SISTEM BILANGAN DAN ARITMATIKA

1. PENGERTIAN ARITMATIKA

Aritmatika

Aritmatika atau aritmetika (dari kata bahasa Yunani αριθμός = angka) atau dulu

disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau pendahulu) matematika yang

mempelajari operasi dasar bilangan. Dalam penggunaannya oleh matematikawan,

kata "aritmatika" sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan.

Operasi aritmatika

Operasi dasar aritmatika adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan

pembagian, walaupun operasi-operasi lain yang lebih canggih (seperti persentase,

akar kuadrat, pemangkatan, dan logaritma) kadang juga dimasukkan ke dalam

kategori ini. Perhitungan dalam aritmatika dilakukan menurut suatu urutan operasi

yang menentukan operasi aritmatika yang mana lebih dulu dilakukan.

Aritmatika bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real umumnya

dipelajari oleh anak sekolah, yang mempelajari algoritma manual aritmatika. Namun

demikian, banyak orang yang lebih suka menggunakan alat-alat seperti kalkulator,

komputer, atau sempoa untuk melakukan perhitungan aritmatika.

Penjumlahan adalah salah satu operasi aritmatika dasar. Penjumlahan

menggabungkan dua buah bilangan atau lebih menjadi suatu bilangan yang

merupakan jumlah

Algoritma

Kata Algoritma berasal dari nama seorang ahli matematika dari persia Al

Khawarizmi. Pada awalnya kata algorism adalah istilah yang merujuk kepada aturan-

aturan aritmetis untuk menyelesaikan persoalan dengan menggunakan bilangan

numerik arab. Pada abad 18, istilah ini berkembang menjadi algoritma, yang

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Eva Siti Khuzaeva, S.Si., M.Si.

MATEMATIKA DASAR 1

mencakup semua prosedur atau urutan langkah yang jelas dan diperlukan untuk

menyelesaikan suatu permasalahan.

Jika dijelaskan lebih lanjut, algoritma (Inggris: algorithm) merupakan kumpulan

perintah untuk menyelesaikan suatu masalah. Perintah-perintah ini dapat

diterjemahkan secara bertahap dari awal hingga akhir. Masalah tersebut dapat

berupa apa saja, dengan catatan untuk setiap masalah, ada kriteria kondisi awal yang

harus dipenuhi sebelum menjalankan algoritma. Algoritma akan dapat selalu

berakhir untuk semua kondisi awal yang memenuhi kriteria, berbeda dengan

heuristik. Algoritma sering mempunyai langkah pengulangan (iterasi) atau

memerlukan keputusan (logika Boolean dan perbandingan) sampai tugas selesai.

2. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN

Dasar utama pengembangan matematika adalah teori bilangan dan geometri. Sehingga

tak mengherankan jika Phytagoras sejak 2500 tahun yang lalu mengungkapkannya

dengan “the Number rule the Universe”.

Sistem bilangan real R adalah humpunan bilangan real yang disertai dengan operasi

penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, antara lain :

1. Aksioma Lapangan

2. Aksioma Urutan

3. Aksioma Kelengkapan

2.1. Aksioma Lapangan

Aksioma ini mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian, sifat komutatif, asosiatif dan distributif, terdapatnya unsur 0 dan 1, serta

terdapatnya unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian, juga didefinisikan

pula operasi pengurangan dan pembagian.

Dari aksioma dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar atas

berbagai objek kalkulus, yaitu peubah, konstanta dan parameter.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Eva Siti Khuzaeva, S.Si., M.Si.

MATEMATIKA DASAR 2

, sifat tertutup terhadap penjumlahan dan

perkalian.

, sifat komutatif terhadap penjumlahan dan

perkalian.

, sifat asosiatif terhadap

penjumlahan dan perkalian.

, adanya unsur kesatuan terhadap

penjumlahan dan perkalian. Bilangan 0 dinamakan unsur kesatuan terhadap

penjumlahan dan bilangan 1 dinamakan unsur kesatuan terhadap perkalian.

, adanya unsur negatif atau invers terhadap

penjumlahan. Bilangan real –a dinamakan negatif atau lawan dari a.

, adanya unsur kebalikan atau invers

terhadap perkalian. Bilangan real dinamakan kebalikan dari a.

, sifat distributif.

Operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan real didefinisikan

sebagai berikut :

Definisi 2.1.1. Misalkan , maka

Pengurangan dari a dan b, hasilnya disebut selisih dari a dan b, ditulis ,

didefinisikan sebagai bilangan real .

Pembagian dari a dan b, hasilnya disebut hasil bagi dari a dan b, , ditulis

, didefinisikan sebagai bilangan real

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Eva Siti Khuzaeva, S.Si., M.Si.

MATEMATIKA DASAR 3

Dari aksioma lapangan kita dapat membuktikan berbagai sifat aljabar bilangan real

berikut, yang digunakan sebagai operasi aljabar dalam menyelesaikan soal

matematika.

Teorema 2.1.2. Misalkan , maka

, hukum pencoretan untuk penjumlahan.

, hukum pencoretan untuk perkalian.

.

2.2. Aksioma Urutan

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Eva Siti Khuzaeva, S.Si., M.Si.

MATEMATIKA DASAR 4

Aksioma ini mengatur tentang munculnya bilangan positif dan negatif. Dari sini pula

setiap bilangan real dapat diurutkan dari yang kecil sampai yang besar. Dari

aksioma ini diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu

pertaksamaan. Kemudian dirancang konsep nilai mutlak sebagai ukuran jarak dua

bilangan real dan suatu alat untuk menyelesaikan pertaksamaan yang berkaitan

dengan limit.

2.3. Aksioma Kelengkapan

Aksioma ini mengatur tentang perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan

real. Kita mengenal terdapatnya korespondensi satu-satu di antara bilangan real

dan titik pada garis, tetapi sifat ini tidak dipenuhi oleh bilangan rasional. Setiap

bilangan real dapat digambarkan sebagai titik pada garis, dan setiap titik pada garis

dapat dinyatakan sebagai bilangan real.

Diantara setiap dua bilangan real terdapat tak hingga banyaknya bilangan rasional

dan irrasional. Kemudian diperkenalkan konsep selang hingga dan selang tak

hingga, yang akan berperan dalam kalkulus.

3. KOMPONEN BILANGAN REAL

Bilangan dinamakan angka atau digit. Bilangan real dikelompokkan

sebagai berikut :

Bilangan asli (N) : digunakan untuk menghitung banyaknya objek suatu

himpunan.

Bilangan prima : adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua

faktor.

Bilangan komposit : adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari

dua faktor.

Bilangan cacah : adalah bilangan asli beserta unsur nol.

Bilangan bulat (Z) : .

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Eva Siti Khuzaeva, S.Si., M.Si.

MATEMATIKA DASAR 5

Bilangan genap : adalah bilangan bulat kelipatan dua. Bilangan

genap dilambangkan dengan 2n, n bilangan bulat.

Bilangan ganjil : adalah bilangan bulat bukan kelipatan dua.

Bilangan ganjil dilambangkan dengan 2n + 1 atau 2n – 1, n bilangan bulat.

Bilangan pecahan : adalah bilangan berbentuk , m bilangan bulat dan n

bilangan asli, dengan m tidak habis dibagi n. Bilangan pecahan di antara 0 dan 1

disebut pecahan sejati.

Bilangan rasional (Q) : adalah bilangan berbentuk , m bilangan bulat dan n

bilangan asli. Di sini x bilangan bulat jika m habis dibagi n dan x bilangan pecahan

jika m tidak habis dibagi n. Bilangan rasional selalu memunyai betuk desimal berulang

atau berhenti. Sebagai ilustrasi, , , dan sebagainya.

Bilangan irrasional : adalah bilangan yang bukan rasional. Bilangan ini bukan hasil

bagi bilangan bulat dan blangan asli atau tiak mempunyai bentuk desimal berulang

atau berhenti. Sebagai ilustrasi, , dan sebagainya.

Bilangan real (R) : adalah gabungan bilangan rasional dan irrasional, yang

merupakan susunan sekelompok angka dengan aturan tertentu.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Eva Siti Khuzaeva, S.Si., M.Si.

MATEMATIKA DASAR 6

Gambar 1.1. Pohon Bilangan

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Eva Siti Khuzaeva, S.Si., M.Si.

MATEMATIKA DASAR 7

Satu Prima Komposit

Asli Nol

Cacah Bulat Negatif

Genap

Ganjil

Bulat Pecahan

Rasional Irrasional

Real Imajiner

Kompleks