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Sinais e SistemasUnidade 5 –
Representação em domínio da
frequência para sinais contínuos:Transformada de Transformada de LaplaceLaplace
Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]
1/5
2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Introdução•
Definição da Transformada de Laplace
•
Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo
•
Função de Transferência•
Conceito de pólos e zeros
•
Estabilidade de sistemas
•
Sistemas com atraso de transporte•
Análise da resposta transitória
•
Análise da resposta em regime permanente
•
Resposta em frequência e Diagrama de Bode
Conteúdo da unidade
Aulas
01 e 02
Aula 03
Aula 04
Aulas
05 e
06
1/5
3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 02
•
Definição da Transformada de Laplace–
Transformada Inversa de Laplace
–
Expansão em Frações Parciais•
F(s) com pólos simples
•
F(s) com pólos múltiplos•
F(s) com pólos múltiplos
•
Emprego do MATLAB
•
Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo–
Exemplos de solução
–
Aplicação à
análise de circuitos elétricos
1/5
4Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Transformada Inversa de Laplace
•
Sejac
= abscissa de convergência•
Número real e constante superior a à parte real de todos os pontos
singulares de F(s)
•
Definição
–
O percurso de integração é paralelo ao eixo imaginário jω
e deslocado deste do valor c
–
Percurso situado a direita de topos os pontos singulares–
Na prática, raramente a Transformada Inversa é obtida pela definição
1 1 02
, para c j
st
c j
L F s f t F s e ds tπj
1/5
5Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Transformada Inversa de Laplace
•
Observações–
Em função da complexidade da solução da integral, na prática,
raramente a Transformada Inversa é obtida pela definição–
Recorre‐se a tabelas de pares de Transformada de Laplace
–
Frequentemente, a função em pauta pode não figurar na tabela•
Expandir F(s) em frações parciais
•
Escrever F(s) em termos de funções simples de s
para as quais as transformadas inversas já
são conhecidas
1/5
6Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Expansão em Frações Parciais
•
Normalmente F(s) encontra‐se sob a seguinte forma
–
Onde•
A(s) e B(s) são polinômios em s
•
O grau de A(s) deve ser superior ao grau de B(s)
•
Se F(s) puder ser decomposta em componentes
–
Então
B sF s
A s
1 2 nF s F s F s F s
1 1 1 11 2
1 2
n
n
f t L F s L F s L F s L F s
f t f t f t
1/5
7Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Expansão em Frações Parciais
•
Seja F(s) escrita sob a forma fatorada
–
Onde p1
, p2
, ... , pn
e z1
, z2
, ... , zn
são quantidades reais ou complexas–
Para cada pi
ou zi
complexo ocorrerá
o respectivo complexo conjugado
F(s) com pólos simples
1 2
1 2
, para m
n
K s z s z s zB sF s m n
A s s p s p s p
1/5
8Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Frações Parciais
–
Onde ak
(k
= 1, 2, ..., n) são constantes–
Os coeficiente ak
é chamado de resíduo no pólo s
= ‐pk
–
Cálculo de ak
Expansão em Frações Parciais
n
n
B s a a aF s
A s s p s p s p
1 2
1 2
k
k ks p
B sa s p
A s
1/5
9Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Observar que
–
Logo
Expansão em Frações Parciais
1 kp tkk
k
aL a e
a p
1 211 2 0 , para np t p t p t
nf t L F s a e a e a e t
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10Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Exemplo–
Achar a Transformada Inversa de Laplace
de
–
Expansão em Frações Parciais
–
Cálculo dos resíduos
Expansão em Frações Parciais
3
1 2s
F ss s
1 23
1 2 1 2a as
F ss s s s
111
222
3 31 21 2 2
3 32 11 2 1
ss
ss
s sa s
s s s
s sa s
s s s
1/5
11Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
–
Assim
Expansão em Frações Parciais
, para t t
f t L F s
L Ls s
e e t
1
1 1
2
2 11 2
2 0
1/5
12Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Exercício–
Achar a Transformada Inversa de Laplace
de
–
Solução
Expansão em Frações Parciais
sF s
s s
22 122 5
, para t tf t e sen t e cos t t 5 2 2 2 0
1/5
13Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Expansão em Frações Parciais
•
Frações Parciais
–
Cálculo dos resíduos bk
F(s) com pólos múltiplos
, para , , ,!
n kn
k n ks p
B sdb s p k n
n k A sds
1 1 2
nn n
B s b b bF s
s p s p s p s p
1 2
1 2
1/5
14Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Exercício–
Achar a Transformada Inversa de Laplace
de
–
Solução
Expansão em Frações Parciais
s s
F sS
2
32 31
, para tf t t e t 21 0
1/5
15Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Expansão em Frações Parciais
Emprego do MATLAB
num = [2 5 3 6]
% Numerador da função de transferênciaden
= [1 6 11 6]
% Denominador da função de transferência
[r, p, k] = residue
(num, den) % Função para expansão em frações parciais
num = [2 5 3 6]
% Numerador da função de transferênciaden
= [1 6 11 6]
% Denominador da função de transferência
[r, p, k] = residue
(num, den) % Função para expansão em frações parciais
r = ‐6.0000‐4.00003.0000
p = ‐3.0000‐2.0000‐1.0000
K = 2.0000
r = ‐6.0000‐4.00003.0000
p = ‐3.0000‐2.0000‐1.0000
K = 2.0000
B s s s sF s
A s s s s
3 2
3 22 5 3 6
6 11 6
F ss s s
6 4 3 23 2 1
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16Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Solução de Equações Diferenciais
•
Transformada de Laplace
–
Fornece a solução completa
(complementar e particular)–
Automaticamente considera as condições iniciais
•
Procedimento
1)
Aplicar a Transformada de Laplace
a cada um dos membros e equação diferencial, convertendo‐a numa equação algébrica de s
2)
Rearranjar a equação, isolando a variável dependente,por exemplo X(s)
3)
A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida achando‐se a Transformada Inversa de Laplace
da variável
dependente
1/5
17Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Solução de Equações Diferenciais
•
Exemplo–
Obter a solução x(t) da seguinte equação diferencial, com a
e b
constantes
–
Aplicando‐se a Transformada de Laplace
a cada termo
–
Substituindo‐se as condições iniciais
, ,x x x x a x b 3 2 0 0 0
s X s s x x sX s x X s 2 0 0 3 0 2 0
s X s sa b sX s a X s 2 3 2 0
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18Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Solução de Equações Diferenciais
–
Resolvendo‐se para X(s)
–
Expandindo‐se em frações parciais
–
Obtendo‐se a Transformada Inversa de Laplace
s s X s as b a
as b aX s
s s s
2
2
3 2 3
33
as b a as b a a b a bX s
s s s ss s s
2
3 3 21 2 1 23
, para t tx t L X s a b e a b e t 1 22 0
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19Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Solução de Equações Diferenciais
•
Exercício
–
Obter a solução x(t) da seguinte equação diferencial
–
Solução
, ,x x x x x 2 5 3 0 0 0 0
, para t tx t e sen t e cos t t 3 3 32 2 05 10 5
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20Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Solução de Equações Diferenciais
•
Resistor
–
Aplicando a Transformada de Laplace
Análise de Circuitos Elétricos
R Rv t R i t
R R RL v t V s RI s
1/5
21Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Solução de Equações Diferenciais
•
Indutor
–
Aplicando a Transformada de Laplace
ou L L L Ld
v t L i t i t v t dtdt L
11
1
L L L L L LL v t V s L sI s i sL I s L i 1 1 10 0
01 1
01 1L L LL L L
t
V s V s iL i t I s v t dt
L s s sL s
1/5
22Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Solução de Equações Diferenciais
•
Capacitor
–
Aplicando a Transformada de Laplace
ou C C C Cd
i t C v t v t i t dtdt C
1
C C CC C C
t
I s I s vL v t V s i t dt
C s s sC s
0
01 1
C C C C C CL i t I s C sV s v sCV s Cv 0 0
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23Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Solução de Equações Diferenciais
•
Exemplo
–
Encontrar vo
(t) para o seguinte circuito (filtro passa‐baixas) com as seguintes condições iniciais: iL
(0) = 0
e vC
(0) = 0
•
Exercício–
Relatório individual impresso contendo:•
Simulação no MATLAB
da função vo
(t) obtida. Incluir código fonte•
Comparação com a simulação no PSIM ou OrCAD
•
(Vi = 100 V; L = 1 mH, C = 100 μF, R = 10 Ω)
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24Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª
ed. Rio de Janeiro: Prentice‐ Hall, 2000.
[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011.
[3] ALEXANDER, C. H.; SADIKU, M. N. O. Fundamentals of Electric Circuits. McGraw‐Hill, 2001.
Bibliografia