SISTEM BILANGAN REALARUM HANDINI PRIMANDARI

Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan Irasional

Berikut adalah Skema Bilangan Real

BILANGAN

Bilangan Real

Bilangan Irasional

Bilangan Rasional

Pecahan

Bulat

Bulat Negatif

Cacah

Asli

Nol

DIAGRAM

R

Bilangan Real

Q

Bilangan Rasional

Z

Bilangan Bulat

N

Bilangan Asli

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ

Tentukan manakah bilangan rasional atau irasional

LATIHAN 1

SIFAT – SIFAT MEDAN

1. Hukum Komutatif

𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

2. Hukum Asosiatif

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ

3. Hukum Distribusi

𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ

4. Elemen-elemen Identitas

5. Invers

SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL

1. Trikhotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

2. Ketransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < z

3. Penambahan

Jika x < y ↔ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧

4. Perkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz.

LATIHAN 2

Sederhanakanlah

1.2𝑥−2𝑥2

𝑥3−2𝑥2+𝑥

2.𝑥2−𝑥−6

𝑥−3

3.2

6𝑦−2+

𝑦

9𝑦2−1−

2𝑦+1

1−3𝑦

4.12

𝑥2+2𝑥+

4

𝑥+

2

𝑥+2

5.

𝑥

𝑥−3−

2

𝑥2−4𝑥+35

𝑥−1+

5

𝑥−3

Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak

diantara kedua bilangan itu.

𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑎 <𝑎 + 𝑏

2< 𝑏

KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL

GARIS BILANGAN (INTERVAL)

Misal dua bilangan a dan b serta berlaku sifat urutan a < b digambarkan pada garis bilangan berikut :

a b

Interval yaitu suatu himpunan bagian dari bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu.

DEFINISI INTERVAL DAN NOTASINYA

Notasi Interval : Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

1. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

2. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

3. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

4. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

5. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 > 𝑎}

6. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎}

7. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 < 𝑏

8. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏

9. −∞,∞ = ℝ

KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL

PERTIDAKSAMAAN REAL

Definisi pertidaksamaan satu peubah yaitu bentuk aljabar dengan satu peubah yang dihubungkan dengan relasi urutan

Bentuk Umum :

𝐴(𝑥)

𝐵(𝑥)<𝐶(𝑥)

𝐷(𝑥)

Dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah polinom

B(x), D(x) 0

LATIHAN 3

10𝑥 − 7 < 5𝑥 − 2

−8 ≤ 2𝑥 + 6 < 3

𝑥2 − 2𝑥 < 3

HARGA MUTLAK

Misalkan 𝑥 ∈ ℝ. Harga mutlak dari x, ditulis

𝑥 ≔ ቊ−𝑥 , 𝑥 ≤ 0𝑥 , 𝑥 > 0

Sifat-sifat :

Misalkan x dan y bilangan-bilangan Real,

1. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦

2.𝑥

𝑦=

𝑥

𝑦

3. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦

4. |𝑎 − 𝑏| ≥ | 𝑎 − |𝑏||

5. 𝑥 ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

Tentukan himpunan penyelesaian:

LATIHAN 4

2

2

1) 2 1 5

2) 3 14 4

3) 2 4 2 3 0

x

x x

x x

Jika a adalah bilangan real dan p adalah bilangan bulat positif, maka:

𝑎1 = 𝑎, 𝑎𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎 ∙ 𝑎 (sebanyak p)

Dimana 𝑎 ≠ 0; 𝑎0 = 1, 𝑎−𝑝 =1

𝑎𝑝

𝑎𝑝+𝑞 = 𝑎𝑝𝑎𝑞, 𝑎𝑝−𝑞 = 𝑎𝑝𝑎−𝑞 , 𝑎𝑞 𝑝 = 𝑎𝑝𝑞

𝑎1

𝑞 =𝑞𝑎, dimana a bilangan non-negatif

PANGKAT DAN AKAR

BINOMIAL NEWTON

Jika binomial (a+b) dengan a dan b variabel real yang tidak nol dipangkatkan n dengan n bilangan asli, maka akandiperoleh bentuk 𝑎 + 𝑏 𝑛 yang dijabarkan dalam rumus Binomial Newton sebagai berikut :

𝑎 + 𝑏 𝑛 =

𝑘=0

𝑛

𝐶𝑘𝑛 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 =

𝑘=0

𝑛𝑛𝑘

𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 =𝑛0

𝑎𝑛 +𝑛1

𝑎𝑛−1𝑏1 +𝑛2

𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯+𝑛𝑛

𝑏𝑛

Dimana𝑛𝑘

= 𝐶𝑘𝑛 =

𝑛!

𝑛−𝑘 !𝑘!

Contoh : Gunakan rumus Binomial Newton untuk menguraikan 𝑥 + 𝑦 4 ?

SEGITIGA PASCAL

0

2

5

3

4

1

1. Jabarkan (2a+b)5!

2. Berapakah Koefisien x9 dari (2-x)12 ?

3. Berapakah koefisien x5 dari (x-3)19?

LATIHAN 5

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan suatu teknik pembuktian yang baku di dalam matematika

Melalui induksi matematika kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas

PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

Misalkan P(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif.

Kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Untuk membuktikan pernyataan ini, maka kita hanya perlu menunjukkan bahwa :

1. p(1) benar, dan

2. Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.

Maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n.

CONTOH INDUKSI MATEMATIKA

1. Buktikan bahwa:

2. Buktikan bahwa:

KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL

1

1 2 3 ... 12

n n n

2

1 1

1 3 4

1 3 5 9

1 3 5 7 16

.

1 3 5 ... (2 1)

dst

n n

PENGGUNAAN INDUKSI MATEMATIKA

Digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

Suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan.

KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL

LATIHAN 6

1. Buktikan bahwa 7n – 2n selalu habis dibagi 5, untuk n adalah bilangan asli.

2. Buktikan:

23 3 3 31 2 3 ... 1 2 3 ...n n