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Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Sistemas Lineares – 2 a Parte Paulo Goldfeld Marco Cabral Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28

Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Lineares – 2a Parte

Paulo Goldfeld Marco Cabral

Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Existência de Solução

Notação:{

0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade

1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }

sistema inconsistente

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Existência de Solução

Notação:{

0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade

1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }

sistema inconsistente

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Existência de Solução

Notação:{

0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade

1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }

sistema inconsistente

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Existência de Solução

Notação:{

0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade

1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }

sistema inconsistente

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Exemplos

Exemplo (sistema inconsistente)

1 0 00 1 00 0 1

Exemplo (sistema inconsistente)

1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Exemplos

Exemplo (sistema inconsistente)

1 0 00 1 00 0 1

Exemplo (sistema inconsistente)

1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Solução Única

2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?

⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}

solução única

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SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Solução Única

2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?

⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}

solução única

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Solução Única

2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?

⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}

solução única

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Solução Única

2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?

⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}

solução única

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SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Exemplos

Exemplo (sistema com solução única)

1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11

Exemplo (sistema com solução única)

1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Exemplos

Exemplo (sistema com solução única)

1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11

Exemplo (sistema com solução única)

1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções

3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4

0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2

Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:

{x2 = rx4 = s

O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s

1x3 = −2s1x5 = −2

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções

3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4

0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2

Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:

{x2 = rx4 = s

O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s

1x3 = −2s1x5 = −2

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções

3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4

0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2

Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:

{x2 = rx4 = s

O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s

1x3 = −2s1x5 = −2

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SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2

r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2

Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)

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Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2

r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2

Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2

r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2

Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)

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Sist. Lin. II

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Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Sistema em x1, x3 e x5:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2

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SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2

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Sist. Lin. II

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Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2

Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

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Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2

Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

=

( 4, 0, 0, 0, −2 ) +( 3r , r , 0, 0, 0 ) +( −5s, 0, −2s, s, 0 )

∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R

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SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2

Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

=

( 4, 0, 0, 0, −2 ) +( 3r , r , 0, 0, 0 ) +( −5s, 0, −2s, s, 0 )

∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R

= {(4, 0, 0, 0,−2)+r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s

x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s

Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

=

( 4, 0, 0, 0, −2 ) +( 3r , r , 0, 0, 0 ) +( −5s, 0, −2s, s, 0 )

∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R

= {(4, 0, 0, 0,−2)+r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s

x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s

Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

=

( 4, 0, 0, 0, −2 ) +( 3r , r , 0, 0, 0 ) +( −5s, 0, −2s, s, 0 )

∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R

= {(4, 0, 0, 0,−2)+r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Nomenclatura:

x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes

Variáveis Livres

Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)

p{ [

0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸

n

??

]variáveis livres: x1 e x4

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Nomenclatura:

x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes

Variáveis Livres

Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)

p{ [

0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸

n

??

]variáveis livres: x1 e x4

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Infinitas Soluções – cont.

Nomenclatura:

x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes

Variáveis Livres

Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)

p{ [

0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸

n

??

]variáveis livres: x1 e x4

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Outro Exemplo com Infinitas Soluções

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

]variáveis livres: x1 = r

x3 = s

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Outro Exemplo com Infinitas Soluções

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

]variáveis livres: x1 = r

x3 = s

Sistema original:x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Outro Exemplo com Infinitas Soluções

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

]variáveis livres: x1 = r

x3 = s

Com eqs. p/ variáveis livres:x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Outro Exemplo com Infinitas Soluções

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

]variáveis livres: x1 = r

x3 = s

Com eqs. p/ variáveis livres:x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Gerando Soluções

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).

Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).

Infinitas Soluções

Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma soluçãodistinta e toda solução corresponde a alguma escolha dosparâmetros.

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Gerando Soluções

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).

Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).

Infinitas Soluções

Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma soluçãodistinta e toda solução corresponde a alguma escolha dosparâmetros.

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Gerando Soluções

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).

Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).

Infinitas Soluções

Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma soluçãodistinta e toda solução corresponde a alguma escolha dosparâmetros.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Gerando Soluções

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).

Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).

Infinitas Soluções

Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma soluçãodistinta e toda solução corresponde a alguma escolha dosparâmetros.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Conjunto-Solução e Subespaço Afim

Um sistema linear pode ter ou não soluções (serconsistente ou inconsistente).

Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)

Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-soluçãoé um subespaço afim, ou seja, é da forma

xp +⟨xh1 , . . . , xhr

⟩.

Prova

Eliminação de Gauss.

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Conjunto-Solução e Subespaço Afim

Um sistema linear pode ter ou não soluções (serconsistente ou inconsistente).

Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)

Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-soluçãoé um subespaço afim, ou seja, é da forma

xp +⟨xh1 , . . . , xhr

⟩.

Prova

Eliminação de Gauss.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Conjunto-Solução e Subespaço Afim

Um sistema linear pode ter ou não soluções (serconsistente ou inconsistente).

Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)

Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-soluçãoé um subespaço afim, ou seja, é da forma

xp +⟨xh1 , . . . , xhr

⟩.

Prova

Eliminação de Gauss.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Conjunto-Solução e Subespaço Afim

Um sistema linear pode ter ou não soluções (serconsistente ou inconsistente).

Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)

Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-soluçãoé um subespaço afim, ou seja, é da forma

xp +⟨xh1 , . . . , xhr

⟩.

Prova

Eliminação de Gauss.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

− inconsistente

1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada

0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada

0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28

Page 51: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada

0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

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−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada

0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

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1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

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−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada

0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada

0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0

−→

0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

? ? ? ?

0 ? ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗

? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?

−→

1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28

Page 57: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28

Page 59: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0

− inconsistente

? · · · ? ?

0 · · · ? ?...

.... . .

......

0 0 · · · ?

− solução única

caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311

−→ inconsistente

13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0

−→ infinitas soluções1 variável livre

2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3

−→ solução única

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311

−→ inconsistente

13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0

−→ infinitas soluções1 variável livre

2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3

−→ solução única

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311

−→ inconsistente

13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0

−→ infinitas soluções1 variável livre

2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3

−→ solução única

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311

−→ inconsistente

13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0

−→ infinitas soluções1 variável livre

2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3

−→ solução única

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311

−→ inconsistente

13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0

−→ infinitas soluções1 variável livre

2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3

−→ solução única

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Discussão de Existência e Unicidade

Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0

√π 9

0 0 0 0 311

−→ inconsistente

13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0

−→ infinitas soluções1 variável livre

2 2 −8 12 00 e3 11 1 1

20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3

−→ solução única

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Produto Matriz-Vetor

Definição (Produto Matriz-Vetor)

Dados a matriz Am×n =

a1 · · · an

e o vetor

x =

x1...

xn

, define-se o produto Ax =n∑

j=1

xjaj .

Em palavras, o produto matriz vetor Ax é a combinaçãolinear das colunas de A, usando por coeficientes asentradas do vetor x.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Produto Matriz-Vetor

Definição (Produto Matriz-Vetor)

Dados a matriz Am×n =

a1 · · · an

e o vetor

x =

x1...

xn

, define-se o produto Ax =n∑

j=1

xjaj .

Em palavras, o produto matriz vetor Ax é a combinaçãolinear das colunas de A, usando por coeficientes asentradas do vetor x.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Produto Matriz-Vetor: exemplo

Exemplo

[1 2 34 5 6

] 20−1

= 2

[14

]+ 0

[25

]−1

[36

]

=

[(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)

]

=

[−1

2

]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28

Page 71: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Produto Matriz-Vetor: exemplo

Exemplo

[1 2 34 5 6

] 20−1

= 2

[14

]+ 0

[25

]−1

[36

]

=

[(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)

]

=

[(1× 2) + (2× 0) + (3×−1)(4× 2) + (5× 0) + (6×−1)

]=

[−1

2

]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Produto Matriz-Vetor: exemplo

Exemplo

[1 2 34 5 6

] 20−1

= 2

[14

]+ 0

[25

]−1

[36

]

=

[(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)

]

=

[(1× 2) + (2× 0) + (3×−1)(4× 2) + (5× 0) + (6×−1)

]=

[−1

2

]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Produto Matriz-Vetor

Produto Matriz-Vetor (outra interpretação)

A i-ésima entrada do vetor b = Ax é dada pelo produtoescalar da i-ésima linha de A com o vetor b.

Definição (produto escalar)

O produto escalar (ou produto interno) dos vetores u ∈ Rn ev ∈ Rn é dado por

〈u, v〉 = u · v =n∑

j=1

ujvj .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Produto Matriz-Vetor

Produto Matriz-Vetor (outra interpretação)

A i-ésima entrada do vetor b = Ax é dada pelo produtoescalar da i-ésima linha de A com o vetor b.

Definição (produto escalar)

O produto escalar (ou produto interno) dos vetores u ∈ Rn ev ∈ Rn é dado por

〈u, v〉 = u · v =n∑

j=1

ujvj .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor

O sistema linear

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2

......

. . ....

...am1 am2 · · · amn bm

pode ser reescrito como Ax = b, isto é,

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

x1x2...

xn

=

b1b2...

bm

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor

O sistema linear

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2

......

. . ....

...am1 am2 · · · amn bm

pode ser reescrito como Ax = b, isto é,

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

x1x2...

xn

=

b1b2...

bm

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor

O sistema linear

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2

......

. . ....

...am1 am2 · · · amn bm

pode ser reescrito como Ax = b, isto é,

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

x1x2...

xn

=

b1b2...

bm

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor

As duas interpretações do produto matriz Ax vetorcorrespondem a duas interpretações geométricas dosistema linear Ax = b.

por linhas:interseção de hiperplanos;por colunas:b como combinação linear das colunas de A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor

As duas interpretações do produto matriz Ax vetorcorrespondem a duas interpretações geométricas dosistema linear Ax = b.

por linhas:interseção de hiperplanos;por colunas:b como combinação linear das colunas de A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28

Page 80: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor

As duas interpretações do produto matriz Ax vetorcorrespondem a duas interpretações geométricas dosistema linear Ax = b.

por linhas:interseção de hiperplanos;por colunas:b como combinação linear das colunas de A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28

Page 81: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Propriedades do Produto Matriz-Vetor

Ax é linear em x

A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)

Corolários

Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28

Page 82: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Propriedades do Produto Matriz-Vetor

Ax é linear em x

A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)

Corolários

Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Propriedades do Produto Matriz-Vetor

Ax é linear em x

A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)

Corolários

Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Propriedades do Produto Matriz-Vetor

Ax é linear em x

A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)

Corolários

Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Propriedades do Produto Matriz-Vetor

Ax é linear em x

A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)

Corolários

Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Homogêneos

Definição (sistema homogêneo)

Ax = 0,

a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0

......

. . ....

...am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0

Definição (solução trivial)

O vetor nulo 0 = (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistemahomogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Homogêneos

Definição (sistema homogêneo)

Ax = 0,

a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0

......

. . ....

...am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0

Definição (solução trivial)

O vetor nulo 0 = (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistemahomogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 28

Page 88: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Homogêneos

Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0

Forma escalonada nunca apresenta linha[

0 · · · 0].

Determina-se p (escalonamento):

p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)

p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28

Page 89: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Homogêneos

Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0

Forma escalonada nunca apresenta linha[

0 · · · 0].

Determina-se p (escalonamento):

p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)

p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28

Page 90: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Homogêneos

Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0

Forma escalonada nunca apresenta linha[

0 · · · 0].

Determina-se p (escalonamento):

p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)

p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Homogêneos

Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0

Forma escalonada nunca apresenta linha[

0 · · · 0].

Determina-se p (escalonamento):

p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)

p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas Homogêneos

Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

∗ · · · ∗ 0...

. . ....

...∗ · · · ∗ 0

Forma escalonada nunca apresenta linha[

0 · · · 0].

Determina-se p (escalonamento):

p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)

p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28

Page 95: Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução

Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

[0 1 3 0 00 0 0 1 0

] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

[0 1 3 0 00 0 0 1 0

] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

[0 1 3 0 −70 0 0 1 4

] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s

Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

[0 1 3 0 00 0 0 1 0

] x1 = 1 r 0 sx2 = 0 r −3 sx3 = 0 r 1 sx4 = 0 r 0 s

Conjunto-solução:{r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

· · · ∗ 0...

. . ....

...0 · · · 0

Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...

. . ....

...? · · · ? ?

· · · ∗ ∗...

. . ....

...0 · · · ∗

ou

· · · ∗ ∗

.... . .

......

0 · · · ∗0 · · · 0

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

· · · ∗ 0...

. . ....

...0 · · · 0

Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...

. . ....

...? · · · ? ?

· · · ∗ ∗...

. . ....

...0 · · · ∗

ou

· · · ∗ ∗

.... . .

......

0 · · · ∗0 · · · 0

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

· · · ∗ 0...

. . ....

...0 · · · 0

Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...

. . ....

...? · · · ? ?

· · · ∗ ∗...

. . ....

...0 · · · ∗

ou

· · · ∗ ∗

.... . .

......

0 · · · ∗0 · · · 0

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...

. . ....

...? · · · ? 0

· · · ∗ 0...

. . ....

...0 · · · 0

Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...

. . ....

...? · · · ? ?

· · · ∗ ∗...

. . ....

...0 · · · ∗

ou

· · · ∗ ∗

.... . .

......

0 · · · ∗0 · · · 0

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

Ax = b

sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr

⟩ ⇒ Ax = 0

sol. =⟨xh1 , . . . , xhr

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

Ax = b

sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr

⟩ou

sol. = { }

⇐ Ax = 0

sol. =⟨xh1 , . . . , xhr

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado

Ax = b

sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr

⟩ou

sol. = { }

⇐ Ax = 0

sol. =⟨xh1 , . . . , xhr

Se um sistema não-homogêneo é consistente, o subespaçoafim que forma o seu conjunto-solução é uma translação dosubspaço vetorial que forma o conjunto-solução do sistemahomogêneo associado.

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28

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Sist. Lin. II

SistemasLinearesApós Escalonamento

Produto Matriz-Vetor

Casos Especiais

Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes

[1 2 42 5 9

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 40 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 20 1 1

][

1 2 32 5 7

]l2 ← l2 − 2l1

[1 2 30 1 1

]l1 ← l1 − 2l2

[1 0 10 1 1

]

[1 2 4 32 5 9 7

]∼

[1 2 4 30 1 1 1

]∼

[1 0 2 10 1 1 1

]

Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28