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CFD & Tech 2016 02 – 03 Mai 2016, CRND-Draria, Alger

1

SIMULATION NUMERIQUE DE TRANSFERT THERMIQUE D'UN

NON-NEWTONIEN NANO FLUIDE PAR LA

METHODE DES VOLUMES FINIS

A. Tahiri1, 2

, K. Mansouri1

1LEMI. Université M’hamed Bougara, Boumerdès 35000

2LDMM. Université Ziane Achour, Djelfa 17000

[email protected]

Résumé : L’objectif de ce travail est la simulation numérique par la méthode des volumes finis,

du transfert thermique de nouvelle classe de fluides caloporteurs composés de

nanoparticules métalliques (particules de taille nanométrique) dispersées dans l'eau, et

d'un nanofluide dont on connu ces paramètres rhéologiques empiriques du modèle dite

loi de puissance (Ostwald - de Waele). L'écoulement du fluide est laminaire et

stationnaire à travers une conduite circulaire, est maintenu à une température constante

à la paroi. La dissipation visqueuse est prise en compte, et la conduction axiale dans le

fluide est négligée.

Cette étude traite l'effet de la dissipation visqueuse pour les nano non-Newtoniens

fluides, les effets de la fraction volumique des nanoparticules et le régime d'écoulement

(Penf) sont analysés.

En conclusion, la présence des nano particules dans le fluide de base a amélioré

considérablement le transfert thermique, par rapport au fluide de base. La valeur

asymptotique a été affecté par la présence de la dissipation visqueuse en élevant sa

valeur par rapport au cas ou la dissipation est négligée, mais cette valeur est

indépendante du nombre de Brinkman quelque soit (positive ou négative).

Mots clés : Transfert thermo convectif, Nano non-Newtonien fluide, Méthode des

volumes finis.

I. INTRODUCTION

Dans le présent travail on a choisi la méthode des volumes finis, pour résoudre le

problème de transfert thermo convectif d'un nano non-Newtonien fluide, avec la

présence de la dissipation visqueuse, un tel problème n'est pas traité auparavant avec les

nano fluides. Dans la littérature on trouve l'extension du problème de Graetz vers les

fluides non-Newtonien, sans dissipation visqueuse, Bird et al (1960), pour les nano

fluides on trouve l'expérimentale de Heris et al (2007), le travail numérique de Maïga et

al (2005) et Seider et Tate (1936). Avec dissipation visqueuse dans les non-Newtoniens

fluide, on trouve les travaux d'O. Jambal (2005) et H. Ragueb (2013). Pour les non-

Newtoniens nano fluides on trouve le travail d'Apurba et al (2008). Dans le présent

travail on a introduit le terme de la dissipation visqueuse au nano non-Newtonien fluide.

II. DESCRIPTION ET FORMULATION DU PROBLEME:

Le problème à étudier, est ce lui de la convection forcée d’un écoulement laminaire

d’un nano non-Newtonien fluide, abordant la section d’entrée d’un conduit de


2

forme cylindrique, avec une température constante eT , la paroi est soumise à une

température constante wT .

Figure 1. La géométrie d'étude.

L'équation d'énergie gouvernant le problème est:

1p nf rxnf

T T uc u r k r

x r r r r

(1.a)

avec les conditions aux limites suivantes:

à l'entrée de la conduite:

0

, exT x r T

(1.b)

La condition de symétrie:

0

,0

r

T x r

r

(1.c)

Condition à la paroi:

, wr RT x r T

(1.d)

On a la contrainte tangentielle est définie par: 1n

xr

u um

r r

(2.a)

D’où le profile de la vitesse est :

(2.b)

L'équation (1a) devient:

1

111 3 1

( )

nnn

nav

p nfnf

uT T n rc u r k r m

x r r r n R R

(3)

Introduisant les paramètres adimensionnels suivants:

1 1

1

, , , , ,

3 1

1

n n

w ave w

e w nf

n

av nfnf

nf

T T mu Rx rx

n

r T T T BrT T R R k T

u R CpPe

Kn

(4)

Le système (1) devient:

1 11

1 1 1 3 11

n n

n

nf nf

n

nn

r Br rx Pe r r Pe n

rr

(5a)

u(r)

r

Tw

x

R

0

Te

13 1

( ) (1 )1

n

nn

u r rn


3

, 1, 0x r x (5b)

0

,0, 0

r

x rx

r

(5c)

,1 0, 0x x (5d)

II. 1 Description de la méthode:

Deux étapes sont nécessaires pour l'application de la méthode des volumes finis.

II. 1. 1. Le maillage: Dans cette étape on divise le domaine de calcul en un nombre fini

des volumes de contrôle, entourant chacun un nœud du maillage. La variable x+

présente l'évolution par rapport à l'entrée de la conduite, on envisage un balayage

suivant la direction axiale, le maillage du domaine de calcul porte seulement sur la

variable r+, les figures (2) et (3) représentent le maillage utilisé.

Le volume de contrôle est donné par :

2 2

2

n

n s

s

r rV r dr

(6)

II. 1. 2. L'intégration:

La deuxième étape dans l'application de la méthode des volumes finis est l'intégration

de l'équation (5a) sur le volume de contrôle.

1

1 1

1 11

3 1

n

n

n x x x x n

nfs sx x

nx x n n

n

nfsx

r dx r dr r drx Pe r r r

Br nr r dr dx

Pe n

(7)

Figure 3. Volume de contrôle. Figure 2. Maillage du domaine de calcul.


4

Pour l'intégration de () sur l'intervalle x+ à x

++ x

+ on a:

1 01 0 1

x x

p p p

x

dx x

(8)

avec:

Schéma explicite.

Schéma implicite.

Schéma Crank Nicholson.

Pour s'assurer de la convergence et la stabilité de la méthode, on a choisi un schéma

implicite pour la direction axiale. Pour la direction transversale r+ on a opté pour un

schéma de différence finie centrale.

L'équation discrétisée avec l'implication des conditions aux limites prend la forme

générale suivante:

0 0

p p n n s s p pa a a b a (9)

III. RESOLUTION DU SYSTEME D'EQUATIONS:

La discrétisation de l'équation d'énergie donne pour chaque nœud une équation, ce qui

résulte un système d'équations algébrique, de la forme:

[A][] = [B] (10)

La résolution de ce système pour la température, ce fait par l’utilisation des méthodes

itératives TDMA. En effet, ces méthodes itératives sont choisies pour leurs

convergences. Le système (10) peut être écrit sous la forme:

1 1 1 1

1 1

k k k k

i i i i i i iA B C V

, 1 i N (11)

avec:

(12a)

i p i N i sA a B a C a (12b)

L'itération k+1 représente la situation actuelle dés l'entrée du conduit.

IV. TRANSFERT THERMIQUE DU NANO FLUIDE AL2O3/EAU:

On considère maintenant l'écoulement laminaire du nano fluide Al2O3/ Eau,

dans une conduite à section circulaire, avec la paroi soumise à une température

constante, une telle configuration à été étudié expérimentalement par Heris (2007), et

numériquement par Maïga et al (2005). La validation sera faite avec les résultats

obtenus expérimentales par Heris (2007), et la corrélation de Maïga et al (2005)

l'équation (13), et celle de Seider et Tate (1936), l'équation (14).

0.35 0.360.28Re Prnf nfNu Re 1000, 6 Pr 753 (13)

0.141

3

1.68 Re Pr nfnf nf

wnf

DNu th

L

(14)

0

1 1, , , k

i p i N i s i p iV a b


5

Dans l'équation (13) les nombres Renf et Prnf pour les nanofluides sont définie par:

Re nf avnf

nf

u D

(15)

Pr nf nfnf

nf

Cp

K

(16)

Les propriétés thermo physiques du nano fluide utilisés dans les équations (15) et (16)

sont calculées en utilisant les équations (17) et (18), pour la viscosité dynamique du

nanofluide on utilise l'équation d'Einstein (19) qui est valable pour les particules

sphériques et pour une concentration inferieur à 5%.

La masse volumique du nano fluide:

1nf f p (17)

La capacité calorifique:

1p p pnf f p

c c c (18)

1 2.5nf f (19)

La conductivité thermique est en général le facteur important indiquant l'amélioration

du transfert thermique des nano fluides, Yu et Choi (2003) ont proposés une corrélation

qu'on l'utilise pour calculer la conductivité effective du nano fluide, équation (20).

3

3

2 2 1

2 1

p f p f

nf f

p f p f

k k k kk k

k k k k

(20)

Avec = 0.1 est le rapport entre l'épaisseur de la couche limite enveloppant le nano

particule et son rayon.

V. VALIDATION DES RESULTATS:

En premier lieu, il faut signaler, qu'un calcul de vérification du maillage utilisé a

conduit à l'adaptation du maillage avec les pas dans les deux directions longitudinale et

radiale (dx+=0.001 et dr

+=0.0001).

Pour le cas de la dissipation visqueuse (prise en compte), nous avons fait recours aux

travaux d'O. Jambal (2005), et de H. Ragueb et K. Mansouri (2013), ce dernier avec le

cas d'une conduite à section circulaire, c'est-à-dire avec un rapport de forme égal à 0.99

de la section elliptique.

Les figures (4 a, b et c) montrent l'évolution axiale du nombre de Nusselt local en

fonction du nombre de Brinkman, le nombre de Peclet est pris égal à 1.

On constate, l'existence d'une position axiale dans laquelle le nombre de Nusselt local

tend vers plus et moins l'infini, puis tend vers sa valeur asymptotique, qui est

indépendante du nombre de Brinkman, et que cette valeur est plus grande que celle

correspond à Br =0, ce qui indique l'effet de la dissipation visqueuse dans

l'augmentation du transfert thermique.


6

Figure 4. Evolution du nombre de Nusselt local pour différents fluides.

La figure (5a) expose la comparaison entre des résultats du nombre de Nusselt moyen

obtenus par cette étude, avec ceux des références (2, 3, et 4) indiquées précédemment,

pour le nano fluide Al2O3/Eau.

On constate qu'à la faible valeur du nombre de Peclet (2230), notre résultat est supérieur

aux autres, avec une erreur égale à 4.26%, 10.64% et 11.39% en comparaison avec ceux

obtenus par Heris et al (2007), la corrélation de Maiga et al (2005) et la corrélation de

Seider et Tate (1936) respectivement. Pour le nombre de Peclet égale à (5300), l'erreur

relative est faible est égale à 8.19%, 7.73 et 8.83 pour les mêmes référence

respectivement. Pour la valeur de Peclet (9000), l'erreur relative est 0.86%, -2.92% et

0.03% respectivement, ce qui montre une approche améliorée de nos résultats avec les

références citées précédemment avec l'augmentation du nombre de Peclet. Il faut

signaler que le fluide utilisé dans ce cas est de l'eau pure, c'est-à-dire pas d'influence

des nano particules.

La figure (5b) illustre la comparaison des résultats de la présente simulation, en

présence des nano particules d'Al2O3 dans le fluide de base Newtonien (l'eau), avec une

concentration des nano particules de 1%. L'erreur enregistrée dans ce cas, bascule entre

10-4

10-3

10-2

10-1

100

-16

-8

0

8

16

24

n= 0.5, Penf =1

Nu

(x+)

x+

Nu = 3.948 Présente étude

Nu = 3.965 [7]

Nu = 3.950 [8]


Nu = 11.67 [7]

Nu = 11.54 [8]

Br =1

Br =0.5

Br =0

Br = -0.5

Br = -1

(a)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

-24

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

24

(b)

Nu

(x+)

n=1, Penf =1

x+


Nu = 3.659 [7]

Nu = 3.657 [8]


Nu = 9.60 [7]

Nu = 9.522 [8]

Br =1

Br =-1

Br =0

Br = 0.5

Br = -0.5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

-16

-8

0

8

16

24

32

(c)

Nu

(x+)

x+

n = 1.5, Penf = 1

Br =1

Br =0.5

Br =0

Br = -0.5

Br = -1


Nu = 3.491 [7]

Nu = 3.540 [8]


Nu = 8.905 [7]

Nu = 8.843 [8]


7

une valeur maximale de -11.52%, 7.55% et 8.42% en confrontation avec les résultats

expérimentaux de Heris (2007), Numérique de Maiga (2005) et la corrélation de Seider

(1936) respectivement est d'une erreur minimale de -2.51%, 1.61% et 3.62% par rapport

aux mêmes référence et dans le même ordre. Notre résultat est plus proche aux résultats

numériques de Maiga.

La figure (5c) présente la comparaison entre les résultats obtenus avec la concentration

en nano particule de 2.5%. L'erreur maximale enregistrée dans ce cas varie de -15.73,

11.46% et 11.58 par rapport aux résultats des mêmes références, et d'une erreur

minimale de -1.49%, 3.71% et 5.20% respectivement. En effet, notre modèle a donné

des résultats proches à ceux obtenus par Maiga.

Figure 5. Nusselt moyen en fonction du nombre de Peclet pour différent concentration.

Pour le cas d'un nano non-Newtonien fluide on fait recours, aux résultats de l'étude de

Apurba et al (2008), qui ont donnés les valeurs numériques des paramètres empiriques

du modèle de loi de puissance (m, n) en fonction de la concentration des nano particule

de Al2O3 dans l'eau, ce nano fluide est maintenant traité comme un non-Newtonien nano

fluide pseudoplastique (n > 1).

2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

S. Z. Heris et al [2]

S. E. B Maïga et al [3]

Seider et Tate [4]

Présente étude vol. Finis

Nu

av

Penf

(a)

L'eau pur

2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0



Seider et Tate [4]


(b)

Al2O

3/water

Nu

av

Penf

2000 3000 4000 5000 6000 7000

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0



Seider et Tate [4]


Al2O

3 /Eau

Nu

av

Penf

(c)


8

Tableau n° 5. Valeurs Numériques des paramètres rhéologiques (m, n)

d'après Apurba et al (2008).

( m (N secn m

-2) n

0.5 0.00187 0.880

1.0 0.00230 0.830

1.5 0.00283 0.780

2.0 0.00347 0.730

2.5 0.00426 0.680

3.0 0.00535 0.625

3.5 0.00641 0.580

4.0 0.00750 0.540

4.5 0.00876 0.500

5.0 0.01020 0.460

Les figures (6, 7 et 8) montrent l'effet du nombre de Peclet sur l'évolution du nombre

Nusselt pour trois concentrations volumiques en particules, à savoir (. L'effet de la dissipation visqueuse est introduite par les deux valeurs du nombre de

Brinkman (Br =1 et Br = -1), les courbes représentatives pour le cas de Brinkman

négatif, montrent l'existence d'une position axiale dans laquelle Nusselt tend vers plus et

moins l'infinie, ce point s'éloigne de l'entrée de la conduite au fur et à mesure que le

nombre de Peclet augmente.

Figure 6. Effet du nombre de Peclet sur l'évolution du nombre de Nusselt.

(a) Br = 1, (b) Br = -1

10

-310

-210

-110

010

110

210

3

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Penf = 1

Penf = 5

Penf = 20

Penf = 100

Penf = 1000

Nu

(x

+)

x+

n = 0.460, Br = 1, = 5 %

Al2O

3/ Eau

Nu =12.02

(a)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-24

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

24

(b)

Nu

(x

+)

n = 0.460, Br= -1, = 5 %

Al2O

3 /Eau

Nu = 12.02

Penf = 1

Penf = 5

Penf = 20

Penf = 100

Penf = 1000

x+


9


(a) Br = 1, (b) Br = -1


(a) Br = 1, (b) Br = -1

La valeur asymptotique du nombre de Nusselt est constante, pour chaque concentration

volumique en particule, on remarque aussi que le nombre de Peclet joue le rôle d'un

facteur retardataire pour atteindre cette valeur asymptotique. Pour le cas de Brinkman

positif, on constate que chaque courbe présente une valeur minimale positive et que

cette valeur devienne de plus en plus faible et s'éloigne de l'entrée de la conduite avec

l'accroissement du nombre de Peclet.

VI. CONCLUSION:

Le problème de transfert thermique pour un écoulement laminaire, stationnaire

dans les conduites circulaires a été traité par la méthode des volumes finis, en incluant la

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Nu = 9.88

n = 0.880, Br = 1, = 0.5 %

Al2O

3 / Eau

Penf = 1

Penf = 5

Penf = 20

Penf = 100

Penf = 1000

x+

Nu

(x+)

(a)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

24

(b)

Nu

x+

Nu = 9.88

Penf = 1

Penf = 5

Penf = 20

Penf = 100

Penf = 1000

n = 0.880

Br = -1

= 0.5 %

Al2O

3 / Eau

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24N

u(x

+)

x+

n = 0.680, Br= 1, = 2.5%

Al2O

3 / Eau

Nu = 10.57

Penf = 1

Penf = 5

Penf = 20

Penf = 100

Penf = 1000

(a)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

24

28

32

(b)

Nu

(x

+)

x+

Al2O

3/ Eau

n = 0.680, Br= -1, = 2.5%

Nu = 10.57

Penf = 1

Penf = 5

Penf = 20

Penf = 100

Penf = 1000


10

dissipation visqueuse, les résultats obtenus ont été comparées aux données disponibles

par les travaux de cherches précédents, et l'accord était excellent. Les résultats obtenus

sont donnés graphiquement en terme de nombre conventionnel de Nusselt pour les

fluides non-Newtoniens, modélisés par le modèle loi de puissance, en montrant les

effets du nombre de Brinkman et du nombre de Peclet, ce dernier a un effet qu'on doit

tenir en compte, et cela se voit par le retard à l'établissement du régime complètement

développé. On a étendu le problème au nanofluide qui se comporte comme un fluide

non–Newtonien, l'effet de la concentration volumique sur le transfert de chaleur est clair

par l'augmentation de la valeur asymptotique du nombre du Nusselt avec

l'augmentation de la concentration en particule d'oxyde de l'aluminium(Al2O3).

VII. REFERENCES

1. R.B. Bird, W.E. Stewert, E.N. Lightfoot (1960) Transport Phenomena, John Wiley

& Sons, Singapore.

2. S. Z. Heris, M.N. Esfahany, S.Gh. Etemad, (2007) Experimental investigation of

convective heat transfer of Al2O3/water nanofluid in circular tube, Int. J. Heat

Fluid Flow 28 (2007) 203–210.

3. Sidi El Bécaye Maïga, Samy Joseph Palm, Cong Tam Nguyen, Gilles Roy a,

Nicolas Galanis. Heat transfer enhancement by using nanofluids in forced

convection flows. International Journal of Heat and Fluid Flow 26 (2005) 530–546.

4. Seider, E.N., Tate, G.E., (1936). Heat transfer and pressure drop of liquid in tubes.

Industrial Engineering Chemistry 28 (12), 1429–1435.

5. Yu, W., Choi, S.U.S, 2003. The role of international layers in the enhanced thermal

conductivity of nanofluids: A renovated Maxwell model. Journal on Nanoparticle

Research 5, 167–171.

6. R. M. Cotta et M. N. Ozisik: Laminar Forced Convection Of Power- Law Non-

Newtonian Fluids Inside Ducts, W𝑎 Rme–Und Stoff𝑢 Bertragung.Vol. 20, pp. 211-

218, (1986).

7. O. JAMBAL, T. SHIGECHI, G. DAVAA and S. MOMOKI: Effect of Viscous

Dissipation and Axial Heat Conduction on Heat Transfer for non Newtonian Fluids

in Ducts with Uniform Wall Temperature. Part I Parallel Plates And Circular Ducts,

Int. Comm. Heat Mass Transfer. Vol. 32, pp. 1165-1173, (2005)

8. H. Ragueb, Kacem Mansouri .A numerical study of viscous dissipation effect on

non-Newtonian fluid flow inside elliptical duct. Energy Conversion and

Management 68 (2013) 124–132.

9. Apurba Kumar Santra, Swarnendu Sen, Niladri Chakraborty, Study of heat transfer

augmentation in a differentially heated square cavity using copper–water nanofluid.

International Journal of Thermal Sciences 47 (2008) 1113–1122.

10. A. K. Santra, S. Sen, N. Chakraborty, Study of heat transfer due to laminar flow of

copper–water nanofluid through two isothermally heated parallel plates.

International Journal of Thermal Sciences 48 (2009) 391–400

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