55
Sinais e Sistemas Luis Henrique Assump¸ ao Lolis 21 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assump¸ ao Lolis Sinais e Sistemas 1

Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

  • Upload
    vuthu

  • View
    222

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinais e Sistemas

Luis Henrique Assumpcao Lolis

21 de fevereiro de 2014

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 1

Page 2: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Conteudo

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 2

Page 3: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 3

Page 4: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinais Determinısticos

Sinais Aleatorios

Sinais Periodicos

Sinais nao Periodicos

Sinais Analogicos

Sinais Discretos

Sinais de Energia

Sinais de Potencia

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 4

Page 5: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinais Determinısticos e Aleatorios

Sinais Determinısticos

Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo.Pode se descrever com uma equacao:

x(t) = 5 cos (2π10t)

Sinais Aleatorios

Nao se pode determinar o valor em um exato instante dotempo, mas se observado por um longo perıodo de tempo,algumas caracterısticas probabilısticas podem se definir:media, variancia, momentos. Ex: Ruıdo termico, sequenciaaleatoria de dados.

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 5

Page 6: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinais Periodicos e nao Periodicos

Sinais Periodicos

x(t) = x(t+ T0), −∞ < t <∞Sinais nao Periodicos

Nao satisfazem a condicao acimaEx: pulsos, sinais digitais

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 6

Page 7: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinais Analogicos e Discretos

Sinais Analogicos

Uma funcao x(t) contınua no tempo e na amplitude, um sinalque existe para todos os pontos no tempo t.Sinal eletrico: quando uma forma de onda fısica (ex: som) setransforma em onda eletrica atraves de transdutor (ex:microfone)

Sinais Discretos

Um sinal x(kT ) so existe nos instantes kT , T definido comoperıodo de amostragem.Um sinal e Digital e discreto no tempo e na amplitude.

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 7

Page 8: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinais de Energia e Sinais de Potencia

Sinal eletrico, x(t): tensao, v(t), ou corrente, i(t), compotencia instantanea p(t) dada por:

p(t) = v2(t)/R = i2(t)R. Supondo R = 1Ω,⇒ p(t) = x2(t)

A energia dissipada durante o intervalo de tempo (−T/2, T/2)por um sinal real com potencia instantanea p(t) e,

ETx =

∫ T2

−T2

x2(t) dt

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 8

Page 9: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinais de Energia e Sinais de Potencia

A potencia media dissipada pelo sinal durante esse intervalo e,

P Tx = 1TE

Tx = 1

T

∫ T2

−T2

x2(t) dt

Potencia Media

E a taxa a qual a energia e liberada. → Determina a tensao (oucorrente) que deve ser aplicada a um transmissor, intensidade decampo magnetico, ...

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 9

Page 10: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinais de Energia e Sinais de Potencia

Sinais de Energia: 0 < Ex <∞. Onde,

Ex = limT→∞

ETx = limT→∞

∫ T2

−T2

x2(t) dt =

∫ ∞−∞

x2(t) dt

Sinais de Potencia: 0 < Px <∞. Onde,

Px = limT→∞

P Tx = limT→∞

1

T

∫ T2

−T2

x2(t) dt

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 10

Page 11: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Exemplos

Calcular a potencia do seguinte sinal: g(t) = Acos(2πfct)

Determine se os seguintes sinais sao de energia ou depotencia:

(a) x1(t) = e−2tu(t)(b) x2(t) = ej(2t+π/4)

(c) x3(t) = cos(t)

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 11

Page 12: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 12

Page 13: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Degrau unitario: u(t) =

0, t < 01, t ≥ 0

Funcao Sinal: sgn(t) =

−1, t < 01, t > 00, t = 0

Pulso retangular: rect(t) =

1, −1

2 < t < 12

0, fora

Impulso unitario:

1

∫ ∞−∞

δ(t) dt = 1

2 δ(at) = 1|a|δ(t)

3 x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)

4

∫ ∞−∞

x(t)δ(t− t0) dt = x(t0)

Funcao sinc: sinc(t) = sin(πt)πt

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 13

Page 14: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 14

Page 15: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Conceitos

Muitas vezes e mais interessante representar o sinal nodomınio da frequencia do que no tempo.

Circuitos sao mais facilmente analisados no domınio dafrequencia (ex: filtro passa-baixa).

A passagem de um sinal por um sistema linear com memoria:convolucao no tempo, e multiplicacao na frequencia.

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 15

Page 16: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Transformada de Fourier

g(t) G(f)

G(f) = F [g(t)] =

∫ ∞−∞

g(t)e−j2πft dt

g(t) = F−1[G(f)] =

∫ ∞−∞

G(f)ej2πft df

G(f) = X(f) + jY (f)

G(f) = |G(f)|ejθ(f)

|G(f)| =√X2(f) + Y 2(f) e θ(f) = tan−1

(Y (f)X(f)

)

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 16

Page 17: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Algumas propriedades da Trasformada de Fourier

1 Se g(t) e real, entao

G(−f) = G∗(f)|G(−f)| = |G(f)|θ(−f) = −θ(f)

2 Teorema de Parseval:∫ ∞−∞

g1(t)g∗2(t) dt =

∫ ∞−∞

G1(f)G∗2(f) df

Se g1(t) = g2(t) = g(t)⇒ Teorema da Energia de Rayleigh:

E =

∫ ∞−∞|g(t)|2 dt =

∫ ∞−∞|G(f)|2 df

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 17

Page 18: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Pares de Transformadas de Fourier

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 18

Page 19: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Propriedades da Transformadas de Fourier

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 19

Page 20: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Transformada - Pulso retangular

rect(t) =

1, −1

2< t <

1

20, |t| ≥ 1

2

g(t) = A rect( tT )

G(f) =

∫ T/2

−T/2Ae−j2πftdt = AT

sin(2πfT )

T

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 20

Page 21: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Transformada - Pulso retangular

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 21

Page 22: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Transformada - Pulso sinc

Dual do pulso retangular.

Filtro ideal

g(t) = sinc(2Wt)

A sinc(2Wt) A

2Wrect

(f

2W

)

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 22

Page 23: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Pulso de Radio Frequencia

Um pulso RF como produto de um cosseno e um pulsoretangular.

O produto no tempo e a convolucao na frequencia. Atransformada do pulso retangular vai se deslocar para asposicoes dos pulsos de Dirac da transformada do cosseno.

g(t) = A rect

(t

T

)cos(2πfct)

G(f) =1

2sinc[T (f − fc)] + sin[T (f + fc)]

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 23

Page 24: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Pulso de Radio Frequencia

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 24

Page 25: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 25

Page 26: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Definicao

Caracteriza a distribuicao da energia ou potencia de um sinalno domınio da frequencia.

Importante para avaliar o sinal e o ruıdo na saıda de um filtro.

As grandezas sao a Densidade Espectral de Potencia (DEP) eDensidade Espectral de Energia (DEE).

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 26

Page 27: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Densidade Espectral de Energia

Definicao da energia no tempo e na frequencia:

Ex =

∫ ∞−∞

x2(t)dt =

∫ ∞−∞|X(f)|2df

X(f) a transformada de Fourier do sinal nao-periodico x(t).Sendo assim Ψx(f) = |X(f)|2 e definida como a DEE dosinal x(t).

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 27

Page 28: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Densidade Espectral de Potencia

Considerando um sinal periodico em T0, classificado como umsinal de potencia. A potencia desse sinal e dada por:

Px =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x2(t)dt =

∞∑n=−∞

|cn|2

Onde |cn| sao os coeficientes complexos da serie de Fourier dosinal periodico.

Sendo assim, para um sinal de potencia determinıstico a DEPe dada por:

Gx(f) =∑∞n=−∞ |cn|2δ(f − nf0)

Observando uma versao truncada do sinal de potencia, agoracom energia finita, limitado em −T/2, T/2, podemos calculara transformada de Fourier desse sinal, de maneira que a DEPdo sinal x(t) e dada por:

Gx(f) = limT→∞

1

T|XT (f)|2

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 28

Page 29: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Exemplo

Calcular a potencia atraves do metodo temporal e frequencial

x(t)A cos(2πf0t)

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 29

Page 30: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 30

Page 31: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Autocorrelacao de um sinal de energia

Mede o grau de correlacao do sinal com uma versao atrasada delemesmo:

Rx(τ) =

∫ ∞−∞

x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞

Rx(τ) mostra quao perto esta um sinal de uma copia desse mesmosinal atrasado em τ unidade de tempo.

Rx(τ) = Rx(−τ) Simetrico em τ em torno de zero

Rx(τ) ≤ Rx(0)para todo τ

o valor maximo ocorre na origem

Rx(τ)↔ Ψx(f) a autocorrelacao e a DEE formam um parde transformada de Fourier

Rx(0) =∫ ∞−∞

x2(t)dt

o valor na origem e igual a energia do sinal

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 31

Page 32: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Autocorrelacao de um sinal de potencia

Rx(τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞

A media no tempo pode ser tomada em um unico perıodo detempo T0

Rx(τ) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 32

Page 33: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Autocorrelacao de um sinal de potencia

Para um sinal periodico

Rx(τ) = Rx(−τ) Simetrico em τ em torno de zero

Rx(τ) ≤ Rx(0)para todo τ

o valor maximo ocorre na origem

Rx(τ)↔ Gx(f) a autocorrelacao e a DEP formam um parde transformada de Fourier

Rx(0) =

1

T0

∫ T0/2

−T0/2x2(t)dt

o valor na origem e igual a potencia mediado sinal

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 33

Page 34: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 34

Page 35: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Exercıcios de aula

1 Determine a densidade espectral de energia de um pulsoretangular x(t) = rect(t/T ), onde x(t) = 1 para−T/2 ≤ t ≤ T/2. Calcule a energia normalizada no pulso.

2 Encontre, atraves de media temporal, a potencia do seguintesinal: x(t) = 10 cos(10t) + 20 cos(20t)

3 Repita o problema anterior aplicando a soma de coeficientesespectrais.

4 Encontre a funcao de autocorrelacao dex(t) = A cos(2πf0t+ φ) em funcao do perıodo T0 = 1/f0.Encontre a potencia media normalizada de x(t) usando afuncao de autocorrelacao.

5 Aplicando o resultado do item anterior, encontre a funcao deautocorrelacao de x(t) = 10 cos(10t) + 20 cos(20t) e a suapotencia atraves da funcao de autocorrelacao.

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 35

Page 36: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Dependencia Tempo-Frequencia

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 36

Page 37: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

O Dilema da Largura de Banda

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 37

Page 38: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 38

Page 39: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sistemas que respeitam o princıpio da superposicao. Ex: canalde comunicacao e filtros.

δ(t) - Resposta ao impulso

A superposicao para explicar a integral de convolucao

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 39

Page 40: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

y(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t− τ) dτ

y(t) = x(t) ∗ h(t) - integralde convolucao

Y (f) = X(f)H(f)

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 40

Page 41: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Resposta em frequencia

Transformada de Fourier da resposta ao impulso de umsistema:

H(f) =

∫ ∞−∞

h(t)e−j2πftdt

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 41

Page 42: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Resposta em frequencia

Transformada de Fourier da resposta ao impulso de umsistema:

H(f) =

∫ ∞−∞

h(t)e−j2πftdt

Sinal complexo separavel em reposta em amplitude e fase:

H(f) = |H(f)|ejβ(f)

Se o filtro e consiste de uma entrada e uma saıda ele temresposta ao impulso real, e nesse caso:

|H(f)| = |H(−f)|β(f) = −β(−f)

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 42

Page 43: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 43

Page 44: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Definicao

Dispositivo seletivo em frequencia para receber o sinal deinteresse e rejeitar o sinal de interferencia.

Definido atraves da banda passante e a banda de rejeicao.

Filtro causal:

A resposta ao impulso e zero para valores negativos de tempo

Tipos de filtros: passa-baixa, passa-alta, passa-faixa,rejeita-faixa.

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 44

Page 45: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Passa-baixa ideal

H(f) =e−j2πft0 , −B ≤ f ≤ B

0, |f | > B

h(t) = 2B sinc[2B(t− t0)]

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 45

Page 46: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 46

Page 47: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Transformada de Hilbert

E uma outra maneira de analisar os sinais.

Enquanto Fourier separa a base dos sinais pelos conteudos emfrequencia, Hilbert separa os sinais pelos conteudos em fase.

Se a fase e alterada em ±90 graus para todas as componentesde frequencia temos a transformada de Hilbert sinal.

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 47

Page 48: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Hilbert na frequencia e no tempo

Implementa −90o para frequencias positivas e +90o parafrequencias negativas

sgn(f) =

1, f > 00, f = 0−1, f < 0

G(f) = −j sgn(f)G(f)

Entao a transformada de Hilbert e a convolucao do sinal coma transformada inversa de −j sgn(f):

1

πt −j sgn(f)

g(t) =1

π

∫ ∞−∞

g(τ)

t− τdτ

g(t) = − 1

π

∫ ∞−∞

g(τ)

t− τdτ

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 48

Page 49: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 49

Page 50: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sumario

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 50

Page 51: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Sinal analıtico

Definimos um sinal chamada analıtico a partir de um sinal realg(t)

g+(t) = g(t) + jg(t)

g(t) transformada de Hilbert de g(t).

Analisando da na frequencia:

G+(f) = G(f) + sgn(f)G(f)

G+(f) =

2G(f), f > 0G(0), f = 0

0, f < 0

Pode ser tambem deduzido a partir de transformada inversapara somente frequencias positivas e multiplicado por 2.

Existe tambem o sinal analıtico para frequencias negativas.g−(t) = g∗+(t)

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 51

Page 52: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Representacao Canonica de Sinais Passa Banda

Se um sinal ocupa uma banda de 2W em torno de umafrequencia central ±fc, podemos indicar esse sinal comosendo um sinal complexo em banda base (espectro naosimetrico) que e entao deslocado para +fc onde tomamosposteriormente a parte real.

Essa representacao serve para criar e analisar sinais quetransportam informacao em toda a banda (modulacao emquadratura) e tambem para ambientes de simulacao onde avelocidade de simulacao depende da banda analisada, porexemplo 2W << fc.

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 52

Page 53: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Representacao Canonica de Sinais Passa Banda

fc conhecida como portadora do sinal. O sinal analıtico g(t)pode ser definido da seguinte maneira:

g+(t) = g(t)ej2πfct

g(t) e chamado de envelope complexo do sinal. E um sinalpassa baixa e contem toda a informacao do sinal de origem.

Como g(t) e a parte real de g(t), transformando o espectroem simetrico novamente. Temos:

g(t) = <[g(t)ej2πfct

]E quando g(t) e complexo, podemos separar em:g(t) = gI(t) + jgQ(t)

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 53

Page 54: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 54

Page 55: Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.com · Sinais Determin sticos e Aleat orios Sinais Determin sticos Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo. Pode se

O sinal passa banda na forma canonica

g(t) = gI(t) cos(2πfct)− gQ(t) sen(2πfct)

gI(t) e a componente em fase e gQ(t) a componente emquadratura.

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 55