Embed Size (px)
Citation preview
SIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKANBANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE
SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES
(Skripsi)
Oleh
ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2018
ABSTRACT
SIMULATION OF VEHICLE INSURANCE PREMIUM BASED ON THEQUANTITY OF POLICY HOLDER’S CLAIMS IN THE PREVIOUS
PERIOD USING BAYES ANALYSIS
By
ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA
Premium is an amount of money that paid by the insured to the insurer. Premiumwith bonus malus system is a premium affected by the amount of claim in theprevious period. One of the methods that can be used to obtain optimal bonusmalus system is bayes analysis. In bayes analysis, there will be prior distributionwhich will be used to find posterior distribution to calculate bonus maluspremium. Bonus malus premium can be obtained by multiplying the initialpremium with the expectation of posterior distribution and dividing it with theexpectation of prior distribution.
The result of this research is that if in the previous period the claim was not madethen the premium of the next period will decrease and if in the previous period theclaim was made then the premium of the next period will increase. The greater theclaim in the previous period, then the greater the addition of premium price in thenext period.
Keywords : Premium, Bonus Malus System, Amount of Claim, Bayes Analysis.
ABSTRAK
SIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKANBANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE
SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES
Oleh
ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA
Premi merupakan sejumlah uang yang dibayarkan pihak tertanggung kepada pihakpenanggung. Premi dengan sistem bonus malus adalah premi yang dipengaruhibanyaknya klaim pada periode sebelumnya. Salah satu metode yang dapatdigunakan untuk mendapatkan sistem bonus malus yang optimal adalah denganmenggunakan analisis bayes. Pada analisis bayes akan terdapat sebaran prior yangselanjutnya akan dicari sebaran posterior untuk menghitung premi bonus malus.Premi bonus malus dapat diperoleh dengan mengalikan premi awal terhadapekspektasi dari sebaran posterior dan dibagi dengan ekspektasi dari sebaran prior.
Hasil dari penelitian ini adalah jika pada periode sebelumnya klaim tidakdilakukan maka premi pada periode berikutnya akan berkurang dan jika padaperiode sebelumnya klaim dilakukan maka premi pada periode berikutnya akanbertambah. Semakin banyak klaim yang dilakukan pada periode sebelumnyamaka akan semakin besar penambahan harga premi pada periode berikutnya.
Kata Kunci :Premi, Sistem Bonus Malus, BanyaknyaKlaim, Analisis Bayes.
SIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKAN
BANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE
SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES
Oleh
ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA
Skripsi
Sebagai Salah SatuSyarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2018
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Arisca Septa Jaya Pratama, dilahirkan di Bukit Kemuning pada
tanggal 23 September 1996 dan merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dari
pasangan Bapak Jareli danIbuRuminah.
Penulis menempuh pendidikan di TK Muslimin pada tahun 2001 lalu Sekolah
Dasar Negeri 1 Bukit Kemuning pada tahun 2002-2008, pendidikan menengah
pertama di SMP Negeri 1 Bukit Kemuning pada tahun 2008-2011 dan pendidikan
menengah atas di SMA Negeri 1 Bukit Kemuning pada tahun 2011-2014. Pada
tahun 2014 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Bandar Lampung melalui jalur
SNMPTN.
Pada bulan Januari – Februari2017 penulis melaksanakan KerjaPraktik (KP) di
Badan Pusat Statistik (BPS) Tulang Bawang Barat dan Kuliah Kerja Nyata
(KKN) di Desa Wonoharjo Kecamatan Sumberejo Kabupaten Tanggamus pada
Bulan Juli–Agustus 2017.
KATA INSPIRASI
“Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang kamu dustakan?”
(QS. Ar-Rahman : 13)
“Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya.”
(QS. Al–Baqarah : 286)
“Tuhan tidak hanya memberikan kasih-Nya melalui sesuatu yang indah.”
(Adi Palguna)
“Jangan biarkan kesulitan membuatmu gelisah, karena bagaimanapun juga hanya di
malam yang paling gelaplah bintang-bintang tampak bersinar lebih terang.”
(Ali bin Abi Thalib)
Membuat hidup lebih mudah bukan tindakan buruk
(Arisca Septa Jaya Pratama)
PERSEMBAHAN
Puji dan syukur kepada Allah SWT atas segala hidayah dan karunia-Nya.
Shalawat dan salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad SAW.
Dengan kerendahan hati dan rasa syukur, kupersembahkan sebuah karya kecil ini sebagai
tanda cinta dan sayangku kepada :
Ayah dan Ibu tercinta yang telah membesarkanku dengan penuh kasih sayang,
pengorbanan, dan kesabaran. Terimakasih atas setiap tetes keringat dan doa dari ayah dan
ibu untuk kebahagiaan dan keberhasilan putra kalian ini.
Adik-adikku Nanda dan Aldo atas doa, semangat dan dukungan yang selalu diberikan.
Bapak/Ibudosen, Bapak/Ibu guru, Sahabat, Teman-temanku yang telah banyak membantu
dalam perjalananku sampai disini dan insan pilihan Allah SWT yang kelak akan menjadi
pendamping hidupku serta almamater yang aku banggakan Universitas Lampung.
SANWACANA
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, karena atas limpahan rahmat,
hidayah, serta kasih sayang-Nya Penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “Simulasi Premi Asuransi Kendaraan Berdasarkan Banyaknya Klaim
Pada Periode Sebelumnya Menggunakan Analisis Bayes” ini. Skripsi ini disusun
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
Dalam penyusunan skripsi ini tidak lepas dari dukungan berbagai pihak. Sehingga
dengan segala kerendahan dan ketulusan hati Penulis mengucapkan terimakasih
kepada :
1. Bapak Drs.Rudi Ruswandi, M.Si. selaku DosenPembimbing I dan
Pembimbing Akademik yang telah memberikan bimbingan, arahan serta
saran dan kesediaan waktu selama penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Drs. Nusyirwan, M.Si. selaku DosenPembimbing II yang telah
memberikan bimbingan serta saran selama penyusunan skripsi ini.
3. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku Dosen Penguji yang telah banyak
membantu dalam mengevaluasi serta mengarahkan penulis untuk
menyelesaikan skripsi ini.
4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D selaku Ketua Jurusan Matematika
FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Lampung.
5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Seluruh Dosen dan Staff Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7. Ayah, Ibu, Nanda, Aldo, Aman dan keluarga besar penulis yang senantiasa
selalu mendukung, mendo’akan serta memberi semangat kepada penulis.
8. Sahabat canda tawa Fadhil, Raka, Ardi, Fathur, Kodir, Zhofar, Alvin, Kiki,
Aldo, Zulfikar, Adit, Agus, Arif, Drajat, Ncek, Redi, Fajar, Ayub yang
telah melakukan banyak hal dari awal perkuliahan hingga skripsi ini
berhasil terbuat.
9. Teman – teman satu pembimbing Arum, Ira, Rafika, Septi, Arif dan Ardi.
10. Teman-teman seperjuangan seluruh Keluarga Matematika 2014,
terimakasih atas kebersamaannya selama ini.
11. Kak Rofi’I, Kak Suprayitno dan Kak Luthfi yang telah membimbing dan
mengarahkan penulis menjadi pribadi yang lebih baik.
12. Alamamater Universitas Lampung dan semua pihak yang terlibat dalam
penyusunan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu-persatu namanya.
Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna untuk
itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun.
Bandar Lampung, 23 April 2018Penulis
Arisca Septa Jaya Pratama
i
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ……………………………………………………….. i
DAFTAR TABEL …………………………………………………. iii
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………… iv
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ...................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ........................................................................ 4
1.3 Manfaat Penelitian ...................................................................... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Ruang Sampel dan Kejadian ...................................................... 5
2.2 Peluang ...................................................................................... 5
2.3Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang ........................... 6
2.3.1 Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Diskrit ..... 6
2.3.2 Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Kontinu ... 7
2.4 Ekspektasi dan Variansi............................................................ 7
2.4.1 Ekspektasi ........................................................................ 7
2.4.2 Variansi ............................................................................ 8
2.5 Distribusi Peluang ..................................................................... 8
2.5.1 Distribusi Poisson ............................................................ 8
2.5.2 Distribusi Gamma ............................................................ 11
ii
2.5.3 Distribusi Binomial Negatif ............................................. 13
2.6 Analisis Bayes ........................................................................... 18
2.6.1 Sebaran Prior .................................................................... 18
2.6.2 Sebaran Posterior .............................................................. 18
2.6.3 Fungsi Kerugian ............................................................... 18
2.6.4 Solusi Bayes ..................................................................... 19
2.7 Metode Momen ......................................................................... 19
2.8 Chi-Square Goodness of Fit Test .............................................. 20
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ................................................... 22
3.2 Data Penelitian .......................................................................... 22
3.3 Diagram Alir …………………………………………………. 23
3.4 Metode Penelitian ...................................................................... 24
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
iii
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4.1 Data Banyaknya Klaim Asuransi Kendaraan Pemegang Polis
Pada Tahun 2006 …………………………………………………. 38
4.2 Hasil Penghitungan Premi Dari Data Banyaknya Klaim Pada
Tahun 2006 ……………………………………………………….. 42
4.3 Data Bangkitan Banyaknya Klaim Pemegang Polis Pada
1 Periode ………………………………………………………….. 43
4.4 Hasil Penghitungan Premi Dari Data Bangkitan …………………. 45
iv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Hasil Output Chi-Square Goodness of Fit Test Pada Minitab …. 39
Gambar 2. Hasil Output Descriptive Statistics Untuk Nilai Rata-Rata
dan Varian Pada Minitab ………………………………………. 40
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Asuransi merupakan transaksi pertanggungan yang melibatkan dua pihak yaitu
tertanggung (nasabah asuransi/pemegang polis) dan penanggung (perusahaan
asuransi). Pertanggungan yang dimaksud adalah dalam bentuk pengalihan risiko
dari pihak tertanggung kepada pihak penanggung. Dalam hal ini pihak
penanggung menjamin pihak tertanggung dan pihak tertanggung diwajibkan
membayar sejumlah uang kepada penanggung yang biasa disebut dengan premi.
Jika dalam masa periode asuransi tersebut pihak tertanggung mengalami suatu
kerugian yang sesuai dengan yang telah disepakati di awal perjanjian maka ia
berhak untuk melakukan permintaan untuk mendapatkan santunan atau sebuah
penggantian dari kerugian yang dialami. Permintaan ini disebut dengan istilah
klaim dan klaim hanya bisa dilakukan jika masa periode asuransinya masih
berlangsung atau berlaku.
Secara garis besar asuransi terbagi menjadi dua jenis yaitu asuransi jiwa dan
asuransi non jiwa atau asuransi kerugian. Asuransi jiwa menutup pertanggungan
untuk membayarkan sejumlah santunan karena meninggalnya seseorang
sedangkan asuransi non jiwa menutup pertanggungan untuk kerugian karena
2
kerusakan atas harta benda yang dipertanggungkan. Pada penelitian ini jenis
asuransi yang akan digunakan adalah asuransi non jiwa yaitu asuransi kendaraan.
Sama seperti halnya asuransi pada umumnya, pihak tertanggung harus membayar
premi untuk satu periode asuransinya dan pada periode tersebut jika kendaraan
yang dipertanggungkan mengalami kerusakan maka pihak tertanggung dapat
melakukan klaim. Pada asuransi kendaraan premi yang ditanggung oleh nasabah
asuransi atau pemegang polis didasari oleh jenis kendaraan dan tahun pembuatan
kendaraan tersebut. Semakin mahal jenis kendaraan maka semakin besar premi
yang harus dibayar. Begitu juga dengan usia kendaraan, semakin lama usia
kendaraan yang diasuransikan maka semakin tinggi premi yang harus dibayarkan.
Terdapat berbagai sistem yang dapat digunakan untuk menetapkan premi yang
harus dibayar oleh seorang pemegang polis dan setiap perusahaan asuransi
menerapkan sistem yang berbeda-beda. Salah satu sistem yang ditawarkan oleh
perusahaan asuransi adalah sistem Bonus Malus. Sistem ini merupakan sistem
yang digunakan dalam asuransi kendaraan. Sistem ini memperkenalkan
pembagian kelas premi yang dipengaruhi oleh banyaknya klaim yang diajukan
oleh pemegang polis tiap tahunnya. Pada sistem ini, pemegang polis yang tidak
mengajukan klaim pada periode sebelumnya akan diberikan penurunan premi
pada periode berikutnya yang disebut sebagai ’Bonus’ sedangkan bagi pemegang
polis yang telah mengajukan satu atau lebih klaim pada periode sebelumnya akan
dikenakan kenaikan premi pada periode berikutnya yang disebut sebagai ’Malus’.
3
Dalam penelitian ini akan dilakukan penghitungan premi dengan sistem bonus
malus pada asuransi kendaraan menggunakan analisis bayes. Pada analisis bayes
terdapat sebuah sebaran prior dan sebaran posterior dimana sebaran prior tersebut
mempengaruhi sebaran posterior. Sehingga sebaran priornya adalah karakteristik
mengemudi pemegang polis dan sebaran posteriornya adalah banyaknya klaim
pada periode sebelumnya. Dari sebaran prior dan posterior tersebut akan dicari
ekspektasi atau nilai harapan yang akan digunakan untuk menghitung premi
dengan mengaitkannya dengan premi awal atau premi pada priode sebelumnya.
Dilihat dari sudut pandang pemegang polis, sistem bonus malus yang dibangun
menggunakan analisis bayes sangat adil karena premi yang harus dibayarkan oleh
setiap pemegang polis pada saat perpanjangan polis merupakan premi yang
proporsional dengan taksiran banyaknya klaim. Sementara itu, dilihat dari sudut
pandang perusahaan asuransi sistem bonus malus yang dibangun dengan
menggunakan analisis bayes seimbang secara finansial. Oleh karena itu, pada
penelitian ini peneliti ingin melakukan penghitungan premi pada asuransi
kendaraan dengan menggunakan analisis bayes berdasarkan banyaknya klaim
pemegang polis pada periode sebelumnya. Penghitungan premi ini akan
diterapkan pada sebuah data dari banyaknya klaim pemegang polis tahun 2006
pada salah satu perusahaan asuransi kendaraan yang berdomisili di Bandung dan
sebuah data bangkitan yang akan dibangkitkan dengan menggunakan software
minitab 17.
4
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah
1. Untuk menentukan premi berdasarkan banyaknya klaim pemegang polis pada
periode sebelumnya dengan menggunakan analisis bayes.
2. .Untuk melihat apakah banyaknya klaim pada periode sebelumnya
mempengaruhi premi yang harus dibayarkan pada periode berikutnya.
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah dapat mengetahui bagaimana
menentukan premi asuransi kendaraan berdasarkan banyaknya klaim periode
sebelumnya dan mengetahui bagaimana pengaruh banyaknya klaim periode
sebelumnya terhadap premi yang akan dibayarkan pada periode berikutnya.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada penelitian ini terdapat beberapa teori dasar atau definisi - definisi yang akan
digunakan dalam penelitian ini, yaitu sebagai berikut :
2.1 Ruang Sampel dan Kejadian
Misalkan akan dilakukan sebuah percobaan yang hasil akhirnya tidak dapat
diprediksi. Semua kemungkinan yang ada di dalam sebuah percobaan ini disebut
ruang sampel yang dinyatakan dengan S dan elemen yang berada di dalam ruang
lingkup S disebut dengan kejadian yang dinotasikan dengan E (Hogg, Mckean,
Craig, 2012).
2.2 Peluang
Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan dan A1, A2, …. adalah kejadian-
kejadian yang mungkin terjadi dalam S, dan misalkan P adalah suatu fungsi yang
menghasilkan nilai real P(A) untuk setiap kejadian A, maka P(A) disebut peluang
dari A jika memenuhi :
a) P(A) ≥0, untuk setiap kejadian A
6
b) P(S) = 1
c) Jika A1, A2, …. adalah barisan kejadian saling bebas (Ai∩Aj = ∅ dengan i≠j dan
Ai ∈ S ) maka: ∑ ( )(Bain & Engelhardt, 1992).
2.3 Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang
Misalkan sebuah percobaan acak dengan ruang sampel C. Suatu fungsi X yang
memetakan tiap elemen c ∈ C dengan satu dan hanya satu bilangan real X(c) = x,
maka ini disebut dengan peubah acak (Hogg & Craig, 1995).
2.3.1 Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Diskrit
Pandang peubah acak X, dengan ruang sampel berdimensi satu C, C merupakan
himpunan titik-titik, sehingga setiap selang hingga mengandung berhingga
banyaknya titik C. Misalkan ada fungsi ( ) yang memenuhi :
1. f(x) > 0, ∀ ∈ C
2. ∑ ( ) = 1maka X disebut Peubah Acak diskrit dan ( ) disebut fungsi kepekatan peluang
dari X (Hogg & Craig, 1986).
7
2.3.2 Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Kontinu
Pandang peubah acak X, dengan sampel berdimensi satu C yang kontinu,
misalkan ada fungsi ( ) yang memenuhi :
1. f(x) ≥ 0, ∀ ∈ C
2. ∫ ( ) = 1maka X disebut Peubah Acak Kontinu dan ( ) disebut fungsi peluang dari X
(Hogg & Craig, 1986).
2.4 Ekspektasi dan Variansi
2.4.1 Ekspektasi
Jika peubah acak diskrit X mempunyai fungsi kepekatan peluang f(x) maka nilai
ekspektasi peubah acak diskrit X adalah
E(X) = ∑ ( ) (2.4.1)
Dan nilai ekspektasi peubah acak kontinu X adalah
E(X) = ∫ ( ) (2.4.2)
Sifat-sifat ekspektasi :
1. Jika k adalah konstanta, maka E(k) = k
2. Jika k adalah konstanta dan v adalah suatu fungsi , maka E(kv) = k E(v)
3. Jika k1, k2, ..., km adalah konstanta dan v1, v2, ..., vm adalah fungsi, maka
E(k1v1+k2v2+...+kmvm) = k1E(v1) + k2E(v2) + ... + kmE(vm)
8
E(X) disebut juga sebagai nilai mean/rata-rata µ dari variabel acak X (Hogg &
Craig, 1995).
2.4.2 Variansi
Variansi peubah acak X atau Var (X) dapat didefinisikan sebagai berikut :
Var (X) = E[(X-µ)]2
= E(X2 - 2µE(X) - µ2)
= E(X2) - 2E(X)E(X) - [E(X)]2
= E(X2) - 2[E(X)]2 - [E(X)]2
= [E(X)]2 - [E(X)]2 (2.4.3)
(Hogg & Craig, 1995).
2.5 Distribusi Peluang
2.5.1 Distribusi Poisson
Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil
percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah
λ λ! ; x = 0, 1, 2, ... (2.5.1)
p(x ; λ) =
0 ; x lainnya
9
keterangan : x = banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang
waktu atau daerah tertentu
λ = rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang
waktu atau dalam daerah tertentu
e = 2,71828...
Ekspektasi dan Varian dari distribusi Poisson :
E(X) = ∑ ( )= ∑ −λ λ!= 0 + ∑ −λ λ( −1)!= ∑ λ
−λ λ −1( −1)!∞= λ ∑ λ λ( )!∞=1
misal : y = x-1
x = 1 → y = 0 dan x = ∞ → y = ∞= λ ∑ λ λ!∞=0= λ
E(X2) = ∑ ( )
10
= ∑ !∞= 0 + ∑ ( )!= ∑ λ ( )!= λ ∑ ( )!
misal : y = x-1
x = 1 → y = 0 dan x = ∞ → y = ∞= λ ∑ ( + 1) != λ ∑ λ λ! + ∑ λ λ!= λ [E(Y) +1]
= λ (λ+1)
= λ + λ
Var (X) = E(X2) - [E(X)]2
= λ + λ - λ
= λ
(Ronald E Walpole, 1995).
11
2.5.2 Distribusi Gamma
Fungsi Gamma dinotasikan dengan (α) untuk semua α > 0,
(α) = ∫ t e dt (2.5.2)
Suatu peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter
> 0 dan > 0 jika fungsi kepekatan peluangnya berbentuk
( ) ; x > 0 (2.5.3)
f(x; , ) =
0 ; x lainnya
dengan adalah parameter bentuk dan adalah parameter skala pada distribusi
gamma.
Ekspektasi dan Varian dari distribusi Gamma :
E(X) = ∫ ( )= ∫ ( )= ∫ ( )= ( ) ∫
misal : y = → = batas : x = 0 → y = 0
= dy x = ∞ → = ∞= ( ) ∫ dy
12
= ( ) ∫ dy
= ( ) (α + 1)=
( )( )=
E(X2) = ∫ ( )= ∫ ( )= ∫ ( )= ( ) ∫
misal : y = → = batas : x = 0 → y = 0
= dy x = ∞ → = ∞= ( ) ∫ dy
= ( ) ∫ dy
= ( ) (α + 2)=
( ) ( )( )=
( )
13
=
Var (X) = E(X2) - [E(X)]2
= −= −=
=
(Bain & M Engelhardt, 1991).
2.5.3 Distribusi Binomial Negatif
Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi binomial negatif jika memiliki fungsi
kepekatan peluang :
+ α − 1 α ; x = 0, 1, 2, ... (2.5.4)
p(X=x) =
0 ; x lainnya
keterangan : x = jumlah percobaan sampai dengan sukses ke-αα = jumlah sukses yang diinginkan
p = peluang terjadinya sukses
q = peluang tidak terjadinya sukses
14
Jika terdapat distribusi dengan fungsi peluang campuran poisson-gamma maka
fungsi marginal dari peluang campuran tersebut akan menghasilkan fungsi
peluang binomial negatif.
Bukti :
p(X=x) = ∫ p (x) ∙ f (λ) λ= ∫ −λ λ! ∙ ( ) λ λ= ! ( ) ∫ λ λ( ) λ
misal : y = λ(1 + τ) batas 0< λ<∞ → 0<y<∞λ = ( )
λ = 1(1+τ) dy
= ! ( ) ∫ y=
α! (α)(1+τ)α+x ∫ yα+ −1∞0 −y= ! ( )( ) (α + x)=
( )! ( ) ( )=
( )! ( ) ( ) ( )
15
=( )! ( ) ( ) ( )
=( )!! ( )!
= α + − 1 α ; = =Ekspektasi dan Varian dari distribusi Binomial Negatif :
E(X) = ∑ ( )= ∑ α + x − 1= 0 + ∑ ( )!( )! != ∑ ( )!( )! ( )!= ∑ ( )!( )! ( )!= ∑ ( )!! ( )!
misal : y = x-1 → x = y+1 batas : x = 1 → y = 0
r = α + 1 → α = r-1 x = ∞ → y = ∞= ∑ ( )!( )! != ∑ ( )!( )! != ∑ r + y − 1
16
=
E(X2) = ∑ ( )= ∑ α + x − 1= 0 + ∑ ( )!( )! != ∑ ( )!( )! ( )!= ∑ ( )!( )! ( )!= ∑ ( )!! ( )!
misal : y = x-1 → x = y+1 batas : x = 1 → y = 0 dan
r = α + 1 → α = r-1 x = ∞ → y = ∞= ∑ ( + 1) ( )!( )! != ∑ ( + 1) ( )!( )! != ∑ ( )!( )! ! + ∑ ( )!( )! != [ ( ) + 1]= + 1= +
17
=
=( )
=
=( )
=
=
Var (X) = E(X2) - [E(X)]2
= -
= -
=
=
(www.wikipedia.Negative_binomial.com).
18
2.6 Analisis Bayes
2.6.1 Sebaran Prior
Suatu peubah acak X dengan parameter θ memiliki fungsi kepekatan peluang
bersyarat yang dinotasikan dengan f(x1,x2,..., xn| θ) dan f (θ ) adalah fungsi
kepekatan peluang dari θ yang dinamakan sebaran prior (Arnold, 1990).
2.6.2 Sebaran Posterior
Misalkan peubah acak memiliki sebaran prior dengan fungsi kepekatan peluang
bersama yang dilambangkan dengan f(x1,x2,..., xn| θ) dan θ memiliki fungsi
kepekatan peluang f(θ) . Fungsi kepekatan peluang gabungan dari (X, θ)
dilambangkan dengan f(θ| x1,x2,..., xn) dinamakan fungsi kepekatan peluang dari
sebaran posterior, dan dinyatakan dengan
f(θ| , … , ) =( ,…, |θ) (θ)( ,…, ) ; ( , … , ) = ∫ ( , … , |λ) (θ) d λ
(Arnold, 1990).
2.6.3 Fungsi Kerugian
Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan parameter θ dan penduga
parameternya θ. Fungsi kerugian dari parameter tersebut adalah
L(X;θ) ≥ 0 , ∀X (2.6.1)
dan
19
L(X;θ) = 0 jika X = θ. (2.6.2)
Fungsi kerugian kuadratik merupakan fungsi kerugian dengan kesalahan kuadrat
dari parameter tersebut dinyatakan dengan
L(X;θ) = (X - θ)2 (2.6.3)
(Bain & Engelhardt, 1992).
2.6.4 Solusi Bayes
Misalkan Y adalah suatu peubah acak dan θ adalah suatu parameter dengan
penduga parameternya θ, dengan fungsi kerugian L(θ,θ) dan nilai harapan fungsi
tersebut yaitu :
E[L(θ,θ)|Y=y] = ∫ L θ, θ f(θ| ) dy (2.6.4)
E[L(θ,θ)] merupakan solusi bayes.
(Hogg, McKean, Craig, 2012).
2.7 Metode Momen
Misalkan 1, 2,… , merupakan populasi yang memiliki fungsi kepekatan
peluang ( 1| 1,… , ). Metode pendugaan dengan momen dilakukan dengan
cara menyamakan momen sampel dan momen populasi dengan menyelesaikan
sistem tersebut secara bersama.
20
= 1 , μ = E(X)= 1 , μ = E(X)
⋮= 1 , μ = E(X)
Momen populasi sering ditulis sebagai fungsi dari ( 1,… , ), yaitu( 1,… , ). Metode momen penduga ( 1,… , ) dari ( 1,… , ) didapat dengan
menyelesaikan sistem persamaan untuk ( 1,… , ) dalam notasi( 1, … , ) sebagai
berikut:
1 = 1( 1,… , ),2 = 2( 1,… , ),⋮3 = 3( 1,… , )
(Casella dan Berger, 1990).
2.8 Chi-Square Goodness of Fit Test
Uji Kecocokan model antara frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan
didasarkan pada besaran :
2 = ∑ ( )(2.10.1)
21
sedangkan 2 merupakan statistika yang menyebar chi-square. Lambang dan
menyatakan frekuensi teramati dan frekuensi harapan bagi sel ke-i (Walpole,
1995).
Uji hipotesis adalah salah satu uji statistika yang dilakukan untuk pengujian
kesesuaian parametrik βi yang dibuat. Dengan hipotesis sebagai berikut :
H0 : βi = 0
H1 : βi ≠ 0
Maka dengan menggunakan nilai dari chi-square hitung dan chi-square tabel akan
berlaku pengambilan kaidah keputusan sebagai berikut. χ2hit > χ2
tabel maka
hipotesis nol di atas ditolak dan jika χ2hit < χ2
tabel maka hipotesis nol diterima
(Hosmer & Lemeshow, 1989).
22
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2017/2018 bertempat di
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Pada penelitian ini akan digunakan data dari banyaknya klaim pemegang polis
asuransi kendaraan roda empat pada tahun 2006 yang berasal dari salah satu
perusahaan asuransi kendaraan yang berdomisili di Bandung dan juga akan
digunakan data bangkitan yang berdistribusi binomial negatif dengan jumlah
1500 menggunakan software minitab 17.
23
3.3 Diagram Alir
Adapun diagram alir dari metode penelitian ini adalah sebagai berikut :
Menentukan DistribusiPeluang Banyaknya Klaim
Menentukan Sebaran atauDistribusi Prior
Mencari EkpektasiDistribusi Prior
Mencari Distribusi Posteriordengan Analisis Bayes
Mencari EkpektasiDistribusi Posterior
Merumuskan RumusPenghitungan Premi
Melakukan pendugaanparameter α dan τ
Melakukan Uji KecocokanData
Melakukan PenghitunganPremi
24
3.4 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini akan dilakukan penghitungan premi pada periode berikutnya
berdasarkan banyaknya klaim pada periode sebelumnya dengan menggunakan
analisis bayes. Adapun langkah - langkah yang akan dilakukan yaitu sebagai
berikut :
1. Menentukan distribusi peluang dari banyaknya klaim
Berdasarkan fenomena dari terjadinya klaim, banyaknya klaim dapat dipandang
sebagai peubah acak yang mengikuti distribusi poisson (Meyers dan Schenker,
1984).Hal itu karena distribusi poisson biasanya digunakan untuk menghitung
probabilitas terjadinya peristiwa pada selang periode waktu tertentu dan juga salah
satu sifat distribusi poisson adalah banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang
waktu tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi di selang waktu yang lain
(bebas). Pada asuransi, klaim pada periode berikutnya tidak terpengaruh dari
banyaknya klaim pada periode - periode sebelumnya.
Misal kan X adalah banyaknya klaim maka X merupakan suatu peubah acak.
X ~ Poisson (λ)
λλ! ; x = 0, 1, 2, ... dan λ > 0 (3.3.1.1)
p(X=x, λ) =
0 ; x lainnya
25
dengan parameter λ menyatakan rata-rata banyaknya klaim pemegang polis dan x
adalah banyaknya klaim.
2. Menentukan distribusi atau sebaran prior
Distribusi poisson dengan peubah acak X yang menyatakan banyaknya klaim dari
pemegang polis memiliki parameter λ yang menyatakan rata-rata banyaknya
klaim pemegang polis dimana artinya nilai λ sama atau konstan. Tetapi pada
kenyataannya setiap pemegang polis memiliki karakteristik mengemudi yang
berbeda. Ini biasanya dipengaruhi oleh jenis kelamin pemegang polis, usia, jenis
kendaraan dan tempat domisili dari pemegang polis yang berbeda-beda. Oleh
karena itu, karakteristik mengemudi menjadi suatu informasi tambahan dalam
mempengaruhi banyaknya klaim pemegang polis sehingga λ menjadi suatu
peubah acak yang memiliki distribusi peluang. Distribusi dari λ merupakan
distribusi prior pada penelitian ini.
Nilai rata-rata merupakan suatu nilai yang bersifat kontinu sehingga peubah acak
λ yang merupakan rata-rata banyaknya klaim akan memiliki distribusi peluang
yang kontinu. Pada penelitian ini, distribusi kontinu yang akan digunakan oleh
peneliti adalah distribusi gamma sebagai distribusi priornya.
26
λ adalah rata-rata banyaknya klaim dan λ adalah peubah acak kontinu,
λ~ Gamma (α, )
α(α) λα ; λ > 0 dan α, > 0 (3.3.2.1)
f (λ) =
0 ; selainnya
ket: α = parameter bentuk yang menyatakan bentuk sebaran dari banyaknya klaim
= parameter skala yang menyatakan besar keragaman dari banyaknya klaim
Fungsi campuran dari kedua peubah acak X dan λ yang menyatakan banyaknya
klaim dan rata-rata banyaknya klaim adalah sebagai berikut :
f (x , λ) = p (x) ∙ f (λ)=
λ λ! ∙ α(α) λα−1 − λ (3.3.2.2)
Sehingga banyaknya klaim memiliki fungsi marginal yang berdistribusi Binomial
Negatif dari fungsi campuran pada persamaan (3.3.2.2) yang telah dibuktikan
pada tinjauan pustaka.
3. Mencari Ekspektasi dari Distribusi Prior
Pada penghitungan premi akan dibutuhkan nilai harapan atau rata-rata banyaknya
klaim yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi pemegang polis sehingga
akan dicari ekspektasi dari distribusi priornya.
27
E(λ) = ∫ λ f(λ) dλ= ∫ λ ( ) dλ=
α(α)∫ − λλα dλ∞0misal : y = λ → λ = yτ batas : λ > 0 → y > 0
dλ ==
α(α)∫ − α∞0= ( ) ∫ y= ( ) (α + 1)=
( )( ) =α
(3.3.3.1)
Diperoleh E(λ) = yang artinya nilai harapan atau rata-rata banyaknya klaim
yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi pemegang polis adalah sebesar
4. Mencari Distribusi Posterior dengan Analisis Bayes
Selanjutnya akan dicari distribusi posterior pada penelitian ini dengan prior yang
telah ditentukan pada langkah sebelumnya dan akan diperoleh dengan
menggunakan analisis bayes.
28
Jika sampai periode t seorang pemegang polis mempunyai sejarah frekuensi klaim
x1, x2, ... , xt, maka fungsi densitas bersamanya adalah :
p(x1, x2, ... , xt|λ) = p(x1|λ) p(x2|λ) ... p(xt|λ)
=λλ! ∙ λλ! ∙ ⋯ ∙ λλ!
=λλ∑∏ ( !)
Dengan menggunakan teorema bayes, distribusi posterior untuk peubah acak λadalah :
f(λ| , … , ) =( ,…, | ) ( )( ,…, )( , … , ) = ∫ ( , … , |λ) (λ) d λ
(Arnold, 1990).
• ( , … , |λ) (λ) =λλ∑∏ ( !) ∙ ( )
=λ( ) λ∑∏ ( !) ( )
• ( , … , ) = ( , … , |λ) (λ) d λ= ∫ λλ∑∏ ( !) ∙ ( ) λ
29
= ∫ λ( ) λ∑∏ ( !) ( ) λmisal :λ(t + τ) = y batas :λ > 0 → y > 0
λ =dλ = dy
= ∏ ( !) ( )∫ ∑ y= ∏ ( !) ( )( )∑ ∫ ∑ y= ∏ ( !) ( )( )∑ ∙ (α + ∑ x )
sehingga,
f(λ| , … , ) =( ,…, | ) ( )( ,…, )
=
λ( ) λ∑∏ ( !) ( )∑∏ ( !) ( )( )∑
=λ( ) λ∑∏ ( !) ( ) ∙ ∏ ( !) ( )( )∑∑
=λ( ) λ∑ ( )∑∑
30
=λ( ) λ ( )( )
f(λ| , … , ) = (t+τ) +(α+K) λ + −1 −λ(t+τ) (3.3.4.1)
dengan ∑ x = KPersamaan (3.3.4.1) merupakan fungsi kepekatan peluang dari distribusi gamma
dengan parameter (α+K , + ).
Jadi, distribusi posterior pada penelitian ini adalah distribusi gamma dengan
parameter (α+K , + ) dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
( )( ) λ λ( ) ; λ > 0 dan α , > 0 (3.3.4.2)
F(λ| , … , ) =0 ; selainnya
dengan K=∑ yaitu total jumlah klaim sampai tahun t dan t adalah
periode/waktu.
5. Mencari ekspektasi dari sebaran posterior
Untuk menghitung premi bonus malus dibutuhkan nilai ekspektasi dari sebaran
posterior pada penelitian ini. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran prior pada
persamaan (3.3.4.2) akan dicari ekspektasinya yaitu sebagai berikut :
31
E(λ| , … , )= ∫ λ f(λ| , … , ) dλ= ∫ λ (t+τ) +(α+K) −λ(t+τ)λ + −1 dλ=( )( ) ∫ λ( )λ dλ∞0
misal : y = λ(t + τ) → λ = batas : λ > 0 → y > 0dλ =
=( )( ) ∫ y∞0
= ( ) ( ) (α + K + 1)=( ) ( )( ) ( )
E(λ| , … , ) = (3.3.5.1)
Diperoleh E(λ) = yang artinya nilai harapan atau rata-rata banyaknya klaim
pada periode sebelumnya dapat dirumuskan sebagai
6. Merumuskan Rumus Penghitungan Premi
Untuk menghitung premi pada periode berikutnya yang berdasarkan banyaknya
klaim pada periode sebelumnyayaitu adalah premi awal (saat t = 0) dikalikan
dengan rata-rata banyaknya klaim pada periode sebelumnya yang telah diperoleh
pada langkah sebelumnya (3.2.5.1) yang dirumuskan sebagai berikut:
32
Pt = P0 ∙ α + K+ (3.3.6.1)
Dalam kasus asuransi kendaraan banyaknya klaim pemegang polis dapat
dipengaruhi dari karakteristik mengemudi pemegang polis tersebut. Karakteristik
mengemudi ini seperti halnya jenis kelamin, usia, jenis kendaraan, domisili dan
sebagainya. Pemegang polis laki-laki dan perempuan tentunya memiliki keahlian
mengemudi berbeda dan begitu juga jika pemegang polis tersebut tua atau muda.
Hal ini membuat karakteristik mengemudi menjadi suatu faktor yang dapat
mempengaruhi banyaknya klaim pemegang polis sehingga nilai rata-rata
banyaknya klaim yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi yang telah
diperoleh pada langkah sebelumnya (3.3.3.1) menjadi suatu pembobot untuk
menghitung premi. Sehingga diperoleh :
Pt = P0 . = P0.( )( ) (3.3.6.2)
ket : P0 = premi awal
K = jumlah seluruh klaim pada periode sebelumnya
t = periode
α= parameter pada distribusi binomial negatif
= , dimana p parameter dari distribusi binomial negatif
33
7. Melakukan pendugaan parameter α dan
Pada rumus penghitungan premi terdapat parameter α dan dimana :
α = parameter pada distribusi binomial negatif
= , dengan p parameter dari distribusi binomial negatif
Sehingga untuk dapat melakukan penghitungan premi maka kedua parameter
tersebut akan diduga dan pendugaan akan dilakukan dengan metode momen.
8. Melakukan Uji Kecocokan Data dengan Chi-Square Goodness of Fit Test
Untuk melakukan penghitungan premi dengan rumus yang telah diperoleh pada
langkah sebelumnya maka data yang akan digunakan harus berdistribusi binomial
negatif. Oleh karena itu, akan dilakukan uji kecocokan data pada data banyaknya
klaim pemegang polis pada tahun 2006 apakah data tersebut berdistribusi
binomial negatif atau tidak dengan Chi-Square Goodness of Fit Test dan
menggunakan software minitab 17.
9. Melakukan Penghitungan Premi
Jika penduga parameter α dan telah diperoleh dan data yang akan digunakan
berdistribusi binomial negatif maka penghitungan premi dapat dilakukan dengan
menggunakan rumus yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya,
Pt = P0 .( )( ) (3.3.9.1)
34
ket : P0 = premi awal
K = jumlah seluruh klaim pada periode sebelumnya
t = periode
= penduga parameter α
= penduga parameter
Selain menghitung premi pada data banyaknya klaim pemegang polis pada tahun
2006, penghitungan premi juga akan dilakukan pada sebuah data bangkitan yang
berjumlah 1500 dengan nilai parameter yang sama pada data banyaknya klaim
pemegang polis pada tahun 2006.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai
berikut :
1. Menentukan premi berdasarkan banyaknya klaim pemegang polis pada
periode sebelumnya dapat dilakukan dengan menggunakan analisis bayes.
2. Penghitungan premi dengan menggunakan analisis bayes dapat diperoleh
dengan premi awal yang dikalikan dengan ekspektasi dari distribusi
posterior lalu dibagi dengan ekspektasi dari distribusi priornya.
3. Premi akan berkurang jika pemegang polis tidak melakukan klaim pada
periode sebelumnya dan premi akan bertambah jika pemegang polis
melakukan klaim sebanyak satu atau lebih pada periode sebelumnya.
4. Semakin banyak klaim yang dilakukan pada periode sebelumnya maka
akan semakin besar premi yang harus dibayar pada periode berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Aceng dan Komarudin. 2008. Penghitungan Premi Untuk Asuransi KendaraanBermotor Berdasarkan Sejarah Frekuensi Klaim Pemegang PolisMenggunakan Analisis Bayes. Pythagoras. 1 (4) : 47-55.
Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Bain LJ dan Engelhardt M. 1991. Introduction to Probability and MathematicalStatistics. Duxbury Press. Belmont, California.
Bain LJ dan Engelhardt M. 1992. Introduction to Probability and MathematicalStatistics. Ed. ke-2. PWS-KENT publishing Company. Boston.
Casella dan Berger. 1990. Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole.California.
Hogg and Craig. 1986. Introduction to Mathematical Statistics. FifthEdition. Prentice-Hall International Inc. New Jersey.
Hogg dan Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Academic Press.New York.
Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2012. Introduction to Mathematical Statistics. Edke-7. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Hosmer dan Lemeshow. 1989. Applied Logistic Regression. JohnWiley and Sons. New York.
Meyers, G dan Schenker, N. 1984. Parameter Urcentainty in the Collective RiskModel. www.casact.org.
Walpole, RE. 1995. Pengantar Statistika. PT. Gramedia Pustaka Utama. Jakarta.
Wikipedia Contributors. 2017. “Negative Binomial Distribution”.https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Negative_binomial_distribution&oldid=816463769. Diakses pada 28 Desember 2017 pukul 12:35 WIB.
