SIST Coordenadas LIBRO

8/17/2019 SIST Coordenadas LIBRO

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SISTEMAS DE COORDENADAS EN GEODESIA

Por:

E.J. Krakiwsky

y

D.E.Wells

Editado Por:

Ing. Abraham González M.

El Departamento de Ingeniería

de Mediciones Geodésicas

Fredericton,N.B.

Mayo, 1971

Reimpreso con correcciones en Agosto 1972 Reimpreso con

correcciones adicionales en Agosto 1973

TABLA DE CONTENIDOS



2

Póg.

1. INTRODUCCIÓN... .................. . 1

1.1 Polos, Planos y Ejes..................... 4 1.2 Tiempo Universal y Sideral............... 6 1.3 Los Sistemas de Coordenadas en Geodesia... 6

2. SISTEMAS DÉ COORDENADAS TERRESTRES......... 7

2.1 Sistemas Geocéntricos Terrestres....... 7

2.1 i 1 El Movimiento Polar y la Rotación Irregular de la Tierra........ 8

2.1.2 Los Sistemas Terrestres Promedio e Instantáneo . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Los Sistemas Geodésicos................ 15

2.2 Relación que hay entre las Coordenadas

Cartesianas y las Curvilíneas........ 17 2.2.1 Las Coordenadas Cartesianas y Curvilíneas de

un Punto sobre su Elipsoide deReferencia........... 17

2.2.2 El Vector de Posición, en Términos de laLatitud Geodésica ... 19 2.2.3 El Vector de Posición en Términos de las

Latitudes Geocéntricas yReducidas............... 24

2.2.4 Relacionamiento entre las LatitudesGeodésicas Geocéntricas y las Reducidas.. . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5 El Vector de Posición de un Punto sobre el Elipsoide de Referencia.. . . 26

2.2.ó Transformación de Coordenadas CartesianasTerrestres Promedio a CoordenadasGeodésicas........... 28

2.3 Los Datums Geodésicos...................... 33

2.3.1 Los Parámetros de Posición del Datum.. 35

TABLA DE CONTENIDOS (Cont.)



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Pag.

2.3.2 Establecimiento de un Datum ...... 40 2.3.3 El Datum de Norte.América. ...... 42 2.3.4 Transformaciones de Datum . . . . . . . 45

2.4 Sistemas Topocéntricos Terrestres...... 48

2.4.1 Sistema Astronómico Local . . . . . . . 48 2.4.2 Sistemas Geodésicos Locales ...... 55

2.5 Resumen de los Sistemas Terrestres . . . . . . 56

3. SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTIALES ......... 61

3.1 El Sistema Eclíptico . . . . . . . . . . . . . 62 3.2 El Sistema de Ascensión Recta. . . . . . . . . 64 3.3 El Sistema Ángulo Horario . . . . . . . . . . 66 3.4 El Sistema Horizontal . . . . . . . . . . . . 69 3.5 Variaciones en el Sistema de Ascensión Recta . 71

3.5.1 La Precesión y la Nutación. ...... 73 3.5.2 Sistemas Celestiales Promedio ..... 75 3.5.3 Sistema Celestial Verdadero ...... 76 3.5.4 El Sistema del Lugar Aparente ..... 80 3.5.5 Sistema del Lugar Observado ...... 83

3.6 Transformación entre Los Sistemas de Coordenadas Celestiales Aparente /'Terrestre Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.7 Resumen de los Sistemas Celestiales. ..... 86

4. EL SISTEMA DE COORDENADAS ORBITALES. ........ 90

4.1 El Elipse Orbital y las Anomalías Orbitales. . 90 4.2 El Sistema de Coordenadas Orbitales. ..... 94 4.3 Transformación de las Coordenadas del

Sistema Orbital al Sistema Terrestre Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 Variaciones en los Elementos Orbitales .... 96 4.5 El Subpunto de un Satélite . . . . . . . . . . 97 4.6 Las Coordenadas Topocéntricas del Satélite . . 97




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5. RESUMEN DE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS

5.1 Sistemas Terrestres. . . . . . . . . . .

5.2 Sistemas Celestiales . . . . . . . . . .

5.3 Dualidad de la Paradoja en los SistemasCelestial Observado y El Aparente. . . ,

5.4 La Conexión entre los Sistemas:

Terrestre Celestial y Orbital. . . . . .

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANEXO A .. .. .. .. . . .. . .. .. . .

FIGURAS;

1-1 Sistema de Coordenada Terrestre, Celestial y Orbital. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2 Tipos de Sistemas de Coordenada . . . . . . ...

2-1 Movimiento Polar . . . . . . . . . . . . . ...

2-2 Posición de un Punto Moviéndose Uniformementeen el Ecuador menos la Posición de un puntoen el Ecuador . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2-3 Sistema de Coordenada Terrestre y Geodésico. . . .

2-4 Transformación del Sistema Instantáneo a Terrestre

2-5 Elipsoide de Referencia. . . . . . . . . . . . . .

2-6 Latitudes Varias . . . . . . . . . . . . . . . . .

'2-7 Línea Tangencial al Elipse en el Meridiano ....

2-8 Punta encima del Elipsoide de Referencia .....

2-9 Sección Meridiana de la Tierra . . . . . . . . . .

2-10 Orientación del Elipsoide con el Geoide. .....

2-12 Sistemas de Coordenada Geodésico y Local Geodésico

TABLA DE CONTENIDOS(Cont .)



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2-13 Ecuaciones que Relaciona a los Sistemas Terrestres 59

3-1 Sistema Eclíptico . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3-2 Sistema de Ascensión Recta . . . . . . . . . . . . 65

3-3 Sistema de Ángulo Horario . . . . . . . . . . . . 67

3-4 Hora, Longitud y Ascensión Recta . . . . . . . . . 70

3-5 Sistema Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3-6 Variaciones en el Sistema de la Ascensión

Recta

Celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3-7 Movimiento del Polo Celeste . . . . . . . . . . . 77

3-8 El Efecto de la Precesión y la Nutación ..... 78

3-9 Sistemas de Coordenadas de la Media Celeste ... 79

3-10 Sistemas de Coordenadas Verdadera y

Media-

Celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3-11 Sistema de Coordenadas Celestes . . . . . . . . . 89

4-1 Elipse Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4-2 Elementos Orbitales Keplerianos . . . . . . . . . 95

4-3 El Subpunto del Satélite . . . . ; ; . . . . . . . 98

4-4 Coordenadas Topocéntricas del Satélite . . .. . . 101

5-1 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 103



6


Pag.

TABLAS

2-1 Parámetros de Definición del Datum Norteamericano de 1927 . . . . . . . . . . . . . 44

2-2 Componentes de Translocación . . . . . . . . . . 44

2-3 Ejemplos de Transformaciones de Da um ..... 52

2-4 Polos de Referencia, Planos y Ejes Definitivos . 58

2-5 Las Transformaciones entre los Sistemas de Coordenadas Terrestres . . . . . . . . . . . 60

3-1 Polos de Referencia, Planos y Ejes que Definen los Sistemas de Coordenadas Celestiales .... 87

3-2 Transformaciones entre los Sistemas de Coordenadas Celestes . . . . . . . . . . . . . . 88



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GEODESIA CON SATÉLITES

1. INTRODUCCIÓN

En este documento se va a explicar las definiciones precisas, y las

transformaciones entre los sistemas de Coordenadas, referidas a lasestaciones sobre la superficie de la tierra y su relación con lasCoordenadas de los Satélites.

Para definir un sistema de Coordenadas debemos especificar:

a) La localización de su origen.

b) La orientación de sus tres ejes.

c) Los parámetros que definen la posición del puntoreferido al sistema de Coordenadas (Cartesianas oCurvilíneas).

La tierra tiene dos movimientos periódicos en el espacio: Unmovimiento de rotación alrededor de su eje y un movimiento detraslación alrededor del sol. (Ver la Fig.1-1). Además, tienetambién un Satélite natural (La Luna) y muchos SatélitesArtificiales, y todos estos tienen un tercer movimiento en elespacio: el movimiento Orbital alrededor de la Tierra. Estos tresmovimientos periódicos son fundamentales para la definición de lossistemas de coordenadas, y los sistemas de tiempo.

El Sistema de Coordenadas Terrestres; este sistema está fijo con latierra y gira trasladándose con ella.

Se usa éste Sistema para definir las Coordenadas de los Puntos sobrela superficie de la tierra. Este sistema se divide a su vez en elSistema Terrestre Geocéntrico y el Sistema Terrestre Topocéntrico(Ver la Fig. 1-2).

El Sistema de Coordenadas Celestiales; este sistema no se trasladacon latierra, pero sí sigue su movimiento de rotación. Este sistema esempleado para definir las Coordenadas de los cuerpos celestes/talescomo las estrellas. Hay cuatro tipos diferentes de Sistemascelestiales, llamados: el Eclíptico, el de Ascensión Recta, el de

Ángulos Horario, y el Horizontal. :

El Sistema de Coordenados Orbitales; este sistema no gira con latierra, pero si la acompaña en su traslación alrededor del Sol. EsteSistema es empleado para definir las Coordenadas de los Satélitesque están orbitan do alrededor de la tierra.



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1.1 POLOS, PLANOS Y EJES

La orientación de los Sistemas de Coordenadas se puede describirmediante el empleo de términos tales como: polos primarios ysecundarios, planos primarios y secundarios y ejes primarios,secundarios y terciarios.

El Polo Primario viene determinado como el eje de Simetría del SistemaCoordenado, por ejemplo el eje de rotación de la Tierra.El Plano Primario viene a ser el plano perpendicular al polo primario,por ejemplo, el Plano Ecuatorial de la tierra. El Plano Secundarioviene a ser perpendicular al Plano Primario, y a su vez debe contenerel Polo Primario. Dicho Plano puede7 algunas veces escogersearbitrariamente, como por ejemplo, el Plano Meridiano de Greenwich; yotras veces puede escogerse en forma natural. Como el PlanoEquinoccial.

El Polo Secundario viene a ser la intersección de los Planos Primarios ySecundarios. El eje Primario viene a ser el Polo Secundario, y el Eje Terciarioel Polo Primario.

El Eje Secundario viene a ser perpendicular a estos dos ejes, y escogido detal manera que el sistema siga la regla de la mano derecha/o de la manoizquierda.

Nosotros emplearemos el Polo Primario/o bien el Plano Primario y el EjePrimario para especificar la orientación de los Sistemas de Coordenadasnombradas anteriormente.

Para el Sistema Geocéntrico Terrestre

a) El Origen está cerca al centro de la Tierra.

b) El Polo Primario está alineado con el Eje de rotación de latierra; y el Plano Primario perpendicular a este Polo se lellama el Plano Ecuatorial.

c) El Eje Primario es la intersección entre el Plano Ecuatorial yel Plano que contiene al Meridiano de Greenwich.

d) Los Sistemas son orientados según la mano derecha.

Para el Sistema Topocéntrico Terrestre.

a) El Origen está en un Punto cerca de la superficie de laTierra.

b) El Plano Primario es el Plano Tangencial a la superficie dela Tierra en ese Punto.

c) El Eje Primario es el Punto Norte (que viene siendo laintersección entre el Plano Tangencial y el Plano que contieneel Polo Norte rotacional de la Tierra).

d) Los Sistemas son orientados según la mano izquierda



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Para el Sistema Celestial Eclíptico.

a) El Origen está cerca del centro del Sol.

b) El Plano Primario es el Plano de la órbita de la Tierrallamado el Plano Eclíptico.

c) El Eje Primario es la intersección entre el Plano

Eclíptico y el Plano Ecuatorial, y es llamado elEquinoccio Vernal.

d) El Sistema está orientado según la mano derecha. Paro el

Sistema Celestial de Ascensión Recta.

a) El Origen está cerca del centro del Sol.

b) El Plano Primario es el Plano Ecuatorial.

c) El Eje primario es el Equinoccio Vernal.

d) El Sistema está orientado según la mano derecha. Para el

Sistema Celestial de Ángulo Horario.

a) El Origen está cerca del centro del Sol

b) El Plano Primario es el Plano Ecuatorial.

c) El Plano Secundario es el Meridiano celestial (Plano quecon__ tiene el observador y al eje de rotación).

d) El Sistema es orientado por la mano izquierda. Para el

Sistema Celestial Horizontal.

a) El Origen está cerca del centro del Solb) El Plano Primario es paralelo al Plano tangencial con el

ob^ servador (el Plano Horizontal).

c) El Eje Primario es Paralelo al punto Norte del observador.

d) El Sistema es dirigido por la mano izquierda.

Para el Sistema Orbital.

a) El Origen es el centro de gravedad de la Tierra.

b) El Plano Primario es el Plano de la órbita del Satélite

alrededor de la tierra.c) El Eje Primario está en el Plano de la órbita y orientado

hacia el Perigeo (Punto en donde el Satélite se acerca mása la Tierra) y se le llama La Línea de Ápsides.

d) El Sistema es orientado por la mano derecha.



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1.2 TIEMPO UNIVERSAL Y SIDERAL.

Así mismo existen dos sistemas de tiempo íntimamente ligados con larotación y revolución periódica de la tierra; se les llama: TiempoUniversa] (solar) T.U. y Tiempo Sideral (TS). El sistema de tiempo sedefine al especificarse un intervalo y una época. El día solar, es elintervalo entre pasajes sucesivos del sol sobre el mismo Meridiano

terrestre. El día Sideral es el intervalo entre dos pasajes sucesivosdel equinoccio vernal sobre el mismo Meridiano terrestre. La ÉpocaSideral, es el ángulo entre el equinoccio vernal y un meridianoterrestre cualquiera: si éste es el Meridiano de Greenwich entonces laépoca se denomina Tiempo Sideral de Greenwich (TSG). La época solarestá rigurosamente relacionada con la época sideral mediante unafórmula matemática. El tiempo sideral es el parámetro que relaciona lossistemas terrestres y celestiales.

1.3 LOS SISTEMAS DE COORDENADAS EN GEODESIA.

La Geodesia es el estudio de la forma y dimensiones de la Tierra, asícomo la determinación de las coordenadas de los puntos en ó sobre lasuperficie de la tierra.

Las coordenadas de una estación son determinadas con respecto a lascoordenadas de otras estaciones, mediante una ó más, de las cuatroclases d mediciones: Las mediciones angulares horizontales yverticales entre de estaciones sobre la tierra (por ejemplo, medidascon teodolito) son DIRECCIONES TERRESTRES. Las mediciones angularesentre una estación en 1 tierra y la posición de un satélite (porejemplo, como se hace la medición mediante la fotografía del satélite

con un fondo de estrellas conocidas) se llama DIRECCIONES DE SATÉLITE.Las mediciones angulares entre una estación sobre la tierra y unaestrella (por ejemplo, como se mide apuntando directamente el teodolitoa la estrella) se llama DIRECCIONES ASTRONÓMICAS. La distancia que hayentre dos estaciones sobre la tierra (por ejemplo, las que se midenusando instrumentos electromagnéticos medidores de distancias) se llamanDISTANCIAS TERRESTRES. Las distancias entre una estación sobre latierra y la posición de un satélite (por ejemplo, la que se mide conLÁSER) se llama DISTANCIAS AL SATÉLITE. Las mediciones de diferencia dedistancias entre una estación sobre la tierra y otras dos estaciones(por ejemplo, como se miden con los sistemas de posicionamiento

hiperbólico) se llama DIFERENCIA DE DISTANCIAS TERRESTÍ Las medicionesde la diferencia de distancia entre una estación sobre I tierra y dosposiciones de satélite (por ejemplo, como se mide mediante los sistemasde integración de la variación doppler) se llaman DIFERENCIA DEDISTANCIA DE SATÉLITE.

Todas estas mediciones determinan una relación geométrica entre lasestaciones, y son materia de la GEODESIA GEOMÉTRICA (e,g.Bomford 1962).



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Las diferencias de altura con nivel de burbuja, y los valorescorrespondientes que están relacionadas con las diferencias depotencial del campo gravitacional de la tierra, son materia de laGeodesia FÍSICA (e.g. Heiskanen y Moritz 1967).

La relación funcional entre estas mediciones y las coordenadas de las estaciones desde 6 hacia donde se hagan; aparece incorporada dentro de unMODELO MATEMÁTICO. Se puede obtener una solución única mediante laaplicación de un PROCESO DE ESTIMADO DE MÍNIMOS CUADRADOS ( Wells yKrakiwsky 1971) a las mediciones y Modelo Matemático.

Los detalles de los sistemas de coordenadas que se emplean en laGeodesia Terrestre y con Satélites se pueden encontrar en Veis (1960) yKaula(l960), y para la Astronomía Geodésica en Mueller (1969).

2. SISTEMAS DE COORDENADAS TERRESTRES

En este capítulo trataremos sobre los sistemas de coordenadasGeocéntricas Terrestres, y Topocéntricas Terrestres.

Primero, explicaremos los Sistemas geocéntricos terrestres usando sólocoordenadas Cartesianas, y considerando en detalle lo que significa "eleje de rotación de la tierra" y "El Meridiano de Greenwich". Luegodescribiremos la relación que hay entre las coordenadas Cartesianas ylas curvilíneas. Se explicará lo que son los Datum Geodésicos.Finalmente lo referente a los sistemas topocéntricos terrestres,poniendo énfasis en lo que significa "superficie de la tierra".

2.1 SISTEMAS GEOCÉNTRICOS TERRESTRES

En la introducción se estableció que para los sistemas geocéntricosterrestres:

a) El origen está cerca al centro de la tierra

b) El Polo Primario, está alineado con el eje de rotación dela tierra.

c) El eje Primario/es la intersección entre el Plano Ecuatorialy el Plano que contiene el Meridiano de Greenwich.

d) Los sistemas se orientan con la mano derecha.

La última especificación no tiene ambigüedad. Conforme veremos, las otrassí. Primeramente trataremos los problemas de definición del eje derotación de la tierra, y del Meridiano de Greenwich. Luego trataremoslas traslaciones del origen, desde el Centro de la Tierra.



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2.1.1 EL MOVIMIENTO POLAR Y LA ROTACIÓN IRREGULAR DE LA TIERRA

Siempre pensamos como que la tierra gira alrededor de un eje-fijo/y a unavelocidad uniforme. En verdad, ni el eje es fijo, ni tampoco gira a unavelocidad uniforme.

Hace, unos 70 años se descubrió que la dirección del Eje de rotación de latierra se mueve con respecto a la superficie de la misma.

Este Movimiento Polar se debe, principalmente, al hecho de que el Eje derotación de la tierra y el Momento de Inercia de la misma, no coinciden. ElMovimiento resultante, es irregular aunque mas o menos circular y contra elreloj (cuando se ve desde el norte), con una amplitud de alrededor de 5metros y un período básico de unos 430 días (llamado el Período Chandler).

Hay dos organizaciones Internacionales. El Servicio Internacional delMovimiento Polar (IPMS) y la Oficina Internacional de la Hora (BIH), lascuales se dedican a medir rutinariamente este movimiento, mediante

observaciones astronómicas. El IPMS utiliza, para ello, cinco (5)estaciones colocadas en la misma latitud y el BIH mediante unas cuarenta(40) estaciones, que están esparcidas por todo el mundo. En los resultadospublicados, se dan las Coordenadas del verdadero Eje de Rotación/conrespecto a un punto de referencia, llamado el Origen InternacionalConvencional (CIO),el cual es el promedio de la posición del Eje de Rotacióndurante los años 1900-1905. (IUGG (1967) BullGeod 86, 379 (1967) Resolución19). La figura 2-1 muestra el Movimiento Polar, durante el año 1969, y comofue determinado por el IPMS y el BIH.

Hace unos 30 años, se descubrió irregularidades en el Movimiento de Rotaciónterrestre, distintas a las producidas por el movimiento de Rotación terrestredistintas a las producidas por el movimiento Polar. Hay tres tipos deirregularidades: (i) Variaciones Estaciónales probablemente debidas a loscambios metereológicos ó a las mareas terrestres. (2) Las DisminucionesSeculares/debidas a las fricciones producidas por el movimiento de lasmareas, y (3) Las Fluctuaciones Irregularesydebidas a las mareas.

De todas estas irregularidades, la Variación Estacional es la que se tomamas en consideración, ya que ésta es más o menos reproducible de año aaño, y además, produce el desplazamiento de unos 15 metros a lo largo delEcuado^y con respecto a un punto que esté girando uniformemente durante elaño.

A causa de esta Variación Estacional, el Meridiano de Greenwich (el Planoque es determinado por el Eje de Rotación de la Tierra y el instrumentotránsito del observatorio de Greenwich) no gira de una manera uniforme .



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Un Meridiano Ficticio Cero7que sí gira uniformemente; (con referenciaa los efectos del movimiento polar y a las variaciones estacionales)este Meridiano se le llama Observatorio Medio ó el Meridiano MedioAstronómico de Greenwich; Su localización esto definida por el BIH.

2.1.2 LOS SISTEMAS TERRESTRES PROMEDIO E INSTANTÁNEO.

El Sistema Terrestre promedio (A.T.) es el Sistema de CoordenadasGeodésico Mundial ideal (Vea Fig.2-3).

a) Su Origen está en el Centro de Gravedad de la Tierra

b) Su Polo Primario, está dirigido hacia el CIO (es el PoloPro medio de 1900 - 1905), y su Plano Primario, es el PlanoPerpendicular al Polo Primario y contiene al centro degravedad de la tierra (el Plano Ecuatorial promedio).

c) Su Plano Secundario, es el Plano que contiene el PoloPrimario y al observatorio Medio. La intersección de

estos- dos planos/es el Polo Secundario ó Eje Primario.d) El Sistema está orientado por la mano derecha.

Podemos entonces definir un vector de posición Ri. en un punto i delterreno, en Coordenadas Cartesianas x, y, z como:

El Sistema Terrestre Instantáneo (lT)y es un Sistema que se puedeespecificar como sigue:

a) Su Origen está en el Centro de Gravedad de la Tierra.

b) Su Polo Primario está dirigido hacia el Polo verdadero(instantáneo).

c) Su Eje Primario, está en la intersección del PlanoPrimario y del Plano que contiene al verdadero Eje deRotación y ' al observatorio Medio.

d) El Sistema está orientado por la mano derecha.

La principal característica de estos dos sistemas» es que tienen suorigen en el centro de gravedad de la tierra, ó sea son sistemasgeocéntricos y que tienen como Polo Primario, el Eje de Rotación de laTierra.



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