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Liceo Scientifico Paritario “R. Bruni” Padova, loc. Ponte di Brenta, 04/02/2020

Simulazione di II prova - Matematica e Fisica Classe V Sezione T

Soluzione Risolvi uno dei due problemi. 1. Considera una sfera isolante posta nel vuoto, di centro O e raggio R, al cui interno è

uniformemente distribuita una carica Q, in equilibrio elettrostatico. Utilizza il teorema di Gauss per dimostrare che l’intensità del campo elettrico in un punto a distanza r da O è espressa dalla funzione:

E r( )=

k0QR3 r se 0 < r < R

k0Qr2 se r≥R

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

,

dove k0 = 1 4πε0( ) , con ε0 costante dielettrica del vuoto. i. Considerato un punto esterno alla sfera, se la sua distanza da O aumenta del 10%,

è vero che l’intensità del campo elettrico diminuisce di più del 20%? Motiva ade-guatamente la risposta.

ii. Traccia il grafico della funzione E r( ) , studiandone in particolare la continuità e la derivabilità e classificando eventuali punti singolari o punti di non derivabilità.

iii. Scrivi l’espressione analitica della funzione che rappresenta il potenziale V r( ) in

un punto a distanza r da O, assumendo nullo il potenziale all’infinito, e giustifica il fatto che il suo grafico abbia l’andamento riportato nella figura sottostante.

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iv. Verifica che l’energia U immagazzinata nel campo generato dalla distribuzione

sferica di carica considerata è U =

3k0Q2

5R. Per il calcolo tieni presente che l’energia

immagazzinata in un guscio sferico di centro O e spessore infinitesimo, compreso tra la sfera di raggio r e la sfera di raggio r + dr , è data da dU = uE 4πr2dr , dove uE è la densità di energia elettrica. Assumendo R = 8,0 cm , qual è il lavoro che deve essere compiuto per caricare la sfera con una carica Q = 5,0 µC ?

Risposta. Il Teorema di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie gaussiana è pari alla somma algebrica delle cariche racchiuse da tale superficie diviso la costante dielettrica del mezzo (in questo caso il vuoto):

φE =

QINT∑ε0

.

Il flusso del campo elettrico !E attraverso una superficie piana S è definito come

φE =!E i nS , dove n rappresenta il versore normale alla superficie.

Caso 0 < r < R :

Sia ρ= Q 4

3πR3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ la densità volumica di carica. Applicando il

Teorema di Gauss alla superficie sferica di centro O e raggio r tro-

vo che φE = ρ ⋅ 4

3πr3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ε0 . Dalla definizione di flusso del campo

elettrico ottengo φE = E ⋅ 4πr2( ) (il campo elettrico ha direzione ra-

diale). Confrontando le due relazioni trovo il modulo di !E :

E ⋅ 4πr2( )=

ρ ⋅ 43πr3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

ε0

→ E =ρ

3ε0

r→ E =Q 4

3πR3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

3ε0

r→ E =1

4πε0

QR3 r→ E = k0

QR3 r .

Caso r≥R : Applicando il Teorema di Gauss alla superficie sferica di centro O e raggio r trovo che φE = Q ε0 (la superficie sferica di raggio r rac-chiude tutta la carica della sfera di raggio R) . Dalla definizione di flusso del campo elettrico ottengo φE = E ⋅ 4πr2( ) (il campo elettrico ha direzione radiale). Confrontando le due relazioni trovo il modu-lo di

!E :

E ⋅ 4πr2( )=

Qε0

→ E =1

4πε0

Qr2 → E = k0

Qr2 .

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i. Considerato un punto esterno alla sfera, se la sua distanza da O aumenta del 10%, è

vero che l’intensità del campo elettrico diminuisce di più del 20%? Motiva adegua-tamente la risposta.

No: ′r = r +10%r = 1,1r→ ′E =

k0Q′r( )2 =

k0Q1,21r2 =

11,21

E =100121

E = E− 21121

E!E−17,36%E .

ii. Traccia il grafico della funzione E r( ) , studiandone in particolare la continuità e la

derivabilità e classificando eventuali punti singolari o punti di non derivabilità. La funzione è definita per gli r positivi. Per tali valori di r la funzione è continua: E è continua in 0; +∞⎤⎦ ⎡⎣\ R{ } perché prodotto e quoziente di funzioni continue. E è continua in r = R poiché

limr→R−

E r( )= E R( )= limr→R+

E r( ) .

E è sempre positiva, crescente per 0 < r < R (funzione lineare con coefficiente angolare

k0Q R3 positivo), decrescente per r > R (la funzione è inversamente proporzionale a r2 ) e ammette un asintoto orizzontale di equazione E = 0 (

lim

r→+∞E r( )= 0 ). La funzione ammette

quindi un massimo (assoluto) R; k0Q R2( ) e non ammette minimi. La funzione non è derivabile in r = R , dove ammette un punto angoloso:

k0QR3 = lim

r→R−′E r( )≠ lim

r→R+′E r( )=−2 k0Q

R3 .

La funzione è concava per r > R , né convessa né concava dalle altre parti. Il grafico qualitativo della funzione è il seguente:

iii. Scrivi l’espressione analitica della funzione che rappresenta il potenziale V r( ) in un punto a distanza r da O, assumendo nullo il potenziale all’infinito, e giustifica il fat-to che il suo grafico abbia l’andamento riportato nella figura [alla pagina seguente].

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E r( )=−

dV r( )dr→V r( )=− E r( )dr∫ , con

lim

r→+∞V r( )= 0 .

Caso 0 < r < R : V r( )=−

k0Q2R3 r2 + c1 .

Caso r≥R : V r( )=

k0Qr

+ c2 .

Ora, poiché

lim

r→+∞V r( )= 0 , si ha c2 = 0 .

Poiché V dev’essere continua per gli r > 0 e quindi anche in r = R ,

limr→R−

V r( )= V R( )= limr→R−

V r( )→ −

k0Q2R

+ c1 =k0QR→ c1 =

3k0Q2R

.

Dunque:

V r( )=

k0Q 3R2−r2( )2R3 se 0 < r < R

k0Qr

se r≥R

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

.

Il primo tratto è una parabola di vertice 0; 3k0Q

2R⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ e concavità rivolta verso il basso; il se-

condo tratto è un’iperbole equilatera con coefficiente di proporzionalità k0Q . Infine, come

già visto, V R( )=

k0QR

.

iv. Verifica che l’energia U immagazzinata nel campo generato dalla distribuzione sfe-

rica di carica considerata è U =

3k0Q2

5R. Per il calcolo tieni presente che l’energia

immagazzinata in un guscio sferico di centro O e spessore infinitesimo, compreso tra la sfera di raggio r e la sfera di raggio r + dr , è data da dU = uE 4πr2dr , dove uE è la densità di energia elettrica. Assumendo R = 8,0 cm , qual è il lavoro che deve essere compiuto per caricare la sfera con una carica Q = 5,0 µC ?

Ricordando che uE =

12ε0E

2 , dU = 2πε0E r( )2 r2dr→ dU =

12k0

E r( )2 r2dr . Quindi:

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U =

12k0

E2 r( )r2 dr0

+∞

∫ =1

2k0

k02Q2

R6 r4 dr0

R

∫ + k02Q2 1

r2 drR

+∞

∫⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

k0Q2

2R6 r4 dr0

R

∫ + R6 1r2 dr

R

+∞

∫⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

=

k0Q2

2R6R5

5+ R 65

1R

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

3k0Q2

5R3 .

Utilizzando il Teorema dell’energia potenziale determino il lavoro richiesto:

L =−ΔU =U−U ∞( )=

3k0Q2

5R3 −0 =3 ⋅ 9,0 ⋅109( )⋅ 5,0 ⋅10−6( )2

5 ⋅ 8,0 ⋅10−2( )= 1,7 J .

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2. Considera la funzione f x( )=

xx2 + a2 , con a reale positivo.

i. Studiala e traccia un grafico qualitativo della funzione, determinando in particola-

re i punti di estremo relativo e di flesso. Deduci, dal grafico della funzione f x( ) , il grafico della funzione ′f x( ) , mettendo in evidenza le relazioni tra i due grafici e motivando il procedimento.

ii. L’area della regione di piano D, limitata dal grafico dalla funzione f e dal semiasse delle ascisse positive, è finita o infinita? Il volume del solido generato da una rota-zione completa della regione D intorno all’asse x è finito o infinito? Motiva ade-guatamente le riposte.

iii. Considera lo spazio (supposto vuoto), riferito a un sistema di assi cartesiani orto-

gonali Oxyz in cui l’unità di misura su ciascuno degli assi è il metro, il punto

P x; 0; 0( ) con x≥ 0 e i tre sistemi fisici descritti qui di seguito. !

Per ciascuno di questi tre sistemi fisici, specifica modulo, direzione e verso del

campo magnetico risultante nel punto P. La funzione g x( )=

µ0iπ

f x( ) , con x≥ 0 ,

dove µ0 indica la permeabilità magnetica del vuoto e x rappresenta l’ascissa di P, esprime l’intensità del campo magnetico risultante nel punto P in corrispondenza di uno solo dei tre sistemi fisici descritti: individua quale.

iv. Considera il sistema fisico individuato al punto precedente. Un tratto di filo AB di lunghezza ℓ (espressa in m), posto sull’asse x, ha come estremi i due punti A ℓ; 0( ) e B 2ℓ; 0( ) ed è percorso da una corrente i diretta nel verso delle ascisse positive.

Calcola modulo, direzione e verso della forza magnetica !FB che agisce sul tratto di

filo AB.

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Risposta. i. Studiala e traccia un grafico qualitativo della funzione, determinando in particolare

i punti di estremo relativo e di flesso. Deduci, dal grafico della funzione f x( ) , il grafico della funzione

′f x( ) , mettendo in evidenza le relazioni tra i due grafici e motivando il procedimento.

È data f x( )=

xx2 + a2 .

· Df =!

· ∀x∈Df , f −x( )=− f x( ) , ovvero la funzione è dispari

· Il segno della funzione coincide con il segno della funzione identica · Poiché

lim

x→±∞f x( )= 0 la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione y = 0

·

′f x( )=a2−x2

a2 + x2( )2 e quindi ′f x( )≥ 0↔−a≤ x≤ a , ovvero la funzione f è crescente in tale

intervallo e ammette un minimo (assoluto) m −a; −1 2a( )( ) e un massimo (assoluto)

M a; 1 2a( )( ).

·

′′f x( )=−2x a2 + x2( )2

−4x a2−x2( ) a2 + x2( )a2 + x2( )43

=2x x2−3a2( )

a2 + x2( )3 e quindi ′′f x( )≥ 0 quando x

e x2−3a2 sono concordi o uno di essi è nullo; ciò accade quando −a 3 ≤ x≤ 0∨ x≥ a 3 . Quindi la funzione f è convessa in tali intervalli e ammette tre punti di flesso:

F1 −a 3 ; − 3 4a( )( ) , O 0; 0( ) e

F2 a 3 ; 3 4a( )( ) .

Il grafico qualitativo di f è il seguente:

Per dedurre il grafico di ′f dal grafico di f procedo come segue: · dove f è crescente ′f è positiva, dove f è decrescente ′f è negativa, nel minimo e nel mas-simo ′f si annulla. · dove f è convessa ′f è crescente, dove f è concava ′f è decrescente, nei punti di flesso ′f ammette degli estremali, precisamente F1 ed F2 sono dei minimi, mentre O un massimo.

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ii. L’area della regione di piano D, limitata dal grafico dalla funzione f e dal semiasse delle ascisse positive, è finita o infinita? Il volume del solido generato da una rota-zione completa della regione D intorno all’asse x è finito o infinito? Motiva adegua-tamente le riposte.

AD = lim

z→+∞

xx2 + a2 dx

0

z

∫ = limz→+∞

12

2xx2 + a2 dx

0

z

∫ = limz→+∞

12

ln x2 + a2( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0z

= limz→+∞

12

ln z2 + a2( )− ln a = +∞ .

VD = lim

z→+∞π

x2

x2 + a2( )2 dx0

z

∫ ; ma

x2

x2 + a2( )2 =A

x2 + a2 +B

x2 + a2( )2 =Ax2 + Aa2 + B( )

x2 + a2( )2 , quindi, per

il principio di identità dei polinomi, A = 1 e B =−a2 . Dunque VD = lim

z→+∞π

1x2 + a2 dx

0

z

∫ +

−πa2 lim

z→+∞

1x2 + a2( )2 dx

0

z

∫ =πa

limz→+∞

1 a

1+ x a( )2 dx0

z

∫ −πa2 limz→+∞

1x2 + a2( )2 dx

0

z

∫ .

Il primo integrale dà un’arcotangente, il secondo integrale invece è piuttosto complesso. Considero l’indefinito associato e, usando la sostituzione x = a tant→ dx = a tan2 t +1( )dt , ottengo:

1

x2 + a2( )2 dx∫ =1

a2 tan2 t + a2( )2 a tan2 t +1( )dt =∫1a3

1tan2 t +1

dt =∫1a3 cos2 tdt∫ =

=

cos 2t( )=2cos2 t−1 12a3 cos 2t( )+1( )dt =∫

14a3 2cos 2t( )dt∫ +

12a3 dt∫ =

14a3 sin 2t( )+

12a3 t + c ;

osservo che x = a tant →

−π2

<t<π2t = arctan x

a, da cui risulta che sin 2t( )= 2sintcost =

= 2sin arctan xa

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟cos arctan x

a⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 2 x a

x a( )2+1

1

x a( )2+1

=2ax

x2 + a2 , quindi

1x2 + a2( )2 dx∫ =

=

12a2

xx2 + a2 +

12a3 arctan x

a+ c .

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Finalmente

VD =

πa

limz→+∞

arctan xa

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥0

z

−πa2 limz→+∞

12a2

xx2 + a2 +

12a3 arctan x

a⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥0

z

=π2a

limz→+∞

arctan xa−

axx2 + a2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥0

z

=

π2a

limz→+∞

arctan za−

azz2 + a2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=π2

4a.

In realtà bastava valutare la convergenza dell’integrale:

VD = lim

z→+∞π

x2

x2 + a2( )2 dx0

z

∫ = πx2

x2 + a2( )2 dx0

1

∫ + limz→+∞π

x2

x2 + a2( )2 dx1

z

∫ ≤πx2

x2 + a2( )2 dx0

1

∫ +

+ lim

z→+∞π

1x2 dx

1

z

∫ <+∞ .

iii. Considera lo spazio (supposto vuoto), riferito a un sistema di assi cartesiani ortogo-nali Oxyz in cui l’unità di misura su ciascuno degli assi è il metro, il punto

con e i tre sistemi fisici descritti qui di seguito. !

Per ciascuno di questi tre sistemi fisici, specifica modulo, direzione e verso del cam-

po magnetico risultante nel punto P. La funzione , con , dove

indica la permeabilità magnetica del vuoto e x rappresenta l’ascissa di P, esprime l’intensità del campo magnetico risultante nel punto P in corrispondenza di uno so-lo dei tre sistemi fisici descritti: individua quale.

La direzione e il verso sono indicati nella figura precedente. Determino il modulo nei vari

casi, utilizzando la Legge di Biot-Savart B r( )=

µ0i2πr

.

P x; 0; 0( ) x≥ 0

g x( )=

µ0iπ

f x( ) x≥ 0

µ0

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Caso A:

!BA = BQx + BRx( )x =

µ0iaπ a2 + x2( )

x , dove ho tenuto conto che BQy =−BRy , BQx = BRx e

che BQx =

µ0i2πQP

cos OQP( )→ BQx =µ0i

2π a2 + x2

aa2 + x2

→ BQx =µ0ia

2π a2 + x2( ).

Caso B:

!BB = BSy + BTy( )y =

µ0ixπ a2 + x2( )

y , dove ho tenuto conto che BSx =−BTx , BSy = BTy e

che BSy =

µ0i2πSP

sin OSP( )→ BSy =µ0i

2π a2 + x2

xa2 + x2

→ BSy =µ0ix

2π a2 + x2( ).

Caso C:

!BC = BMy + BNy + BOy( )y =−

µ0i a−x( )2

2πx a2 + x2( )y , dove per

!BM e

!BN si ragiona come nel

caso precedente, mentre BOx = 0 , BOy =−

µ0i2πx

.

Noto che g x( )=

µ0iπ

f x( )=µ0iπ

xa2 + x2 = BB .

iv. Considera il sistema fisico individuato al punto precedente. Un tratto di filo AB di lunghezza (espressa in m), posto sull’asse x, ha come estremi i due punti e ed è percorso da una corrente i diretta nel verso delle ascisse positive.

Calcola modulo, direzione e verso della forza magnetica che agisce sul tratto di filo AB.

Utilizzo la formula di Laplace

!FB = i

!ℓ×!B = i ℓx( )×

!B , nei vari casi.

Caso A:

!FB.A =

!0 , perché

!ℓ#!BA .

Caso B:

!FB.B = i ℓx( )× µ0ix

π a2 + x2( )y

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

µ0i2ℓx

π a2 + x2( )x×y =

µ0ℓi2x

π a2 + x2( )z .

Caso C:

!FB.C = i ℓx( )× −

µ0i a−x( )2

π a2 + x2( )y

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−

µ0i2ℓ a−x( )2

π a2 + x2( )x×y =−

µ0ℓi2 a−x( )2

π a2 + x2( )z .

ℓ A ℓ; 0( )

B 2ℓ; 0( )

!FB

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Risolvi quattro degli otto quesiti. 1. La regione evidenziata in figura è limitata dal grafico della funzione f x( )= ln x , dalla

retta di equazione y = 1 e dal grafico di una funzione la cui equazione è del tipo

y = a + b ln x , con a,b∈! . Tenendo conto delle informazioni leggibili sul grafico, de-termina i valori di a e b, quindi calcola l’area della regione evidenziata. !

Risposta. Osservo che l’equazione a + b ln x = ln x deve avere come soluzione x = e , ovvero

a + b ln e = ln e→ 2a + b = 1 , e che a + b ln e = 0→ a + b = 0 . Mettendo le due condizioni a sistema trovo a = 1 e b =−1 . La funzione f x( ) interseca la retta y = 1 nel punto e; 0( ) , mentre la funzione

g x( )= 1− ln x interseca la retta y = 1 nel punto 1; 0( ) .

L’area della regione evidenziata è A = 1−g x( )( )dx

1

e

∫ + 1− f x( )( )dxe

e

∫ = ln xdx1

e

∫ +

+ 1− ln x( )dx

e

e

∫ = ln xdx1

e

∫ + x⎡⎣ ⎤⎦ e

e− ln xdx

e

e

∫ =*

x ln x−1( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥1

e+ x⎡⎣ ⎤⎦ e

e− x ln x−1( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ e

e=

= −

e2

+1⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟+ e− e( )− 0+

e2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= e−2 e +1= e−1( )

2! 0,42 , dove in * si è utilizzato il

seguente risultato:

ln xdx∫ =pp

x ln x− x ⋅ 1x

dx∫ = x ln x−1( )+ c .

2. Considera la regione finita di piano limitata dal grafico della funzione f x( )=

11+ 4x2 ,

dall’asse x e dalle rette di !equazioni x = a e x = 2a , con a reale positivo. Per quale va-lore di a l’area di tale regione di piano è massima?

Risposta.

Per determinare il massimo della funzione A a( )=

11+ 4x2 dx

a

2a

∫ =1

1+ 4x2 dxa

0

∫ +

+

11+ 4x2 dx

0

2a

∫ =−1

1+ 4x2 dx0

a

∫ +1

1+ 4x2 dx0

2a

∫ , studio il segno di ′A a( ):

′A a( )≥ 0 →

Teo T -B− f a( )+ 2 f 2a( )≥ 0→− 1

1+ 4a2 +2

1+16a2 ≥ 0→ 1−8a2

1+ 4a2( ) 1+16a2( )≥ 0→

a>00 < a≤ 2 4 .

Quindi l’area è massima per a = 2 4 .

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3. Calcola il valore del seguente limite:

limx→0+

sint2 dt0

x2

∫ex−1( )6 .

Risposta.

limx→0+

sint2 dt0

x2

∫ex−1( )6 =

00⎡

⎣⎢⎢⎤

⎦⎥⎥:=

H

limx→0+

2xsin x4

6ex ex−1( )5 =00⎡

⎣⎢⎢⎤

⎦⎥⎥= lim

x→0+

sin x4

x4x5

3ex ex−1( )5 =

limx→0+

sin x4

x41

3ex ex−1x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5 = limx→0+

13ex =

13

, dove si è tenuto conto dei seguenti limiti notevoli:

limx→0+

sin x4

x4 = 1 e limx→0+

ex−1x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

= 1.

4. Determinare tutti i valori di a∈! tali che la funzione f x( )= ex−ax3 sia convessa in

tutto ! . Risposta. Affinché f sia convessa in ! deve accadere che ′′f x( )> 0 , ∀x∈! . Dunque

ex−6ax > 0→ ex > 6ax . Osservo che il primo membro è l’espressione della funzione espo-nenziale di base e, mentre il secondo membro è l’espressione di un fascio proprio di rette centrato nell’origine. Affinché la disequazione ammetta soluzione ∀x∈! , il grafico della funzione esponenziale deve stare sempre “sopra” alle rette del fascio caratterizzate dal coefficiente angolare 6a soddisfacente la condizione 0≤6a < mt , dove mt è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f x( )= ex in

T xT ; exT( ) passante per l’origine

(vedi figura sottostante). Dunque mt = ′f xT( )= exT e t : y = exT x . Ma T∈ t→ exT = exT xT →

→ xT = 1 , quindi mt = e . Finalmente 0≤ a < e 6 .

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5. Dopo avere determinato la soluzione del problema di Cauchy

′y = kx−3xy

y 0( )= 0⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ ,

determina il valore del parametro reale k in modo che la soluzione y trovata sia tale che

limx→0

y x( )x2 =−1 .

Risposta.

′y + 3xy = kx→ ye

32

x2

=k3

3x( )e32

x2

dx∫ → ye32

x2

=k3

e32

x2

+ c⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ y =

k3

1+ ce−

32

x2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ .

poiché y 0( )= 0→ k

31+ c( )= 0→ c =−1 , il problema di Cauchy presenta come soluzione

la funzione y x( )=

k3

1−e−

32

x2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

limx→0

y x( )x2 =

00⎡

⎣⎢⎢⎤

⎦⎥⎥=

k2

limx→0

e−

32

x2

−1

−32

x2=* k

2, dove in * ho utilizzato il limite notevole

limx→0

e f x( )−1f x( )

= 1

per f x( )→ 0 . Dunque k =−2 .

6. Si vuole alimentare con la tensione di rete a 220 V una lampadina da 60 W che funzio-

na a 110 V. Non disponendo di un trasformatore si può utilizzare un’induttanza di re-sistenza trascurabile da mettere in serie alla lampadina. La frequenza di rete è 50 Hz. Calcola il valore che deve avere l’induttanza.

Risposta. Si vuole che la ddp ai capi del resistore (lampadina) sia di 110 V, così come ai capi dell’induttore. Quindi 110 = Rieff → 110ieff = Rieff

2 → 110ieff = 60→ ieff = 0,54 A e 110 =

= XLieff → 110 = 2π ⋅50 ⋅L ⋅0,54→ L =

12160π→ L = 0,64H .

7. In una regione di spazio è presente un campo elettrico variabile nel tempo secondo la

legge E t( )= E0t , con E0 = 4,3 kV s . Calcola la densità di corrente di spostamento di questo campo elettrico, cioè il rapporto fra la corrente di spostamento e la superficie che attraversa.

Risposta.

js =

is

S=ε0

SdE t( )

dt=ε0E0

S=

3,8 ⋅10−8 AS

.

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8. Un’astronave A si sta allontanando da una stella S con velocità vA = 0,80c , una secon-da astronave B si allontana da S in direzione perpendicolare a quella di A con velocità

vB = 0,60c . Qual è la velocità di B vista da A?

Risposta. Prendo come sistema di riferimento quello in figura, centrato sulla stella S. Quindi

!vA =− 0,80c( )x e

!vB = 0,60c( )y . Il quesito richiede la velocità di B rispetto al sistema di ri-ferimento ′S , posto in A. Chiamo ′u tale velocità. Pongo vA = v e vB = u ; per determinare le relazioni delle componenti cartesiane della ve-locità osservo che: · la componente ′ux in direzione del moto relativo risente sia dell’effetto di dilatazione del tempo misurato da un orologio in movimento, che della contrazione delle lunghez-

ze; quindi la relazione sarà quella già nota, ′ux =

ux−v1−vux c2 .

· la componente ′uy , perpendicolare alla direzione del moto relativo, sente solo l’effetto di

dilatazione del tempo, quindi, utilizzando le trasformazioni di Lorentz, ottengo

′uy =Δ ′yΔ ′t

=′y f − ′yi

′t f − ′ti

=y f −yi

γ t f −vx c2( )−γ ti−vx c2( )=

y f −yi

γ t f −ti( )−γ x f −xi( )v c2 =uy

γ 1−vux c2( ),

dove nell’ultimo passaggio ho diviso numeratore e denominatore per t f −ti( ) .

′ux =ux−v

1−vux c2

′uy =uy

γ 1−vux c2( )

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

∼ux=0uy=u

′ux =−v′uy = u γ

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪∼′ux = 0,80c

′uy = 0,60c ⋅ 1−0,802

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

∼′ux = 0,80c′uy = 0,36c

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪,

da cui ′u = ′ux( )2

+ ′uy( )2= 0,88c .

_________________________

NOTE:

i. Tempo a disposizione: 5 ore (300 minuti). È possibile uscire dall’aula solo quando sono trascorse 2,5 ore (150 minuti) dall’inizio della simulazione.

ii. È ammesso l’uso della calcolatrice in accordo con l’allegato alla nota MIUR n. 22274 del 30 otto-bre 2019.

iii. Punteggio massimo 20 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 12 p.ti.

x

y

′ux = vA ′uy = vB γ ′u