Frequência fundamental:

Sinais de Potência

( ) ∞<∞→

= ∫T2

g dttgT1

limT

P

Sinais Periódicos ( ) ( ) Ζ∈+= n com nTtgtg 00T0T

t0

1

2T0

2T0−

( )tg0T

0TPeríodo:0

0 T1

f =

( )∫=0

0TT

2

0g dttg

T1

P

ExemplosSinal constante ( ) 0ctg

0T =

Fórmulas de Euler( ) θ±θ=θ± sinjAcosAjexpA

Re

Im

0

Aθ

θjAe

θcosA

θsinA A - envolventeθ - fase

Sinal sinusoidalFase nula

( ) ( ) ( )[ ]tf2jexptf2jexp2

Atf2cosA 00

000 π−+π=π

( ) ( ) ( )[ ]tf2jexptf2jexpj2

Atf2insA 00

000 π−−π=π

Exemplos (cont.)Sinal sinusoidal

Caso geral

( )

tf2jeje2

A

tf2jeje2

Atf2cosA

000

000000

π−

θ−+

π

θ=θ+π

( ) ( )

( ) tf2je2/je2

A

tf2je2/je2

Atf2sinA

000

000000

π−

π−θ−+

π

π−θ=θ+π

Exemplos (cont.)Sinal sinusoidal com componente dc

( )

tf2jeje2

A

c

tf2jeje2

Actf2cosA

000

0

0000000

π−

θ−+

+

π

θ=+θ+π

( ) ( )

( ) tf2je2/je2

A

c

tf2je2/je2

Actf2sinA

000

0

0000000

π−

π−θ−+

+

π

π−θ=+θ+π

Exemplos (cont.)Onda rectangular

Função geradora

t0

1

2T0

2T0−

( )tg0T

t0

1

2T

2T

−

( )tg

( ) ( )

≤<−=

contrário caso02

Tt

2T

tgtg00

0T

( ) 0TT ,contrário caso0

2T

t2T

1

Tt

recttg <

≤<−

=

=

( ) ( ) ∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

−

=−=n

0

n0 T

nTtrectnTtgtg

0T

Série de Fourier

( ) ∑∞+

−∞==

n

0n

tnfj2ectg0T

πcn - coeficientes de Fourier c0 - componente dcfn= nf0 (|n|>1) - harmónicas

Produto interno

( )( )( )

( )m-nsincTmn

mnsinT

dttmf2jetnf2jetmf2je,tnf2je

00

T0000

0

=−π

−π=

π−π=ππ ∫

1

1

23

4-1-2-3

-4

( )x sinc

≠=

=ππmn0

mnTtmf2je,tnf2je 000

Série de Fourier (cont.)

( ) ∑∞+

−∞==

n

0n

tnfj2ectg0T

π

Decomposição em componentes ortogonais

{ } +∞=

−∞=π n

n 0tnf2je

A base ortogonal de dimensão infinita

gera o espaço vectorial dos sinais periódicos de período T0

Análise de Fourier de sinais periódicosCálculo dos coeficientes de Fourier

( ) ( )∫ π−=π=0

0T0T T0

0

0

0n dttnf2jetg

T1tnf2je,tg

T1

c

Série de Fourier (cont.)

Relação de Parseval

Cálculo da potência (norma quadrática)

( ) ∑∫∞+

−∞=

==n

2nT

2

0g cdttg

T1

P0

0T

e1e2

e3

x|x|

x1

x2

x3

|x|2 = x12 + x2

2 + x32

Série de Fourier (cont.)

Exemplo

t0

A

2T0

2T0−

( )tg0T

4T0

=π−= ∫

−2n

sinc 2A

dttnf2jAeT1

c4/T

4/T

0

0n

0

0

A/2

nf0

|cn|

0 1-1 3 5 7 9

2 4 6 8

-3-5-7-9

-2-4-6-8

arg (cn)π

-π0

Sinais de Energia

( ) ∞<= ∫∞+

∞−dttgE 2

g

Exemplos

t0

( )

<≥α−

=0t0

0ttAetg

t0

( ) +∞<<∞−= α− t,Aetg tA

A

t0

A

2T

2T

−

( )

=

Tt

Arecttgα

=2A

E2

g

TAE 2g =

α=

2

gA

E

Transformada de Fourier

( ) ( )∫∞+

∞−−= dtðft2jetgfG

Exemplo

2T

2T

− 0

( )

=

Tt

recttg

( ) ( )Tf sinc TfG =

0t f

T

1

Ζ∈k, Tk

-π

π

0

0f

f

T

espectro demagnitude

espectro defase

Transformada de Fourier (cont.)

Impulso de Dirac - δ(⋅)

T

2T

1 T

4T

5T

1

1

1

2T4T

5T

( )nTf sinc nTnTt

rect ↔

( ) 1T0

rectdfnTf sinc nT =

=∫

∞+

∞−

Transformada de Fourier (cont.)

Impulso de Dirac - δ(⋅)

t

1

f0

δ(δ( f ))↔

{ } ( )000 ffdtft2jetf2jetf2jeTF −δ=π−π=π ∫

∞+

∞−

Propriedade fundamental

( ) ( ) ( )

( ) µ<µ<µµ

=

µµ−µδµ⇒µ=µµ ∫µ

µ

contrário caso0

g

dg em contínua f. :g

2010

002

1

Transformada Inversa de Fourier

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )tg

dutuug

dudfft2jefu2jeug

dfft2jedufu2jeugdfft2jefG

=

−δ=

ππ−=

π

π−=π

∫

∫ ∫

∫ ∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

( ) ( )∫∞+

∞−π= dfft2jefGtg

Transformada de Fourier (cont.)Teorema de Rayleigh

( ) ( )∫∫∞+

∞−

∞+

∞−== dffGdttgE 22

g

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )∫

∫∫ ∫

∫ ∫∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−∗∞+

∞−∗∞+

∞−

∞+

∞−

∗∞+

∞−

∞+

∞−∗∞+

∞−

=

=

π−=

π==

dffG

dtfGfGdffGdtft2jetg

dtdfft2jefGtgdttgtgdttg

2

2

Propriedades da Transformada de Fourier

Propriedade Descrição Matemática

1. Linearidade ( ) ( ) ( ) ( )fGafGatgatga 22112211 +↔+

2. Escalamento temporal ( )

αα↔α

fG

1tg

3. Dualidade ( ) ( ) ( ) ( )fgtGfGtg −↔⇔↔

4. Translação temporal ( ) ( ) ( )00 ft2jexpfGttg π−↔−

5. Translação espectral ( ) ( ) ( )00 ffGtf2jexptg −↔π

6. Diferenciação temporal ( ) ( )ffG2jtgdt

dπ↔

7. Primitivação temporal ( ) ( )fGf2j

1dttg

π↔∫

Transformada de Fourier de um sinal periódico

( ) ( )∑∞+

−∞=

−δ↔n

0n nffctg0T

Fórmula de Poisson

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

π=−⇒↔n

000n

0 tnf2jexpnfGfnTtgfGtg

Transformada de Fourier de um Pente de Diracs

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1fGttg ,nTttgn

00T =↔δ=−δ= ∑∞+

−∞=

( ) ( ){ } ( )∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

−δ=π↔n

00n

00 nffftnf2jexpTFftg0T

tT0-T0-2T0-3T0 2T0 3T00

LLLL1

Sistemas

H

y(t) = H [x(t)]x(t)

entrada saídaoperador

Sistemas Invariantes no Tempo

H [x(t)] = y(t) ⇒ H [x(t-t0)] = y(t-t0)

Sistemas Causais

x(t), t ≥ t0 ⇒ y(t) = H [x(t)], t ≥ t1 ≥ t0

Sistemas Lineares

y1(t) = H [x1(t)]

⇒ y(t) = H [α1 x1(t) + α2 x2(t)] = α1 y1(t) + α2 y2(t)

y2(t) = H [x2(t)]

Resposta Impulsional

hy(t) = h(t , τ)δ(t-τ)

entrada saída

Resposta temporal

( ) ( ) ( )∫∞+

∞−

τττ= dx,thty

Resposta Temporal de Sistemas Lineares e InvariantesIntegral de Convolução

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }thx dxthtxhty oo =τττ−== ∫∞+

∞−

t

x(t)

t

h(t)

T0/2 T00

1A

τt t+T0/2t-T0/2 0 T

1h(τ)x(t-τ) A

τt t+T0/2t-T0/2 0 T

A

τt t+T0/2t-T0/20 T

A

t-T0/2 T0/20 T-T0/2 T+T0/2T

AT0y(t)

Resposta Temporal de Sistemas Lineares e Invariantes (cont.)Integral de Convolução - Memória

g(τ)

h(t-τ)

h(t-τ)

g(τ)

τ

τ

t

t

0

0

Resposta em Frequência de Sistemas Lineares e Invariantes

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ) ( ) ( )fXfHfY

txTFthTFtxhTFtyTF

=⇔×== o

Função de Transferência ( ) ( ){ }thTFfH =

Resposta em Magnitude

( ) ( ) ( )fXfHfY =

Resposta em Fase

( )( ) ( )( ) ( )( )fXargfHargfYarg +=

( )222e

f4

2fG

π+α

α=

Resposta em Frequência de Sistemas Lineares e Invariantes (cont.)Exemplo

( ) te aetg α−= ( ) ( )tuteth β−=

( )222 f4

1fH

π+β=

( )( )

βπ−= f2

atan fHarg( ) ( ) ( )fGfHfG es =

( )( ) ( )( ) ( )( )

βπ

−=

+=

f2atan

fGargfHargfGarg es

( )tgs

tea α

β+α

α−−β−

×β−α

+β+α

tete

aa

Resposta em Frequência de Sistemas Lineares e Invariantes (cont.)Filtragem

( )222 f4

1fH

π+β=

Largura de BandaLargura de Banda a 3 dB – B

B-Bf0

( ) ( ) dB 32log102log20 ≅=

( )0H

( ) ( )BH2

0H=

Filtro Passa-Baixo (FPBx)

Filtro Passa-Banda (FPBd)( )0H

( ) ( )BH2

0H=

fc-fcfc+Bfc-B f0

B

2B

Sistemas Lineares e Invariantes (cont.)Filtragem Ideal

Filtro Passa-Baixo Ideal

( )

π−=

B2f

rectft2jKefH d

( ) ( )( )dt-t2B sinc BK2th =f0

KB

Filtro Passa-Banda Ideal

2Bffc-fc

0

K

fc+Bfc-B

( )

+

+

−π−=

B2ff

rectB2ff

rectft2jKefH ccd

( ) ( )( ) ( )( )dcd ttf2cost-t2B sinc BK4th −π=

Exemplos de Sistemas Não LinearesQuadrador

( ) ( ) ( ) ( )fGGfGtgtg ees2es o=↔=

( ) ( )2Bt sinc tge = ( ) ( )2Bt sinc tg 2s =

eg

sg

B

1/2B

2B

1/2B( )fGe ( )fGs

Rectificador (ideal) ( ) ( )tgtg es =eg

sg

( ) ( )tf2costg 0e π=( ) ( )tf2costg 0e π=

+

+

=

212n

sinc 2

1-2n sinc

21

cn

Correlação TemporalDensidade Espectral

Operador Média TemporalSinais de Potência

( ) ( )∫+

−∞→=

2/T

2/TTdttg

T1

limtg

Propriedades

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) **2/T

2/TT

*2/T

2/TT

2/T

2/T*

T

* tgdttgT1

limdttgT1

limdttgT1

limtg =

=

== ∫∫∫

+

−∞→

+

−∞→

+

−∞→

( ) ( ) dd t , tgttg ∀=−

( ) ( ) ( ) ( )tgtgtgtg 22112211 α+α=α+α

Produto Interno

( ) ( ) ( ) ( )∫+

−∞→=

2/T

2/T*21

T21 dttgtg

T1

limtg,tg

Norma Quadrática - Potência

( ) ( ) ( )∫+

−∞→==

2/T

2/T2

Tg dttg

T1

limtg,tgP

Desigualdade de Schwarz

( ) ( ) ( ) ( )21 gg

22

21

221 PPtgtgtg,tg =≤

x

y

θθ

|x|cos θ yxcosyxy,xcosyxy,x ≤θ=⇒θ=

( )( )

π±=θ==θ=

→ colineares ,0yx máximo

ortogonais 00 mínimoy,x

Potência da Soma

( ) ( ) ( )tgtgtg 21 +=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ){ }tg,tg2PP

tg,tgtg,tgtg,tgtg,tg

tgtg,tgtgP

21gg

12212211

2121g

21ℜ++=

+++=

++=

21ggg gg sse PPP21

⊥+=

Correlação

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+

−∞→τ−=τ−=τ

2/T

2/T*

Tgw dttwtg

T1

limtw,tgR

Propriedades

( )

=⊥=

→≤τwgPPmáximo

wg0mínimoPPR

wgwg

2gw

( ) ( )τ−=τ *wggw RR

Autocorrelação

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+

−∞→τ−=τ−=τ=τ

2/T

2/T*

Tggg dttgtg

T1

limtg,tgRR

Propriedades

( ) ( )

( ) ( )τ=τ−

=≤τ

*gg

ggg

RR

P0RR

Sinais periódicos de período T0

Correlação Periódica

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )τ=

τ−=

−τ−=+τ

∫

∫+

−

+

−

gw

2/T

2/T*

0

2/T

2/T 0*

00gw

R

dttwtgT1

dtnTtwtgT1

nTR

0

0

0

0

Sinais periódicos de período T0 (cont.)Coeficientes de Fourier da Correlação

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

∑∑

∑ ∫

∫ ∑∫

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

+

−

+

−

∞+

−∞=

+

−

τπ=τπ=

τπ

π−=

τ−π−=τ−=τ

n

0n

n

0n

*n

n

02/T

2/T0

0

*n

2/T

2/Tn

0*n

0

2/T

2/T*

0gw

nf2jecnf2jeab

nf2jedttnf2jetgT1

b

dttnf2jebtgT1

dttwtgT1

R

0

0

0

0

0

0

( ) *nnn

n

nf2jngw bac onde ,ecR 0 ==τ ∑

∞+

−∞=

τπ−

( ) ( ) ∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

π=π=n

nn

ntnf2jebtwetnf2jeatg 00

( ) 2n

*nnn

n

nf2jng aaac onde ,ecR 0 ===τ ∑

∞+

−∞=

τπ−

Densidade Espectral de Potência

( ) ( ){ } ( )∫∞+

∞−ττπ−τ=τ= df2jeRRTFfS ggg

Sinais Periódicos

( ) ( )

( )

( )

( )∑

∑ ∫

∫ ∑

∑∑

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

−δ=

ττ−π−=

ττπ−

τπ=

τπ=τ⇒π=

n0

2n

n

02n

n

02ng

n

02ng

n

0n

nffa

dnff2jea

df2jenf2jeafS

nf2jeaRtnf2jeatg

( ) ( )∫∞+

∞−== dffS0RP ggg

Sinais de Energia

Correlação

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞+

∞−τ−=τ−=τ dttwtgtw,tgR *

gw

Autocorrelação

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞+

∞−τ−=τ−=τ dttgtgtg,tgR *

g

Propriedades

Idênticas às verificadas pela correlação eautocorrelação de sinais de potência

Densidade Espectral de Energia

( ) ( ){ } ( )∫∞+

∞−ττπ−τ=τ= df2jeRRTFfS ggg

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )2*

*

*

*

*

*gg

fGfGfG

dufu2jeugdtft2jetg

dtft2jedufu2jeugtg

dtdf2jetgtg

dtdf2jetgtg

df2jedttgtgdf2jeRfS

==

π−

π−=

π−

π−=

ττπ+τ−=

ττπ−τ−=

ττπ−

τ−=ττπ−τ=

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

Relações de Entrada - Saída em Sistemas Lineares Invariantes

h ↔ H( )tge ( )tgs

Dada a resposta impulsional (real) h(τ), definimos h- (τ) = h(-τ). Sendo H(f) = TF{h(τ)}, então H*(f) = TF{h-(τ)}.Pode mostrar-se que:

( ) ( )τ=τ − hhRRes gg oo

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )fSfH

fHfHfSfS

e

es

g2

*gg

=

=