SINTONIZACION DE CONTROLADORES

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SINTONIZACIN DE CONTROLADORES A lo largo de este trabajo de investigacin se describirn dos mtodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, el Mtodo de Oscilacin o Mtodo de Respuesta en Frecuencia y el Mtodo Basado en la Curva Reaccin o Mtodo de Respuesta al Escaln. El primero se basa en un lazo de control slo con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al perodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro mtodo se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escaln unitario, se calculan algunos parmetros, como la mxima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos mtodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la prctica para desarrollarlos.

*Curva de Reaccin En este mtodo la respuesta de la planta al aplicar un escaln unitario debe tener el aspecto de una curva en forma de S (imagen 1), en el caso en que la curva no presente esta dicha forma, no es posible aplicar el mtodo. Si la planta incluye integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la respuesta al escaln unitario no ser como la requerida y no podr utilizarse el mtodo.

La curva en forma de S se puede caracterizar con dos parmetros, el tiempo de atraso L y la constante de tiempo T. El tiempo de atraso y la constante de tiempo se denominan trazando una lnea tangente a la curva en forma de S en el punto de inflexin, se determinan las intersecciones de esta lnea tangente con el eje del tiempo de transferencia de la lnea c(t)=k.

Muchas plantas, pueden ser descritas satisfactoriamente por el modelo siguiente

Donde debe ser mayor que cero. Una versin cuantitativa lineal del modelo presentado puede ser obtenida mediante un experimento a lazo abierto, utilizando el siguiente procedimiento:

Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operacin normal. Se puede decir que la salida de la planta se estabiliza en ()=0 para una entrada constante ()=0.

En el instante inicial 0, aplicar un cambio en la entrada escaln, desde 0 a , es decir, un rango de 10 al 20% de rango completo.

Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operacin. Se puede suponer que la curva que se obtiene es la que se muestra en la imagen 1. Esta curva se llama curva de reaccin del proceso.

Los parmetros se calculan mediante las ecuaciones que se muestran a continuacin, las cuales corresponden a la imagen 2.

El modelo obtenido puede ser utilizado para varios mtodos de ajuste de controladores PID. Uno de estos tambin fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de diseo es alcanzar un amortiguamiento tal que existe la relacin 4:1 para el primer y segundo pico de la respuesta a una referencia escaln. Los parmetros sugeridos por Z-N son los que se muestran en la tabla 1.

*Ejemplo de sintonizacin de un sistema mediante el mtodo de la curva de reaccin de Z-N 1.- Para la imagen 3 mostrada ms adelante, la cual describe el control nivel para el cual la funcin de transferencia del proceso G(s) es completamente desconocida. Es necesario que ante una entrada escaln su tiempo muerto no exceda 1 segundo y que su sobreimpulso sea menor que el valor inicial antes de cambiar parmetro en lazo abierto. Para realizar el ejercicio solo se dispone de la grfica mostrada en la imagen 3.

Solucin Para la grfica de la imagen 3 mostrada se demuestra que cuenta con la forma indicada para poder aplicar el mtodo de la curva de reaccin de Z-N. Es necesario obtener el punto de inflexin, ya que es el nico punto donde una recta tangente toda a la curva, esto con el fin de determinar sus parmetros, es decir, el tiempo de atraso L y la constante de tiempo T.

Los parmetros que se obtienen son =0.5 =3.4=3.40.5=2.9

*Ahora es posible calcular los parmetros para sintonizar los controladores, en primera instancia se har para el controlador PID, el cual arroja los siguientes resultados con base en la tabla 1.

Con la informacin obtenida se disea el controlador, es decir, (), el cual debe de arrojar una salida mejor que a la de la funcin de la planta en lazo abierto.

Entonces, con los valores obtenidos y la funcin del controlador diseada se arroja una salida como la mostrada en la imagen 5. Se puede observar que se elimin el error en estado estable y que presenta muy ocas oscilaciones.

*Se necesita observar el comportamiento para cada controlador, por ello se ha procedido con calcular los parmetros para un controlador proporcional integral (PI). Los valores son los siguientes

Para el controlador PI se calcular una nueva funcin, pero esta vez solo intervendr un integrador y un proporcional, por lo que le funcin se determina de la siguiente manera

El comportamiento de la salida gracias al controlador PI resulta ser como en la imagen 6, donde se puede observar que presenta ms oscilaciones que un controlador PID, pero logra eliminar el error en estado estable y dar mayor velocidad de respuesta al sistema.

Imagen 6.- Controlador PI

*Por ltimo nos queda por analizar el comportamiento de la salida usando un controlador proporcional (P). Para este controlador solo es necesario calcular la ganancia, ya que es la nica que interviene, por lo que el resultado es

Entonces podemos determinar de manera muy sencilla la funcin del controlador a actuar sobre la funcin de la planta. Su comportamiento se ilustra en la imagen 7, y es de una construccin fcil, pues como ya se dijo, solo acta la ganancia proporcional. Ver imagen 7.

Es difcil observar la diferencia entre los controladores, por lo cual se colocar la imagen 8, demostrando el comportamiento de las salidas, de todos y cada uno de los tipos de controladores aplicados a la funcin de transferencia en lazo abierto de la planta.

A continuacin se coloca una tabla indicando el color y el tipo de controlador, para un mejor entendimiento. Ver tabla 2.

*Oscilacin Continua En este mtodo, primero se hace Ti = y Td = 0 y usando solamente la accin del controlador proporcional, tal como muestra en la imagen 9, se incrementa Kp desde cero hasta un valor critico Kcr en el cual la salida exhiba por primera vez oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas con periodo para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces no se puede aplicar este mtodo, se puede observar que presenta una respuesta que oscila continuamente (imagen 10) para un valor especfico de su ganancia en lazo abierto, es decir, el sistema a lazo cerrado tiene una ganancia crtica, la cual corresponde con el lmite de estabilidad del sistema del lazo cerrado.

El procedimiento que debe seguirse es el siguiente: Aplicar a la planta slo control proporcional con ganancia Kp pequea. Aumentar el valor de Kp hasta que el lazo comience a oscilar. La oscilacin debe ser lineal y debe detectarse en la salida del controlador (u(t)). Registrar la ganancia crtica Kp = Kc y el perodo de oscilacin Pc de u(t), a la salida del controlador. Ajustar los parmetros del controlador PID de acuerdo a la tabla 3.

Adicionalmente, si se conoce la funcin de transferencia del proceso los valores de la ganancia y del periodo crticos podrn ser obtenidos tericamente utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Al igual que en el primer mtodo, los parmetros determinados a travs de la tabla servirn como inicio a partir de los cuales se ajustarn los mismos hasta lograr la respuesta deseada.

*Ejemplo de sintonizacin de un sistema mediante el mtodo de oscilacin de Z-N 2.- Considerar el modelo de una planta dado por la siguiente funcin, la cual se representa con la imagen 11 obtenida mediante simulink.

Determinar los parmetros de un controlador PID, PI Y P utilizando el mtodo de oscilacin Z-N. Obtener un grfico de la respuesta a una entrada escaln unitario y una perturbacin de entrada escaln unitario. *Primero debemos calcular la ganancia crtica y la frecuencia crtica . Mediante el mtodo de Routh-Hurwitz (tabla 4) ya que se identifica la ecuacin caracterstica, despus de desarrollar el producto del denominador de la funcin del sistema.

*Al hacer los despejes necesarios y al examinar los coeficientes de la primera columna en la tabla de Routh, se determina que la relacin se puede mantener siempre y cuando =48, por lo que el valor crtico de la ganancia es

Por lo que la ecuacin caracterstica resulta ser

3+62+8+48=0

*Para hallar la frecuencia de la oscilacin sostenida se remplaza s= jw en la ecuacin caracterstica anterior, tal y como se muestra a continuacin

Para observar el cambio del comportamiento del controlador, se hace uso nuevamente de simulink, para graficar la nueva funcin de transferencia resultante. Donde se muestra que el mtodo ha proporcionado un punto de partida para una sintona ms fina. Sin embargo, es necesario verificar que el aumento de accin derivativa no amplifique ruido excesivamente. La imagen 12 muestra el diagrama bloques del controlador PID en conjunto con la grfica resultante.

Por lo que la funcin de transferencia resultante resulta obtenerse de la siguiente manera

Se puede observar que las oscilaciones resultan ser mayores, caso contrario al controlador PID, pero la velocidad del sistema es lenta. *Por ltimo, es importante decir que un controlador solamente proporcional solamente arroja como resultado un parmetro, el cual es el siguiente =0.5=0.5(48)=24

Por lo que la funcin de transferencia resultante obtiene la siguiente forma, y su comportamiento se observa en la imagen 14

Su comportamiento resulta ser muy parecido al del controlador PID, en cuanto a sus oscilaciones, con la diferencia de que tiene ms oscilaciones aunque un sobrepaso mximo menor que el PID. Para observar mejor cada una de las respuestas con su respectivo controlador, se coloca una grfica con todas las respuestas controladas. Ver imagen 9.

Para entender cada una de las salidas es importante indicar cual color corresponde a cada respuesta, por lo que se ha colocado la tabla 5 indicando el color y la salida respectiva.

Conclusin Existen tres tipos de controladores principales, y se dicen principales ya que son los ms utilizados en la industria, es decir, el controlador proporcional integrador derivativo (PID), el controlador integrador (PI) y el controlador nicamente proporcional (P). Cada uno de los antes mencionados tiene caractersticas propias, las cuales resultan ser esenciales para aumentar la velocidad de respuesta, disminuir el sobrepaso mximo y eliminar el error en estado estable por mencionar algunas. Los mtodos de sintonizacin se utilizan principalmente para ajustar los parmetros de cada controlador a su forma ms ideal, esto es, ajustan la ganancia proporcional, la constante de tiempo integral y la constante de tiempo derivativa. En fin, el controlador PID resulta ser en muchos casos el tipo ms utilizado en la industria debido a que contiene las caractersticas de todo controlador, el cual resulta ser mucho mejor cuando se sintonizan sus parmetros para lograr una salida lo ms favorable posible para una planta.

Referencias [1]Ogata, Katsuhiko. Ingeniera de control moderna. Cuarta Edicin Madrid, Pearson Educacin, 2003. [2] http://prof.usb.ve/montbrun/sintonizacion%20controladores%20sep07.pdf [3] http://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb519/teaching/caut1/Apuntes/PID.pdf