Simulation mit modernen Tools - hs- · PDF file2 1. Wozu Simulation? 2. Moderne Tools zur Simulation 1. Maple, Geogebra und Matlab 2. Etwas genauer betrachtet: Matlab 3. Simulationen

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Simulation mit modernen Tools- runde und spitze Berechnung von π -

Prof. Dr. rer. nat. Stefan RitterFakultät EIT27. April 2012

Gliederung

1. Wozu Simulation?2. Moderne Tools zur Simulation

1. Maple, Geogebra und Matlab2. Etwas genauer betrachtet: Matlab

3. Simulationen1. Monte-Carlo Simulationen2. „Berechnung“ von π durch Dartwurf auf ein Quadrat3. „Berechnung“ von π durch Werfen von Nadeln

4. Zusammenfassung

27.04.2012 2Stefan Ritter (EIT)

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1. Wozu Simulation? 2. Moderne Tools zur Simulation



4. Zusammenfassung


27.04.2012 Stefan Ritter (EIT) 4

1 Wozu Simulation?

Simulation spart Kosten und spart Zeit

Simulation ist ungefährlich

Simulation liefert Systemverständnis

Simulation verläuft auf einer anderen Zeitskala

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Gliederung

1. Wozu Simulation?

2. Moderne Tools zur Simulation1. Maple, Geogebra und Matlab2. Etwas genauer betrachtet: Matlab


4. Zusammenfassung



2.1 Maple

• Computer-Algebra System• Numerik• Grafik

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• Programmierumgebung mit CAS• Schöne Grafik-Animationen• Interaktive Worksheets• kostenlos!

Geogebra


• Numerische Berechnungen• Große Datenmengen• Graphik• Toolboxen

Matlab

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2.2 Etwas genauer betrachtet: Matlab

% Matrix und Vektor als Datenstruktur>> x=[1 2 4 9]>> y=sqrt(x)

% Datenanalyse mit find>> index=find(y>1.5)

y=[1.0000 1.4142 2.0000 3.0000]

index=[3 4]

Gliederung




4. Zusammenfassung


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3.1 Monte-Carlo Simulation

• Simulation auf Basis von Zufallsexperimenten• Realisierung auf dem Computer durch Zufallszahlen• MC-Simulationen werden oft auf deterministische Probleme angewendet

Zufallsexperiment:

•Ergebnis ω: Ausgang eines Experiments

•Ergebnisraum Ω : Gesamtheit der Ergebnisse

•Ereignis A: Teilmenge von Ω

•Es werden n Experimente durchgeführt:

• Gesetz der großen Zahlen


nAmitErgebnissederAnzahlAhn =)(

.),()( ∞→→ nAPAhn

Basis der Monte-Carlo Simulation

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Vorgehen bei der Monte-Carlo Simulation

1. Erzeuge Zufallszahl

2. Werte Zufallszahl aus:

Entscheide: „Treffer“ / „Nicht Treffer“

3. Wiederhole Schritte 1 und 2 sehr oft

4. Bilde Trefferquote als Schätzung der gesuchten Größe


Geometrische Wahrscheinlichkeiten

•Zufallsexperiment: Dartwurf auf Rechteck R

•Ergebnisraum Ω ↔ Fläche R mit Inhalt |R|

•Ereignis A ⊂ Ω ↔ Fläche A mit Inhalt |A|

•Geometrische Wahrscheinlichkeit: .||||)(

RAAP =

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Betrachte das Einheitsquadrat

R = {(x, y): x ∈ [0,1], y ∈ [0,1]} mit |R|=1

A = Viertelkreis (Radius 1) mit |A|=π/4

3.2 „Berechnung“ von π durch Dartwurf auf ein Quadrat

MC-Simulation:

1. Erzeuge n Zufallspunkte (Paare gleichverteilter Zufallszahlen aus [0,1])

2. Prüfe: „Treffer“für i=1,2,..n.

3. Bilde relative Häufigkeit der Treffer:

4. Näherung:

nkAhn =)(

)(4)()(4

AhAhAP nn ⋅≈⇒≈= ππ

1),( 22 ≤+⇔∈= iiiii yxAyxX

RyxX iii ∈= ),(


%% Berechnung von Pi mit Darts%n=1000;% rand: in (0,1) gleichverteilte Zufallszahlenx=rand(n,1);y=rand(n,1);anz_in_kreis=sum(x.^2+y.^2< 1);Trefferquote=anz_in_kreis/n;etwa_pi=Trefferquote*4

Implementierung in Matlab

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Ergebnis der Simulation

n πn

100 3.04001000 3.2200

10.000 3.1516100.000 3.1471

1000.000 3.1403


3.3 „Berechnung“ von π durch Werfen von Nadeln

Louis Leclerc de Buffon (1707-1788, französischer Naturforscher)

•In der Ebene sind parallele Linien gezogen, die den Abstand d haben•Auf diese Ebene werde zufällig eine Nadel der Länge l geworfen, l < d. •Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel eine Linie?

πϕ ≤≤≤≤ 0,2

0 dx

)sin(2

ϕ⋅=≤lyx

•Bedingung “Nadel kreuzt Linie“:

x: Abstand Nadelmitte - näheste Linieϕ: Winkel Nadel gegen Linie

bzw. ]180,0[ oi ∈ϕ

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Monte-Carlo Simulation

•Betrachte gleichverteilte Zufallszahlen

.,..,1,2

,0],,0[ nidxii =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈∈ πϕ

R

•Nadel kreuzt Linie:

)sin(2 iiilyx ϕ=≤⇒ „Treffer“

R

•Nadel kreuzt Linie nicht:

)sin(2 iiilyx ϕ=>⇒ „nicht

Treffer“

R

Parameterbereich

bzw. ]180,0[ oi ∈ϕ


Interpretation als „geometrische Wahrscheinlichkeit“

)sin(2

),( iiiiiilyxAxX ϕϕ =≤⇔∈=

•Treffer: Nadel kreuzt Linie

•Trefferquote: nkAhn =)(

lldlA ∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⋅=

π π

ϕϕϕ0 0

))cos((2

)sin(2

||

dl

dl

RA

⋅⋅

=⋅

=⇒ππ

2

2||||

•Geometrische Wahrscheinlichkeit

dRA

l

⋅

⋅=⇒

||||

2π

•Nutze „Trefferquote“ zur Berechnung der Näherung:dAh

l

n ⋅⋅

≈)(

2π

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%% Buffonsches Problem%d=1;l=0.5;n=20;x=rand(n,1)*d/2;phi=rand(n,1)*180;Nadeln_kreuzen=sum(x<l/2*sind(phi));Trefferquote=Nadeln_kreuzen/n;pi_n=2*l/(Trefferquote*d)

Implementierung in Matlab


n πn

100 2.9412 1000 2.9070

10.000 3.1172100.000 3.1452

1000.000 3.1379

Ergebnis der Simulation

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Hier die daraus von einigen Experimentalforschern erzielten Näherungswerte für π:

• 3.1596 (Wolf, im Jahre 1850, 5000 Würfe)• 3.1553 (Smith, im Jahre 1855, 3204 Würfe)• 3.1419 (Fox, im Jahre 1894, 1120 Würfe)• 3.1415929 (Lazzarini, im Jahre 1901, 3408 Würfe)

Historisches


Effiziente Berechnung von π=3.14159265358979323846264..

Methode n=3 n=5 n=10 n=20 n=100

Leibniz‐Reihe 0.2464 0.1656 0.0907 0.0476 0.0099

Fourierreihe 0.2839 0.1782 0.0922 0.0469 0.0095

Machin 0.0417 0.001 2.9e‐8 1.5e‐15 3.86e‐72

BBP‐Reihe 2.0e‐7 3.6e‐10 1.1e‐16 2.8e‐28 5.9e‐127

•Leibniz-Reihe, 1682

•Formel von Machin, 1706 •Bailey, Borwein und Plouffe, 1996

•Fourierreihe von f(x)=π2-x2

Fehler bei der Berechnung von π:

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Gliederung




4. Zusammenfassung



4 Zusammenfassung

•Simulation ist ein wichtiges Teilgebiet der Ingenieurmathematik

•Simulation erfordert Kreativität

•Simulation macht Spaß!

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