Motivations et objectifs de l’étudeMotivations et objectifs de l’étude

• Re-visiter le problème à l’aide des outils de simulation numérique ;

• Comprendre les raisons d’existence de la convection cellulaire (réseau hexagonal) ;

• Montrer l’influence du confinement (géométrie du récipient) sur la structure de l’écoulement (cellules) ;

• Identifier et caractériser quelques uns des régimes dynamiques observés.

Plan de la présentationPlan de la présentation

• Modélisation physique du problème ;

• Modèles numériques développés ;

• Raisons d’existence de la convection cellulaire (réseau hexagonal) ;

• Quelques régimes dynamiques atypiques.

Modélisation physiqueModélisation physique

paroi chaude

paroi froide

airfs

fv

liquide

diffusion :

Pr = Archimède :

Ra =

gd3T

Ma =

dT

Interface :

Bi =

hdk

Cr =

d

Seuils de convection :

Mac0 79,6

Rac0 669

Déformation surface libre

négligeable si :

d3 > 120

g

d > 0,5 mm

Equations du problèmeEquations du problème

v = 0 Pr

vt

+ v.v = -p + 2v + Ra z

Ecoulement dans la couche liquide

Conditions aux limites d’écoulement

v = 0.

v. n= 0 ;uz

= - Max

;vz

= - May

.parois rigides

surface libre

Transferts thermiques dans la couche liquide

Conditions aux limites thermiques

t

+ v. = 2 + w

.

. n

= 0

= 0 paroi inférieure

surface libre

T = Tc -

Td

z +

Analyse préliminaireAnalyse préliminaireA) Aspects physiques : recherche de solutions

• Stationnaires (si elles existent) ;

• Instationnaires ;

• Études de stabilité.

B) Aspects numériques• Compatibilité modèles-algorithmes-ressources.

C) Aspects informatiques : intérêts du ‘HPC’ ? • À taille donnée, résoudre plus vite ;

• À durée donnée, résoudre plus gros ;

• À taille et durée données, résoudre avec moins de ressources (moins cher).

Modèles numériques développésModèles numériques développésA) Calcul de solutions stationnaires

• Formulation couplée (vites.-pres.-temp.) ;

• Newton-Raphson + ‘cubic line search’ ;

• Solveur direct parallèle (LU) ;

• Méthode de continuation (cont. long. d’arc).

B) Calcul de solutions instationnaires• Formulation ‘segregated’ (vites.-pres.-temp.) ;

• Méthode de Projection Incrémentale ;

• Newton-Raphson + ‘cubic line search’ ;

• Solveur itératif parallèle (BCGS + ASM) ;

• Schéma d’Euler semi-implicite.

Dans le contexte du H.P.C.Dans le contexte du H.P.C.

Choix stratégiques :– Calculs parallèles à hautes performances ;

– Analyse fonctionnelle du code ;

• Développements centrés sur les spécificités de nos modèles ;

• Sous-traitance des parties génériques (Petsc, BLAS, LAPACK, MPI, etc.) ;

– Développement en local dans un environnement de programmation orienté objets (Petsc) ;

– Adéquation modèles - algorithmes - plates-formes ;

– Exécution à l’IDRIS (Cray T3E, IBM SP3 et SP4), en local (Sun Enterprise, Sun Farm).

Structure du code développéStructure du code développé

Application code

Finite Element Library

MPI

BLAS

LAPACK

PETSC

Développement dans l’environnement de programmation de Petsc

-> Petsc : Portable Extensible Toolkit for Scientific Computations (Argone National Laboratory, MCS) -> Bon compromis temps de dévelop. - performances d’exploitation

Architecture du code :

Algorithme du prog. principalAlgorithme du prog. principal

Boucle sur les pas de temps

Boucle sur les itérations Newton

Boucle sur les problèmes

boucle sur DDL ( D1(rank), D2(rank) )

- résolution itérative système algébrique - mise à jour du champs de variables

boucle sur E.F. ( E1(rank), E2(rank) )

- Résidu élémentaire, assemblage - Matrice tangente élémentaire, assemblage

//

//

Algorithmes itératifs utilisés dans Petsc : - système non-linéaire : Newton-Raphson + cubic line search - système linéaire : BCGS + (ASM ou SSOR)

Efficacité numérique du codeEfficacité numérique du code

Extensibilité

Efficacité

Number of equations

Number of processors

Time used (s)

105

2.105

4.105

8.105

8

16

32

64

825.03

825.25

825.59

826.02

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120

Nombre de processeurs

Sp

ee

d u

p

Théorique CalculTheoretical Comp.

Spe

ed u

p

Number of processors

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120

Nombre de processeurs

Eff

ica

cit

é e

n %

Théorique CalculTheoretical Comp.

Number of processors

Eff

icie

ncy

(%)

-> 106 équations -> 40 pas de temps -> CRAY T3E

Quelques exemples Quelques exemples d’écoulements de B.M. confinésd’écoulements de B.M. confinés

• Expériences de Koschmieder & Prahl

(récipients circulaires et carrés) ;

• Expériences de Cerisier (récipients triangulaires et hexagonaux).

c) Seven cells, Ma=77, Ra=19, =8,27 ; d) Nineteen cells, Ma=101, Ra=27, =16,23

a) Seven cells, Ma=105, Ra=48, =8.4 ; b) Fourty eight cells, Ma=105, Ra=48, =22.4

Fourty five cells, Ma=105, Ra=48, =22

Pourquoi ces écoulements Pourquoi ces écoulements multi-cellulaires ?multi-cellulaires ?

• Théorème de l’énergie cinétique 1Pr

d Ecdt

= Ra .V.z dv

- Ma V. ds -

1) Puissance des forces extérieures de volume (gravité)

2) Puissance des forces interfaciales (thermo-capilarité)

3) Dissipation visqueuse

1 2 3

• Incompressibilité Cas 2 : Ra 0 et Ma > Mac

Cas 1 : Ra > Rac et Ma = 0

Parce que c’est la configuration qui satisfait le mieux l’ensemble des conditions suivantes :

1) convertir l’énergie thermique en énergie cinétique ; 2) minimiser la dissipation visqueuse ; 3) paver régulièrement le plan.

C’est donc la configuration qui maximise les transferts

Justification numériqueJustification numérique

Conditions d’existence du Conditions d’existence du réseau hexagonalréseau hexagonal

• Proche du seuil de convection ;

• Soit dans un récipient de grand rapport d ’aspect ;

• Soit dans un récipient plus petit, mais dont la géométrie est `compatible` (en dimensions et en formes) ;

1. Configurations stationnaires,1. Configurations stationnaires,non ‘compatibles’non ‘compatibles’

Expériences de Koschmieder & Prahl (récipients circulaires et carrés) : la taille ou la forme du récipient ne permettent pas de satisfaire les conditions d’existence du réseau hexagonal.

a) One cell, Ma=380, Ra=228, =1,82 ; b) Two cells, Ma=64, Ra=33, =5,68

c) Three cells, Ma=96, Ra=42, =6,18 ; d) Four cells, Ma=93, Ra=38, =6,36

e) Five cells, Ma=80, Ra=19, =8,08 ; f) Six cells, Ma=86, Ra=22, =8,08

g) Eight cells, Ma=75, Ra=16, =8,75

a) Two cells, Ma=93, Ra=65, =4,70 ; b) Three cells, Ma=88, Ra=40, =5,84

2. Configurations non-2. Configurations non-stationnaires (existence d ’un stationnaires (existence d ’un régime périodique)régime périodique)

• Récipient circulaire ;

• Récipient hexagonal ;

• Récipient pentagonal ;

• Récipient carré.

Récipient circulaire : Récipient circulaire : =4.7; Pr=880; Ma=140; Ra=60.=4.7; Pr=880; Ma=140; Ra=60.

QuickTime™ et un décompresseurAnimation sont requis pour visualiser

cette image.

Récipient hexagonal : Récipient hexagonal : =4.08; Pr=880; Ma=131; Ra=60.=4.08; Pr=880; Ma=131; Ra=60.

QuickTime™ et un décompresseurAnimation sont requis pour visualiser

cette image.

Récipient pentagonal : Récipient pentagonal : =4.24; Pr=880; Ma=150; Ra=60.=4.24; Pr=880; Ma=150; Ra=60.

QuickTime™ et un décompresseurAnimation sont requis pour visualiser

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Récipient carré : Récipient carré : =9.75; Pr=880; Ma=130; Ra=0.=9.75; Pr=880; Ma=130; Ra=0.

QuickTime™ et un décompresseurBMP sont requis pour visualiser

cette image.

ConclusionsConclusions• Développement de modèles numériques dans un contexte HPC :

– Choix des formulations ;

– Compatibilité modèles-algorithmes-ressources ;

– Implementation dans un env. de prog. de haut niveau (Petsc).

• Ecoulements confinés en convection de BM :– Détermination des conditions d’existence du réseau hexagonal, et justification ;

– Étude de l’influence de la géométrie du récipient sur la structure de l’écoulement ;

– Mise en évidence de régimes périodiques atypiques ;

– Prêt pour l’étude de régimes dynamiques plus complexes ;

– Applications technologiques de ces écoulements.