋮

Gambar 4.20 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas

Dimana �� = 35.3888 > 1

Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal

tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang

terdapat virus bebas dengan parameter pada tabel 4.3 yaitu �� = (9.2530, 0.46366, 3.5077), akan stabil asimtotik lokal jika �� > 1.

60

Seperti yang telah dipaparkan pada awal bagian penjelasan simulasi dalam

keadaan terdapat virus bebas, bahwa pada bagian ini akan diperlihatkan pengaruh

nilai �� terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Dimana nilai

awal untuk dua keadaan �� ini adalah sama.

�( )� �( )� 0 400 400

1 311.86 0.024572

30 3.9779 2.7739

100 16.113 14.124

205 33.523 12.262

550 38.129 9.2357

1300 48.560 9.2528

2500 42.865 9.2530

3000 43.534 9.2530

(a) (b)

Gambar 4.21 Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat 0 ≤ ≤ 3000 dimana �( )� merupakan sel rentan dengan �� = 8.0220 > 1 dan �( )� merupakan sel rentan dengan �� = 35.3888 > 1

(a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data

Gambar 4.21 (a) merupakan grafik dinamika sel rentan di dalam tubuh

manusia, yang mana untuk garis berwarna merah merupakan banyaknya populasi

sel rentan ketika �� = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna merah putus-putus

menunjukan �� = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.21 (b) menunjukan dinamika sel

rentan di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada

gambar 4.21 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk sel rentan dengan keadaan ��

berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 400. Kemudian, pada hari pertama dapat

dilihat, populasi sel rentan untuk �� = 35.3888 sangat turun drastis menjadi 0.024572 hal ini disebabkan besarnya laju infeksi virus dengue terhadap sel rentan

yang menyebabkan sel rentan ini menjadi sel terinfeksi sehingga populasi sel

rentan mengalami penurunan. Sedangkan populasi sel rentan untuk �� = 8.0220,

walaupun sama-sama mengalami penurunan total populasi, tetapi penurunan

tersebut tidak terlalu jauh dengan total populasi sebelumnya. Ini berarti, nilai ��

sangat mempengaruhi keadaan populasi sel rentan. Jadi, dapat disimpulkan,

61

semakin besar nilai �� maka semakin besar pula penurunan yang dialami oleh

populasi sel rentan atau dengan kata lain, semakin besar nilai �� maka semakin

sedikit total populasi sel rentannya. Sehingga hal ini sama seperti bahasan

sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan �� terhadap populasi

sel rentan.

�( )� �( )� 0 5 5

1 8.1286e+001 3.3854e+002

30 1.5310e-003 3.4259e-002

115 6.9605e-016 1.1564e-001

205 6.6147e-023 3.8386e-001

300 5.4723e-024 7.3627e-001

450 1.9057e-013 4.6961e-001

500 8.1373e-007 4.2969e-001

600 4.2523e-004 4.4977e-001

(a) (b)

Gambar 4.22 Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat 0 ≤ ≤ 600 dimana �( )� merupakan sel terinfeksi dengan �� = 8.0220 > 1 dan �( )� merupakan sel terinfeksi dengan �� = 35.3888 > 1


Gambar 4.22 (a) merupakan grafik dinamika sel terinfeksi di dalam tubuh

manusia, yang mana untuk garis berwarna biru merupakan banyaknya populasi sel

terinfeksi ketika �� = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna biru putus-putus

menunjukan �� = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.22 (b) menunjukan dinamika sel

rentan di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada

gambar 4.22 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk sel terinfeksi dengan keadaan ��


dilihat, populasi sel rentan untuk �� = 35.3888 mengalami kenaikan yang sangat

tajam menjadi 338.54 hal ini disebabkan besarnya laju infeksi virus dengue

terhadap sel rentan yang menyebabkan sel rentan menjadi sel terinfeksi sehingga

populasi sel terinfeksi mengalami pertambahan populasi. Sedangkan populasi sel

terinfeksi untuk �� = 8.0220, walaupun sama-sama mengalami kenaikan total

populasi sel terinfeksi, tetapi kenaikan tersebut tidak terlalu jauh dengan total

62

populasi sebelumnya. Ini berarti, nilai �� sangat mempengaruhi keadaan populasi

sel terinfeksi. Jadi, dapat disimpulkan, semakin besar nilai �� maka semakin besar

pula kenaikan yang dialami oleh populasi sel terinfeksi. Sehingga hal ini sama

seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan ��

terhadap populasi sel terinfeksi.

�( )� �( )� 0 10 10

1 4.2134e+002 2.5828e+003

30 8.8943e-003 2.6137e-001

75 5.0246e-010 2.2090e-003

90 4.4011e-012 6.9871e-003

115 4.0229e-015 8.6713e-001

205 3.8034e-022 2.8928e+000

240 2.7939e-023 3.4244e+000

300 3.1304e-023 5.5666e+000

(a) (b)

Gambar 4.23 Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Saat 0 ≤ ≤ 300 dimana �( )� merupakan virus dengue dengan �� = 8.0220 > 1 dan �( )� merupakan virus dengue dengan �� = 35.3888 > 1


Gambar 4.23 (a) merupakan grafik dinamika virus dengue di dalam tubuh

manusia, yang mana untuk garis berwarna hijau merupakan banyaknya populasi

virus dengue ketika �� = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna hijau putus-putus

menunjukan �� = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.23 (b) menunjukan dinamika virus

dengue di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada

gambar 4.213 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk virus dengue dengan keadaan ��


dilihat, populasi virus dengue untuk �� = 35.3888 mengalami kenaikan yang

sangat tajam menjadi 2582.8 hal ini disebabkan banyaknya duplikasi virus dengue

baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi sehingga populasi virus dengue

mengalami pertambahan populasi. Sedangkan populasi virus dengue untuk �� = 8.0220, walaupun sama-sama mengalami kenaikan total populasi virus

63

dengue, tetapi kenaikan tersebut tidak terlalu jauh, sejauh kenaikan total populasi

virus dengue saat �� = 35.3888. Ini berarti, nilai �� sangat mempengaruhi

keadaan populasi virus dengue. Jadi, dapat disimpulkan, semakin besar nilai ��

maka semakin besar pula kenaikan yang dialami oleh populasi virus dengue.

Sehingga hal ini sama seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan �� terhadap populasi virus dengue bebas.

64

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau

lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk

merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada

interval waktu kontinu dalam suatu model matematika.

Dalam hal ini, proses terbangunnya model matematika mengenai transmisi

virus dengue di dalam tubuh manusia dilihat dari hal-hal yang mempengaruhi

model tersebut. Karena hanya terdapat 3 kompartemen, maka akan diperlihatkan

hal-hal yang mempengaruhi ketiga kompartemen tersebut. Dimana pada model

ini, populasi sel rentan akan bertambah karena adanya kelahiran murni dari

populasi tersebut. Selain adanya kelahiran, populasi ini juga dipengaruhi oleh

kematian murni dan banyaknya virus dengue yang menginfeksi populasinya

sehingga menyebabkan populasi sel rentan ini berkurang. Berkurangnya populasi

sel rentan karena penginfeksian yang dilakukan oleh virus dengue menyebabkan

populasi sel terinfeksi bertambah. Populasi sel terinfeksi ini juga dipengaruhi

kematian murni yang mengakibatkan berkurangnya populasi pada sel terinfeksi.

Sedangkan virus dengue dipengaruhi oleh duplikasi virus-virus baru yang

dihasilkan oleh sel terinfeksi yang menyebabkan populasi virusnya bertambah.

Virus dengue juga dipengaruhi oleh kematian murni dan kematian yang

disebabkan oleh sel T yang mengakibatkan populasinya berkurang. Virus dengue

juga berkurang karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan.

Sehingga, didapatlah model matematika dari fenomena di atas pada sistem (3.1) sebagai berikut.

65

(1)8�( )8 = � − ��( )�( ) − ��( ). (2)8�( )8 = ��( )�( ) − ��( ). (3)8�( )8 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ).

dengan

:�(#):# adalah laju sel rentan persatuan waktu

:°(#):# adalah laju sel terinfeksi persatuan waktu

:±(#):# adalah laju virus dengue persatuan waktu

� adalah kelahiran murni sel rentan � adalah peluang perpindahan virus dengue � adalah kematian murni sel rentan � adalah kematian murni sel yang terinfeksi � adalah peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue . adalah banyaknya duplikasi virus dengue baru �� adalah kematian murni virus dengue �� adalah kematian virus dengan sel T

dimana �, �, �, �, �, ., �1, �2 > 0dan�, �, � ≥ 0.

Analisa model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di

dalam tubuh manusia menghasilkan

1. 2 Titik equilibrium

a. Titik equilibrium yang bebas dari virus (��) �� = (�, �, �) = z�� , 0,0{. b. Titik equilibrium yang mengandung virus bebas (��) �� = �∗, �∗, �∗

= ��(�� + ��)�(�. − �) , ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �) , ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) �.

66

2. Banyaknya sel yang baru saja terinfeksi akibat adanya satu atau lebih sel

yang terinfeksi adalah �� = ��(�,0�)��(�C��!).

3. Titik equilibrium �� akan stabil asimtotik lokal jika �� < 1 dan titik

equilibrium �� ada jika �� > 1 serta akan stabil asimtotik lokal jika dan

hanya jika memenuhi kondisi /��04 + /��03 + /3�02 + /5�0 + /5 > 0

dimana

/� = �3\ + �3�

/� = �2\2 + �2�\ + �2\� + �2�2 − �2�\

/3 = ��\� + �� + ��2 + �2�\

/5 = ��\� + ��

/g = ��

Selanjutnya dari hasil simulasi untuk titik equilibrium yang bebas dari

virus yaitu ��, akan stabil asimtotik lokal jika �� < 1. Artinya, pada model

tersebut setelah beberapa waktu populasi sel terinfeksi akan habis sehingga

menyebabkan populasi virus dengue akan habis pula. Hal ini diperkuat dengan

hasil numerik yang terpapar pada lampiran, bahwa mulai pada hari ke 26

kemungkinan virus dengue ini akan menghilang dari peredaran darah manusia.

Akibatnya tidak terjadi penyebaran virus (endemik) pada sel rentan. Sedangkan

untuk titik equilibrium yang terdapat virus bebas yaitu ��, akan stabil asimtotik

lokal jika �� > 1 dan memenuhi kondisi (3.12). Artinya, pada model tersebut

populasi sel terinfeksi meningkat sehingga menyebabkan populasi virus dengue

meningkat pula. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis di dalam

tubuh. Akibatnya terjadi penyebaran virus (endemik) pada sel rentan.

67

Adapun pengaruh �� terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus

dengue pada model ini adalah sebagai berikut.

1. Semakin besar nilai �� maka populasi sel terinfeksi dan virus dengue

semakin meningkat. Sedangkan untuk sel rentan, populasinya akan

berkurang.

2. Semakin kecil nilai �� maka populasi sel rentan akan semakin meningkat.

Sedangkan untuk sel terinfeksi dan virus dengue, populasinya akan

berkurang.

5.2 Saran

Pada tugas akhir ini hanya mengkaji mengenai fenomena perpindahan

virus dengue yang ada di dalam tubuh manusia dengan cara memodelkan

fenomena yang ada dan menganalisis fenomena tersebut serta melihat dinamika

virusnya lewat simulasi. Dimana di dalam fenomena tersebut hanya terdapat 3

kompartement yaitu sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Untuk pengerjaan

tugas akhir selanjutnya dapat dilakukan dengan menambah kompartement baru

yaitu memperhatikan pengaruh obat.

68

DAFTAR PUSTAKA

1. Budhi, W.S., Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Institut

Teknologi Bandung, 2001.

2. Champbell, A.N., Reece, J.B., Mitchell, L.G., Biologi, Edisi 5 Jilid 1,

Penerbit Erlangga, Jakarta, 2002.

3. Finizio, N., Ladas, G., Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan

Modern, Edisi kedua, terjemahan Dra. Widiarti Santoso, Penerbit Erlangga,

Jakarta, 1988.

4. Giordano, F.R., Weir, M.D., Fox, W.P, A First Course In Mathematical

Modeling, Edisi ketiga, China Mechine Press, Rpublic China, 2003.

5. Hasanudin, F., Persamaan Diferensial Biasa Linier dan Persamaan Biasa

Tak Linier, Studi Literatue tidak dipublikasikan, Universitas Islam Negeri

Sunan Gunung Djati Bandung, 2012.

6. Jumadi, Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah

Dengue, Tesis Program Pasca Sarjana, Institut Pertanian Bogor, 2008.

7. Kreyzig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9th

Edition, John Wiley &

Sons, 2006.

8. Kristina., Isminah., Wulandari, L., Demam Berdarah Dengue, Kajian

Masalah Kesehatan. (http://www.litbang.depkes.go.id/index.htm, diakses 2

Agustus 2011)

9. Medicastore.com, Demam Berdarah Dengue, Media Informasi Obat-

Penyakit. (http://medicastore.com/penyakit_kategori/1/index.html, diakses

2 Agustus 2011)

10. Nuraini, N., Soewono, E., Sidarto, K.A., A Mathematical Model of Dengue

Internal Transmision Process, J. Indones. Math. Soc (MIHMI), 13(1):123-

132, 2007.

11. Prihadi, N., Simulasi dan Analisis Model Dinamika Virus pada Tubuh

Manusia, Skripsi S1 tidak dipublikasikan, Institut Teknologi Bandung,

2011.

69

12. Ramadijanti, N., Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum, Institut

teknologi Sepuluh Nopember. (http://lecturer.eepis-

its.edu/~nana/.../MetNum1-Pendahuluan_new.ppt, diakses 22 Juli 2012)

13. Supriyanto, E., Metode Euler, Departemen Fisika Universitas Indonesia,

2006. (http://www.unsri.ac.id/upload/arsip/euler.pdf, diakses 22 Juli 2012)

14. Waluya, B., Buku Ajar Persamaan Diferensial, Universitas Negeri

Semarang, 2006. (http://ml.scribd.com/doc/99777604/persamaan-

diferensial-dr-st-budi-waluya, diakses 10 Januari 2012)

15. Wiggins, S., Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and

Chaos, 2nd

Edition, Springer-Verlag, New York Inc, 1990.

RIWAYAT HIDUP

RISYA RADHIANTI. Penulis dilahirkan di Bogor

pada tanggal 28 Maret 1990 dari ayah M. Uu Sunarsa

(alm) dan ibu Tri Sekarwati (almh). Sampai saat ini

penulis tinggal bersama bunda Siti Aisyah, kakak Dhita

Windi Wardani dan adik Abdul Salam Mutahary di

Perumahan Puri Bojong Lestari jalan Bone I blok AR

03 RT/RW 13/14, Bojong Gede-Bogor. Penulis

merupakan anak kedua dari tiga bersaudara.

Berikut pengalaman pendidikan yang telah penulis tempuh :

1. TK Aisyiyah IV Bustanul Athfal pada tahun 1995-1996

2. SDN Pabuaran 03 pada tahun 1996-2002

3. MTsN Cibinong pada tahun 2002-2005

4. MAN 13 Jakarta pada tahun 2005-2008

5. UIN Sunan Gunung Djati Bandung pada tahun 2008-2012

Adapun pendidikan non-formal yang penulis tempuh selama menjadi

mahasiswa Strata Satu di universitas ini adalah menjadi Ketua Bidang Advokasi

Informasi dan Komunikasi di Senat Mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi

pada tahun 2009-2010 dan menjadi guru privat matematika pada tahun 2009

sampai sekarang.

Untuk memudahkan komunikasi mengenai penulis dan tugas akhir ini,

dapat melalui email penulis di [email protected].

LAMPIRAN

Lampiran A

Hasil Eksekusi Numerik ²³ = ³. ³´µ¶ < 1 Saat ∆· = ³. ¸

Lampiran B

Script Syntax ²³ = ³. ³´µ¶ < 1 Saat ∆· = ³. ¸

format short

clc;

clear;

%inisialisasi parameter

alpha = 0.1553;

beta = 0.005;

delta = 0.018;

sigma = 0.5;

mu = 0.1;

n = 100;

gamma1 = 6;

gamma2 = 9;

deltaT = 0.1;

%mencari nilai rnol

rnol = (alpha*beta*((mu*n)-

sigma))/(sigma*delta*(gamma1+gamma2))

%mencari titik equilibrium saat keadaan stabil asimtotik

disp('titik equilibrium saat keadaan stabil asimtotik');

if(rnol<1)

disp('(E1)');

S = (alpha/delta)

I = 0

V = 0

else

disp('(E2)');

S = (sigma*(gamma1+gamma2))/(beta*((mu*n)-sigma))

I = ((alpha*beta*((mu*n)-sigma))-

(delta*sigma*(gamma1+gamma2)))/(sigma*beta*((mu*n)-sigma))

V = ((alpha*beta*((mu*n)-sigma))-

(delta*sigma*(gamma1+gamma2)))/(beta*sigma*(gamma1+gamma2))

end

%nilai awal S,I,V

S(1) = 400;

I(1) = 0;

V(1) = 5;

i = 1;

t(1) = 0;

m = 1:10:((755/deltaT)+1);

%iterasi menggunakan metode Euler

while (t <= 755)

S(i+1) = S(i)+(alpha*deltaT)-(beta*S(i)*V(i)*deltaT)-

(delta*S(i)*deltaT);

I(i+1) = I(i)+(beta*S(i)*V(i)*deltaT)-

(sigma*I(i)*deltaT);

V(i+1) = V(i)+(mu*n*I(i)*deltaT)-(gamma1*V(i)*deltaT)-

(gamma2*V(i)*deltaT)-(beta*S(i)*V(i)*deltaT);

t(i+1) = t(i)+deltaT;

i = i+1;

end

%numerisasi model

disp(' ');

disp('********************************************');

disp('Dinamika Virus Dengue di Dalam Tubuh Manusia');

disp('********************************************');

disp(' Waktu(t) S(t) I(t) V(t) ');

disp([(t(m))' (S(m))' (I(m))' (V(m))']);

%plot grafik

plot(t,S,'r','lineWidth',2);

hold on; plot(t,I,'b','lineWidth',2);

hold on; plot(t,V,'g','lineWidth',2);

title('Dinamika Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia');

xlabel('(t)');

ylabel('S, I, V');

legend('S = Sel Rentan','I = Sel Terinfeksi','V = Virus

Dengue');

grid on;

Lampiran C

Script Syntax ²³ = ¹. ³ºº³ > 1 Saat ∆· = ³. ³´

format short e

clc;

clear;


alpha = 0.1785;

beta = 0.0018;

delta = 0.00051;

sigma = 0.45;

mu = 0.5;

n = 402;

gamma1 = 5;

gamma2 = 30;

deltaT = 0.05;

%mencari nilai rnol





if(rnol<1)

disp('(E1)');

S = (alpha/delta)

I = 0

V = 0

else

disp('(E2)');






end

%nilai awal S,I,V

S(1) = 400;

I(1) = 5;

V(1) = 10;

i = 1;

t(1) = 0;

m = 1:20:((3000/deltaT)+1);


while (t <= 3000)








i = i+1;

end

%numerisasi model

disp(' ');

disp('

***************************************************');

disp(' Dinamika Virus Dengue di Dalam Tubuh Manusia');

disp('

***************************************************');

disp(' Waktu(t) S(t) I(t) V(t)

');

disp([(t(m))' (S(m))' (I(m))' (V(m))']);

%plot grafik

plot(t,S,'r','lineWidth',2);

hold on; plot(t,I,'b','lineWidth',2);

hold on; plot(t,V,'g','lineWidth',2);


xlabel('(t)');

ylabel('S, I, V');


Dengue');

grid on;

Lampiran D

Script Syntax ²³ = »´. »¹¹¹ > 1 Saat ∆· = ³. ³´

format short e

clc;

clear;


alpha = 0.1670;

beta = 0.005;

delta = 0.00051;

sigma = 0.35;

mu = 0.5;

n = 500;

gamma1 = 8;

gamma2 = 25;

deltaT = 0.05;

%mencari nilai rnol





if(rnol<1)

disp('(E1)');

S = (alpha/delta)

I = 0

V = 0

else

disp('(E2)');






end

%nilai awal S,I,V

S(1) = 400;

I(1) = 5;

V(1) = 10;

i = 1;

t(1) = 0;

m = 1:20:((3000/deltaT)+1);


while (t <= 3000)








i = i+1;

end

%numerisasi model

disp(' ');

disp('

***************************************************');

disp(' Dinamika Virus Dengue di Dalam Tubuh Manusia');

disp('

***************************************************');

disp(' Waktu(t) S(t) I(t) V(t)

');

disp([(t(m))' (S(m))' (I(m))' (V(m))']);

%plot grafik

plot(t,S,'--r','lineWidth',2);

hold on; plot(t,I,'--b','lineWidth',2);

hold on; plot(t,V,'--g','lineWidth',2);


xlabel('(t)');

ylabel('S, I, V');


Dengue');

grid on;

Lampiran E

Pengecekan Titik Equilibrium

Substitusi titik equilibrium ke sistem (3.1) dimana nilai akhirnya harus nol.

a. Untuk equilibrium yang bebas virus �� = (�, �, �) = z�� , 0,0{. 0 = � − ��( )�( ) − ��( ). 0 = � − �� − �� 0 = � − � z��{ (0) − � z��{

0 = 0. ∎

0 = ��( )�( ) − ��( ). 0 = �� − �� 0 = � z��{ (0) − �(0) 0 = 0. ∎

0 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ). 0 = �.� − �� − �� − �� 0 = �.(0) − ��(0) − ��(0) − � z��{ (0) 0 = 0. ∎

Maka terbukti �� merupakan titik equilibrium.

b. Untuk equilibrium yang terdapat virus bebas yaitu

�� = ��(�� + ��)�(�. − �) , ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �) , ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) �. 0 = � − ��( )�( ) − ��( ). 0 = � − �� − ��

0 = � − � ��(�� + ��)�(�. − �)��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) � − � ��(�� + ��)�(�. − �)�

0 = � − ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) � − ��(�� + ��)�(�. − �) �

0 = ��(�. − �)�(�. − �) − ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) � − ��(�� + ��)�(�. − �) �

0 = ��(�. − �) − )��(�. − �) − ��(�� + ��)- − )��(�� + ��)-�(�. − �)

0 = ��(�. − �) − ��(�. − �) + ��(�� + ��) − ��(�� + ��)�(�. − �)

0 = 0��(�. − �) 0 = 0. ∎

0 = ��( )�( ) − ��( ). 0 = �� − �� 0 = � ��(�� + ��)�(�. − �)��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) �

−� ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �) �

0 = ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) � − ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) �

0 = 0. ∎

0 = �.�( ) − ��( ) − ��( ) − ��( )�( ). 0 = �.� − �� − �� − ��

0 = �. ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �) �

−(�� + ��) ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) �

−� ��(�� + ��)�(�. − �)� ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�� + ��) �

0 = �. ��(�. − �) − ��(�� + ��)��(�. − �) � − ��(�. − �) − ��(�� + ��)��

− ��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) �

0 = ��.)��(�. − �) − ��(�� + ��)-��(�. − �) � − ��(�. − �) − ��(�� + ��)��

−��(�. − �) − ��(�� + ��)�(�. − �) �

0 = ��.)��(�. − �) − ��(�� + ��)-��(�. − �) �

−�(�. − �))��(�. − �) − ��(�� + ��)-��(�. − �) �

−��)��(�. − �) − ��(�� + ��)-��(�. − �) �

0 = )��(�. − �) − ��(�� + ��)-(�. − (�. − �) − �)��(�. − �)

0 = )��(�. − �) − ��(�� + ��)-(�. − �. + � − �)��(�. − �)

0 = )��(�. − �) − ��(�� + ��)-(0)��(�. − �)

0 = 0��(�. − �) 0 = 0. ∎

Maka terbukti �� merupakan titik equilibrium.

Documents

SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL · PDF fileSIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN ... KATA PENGANTAR ... 4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas