INTEGRAL

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x): es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

TABLA DE INTEGRALES PRINCIPALES

Potencia de x.

xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n   -1)  

1/x dx dx = ln|x| + C

Exponente / Logaritmo

ex dx = ex + C  

bx dx = bx / ln(b) + C

ln(x) dx = x ln(x) - x + C   

Trigonométrica

sen x dx = -cos x + C  

cos x dx = sen x + C  

tan x dx = -ln|cos x| + C 

a, e, k, y C son constantes; u(x) es una función y u'(x) su derivada.

En adelante, escribiremos u y u'. Entendamos que esto no es más que un abuso de notación con el fin de simplificar la misma.

Ejemplos:

Para mayor entendimiento revisar el siguiente link:

https://www.youtube.com/watch?v=yXessGVIGxY&feature=youtu.be

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial:

Ejemplos:

Para mayor entendimiento revisar el siguiente link:

https://www.youtube.com/watch?v=jYVqsm-evZ8&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=92Zd_8n8rKI&feature=youtu.be

TECNICAS DE CONTEO

Se estudian en este aparte algunas técnicas especiales que facilitan el trabajo de contar los casos favorables y posibles que definen la medida de probabilidad.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nrmaneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; N1 x N2 x ..........x   Nr   maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevados a efecto, uno tras otro. Ejemplo:

Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras

que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

 Solución:

 Considerando que r = 4 pasos

 N1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1

 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

 El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de cómo se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

COMBINACIÓN

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

Se puede repetir

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?

Vamos a usar letras para los sabores:

{b, c, l, f, v}.

Algunos ejemplos son

{c, c, c} (3 de chocolate)

{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)

{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas. El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)

Lo podrías escribir así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(Se puede repetir, el orden no importa)

Ejemplo:

(5+3−1)!3 !(5−1)!

= 7 !3 !×4 !

= 50406×24

=35

Sin repetición

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Ejemplo:

Digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

16 !3! (16−3)!

= 16 !3 !×13 !

=20,922,789,888,0006×6,227,020,800

=560

O lo puedes hacer así:

16×15×143×2×1

=33606

=560

PERMUTACIÓN

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Hay dos tipos de permutaciones:

Se permite repetir

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Ejemplo:

En una cerradura, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Ejemplo:

¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden importa)

TABLAS DE CONTINGENCIA

Una tabla de contingencia es una tabla de doble entrada en la que podemos reflejar la distribución de una variable en relación a otras. Es una herramienta muy útil porque nos ayuda a organizar la información y nos facilita el cálculo de probabilidades de sucesos.

Ejemplo:

Imagina que en un instituto hay 200 alumnos matriculados de Primero de Bachillerato. Supongamos que 140 alumnos estudian inglés, 70 juegan a baloncesto y 60 estudian inglés y juegan a baloncesto.

Vamos a llamar I al suceso "estudiar inglés" y B al suceso "jugar a baloncesto".

Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, de modo que la suma de las filas y las columnas den como resultado los correspondientes totales.

Podemos plantearnos ahora el cálculo de distintas probabilidades. Por ejemplo:

a) P(el alumno estudie inglés y juegue al baloncesto) =

PROBABILIDAD

La probabilidad nos ayuda a entender lo que puede suceder.

Es una parte de las matemáticas en la que conocemos los posibles resultados, pero no podemos predecirlos con exactitud.

Probabilidad expresada en fracciones

Para calcular la probabilidad de que ocurra algo, divide el número de eventos entre las posibles opciones, por ejemplo:

Una moneda tiene 2 lados: cara y cruz.

Si tiras la moneda al aire, la probabilidad de que salga “cara” es 1 de 2 ó 12.

¿Por qué? Sólo hay 1 cara y 2 posibilidades en total.

Probabilidad expresada en un diagrama de árbol

Para ayudarte a resolver problemas de probabilidad, puedes hacer un listado de todos los posibles resultados de algo o un diagrama de árbol. Esto te ayuda a entender las posibilidades.

Por ejemplo:

Deseas anotar los resultados de tirar una moneda al aire. Usemos un diagrama de árbol para ayudarnos a descubrirlo.

Como ves, al final tendrás dos posibilidades.

Monedasello

cara